精品解析：陕西咸阳市秦都区咸阳启迪中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年度第一学期期中考试试卷 九年级数学 （时间：100分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列哪种光线形成的投影不是中心投影（ ） A. 手电筒 B. 吸顶灯 C. 太阳 D. 路灯 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心投影与平行投影的光源区别：点光源形成的投影是中心投影，平行光线形成的投影是平行投影，判断各选项即可． 【详解】解：∵手电筒、吸顶灯、路灯均为点光源， ∴形成的投影是中心投影，故选项不符合题意； ∵ 太阳光线为平行光线， ∴形成的投影是平行投影， ∴ 太阳光线形成的投影不是中心投影，故选项符合题意． 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数的顶点坐标是，据此求解即可． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是． 4. 耀州瓷出产于西安以北一百多千米的铜川，是我国古代北方青瓷的代表，创烧于唐，鼎盛于宋，是中国古代六大陶瓷之一，素有“巧如范金，精比琢玉”的美誉．在下列各瓷器图片中，若不考虑瓷器花纹等因素，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图、左视图的定义，结合各选项中瓷器的几何特征进行判断即可． 【详解】解：A：瓷器有壶嘴和把手，主视图和左视图不同； B：瓷器有三足，主视图和左视图不同； C：瓷器左右有耳，主视图能看到两个耳，左视图只能看到耳的侧面，其主视图和左视图不同； D：瓷器近似为旋转体，不考虑花纹，其主视图和左视图相同，均为瓶身轮廓． 5. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 6. 抛物线，，的图象开口最大的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数中，二次项系数a的绝对值越小，图象开口越大，解答即可． 【详解】解： ，，， ， 的图象开口最大． 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点E、F分别是、的中点，若，则的长是（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】解：点E、F分别是、的中点，， ， 矩形， 和相等且互相平分， ， 则的长是． 8. 已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（ ）． A. B. 当时，随的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 开口向下 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数图象的对称轴为直线，求出，由图象可知，则点在y轴正半轴；由图象与x轴没有交点，得出．当时，，即，则在第一象限，由此可判断直线所经过的象限，即可解答． 【详解】解：由题图可知，二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 由图象可知，． ∴点在y轴正半轴． ∵图象与x轴没有交点， ∴， ∴． 当时，，即， ∴在第一象限． ∴过点M和点N的直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 二次函数的图象与x轴的交点个数为________个． 【答案】2 【解析】 【分析】二次函数图象与x轴的交点个数等价于对应一元二次方程的实数根个数，通过计算方程的根的判别式即可判断． 【详解】解：令，可得一元二次方程． 该方程根的判别式． ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴二次函数的图象与x轴的交点个数为2． 12. 若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】先通过根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将待求代数式通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是关于x的方程的两个根， ∴，， ∴． 13. 若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，通过比较三个点到对称轴的水平距离，结合开口向下时函数值随距离增大而减小的规律判断大小关系． 【详解】解：∵抛物线解析式为，二次项系数． ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，对称轴上的点对应的函数值为最大值． 点A到对称轴的距离为． 点B到对称轴的距离为． 点C到对称轴的距离为． ∵开口向下的抛物线上，点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越小． ∴距离大小关系为，对应函数值大小为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若点B的坐标为，则点的坐标为_____________． 【答案】或 【解析】 【详解】解：以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到， 对应点的坐标乘以2或， 点B的坐标为， 点的坐标为或． 15. 如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是________（填写序号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．证明，推出，再由直角三角形斜边中线的性质求得，推出，可得到，故①正确；证明，由正切函数的定义可判断②错误；由平行线的性质求得，即可求得，故③错误；证明，推出，再等量代换即可证明故④正确． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵正方形， ∴，即， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， 设正方形的边长为， ∴，， ∴，故③错误； ∵正方形， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①④． 三、解答题（共8小题，合计55分） 16. 选择合适的方法解一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）用因式分解法，解一元二次方程即可； （2）用因式分解法，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 17. 某四棱柱的三视图及部分数据如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为． （1）三视图中，有一图未画完，请在图中补全； （2）求该四棱柱俯视图的周长． 【答案】（1）补充完整如图所示： \ （2） 【解析】 【分析】（1）根据所在的面在前，所在的面在后，得到主视图中应补充两条虚线，画出图形即可； （2）由俯视图为等腰梯形，可得，再根据四棱柱的侧面积为，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 俯视图为等腰梯形， ， 该四棱柱的侧面积为， ， ， 该四棱柱俯视图的周长为． 18. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见继续 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再由两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 19. 已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为直线_________； （2）直接写出下表中，的值：_________，_________． … … … … （3）在下面的坐标系中描点，并画出抛物线； （4）由图象可知，当满足______时，随的增大而增大；当满足______时，随的增大而减小． 【答案】（1）直线 ． （2），． （3）描点并画出抛物线如图． （4）当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小． 【解析】 【分析】（1）由顶点式 直接读出对称轴； （2）把 、 分别代入解析式求出、； （3）在坐标系中描出表中五个点，并用光滑曲线顺次连接； （4）由图象（开口向下、顶点在对称轴上）判断随增大而增大、减小的范围． 【小问1详解】 解：抛物线的解析式为 ，其中 ， ∴ 对称轴为直线． 【小问2详解】 解：当 时， ． 当 时， ． 【小问3详解】 解：在坐标系中描出点、、、、， 并用光滑曲线把它们顺次连接起来，即得抛物线（见答案处图形）． 【小问4详解】 解：由图象可知，抛物线的顶点为，对称轴为直线，且开口向下． 在对称轴左侧，抛物线上升；在对称轴右侧，抛物线下降， ∴ 当 时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 20. 如图，在矩形中，点在上，，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ，， ， 于， ， 在和中， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，，证明得到，即可得证； （2）由（1）可知，，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 由勾股定理可得， ． 21. 陕西广播电视塔，又称西安电视塔，塔楼上建有观光厅、旋转厅．登塔遥望，古城风貌尽收眼底，成为西安市一大观光景点．某数学兴趣小组要完成一个项目，测量电视塔的高度．如图，电视塔前有一棵高米的树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花园，由于障碍物的遮挡导致距离无法测量，所以在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上，请你求出陕西广播电视塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【答案】245米 【解析】 【分析】先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ． 米，米，米， ， 解得米， 米， 米 ，， ． ， ， ， 即， 解得米， 答：陕西广播电视塔的高度为245米． 22. 某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 23. 问题探究： （1）如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________； （2）如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大． 问题解决： （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留根号） 【答案】（1） （2）当时，矩形面积最大 （3）绿化改造所需费用至少为元 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）设的边上的高为h，根据题意可得，则有，然后可得，进而把矩形的面积表示出来，最后利用二次函数的性质可进行求解； （3）由题意易得，，则设，则，然后可得，，则可得，要使绿化改造所需费用最少，则需满足矩形的面积最大，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 根据两个三角形相似，则这两个相似三角形的高之比等于相似比，所以与的高之比为； 故答案为； 【小问2详解】 解：设的边上的高为h， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的边上的高为， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大； 【小问3详解】 解：如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当点Q与点A重合时，则， ∴， 要使绿化改造所需费用最少，则需满足矩形的面积最大， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为，如图， ∴， 过点D作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∴种植花卉的面积为， ∴所需费用最少为（元）； 答：绿化改造所需费用至少为元． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及二次函数的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试试卷 九年级数学 （时间：100分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列哪种光线形成的投影不是中心投影（ ） A. 手电筒 B. 吸顶灯 C. 太阳 D. 路灯 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 耀州瓷出产于西安以北一百多千米的铜川，是我国古代北方青瓷的代表，创烧于唐，鼎盛于宋，是中国古代六大陶瓷之一，素有“巧如范金，精比琢玉”的美誉．在下列各瓷器图片中，若不考虑瓷器花纹等因素，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线，，的图象开口最大的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点E、F分别是、的中点，若，则的长是（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 12 8. 已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（ ）． A. B. 当时，随的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 开口向下 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 二次函数的图象与x轴的交点个数为________个． 12. 若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为_____________． 13. 若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若点B的坐标为，则点的坐标为_____________． 15. 如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，合计55分） 16. 选择合适的方法解一元二次方程． （1）； （2）． 17. 某四棱柱的三视图及部分数据如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为． （1）三视图中，有一图未画完，请在图中补全； （2）求该四棱柱俯视图的周长． 18. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 19. 已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为直线_________； （2）直接写出下表中，的值：_________，_________． … … … … （3）在下面的坐标系中描点，并画出抛物线； （4）由图象可知，当满足______时，随的增大而增大；当满足______时，随的增大而减小． 20. 如图，在矩形中，点在上，，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 陕西广播电视塔，又称西安电视塔，塔楼上建有观光厅、旋转厅．登塔遥望，古城风貌尽收眼底，成为西安市一大观光景点．某数学兴趣小组要完成一个项目，测量电视塔的高度．如图，电视塔前有一棵高米的树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花园，由于障碍物的遮挡导致距离无法测量，所以在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上，请你求出陕西广播电视塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 22. 某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 23. 问题探究： （1）如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________； （2）如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大． 问题解决： （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $