5.2解一元一次方程（第1课时合并同类项）（导学案）数学新教材人教版七年级上册

5.2解一元一次方程（第1课时+合并同类项） 导学案 1.会运用合并同类项解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤：合并同类项→系数化为1。 2.能列一元一次方程解决实际问题（总量=各部分量之和）。 3.经历从实际问题到列方程、再到解方程的完整过程，培养建模能力。 学习重点：合并同类项解一元一次方程，掌握“合并同类项→系数化为1”两步法； 用“总量=各部分量之和”列方程。 学习难点：从实际问题中提取等量关系、设元并表示各部分量，以及合并同类项时系数符号和 ±1 的准确处理。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 【复习回顾】 旧知复习：等式性质1：若 ，则 ； 等式性质2：①若 ，则 ；②若 且 ，则 。 上节课利用等式性质解简单方程，如 得 ， 得 解方程的目标：把方程化为 的形式。 【新课引入】 对于更复杂的方程，如 ，左边有三项含 ，怎样化为 ？ 把含 的项合并——这就是今天学习的“合并同类项”。 新知自研：自研课本第120--121页的内容． 【学法指导】 自研课本P120-121的内容，思考： ●探究一：实际问题——计算机购买问题 ◆1.问题引入 某校三年共购买计算机140台，去年是前年的2倍，今年是去年的2倍。前年多少台？ ◆2.学生活动 思考：“前年、去年、今年购买台数如何表示？” 我们可以设前年购买 台，则去年购买 台，今年购买 台； 根据“三年总量等于各部分量之和”，学生列式验证。 ◆3.详细过程 设前年购买 台，则去年购买 台，今年购买 台，三年共（ ）台。 由“各部分量的和=总量”，列方程： ●探究二：合并同类项的作用和方法 ◆1.问题引入 观察方程 ，它有什么特点？左边有三项含 ，这三项能否合并？根据合并同类项法则怎样合并？合并同类项起了什么作用？合并时要注意什么？ ◆2.学生活动 学生分组讨论、口述合并过程； 思考：“合并起了什么作用”，学生归纳“将含 的多项合并为一项，把方程简化为 的形式，更接近 ”； ◆3.详细过程 合并同类项： 系数化为1： ◆4.新知导出 合并同类项的作用：将含 的多项合并为一项，把方程简化为 的形式——即 的形式，更接近 。 合并同类项注意事项：含相同未知数的项，系数相加，字母及其指数不变；常数项相加；系数为 或 的项不能遗漏（如 的系数是 ， 的系数是 ）。 方法总结： 第一步，合并同类项→ ； 第二步，系数化为1→ 。 基本等量关系：各部分量的和=总量。 化归思想：解方程的目标是化为 的形式。 ◆5.例题巩固 1、解下列方程： 解：先分别对等号左右两边合并同类项、计算常数，再将未知数系数化为1。 （1） （2） 2、有一列数 ，其中第 个数是 （ 是正整数），如果这列数中某三个相邻数的和是 ，那么这三个数各是多少？ 解：从符号和绝对值两方面观察，可以发现这列数的排列规律：后面的数是它前面的数与 的乘积。 设所求三个数中的第1个数是 ，则后两个数分别是 。 由三个数的和是 ，得 合并同类项，得 系数化为1，得 所以 所以这三个数分别是 。 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨利用合并同类项解一元一次方程的方法以及简单应用； B. 交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点。 C. 相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定。 【巩固训练1 合并同类项解方程】 解方程 。 解：左边合并：； 右边合并：； 得 ， 系数化为1，得 。 【变式】1.解方程 。 解：合并同类项，得 ；系数化为1，得 。 2.解方程 。 解：合并同类项，得 ；系数化为1，得 。 3.解方程 。 解：，合并得 ；。 4.解方程 。 解：合并同类项，得 ；系数化为1，得 。 5.解方程 。 解：合并同类项，得 ；系数化为1，得 。 【巩固训练2 实际应用】 某班学生共45人，男生比女生多3人。男、女生各多少人？ 分析： 比较关系设较小量为 ，较大量用 加差值表示，合并后求解。 解： 设女生 人，男生 人； ； 合并 ； 。 答：女生21人，男生24人。 【变式2-1】学校把240本图书按 分给低、中、高年级，各年级多少本？ 解：设低年级 本，中年级 本，高年级 本； 列方程得：； ； 。 答：低年级48本，中年级72本，高年级120本。 【变式2-2】有一列数 ，某三个相邻数的和为768，求这三个数。 解：设第一个数 ，第二个 ，第三个 ； 列方程得：； ； 。 答：三个数分别为 。 【变式2-3】某商店去年全年销售总额为120万元，其中上半年是下半年的1.5倍。上半年和下半年各销售多少万元？ 解：设下半年 万元，上半年 万元； 列 方程得：； ； 。 答：销售额分别为下半年48万元，上半年72万元。 ▲1、合并同类项解一元一次方程方法总结： 第一步，合并同类项→ ； 第二步，系数化为1→ 。 基本等量关系：各部分量的和=总量。 化归思想：解方程的目标是化为 的形式。 题型一 利用合并同类项解一元一次方程 1．以下合并同类项正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【分析】根据合并同类项的法则计算即可． 【详解】A. 由，得，不符合题意； B. 由，得，不符合题意； C. 由，得，不符合题意； D. 由，得，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了解方程的合并同类项计算，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 2．关于x的5倍比x的2倍大12，则x的值为 　 　． 【分析】根据题意得出5x﹣2x＝12，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得：5x﹣2x＝12， ∴3x＝12， ∴x＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出一元一次方程是解决问题的关键． 3．任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.为例进行说明：设0.，由0.可知，10x＝7.777⋯，所以10x﹣x＝7，解方程，得x．于是，得0.，将0.写成分数的形式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得，设，则100x﹣x＝36，求解即可． 【详解】解：设，由题意可得100x﹣x＝36， 解得，即． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元一次方程． 4．判断下列方程的求解过程是否正确，说明原因： （1）﹣6x+3x＝﹣1﹣8． 解：合并同类项，得﹣9x＝﹣9．系数化为1，得x＝1． （2）5x+4x＝18． 解：合并同类项，得9x＝18． 系数化为1，得x． 【分析】（1）合并同类项（系数﹣6+3＝﹣3，不是﹣9），系数化成1即可； （2）合并同类项，系数化成1（两边都除以9）即可． 【详解】解：（1）不正确， 理由是：∵﹣6x+3x＝﹣1﹣8， 合并同类项得：﹣3x＝﹣9， 系数化成1得：x＝3． （2）不正确， 理由是：5x+4x＝18， 合并同类项得：9x＝18， 系数化成1得：x＝2． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，主要考查学生的计算能力． 5．用合并同类项的方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1． （1）合并同类项，再系数化成1； （2）合并同类项，系数化成1； （3）合并同类项，系数化成1； （4）合并同类项，系数化成1； 【详解】（1）解： 合并同类项，得； （2）解：， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3） 合并同类项，得， 系数化为1，得； （4） 合并同类项，得， 系数化为1，得． 6．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （3）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （4）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． （3）解：， ， ． （4）解：， ， ． 题型二 利用方程解决实际问题---“比例问题” 7．如果三个正整数的比是1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是（　　） A．56 B．48 C．36 D．12 【分析】设这三个正整数为x、2x、4x，根据三个数之和为84，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设这三个正整数为x、2x、4x，由题意得：x+2x+4x＝84， 解得：x＝12， 所以这三个数中最大的数是4x＝48． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到等量关系，利用方程思想求解． 8．一个长方形的周长是32厘米，长与宽的比是5：3，则这个长方形的面积是（　　）平方厘米． A．16 B．60 C．30 D．15 【分析】根据已知求出长方形的长和宽，即可求出长方形的面积． 【解答】解：设长方形的长是5x厘米，则宽是3x厘米，根据题意得： 2（5x+3x）＝32， 解得x＝2， ∴长方形的长是10厘米，宽是6厘米， ∴面积为10×6＝60（平方厘米）， 故选：B． 【点评】本题考查一元一次方程的应用和长方形的面积，解题的关键是求出长方形的长与宽． 9．甲，乙，丙三辆卡车所运货物的质量之比为6：7：4.5，已知甲车比乙车少运货物12吨，则三辆卡车共运货物（　　） A．120吨 B．130吨 C．210吨 D．150吨 【分析】设甲，乙，丙三辆卡车所运货物的质量分别为：6x，7x，4.5x，由已知甲车比乙车少运货物12吨，可以列出方程7x﹣6x＝12，解得即可． 【详解】解：设甲，乙，丙三辆卡车所运货物的质量分别为：6x吨，7x吨，4.5x吨， 根据题意得：7x﹣6x＝12， 解得：x＝12． 所以6x+7x+4.5x＝17.5x＝17.5×12＝210． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据题意设甲，乙，丙三辆卡车所运货物的质量分别为：6x吨，7x吨，4.5x吨，然后列出方程． 10．《三国志》是记录三国时期重要人物和事件的一部史书，由西晋陈寿所撰，与《史记》《汉书》《后汉书》并称为“前四史”．全书共65卷，由《魏书》《蜀书》和《吴书》三部分组成，其中《蜀书》卷数是《魏书》的，《吴书》卷数是《魏书》的．《魏书》有( )卷． 【分析】把《魏书》的卷数看作单位"1"，先计算三部分卷数总和对应的分率，再用总卷数除以对应分率得到《魏书》的卷数． 【详解】解：设《魏书》的卷数为x卷，则《蜀书》卷数为卷，《吴书》卷数为卷， ∵全书共65卷， ∴， 解得：， 答：《魏书》有30卷． 11．一箩筐内有梨苹果若干个，他们的数量比为4：3，拿出12个苹果后，苹果的个数正好是梨的一半，则这个箩筐内有梨和苹果各多少个？ 【分析】设箩筐内有梨4x个，则苹果是数量是3x个，则依据“拿出12个苹果后，苹果的个数正好是梨的一半”列出方程并求解． 【详解】解：设箩筐内有梨4x个，则苹果是数量是3x个，则 3x﹣124x， 解得 x＝12． 则3x＝36， 4x＝48． 答：这个箩筐内有梨48个、苹果36个． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 题型三 利用方程解决实际问题---“数字问题” 12．有一列数，按一定规律排列成﹣1，3，﹣9，27，﹣81，⋯．其中某三个相邻数的和是﹣567，这三个数中的第一个数是 　 　． 【分析】设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为﹣567，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x， 依题意，得：x﹣3x+9x＝﹣567， 解得：x＝﹣81． 故答案为：﹣81． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数字的变化规律，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 13．有一列数，按一定规律排列而成：﹣1，3，﹣9，27，﹣81，243，…，其中某三个相邻数的和是1701，则这三个数中最小的数是 　 　． 【分析】设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为1701，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入﹣3x和9x中，取其中最小值即可得出结论． 【详解】解：设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x， 依题意，得：x﹣3x+9x＝1701， 解得：x＝243， ∴﹣3x＝﹣729，9x＝2187． ∵﹣729＜243＜2187， 故答案为：﹣729． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 14．有一列数，按一定规律排列成1、﹣4、16、﹣64、256…，其中某相邻三个数的和是﹣832，那么这三个数中最大的数是　 　． 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化规律，再根据某相邻三个数的和是﹣832，可以列出相应的方程，从而求得最大的数，本题得以解决． 【详解】解：∵有一列数，按一定规律排列成1、﹣4、16、﹣64、256…， ∴这列数中每个数都是前面相邻数的﹣4倍， 设这三个相邻的数中的中间数为x，则第一个数为，第三个数为﹣4x， x+（﹣4x）＝﹣832， 解得：x＝256， ∴﹣4x＝﹣4×256＝﹣1024，64， ∴这三个数﹣64，256，﹣1024， ∴这三个数中最大的数是256， 故答案为：256． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、规律性﹣数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意最后的问题是求这三个数中最大的数． 15．有一列数，按一定规律排成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…． （1）在﹣32后面的一个数字是 　 ． （2）在这一列数中，某三个相邻数的和是999，求这三个数中的第二个数是多少？ 【分析】（1）这列数的排列规律是，从第二个数开始，一个数是它前面的数的﹣2倍，所以﹣32后面的一个数字是64，于是得到问题的答案； （2）设这三个数中的第一个数是x，则第二个数是﹣2x，第三个数是4x，于是列方程得x﹣2x+4x＝999，求出x的值，再求出﹣2x的值即得到问题的答案． 【详解】解：（1）在这列数中，从第二个数开始，一个数是它前面的数的﹣2倍， ∴（﹣32）×（﹣2）＝64， 故答案为：64． （2）设这三个数中的第一个数是x，则第二个数是﹣2x， 根据题意得x﹣2x+4x＝999， 解得x＝333， ∴﹣2x＝﹣666， ∴这三个数中的第二个数是﹣666． 【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示第二个数和第三个数是解题的关键． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2解一元一次方程（第1课时+合并同类项） 导学案 1.会运用合并同类项解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤：合并同类项→系数化为1。 2.能列一元一次方程解决实际问题（总量=各部分量之和）。 3.经历从实际问题到列方程、再到解方程的完整过程，培养建模能力。 学习重点：合并同类项解一元一次方程，掌握“合并同类项→系数化为1”两步法； 用“总量=各部分量之和”列方程。 学习难点：从实际问题中提取等量关系、设元并表示各部分量，以及合并同类项时系数符号和 ±1 的准确处理。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 【复习回顾】 旧知复习：等式性质1：若 ，则 ； 等式性质2：①若 ，则 ；②若 且 ，则 。 上节课利用等式性质解简单方程，如 得 ， 得 解方程的目标：把方程化为 的形式。 【新课引入】 对于更复杂的方程，如 ，左边有三项含 ，怎样化为 ？ 把含 的项合并——这就是今天学习的“合并同类项”。 新知自研：自研课本第120--121页的内容． 【学法指导】 自研课本P120-121的内容，思考： ●探究一：实际问题——计算机购买问题 ◆1.问题引入 某校三年共购买计算机140台，去年是前年的2倍，今年是去年的2倍。前年多少台？ ◆2.学生活动 思考：“前年、去年、今年购买台数如何表示？” 我们可以设前年购买 台，则去年购买 台，今年购买 台； 根据“三年总量等于各部分量之和”，学生列式验证。 ◆3.详细过程 设前年购买 台，则去年购买 台，今年购买 台，三年共 台。 由“各部分量的和=总量”，列方程： ●探究二：合并同类项的作用和方法 ◆1.问题引入 观察方程 ，它有什么特点？左边有三项含 ，这三项能否合并？根据合并同类项法则怎样合并？合并同类项起了什么作用？合并时要注意什么？ ◆2.学生活动 学生分组讨论、口述合并过程； 思考：“合并起了什么作用”，学生归纳“将含 的多项合并为一项，把方程简化为 的形式，更接近 ”； ◆3.详细过程 合并同类项： 系数化为1： ◆4.新知导出 合并同类项的作用：将含 的多项合并为 ，把方程简化为 的形式——即 的形式，更接近 。 合并同类项注意事项：含相同未知数的项，系数 ，字母及其指数不变；常数项相加；系数为 或 的项不能 （如 的系数是 ， 的系数是 ）。 方法总结： 第一步， → ； 第二步， → 。 基本等量关系： =总量。 化归思想：解方程的目标是化为 的形式。 ◆5.例题巩固 1、 解下列方程： 2、有一列数 ，其中第 个数是 （ 是正整数），如果这列数中某三个相邻数的和是 ，那么这三个数各是多少？ 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨利用合并同类项解一元一次方程的方法以及简单应用； B. 交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点。 C. 相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定。 【巩固训练1 合并同类项解方程】 解方程 。 【变式】1.解方程 。 2.解方程 。 3.解方程 。 4.解方程 。 5. 解方程 。 【巩固训练2 实际应用】 某班学生共45人，男生比女生多3人。男、女生各多少人？ 分析： 比较关系设较小量为 ，较大量用 加差值表示，合并后求解。 【变式2-1】学校把240本图书按 分给低、中、高年级，各年级多少本？ 【变式2-2】有一列数 ，某三个相邻数的和为768，求这三个数。 【变式2-3】某商店去年全年销售总额为120万元，其中上半年是下半年的1.5倍。上半年和下半年各销售多少万元？ ▲1、合并同类项解一元一次方程方法总结： 第一步， → ； 第二步， → 。 基本等量关系： =总量。 化归思想：解方程的目标是化为 的形式。 题型一 利用合并同类项解一元一次方程 1．以下合并同类项正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．关于x的5倍比x的2倍大12，则x的值为 　 　． 3．任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.为例进行说明：设0.，由0.可知，10x＝7.777⋯，所以10x﹣x＝7，解方程，得x．于是，得0.，将0.写成分数的形式是（　　） A． B． C． D． 4．判断下列方程的求解过程是否正确，说明原因： （1）﹣6x+3x＝﹣1﹣8． 解：合并同类项，得﹣9x＝﹣9．系数化为1，得x＝1． （2）5x+4x＝18． 解：合并同类项，得9x＝18． 系数化为1，得x． 5．用合并同类项的方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 6．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 利用方程解决实际问题---“比例问题” 7．如果三个正整数的比是1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是（　　） A．56 B．48 C．36 D．12 8．一个长方形的周长是32厘米，长与宽的比是5：3，则这个长方形的面积是（　　）平方厘米． A．16 B．60 C．30 D．15 9．甲，乙，丙三辆卡车所运货物的质量之比为6：7：4.5，已知甲车比乙车少运货物12吨，则三辆卡车共运货物（　　） A．120吨 B．130吨 C．210吨 D．150吨 10．《三国志》是记录三国时期重要人物和事件的一部史书，由西晋陈寿所撰，与《史记》《汉书》《后汉书》并称为“前四史”．全书共65卷，由《魏书》《蜀书》和《吴书》三部分组成，其中《蜀书》卷数是《魏书》的，《吴书》卷数是《魏书》的．《魏书》有( )卷． 11．一箩筐内有梨苹果若干个，他们的数量比为4：3，拿出12个苹果后，苹果的个数正好是梨的一半，则这个箩筐内有梨和苹果各多少个？ 题型三 利用方程解决实际问题---“数字问题” 12．有一列数，按一定规律排列成﹣1，3，﹣9，27，﹣81，⋯．其中某三个相邻数的和是﹣567，这三个数中的第一个数是 　 　． 13．有一列数，按一定规律排列而成：﹣1，3，﹣9，27，﹣81，243，…，其中某三个相邻数的和是1701，则这三个数中最小的数是 　 　． 14．有一列数，按一定规律排列成1、﹣4、16、﹣64、256…，其中某相邻三个数的和是﹣832，那么这三个数中最大的数是　 　． 15．有一列数，按一定规律排成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…． （1）在﹣32后面的一个数字是 　 ． （2）在这一列数中，某三个相邻数的和是999，求这三个数中的第二个数是多少？ 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $