精品解析：广东省广州市第六中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

广州市第六中学2026级高一上学期数学期中考试 本试卷共2面，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集个数为（     ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合集合子集个数的求法，即可求解. 【详解】由集合，则集合的子集的个数为. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称命题的否定是全称命题， 则“”的否定为. 故选：D 3. 下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A.是奇函数，但该函数在定义域上不单调，排除. B.，定义域， ，是奇函数； 在上递增，故在上单调递减，符合题意； C.的定义域为，，即函数为奇函数， 又因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，排除. D.的定义域为，，故不是奇函数，排除. 4. 函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数定义域、奇偶性、单调性判断函数图像. 【详解】函数定义域为， ，所以函数为偶函数， 当时，在上单调递增， 所以选D. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知函数的定义域为， 因此中括号内整体的取值范围与的定义域一致，即满足： ， 解得， 又因为函数表达式为分式，分母为偶次根式，需满足被开方数大于0（分母不能为0），即： ， 解得， 取两个解集的交集，得的定义域为. 6. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在上单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 若函数在上单调递增，所以函数在上为增函数， 任取、且，则 ， 因为、且，则，， 故只需，故， 且有，即，解得， 故当在上单调递增时，， 因为是的真子集， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 7. 已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数对称性与偶函数性质转化自变量，再结合单调性比较函数值的大小. 【详解】由，可知函数关于直线对称，即. 因为是定义在上的偶函数，所以. 因为在上单调递减，偶函数的图像关于轴对称，所以在上单调递增， 又，所以，即. 8. 设是定义在上的不恒为0的函数，且满足：①，；②当时，．则下列结论错误的是（ ） A. B. ， C. 在上是减函数 D. 的最小值为2 【答案】D 【解析】 【详解】令，，得，则或． 若，令，则对，， 这与“是定义在上的不恒为0的函数”矛盾， ，故A正确； 当时，由②可知； 当时，由选项A可知，； 当时，，由②可知， 令，，则，故； 综上，，，故B正确； 对，且，则，由②得， ，即， 在上为减函数，从而在上是减函数，故C正确； 在开区间上为减函数，没有最小值，故D错误． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式恒成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由不等式的基本性质判断各个选项. 【详解】因为且，所以，A选项正确； 因为，所以，B选项正确； 因为，所以，所以，C选项正确； 当时，，，此时，D选项错误. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式和二次函数的性质对选项逐个判断即可. 【详解】对于A选项，因为，所以，即， 解得，当且仅当，时等号成立； 对于B选项，因为，所以， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 由二次函数的性质可得，当时，上式取得最小值为，故C正确； 对于D选项，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，故D错误. 11. 函数的定义域为，值域为，区域，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若表示一个正方形区域，则该区域的面积为 D. 存在无数个，使得不等式对恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】A问题化为恒成立，求参数范围；B由根式型函数值域及二次函数性质求参数范围；C由题设有，结合一元二次不等式确定定义域和值域，由正方形性质得，即可判断；D利用配方法及放缩判断时不等式是否恒成立，即可判断. 【详解】A：若，则恒成立， 显然时，成立， 时， ， 故，正确； ：由已知，则，错误； C：若表示一个正方形区域，则， 设的解集为， ， 又，所以， 解得， 此时，故该区域的面积为，正确； ：当时，，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由得出，再求. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 已知函数满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先用替换原式中的，联立求出的表达式，代入求出的值即可. 【详解】由①，可得②， 联立①②，解得，所以. 14. 已知非空集合，，若函数为偶函数，则A的元素个数最多可能值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用偶函数定义，对与是否属于集合进行分类讨论，从而确定中元素应满足的条件，并求元素个数的最大值. 【详解】因为为偶函数，所以对任意，有. 当时，. （i）若，则. 由得. 故可以属于. （ii）若，则. 由得，解得. 因此，的元素只可能是. 经验证，当时，为偶函数，此时的元素个数为，且无法再添加其他元素. 故的元素个数最多可能值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合， （1）若，求和； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集、交集、并集的定义进行求解即可； （2）根据集合交集的运算性质，结合分类讨论思想进行求解即可. 【小问1详解】 当时，，∴， 或， ∴； 【小问2详解】 若，则 ①时，即，即，满足： ②时，则满足，或，解得 综上可得，实数a的取值范围为 16. 已知函数，且其定义域为． （1）判定函数的奇偶性； （2）定义法证明：在上单调递减； （3）解不等式． 【答案】（1）为奇函数 （2）证明：任取， 所以， 则， 所以，故在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，判断函数为奇函数即可； （2）根据单调性的定义，证明函数单调性即可； （3）根据奇函数的性质，和函数单调递减的性质，列出不等式组，求出参数范围即可. 【小问1详解】 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 17. 已知函数. （1）若存在实数x，使得不等式成立，求实数a的取值范围； （2），恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式有解的情况，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据不等式恒成立的条件，构造函数，根据函数单调性，求出函数最小值，进而判断参数的范围. 【小问1详解】 由题意不等式有解，即有解， 当时，可得，解得，符合题意， 当时，由题意需使，解得， 当时，抛物线开口向上，显然符合题意； 综上：实数a的取值范围是； 【小问2详解】 ，即为，即， 令，得，所以， 由函数解析式可知在单调递减，所以的最小值为2， 所以，即实数k的取值范围为. 18. 2025年第12届世界运动会于8月7日至8月17日在中国四川省成都市举行，是中国大陆第一次举办世界运动会，吸引了116个国家和地区近4000名运动员参赛，促进了体育与城市发展的融合.据调查，国内某公司出售一款2025年成都运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设订购的产品全部售出，且每件产品的最高售价为80元.若定价为最高售价，最多可以售出15万件，且定价每降1元，销量增加五千件.若订购该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若订购30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. （1）写出利润（万元）关于销量（万件）的函数解析式； （2）销量为多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】（1）； （2）销量为40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 【解析】 【分析】（1）根据已知依次写出、、对应的解析式，再用分段形式表示出来即可； （2）根据一次函数、二次函数的性质及应用基本不等式求最值，比较大小，即可得. 【小问1详解】 当时，， 当时，不妨设降价元，则，故， 因此， 当时，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元， 而，所以当销量为40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 19. 对于函数，当时，的取值范围是，则称为的“倍跟随区间”，当时，称是函数的“保值区间”. （1）求证：是函数的一个“保值区间”； （2）求证：函数不存在“保值区间”； （3）若函数存在“倍跟随区间”，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的单调性求出函数在区间上的值域，可证得结论成立； （2）设是已知函数的定义域的子集，可知或，利用函数的单调性可得出关于、的方程组，判断方程组无解可证得结论成立； （3）利用题中定义可得，变形可得，，通过换元可知函数在区间上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：易知在区间上单调递增，又，， 所以，在区间上的值域为， 所以，区间是的一个“保值区间”. 【小问2详解】 解：设是已知函数的定义域的子集. 由，可得或， 因为函数在上单调递减. 若是函数的“保值区间”， 则，所以，， 因为，显然方程组无解，故函数不存在“保值区间”. 【小问3详解】 解：若函数存在“倍跟随区间”， 因为为减函数，故由“倍跟随区间”的定义可知， 两式相减得，，即， ，则，所以， 则， 设代入整理得， 同理代入整理得， 即在区间上有两个不等的零点， 故，解得. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第六中学2026级高一上学期数学期中考试 本试卷共2面，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集个数为（     ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（     ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上的不恒为0的函数，且满足：①，；②当时，．则下列结论错误的是（ ） A. B. ， C. 在上是减函数 D. 的最小值为2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式恒成立的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 函数的定义域为，值域为，区域，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若表示一个正方形区域，则该区域的面积为 D. 存在无数个，使得不等式对恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象过点，则__________． 13. 已知函数满足，则________. 14. 已知非空集合，，若函数为偶函数，则A的元素个数最多可能值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合， （1）若，求和； （2）若，求实数a的取值范围. 16. 已知函数，且其定义域为． （1）判定函数的奇偶性； （2）定义法证明：在上单调递减； （3）解不等式． 17. 已知函数. （1）若存在实数x，使得不等式成立，求实数a的取值范围； （2），恒成立，求实数k的取值范围. 18. 2025年第12届世界运动会于8月7日至8月17日在中国四川省成都市举行，是中国大陆第一次举办世界运动会，吸引了116个国家和地区近4000名运动员参赛，促进了体育与城市发展的融合.据调查，国内某公司出售一款2025年成都运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设订购的产品全部售出，且每件产品的最高售价为80元.若定价为最高售价，最多可以售出15万件，且定价每降1元，销量增加五千件.若订购该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若订购30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. （1）写出利润（万元）关于销量（万件）的函数解析式； （2）销量为多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 19. 对于函数，当时，的取值范围是，则称为的“倍跟随区间”，当时，称是函数的“保值区间”. （1）求证：是函数的一个“保值区间”； （2）求证：函数不存在“保值区间”； （3）若函数存在“倍跟随区间”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $