精品解析：广东广州市育才中学2026-2027学年第一学期期中考试高一数学试卷

广州市育才中学2026学年第一学期期中考试 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一．单项选择题（每题5分） 1. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（   ） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过元的部分不必纳税，超过元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：有一智能公司员工十月份工资、薪金所得元，则该员工十月份应缴纳个税为（ ）元． 全月应纳税所得额 税率 不超过元的部分 超过元至元的部分 超过元至元的部分 A. B. C. D. 7. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（每题6分） 9. 中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 以下关于数的大小的结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 十八世纪，被称为“数学王子”的高斯提出了函数，其意义是对于任意的，表示不超过x的最大整数，如，，，人们更习惯称之为“取整函数”.现在令，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 不等式的解集为 三．填空题（每题5分） 12. 已知函数，且，则的值等于________． 13. 幂函数在上单调递减且为偶函数，则整数m的值是______. 14. 设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是________． 四．解答题（共77分，请写出必要的计算步骤和文字说明） 15. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求，的值； （2）函数的解析式； （3）判断的单调性，并解关于的不等式． 17. 闽超龙岩队的官方吉祥物“龙龙”与“岩岩”（双生组合）深受球迷喜爱，其设计采用拟人化造型，圆润可爱.龙龙为赛场进攻担当，腾空举球上篮，呼应闽西红土红色底蕴，象征突破、冲锋、锐气；岩岩为赛场防守担当，沉身护球运球，搭配岩壁坚韧特质，代表坚守、沉淀、韧性.某工厂已通过正规渠道获得在许可范围内生产销售“龙龙”与“岩岩”相关周边的商业授权，已知生产这种周边的年固定成本为15万元，若生产千件需另外投入万元，其中与之间的关系为且函数的图象过三点.通过市场分析，公司决定每千件这种周边定价为12万元，且假设该厂年内生产的这种周边全部销售完. （1）求的值，并求出年利润万元关于年产量千件的函数解析式（利润销售额成本）； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）当时，设函数在上的最小值为，求的函数解析式； （3）解关于的不等式. 19. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市育才中学2026学年第一学期期中考试 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一．单项选择题（每题5分） 1. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据，但，得到答案. 【详解】，但，比如， 则“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集运算求解. 【详解】由题可知，，所以. 故选：C. 3. 函数的定义域是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义域的定义求解. 【详解】由题可得，，解得且， 所以定义域为， 故选：B. 4. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】将转化为， ， 当且仅当时，即时，取等号， 所以的最小值为4. 5. 已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 6. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过元的部分不必纳税，超过元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：有一智能公司员工十月份工资、薪金所得元，则该员工十月份应缴纳个税为（ ）元． 全月应纳税所得额 税率 不超过元的部分 超过元至元的部分 超过元至元的部分 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得该员工十月应缴纳个税部分的薪金为元， 所以其应缴纳个税元. 7. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 8. 已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为对任意实数，，都有成立， 所以在上为增函数， 则，解得，则实数的范围是. 二．多选题（每题6分） 9. 中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数定义逐一判断即可. 【详解】A.，当，但，A不是； B.，任意，都有，B是； C.，当，但，C不是； D.，任意，都有，D是； 故选：BD. 10. 以下关于数的大小的结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用指数函数单调性可得选项A，B正确；根据可得选项C错误；计算两个数的12次方即可得到选项D错误. 【详解】因为在上是增函数，所以，选项A正确. 因为在上是减函数，所以，选项B正确. 因为，，所以，选项C错误. 因为，，且在上是增函数,所以，选项D错误. 故选：AB. 11. 十八世纪，被称为“数学王子”的高斯提出了函数，其意义是对于任意的，表示不超过x的最大整数，如，，，人们更习惯称之为“取整函数”.现在令，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用定义直接求的解； 选项B，由得到，从而得到的值； 选项C，求出，由得到；选项D，解出解为，从而得到，分别讨论和，解出的范围即可得解. 【详解】选项A，， ，故选项A正确； 选项B，当时，，故选项B正确； 选项C，，，， ，，故选项C错误； 选项D，，， ，， 当时，；当时，， 综上可知，故选项D正确. 故选：ABD. 三．填空题（每题5分） 12. 已知函数，且，则的值等于________． 【答案】 【解析】 【详解】令 ，反解可得，将其代入原式得. 因此函数的解析式为. 又因为 ，代入函数解析式得 ， 解得. 13. 幂函数在上单调递减且为偶函数，则整数m的值是______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与性质，列不等式求出的取值范围，再验证是否满足条件即可． 【详解】幂函数在上单调递减， 所以， ，的整数值为0或1，2； 当时，不是偶函数； 当时，是偶函数； 当时，不是偶函数； 所以整数的值是1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与性质的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 14. 设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，不妨设，分析可得.结合的取值范围，得的范围，由此求得的取值范围，从而得的取值范围，并求得的取值范围. 【详解】由函数， 得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 作的图象如下： 不妨设， 则，得. 由，得， 所以，解得 ， 所以，即， 所以， 即的取值范围是. 四．解答题（共77分，请写出必要的计算步骤和文字说明） 15. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用元素与集合之间的关系建立不等式求解即得； （2）由题意，分为空集和不为空集两种情况列不等式求解即可； （3）由必要不充分条件推得集合间包含关系，列不等式求解即得. 【小问1详解】 因为，所以 解得，即实数的取值范围是． 【小问2详解】 由题意知， 若， 当时，则，解得； 当时，则或解得或． 综上，实数的取值范围是或． 【小问3详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求，的值； （2）函数的解析式； （3）判断的单调性，并解关于的不等式． 【答案】（1）. （2）. （3）． 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质求出，的值. （2）由奇函数的定义求出各区间上的函数解析式，再写成分段函数的形式. （3）先分析 时函数的单调性，再结合奇函数在对称区间上的单调性一致的性质，得到整个定义域上的单调性；再利用奇函数性质将不等式变形为 ，最后结合单调性和定义域列出不等式组求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，在定义域中，， . （2）当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数，所以当时，． 所以. （3）由题意， 时，将变形为. 因为反比例型函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 又因为是定义在上的奇函数，所以在上也单调递增， 故在上单调递增. 又因为是定义在上的奇函数， 所以不等式可变形为. 又因为在上单调递增， 所以．解得，即实数的取值范围是． 17. 闽超龙岩队的官方吉祥物“龙龙”与“岩岩”（双生组合）深受球迷喜爱，其设计采用拟人化造型，圆润可爱.龙龙为赛场进攻担当，腾空举球上篮，呼应闽西红土红色底蕴，象征突破、冲锋、锐气；岩岩为赛场防守担当，沉身护球运球，搭配岩壁坚韧特质，代表坚守、沉淀、韧性.某工厂已通过正规渠道获得在许可范围内生产销售“龙龙”与“岩岩”相关周边的商业授权，已知生产这种周边的年固定成本为15万元，若生产千件需另外投入万元，其中与之间的关系为且函数的图象过三点.通过市场分析，公司决定每千件这种周边定价为12万元，且假设该厂年内生产的这种周边全部销售完. （1）求的值，并求出年利润万元关于年产量千件的函数解析式（利润销售额成本）； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1）， （2）当年产量为22千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润为485万元 【解析】 【分析】（1）将三点代入，即可求出，进而根据题意求解； （2）根据二次函数、基本不等式求解最值即可. 【小问1详解】 将三点代入， 得，解得， 则， 依题意，. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 则时，取得最大值10； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 则时，取得最大值485. 综上所述，当年产量为22千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润为485万元. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）当时，设函数在上的最小值为，求的函数解析式； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）； （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）将不等式转化为二次不等式，利用解集与方程根的关系结合韦达定理求参数； （2）分析二次函数对称轴与区间的位置关系，分情况确定区间最小值； （3）整理不等式为标准二次不等式，因式分解后按二次项系数的不同取值分类讨论求解集. 【小问1详解】 即，整理得. 因为该不等式的解集为，故1和2是方程的根. 由韦达定理，，得. 【小问2详解】 当时，，其图象对称轴为，开口向上. 若，在上单调递减，； 若，在上的最小值为. 故的解析式为： . 【小问3详解】 将不等式整理得. 当时，不等式化为，解得； 当时，方程的根为和： 若，两根相等，不等式无解； 若，，解得； 若，，解得； 当时，不等式，解得或. 综上所述，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 19. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2）在上单调递减， 证明：，设， , 因为，则，，， 所以，即，所以函数在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再证明时，即可得解； （2）设，利用作差法证明，即可证明在上单调递减； （3）利用函数的奇偶性和单调性可将不等式化为，令，不等式化为，再令，不等式可化为，利用单调性求出的最小值，即可求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，得， 当时，， ，为奇函数，符合题意， 故. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 不等式， 由奇函数得， 因为函数在上单调递减，所以， 令，则， 整理得，则恒成立， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 因为，所以恒成立， 因为在上单调递增，所以， 所以的最大值是1，所以， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $