精品解析：广东实验中学教育集团2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年 广东实验中学教育集团高一11月期中考 一、单选题（共8小题每题5分 共40分） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则的所有子集中的元素之和为（ ） A. B. C. D. 3. 已知且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 6. 已知，若关于的不等式解集中的整数恰有3个，则（ ） A. B. C. D. 7. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍 A. 264 B. 266 C. 268 D. 270 8. 已知函数，若，且.，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题每题6分 共18分） 9. 下列四组函数中表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 函数有2个零点 C. 函数有2个零点 D. 若，且，则的取值范围为 三、填空题（共3小题每题5分 共15分） 12. 函数（常数且）图象恒过定点P，则P的坐标为__． 13. 已知，则___________． 14. 若存在实数，使得对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（共5小题 共77分） 15. 已知函数. （1）函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 17. 新能源汽车离不开好的动力电池．某汽车企业积极自主研发，耗费资金2亿元成功研发出了两种型号的动力电池．现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A型动力电池的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入2亿元，公司获得毛收入0.5亿元；生产B型动力电池的毛收入y（亿元）与投入的资金x（亿元）的函数关系为，其图象如图所示． （1）试分别求出生产两种型号产品的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； （2）如果公司只生产一种型号产品，那么生产哪种型号产品毛收入更大？ （3）现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种产品．设投入亿元生产型产品，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润型产品毛收入型产品毛收入－研发耗费资金） 18. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 19. 俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得，则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. （1）函数，，，求，的偏差以及偏差点； （2）函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； （3）证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年 广东实验中学教育集团高一11月期中考 一、单选题（共8小题每题5分 共40分） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题“”是存在量词命题， 其否定为全称量词命题，是：. 2. 已知集合，则的所有子集中的元素之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 3. 已知且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即可得解. 【详解】由题意可知，a、b、，且 A：若，满足，则，故A错误； B：若，满足，则，故B错误； C：若，则，故C错误； D：，故D正确. 故选：D 4. 已知且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，求出结合条件可得结果. 【详解】设，可得， 解得，， 因为可得， 所以. 故选：C. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域列出相应不等式，求解可得函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以. 所以函数的定义域为. 故选：B. 6. 已知，若关于的不等式解集中的整数恰有3个，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式化为，由题设分析可得，解出不等式，进而得到，进而求解即可. 【详解】由，则， 即，则， 由于不等式的解集中的整数恰有3个， 因此该不等式一定为一元二次不等式，且， 又，则， 而不等式可变形为，解得， 而，则，即， 所以，则. 7. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍 A. 264 B. 266 C. 268 D. 270 【答案】A 【解析】 【分析】设天后进步的是落后的200倍，则，利用指对数运算求解即可. 【详解】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 8. 已知函数，若，且.，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，由数形结合的方法可知，由对称性知，，将所求式化为，利用对号函数单调性可求得所求范围. 【详解】由解析式可得图象如下图所示： 设，由图象可知：， ， 又关于对称，； 由得：，即，， 在上单调递增，， . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的相关知识，解题关键是能够利用数形结合的方式确定所处的范围及对称关系，由此化简所求式，得到一个关于某一变量的函数的形式，利用函数值域的求解方法求得结果. 二、多选题（共3小题每题6分 共18分） 9. 下列四组函数中表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的定义域和对应关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】A中，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数； B，C中，函数的解析式相同，定义域也相同，所以为同一函数； D中，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：BC. 10. 已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设公共值转化方程并用对数值表示，分析参数趋向两端无穷时三者的大小趋势，得到两种序关系；时得；构造辅助函数，用定义判断函数的单调性从而证明C选项中的关系不可能出现. 【详解】设， 则，， ，其中， 令，则， ，，， 当时，，，， 此时，选项D成立； 当时，， 因为，所以，即，选项A成立； 当时，， C选项，，即， ①， 先解，，解得， 再解， ， 任取， 则 因为，所以，则， 所以， 因为，所以，， 即， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，即， 此结果与①中互相矛盾， 不存在使得，选项C错误. 11. 如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 函数有2个零点 C. 函数有2个零点 D. 若，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由的图象与直线，函数的图象和函数的图象的交点个数可判断ABC；结合的图象解不等式可判断D. 【详解】对于A，的图象与直线有2个公共点，所以函数有2个零点，A正确. 对于B，的图象与函数的图象有2个公共点， 所以函数有2个零点，B正确. 对于C，如下图，的图象与函数的图象有1个公共点， 所以函数仅有1个零点，C错误. 对于D，函数，且的图象经过定点， 当时，，不合题意； 当时，是增函数， 所以，得，所以的取值范围为，D正确. 三、填空题（共3小题每题5分 共15分） 12. 函数（常数且）图象恒过定点P，则P的坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数的运算性质进行求解即可. 【详解】当时，，所以P的坐标为， 故答案为： 13. 已知，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】两边平方后，求出答案. 【详解】因为，所以，即． 故答案为：3 14. 若存在实数，使得对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】去掉绝对值，先把不等式转化成，根据的存在性和的任意性，进一步将问题转化成，根据，分、两种情况讨论即可. 【详解】由题意知存在实数，使得对任意的，都有， 即， 即成立， 设，， 则题意等价于存在实数，使得，所以， 即， 当时，显然在上单调递增， 则，解得，所以； 当时， 根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， （ⅰ）当时，在上单调递增， ，， 由，解得，所以． （ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增， ，． 因为，所以， 解得，所以． （ⅲ）当时，在上单调递减， ，． 由，解得，与矛盾． 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题（共5小题 共77分） 15. 已知函数. （1）函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）最大值为1，最小值为. 【解析】 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用交集的定义可求出； （2）由题意得，然后列不等式组可求得答案. 【小问1详解】 当时，， 所以或， 因为， 故或. 【小问2详解】 因为是的充分条件，所以 所以， 解得 ， 所以的取值范围为. 17. 新能源汽车离不开好的动力电池．某汽车企业积极自主研发，耗费资金2亿元成功研发出了两种型号的动力电池．现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A型动力电池的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入2亿元，公司获得毛收入0.5亿元；生产B型动力电池的毛收入y（亿元）与投入的资金x（亿元）的函数关系为，其图象如图所示． （1）试分别求出生产两种型号产品的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； （2）如果公司只生产一种型号产品，那么生产哪种型号产品毛收入更大？ （3）现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种产品．设投入亿元生产型产品，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润型产品毛收入型产品毛收入－研发耗费资金） 【答案】（1） （2）当亿元时，生产型产品的毛收入更大；当亿元时，生产，型产品的毛收入相等；当亿元时，生产B型产品的毛收入更大． （3）亿元时，公司所获净利润最大，最大净利润为12亿元． 【解析】 【小问1详解】 设投入资金亿元，则生产A型产品的毛收入， 将，代入，得，解得， 所以生产B型产品的毛收入． 【小问2详解】 由，得；由，得；由，得， ∴当亿元时，生产型产品的毛收入更大； 当亿元时，生产，型产品的毛收入相等； 当亿元时，生产B型产品的毛收入更大． 【小问3详解】 依题意，投入亿元生产B型产品，则投入亿元资金生产A型产品， 公司所获净利润 ， 当且仅当，即时取等号， 所以亿元时，公司所获净利润最大，最大净利润为12亿元． 18. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有，解得，即， 所以的值是1. 【小问3详解】 由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即，解得； ②当时，在上单调递减，则， 即，解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得，则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. （1）函数，，，求，的偏差以及偏差点； （2）函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； （3）证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 【答案】（1）偏差为，偏差点为； （2）偏差最小值为；此时； （3）法1：要证是在上切比雪夫意义下的最佳逼近直线， 则恒成立， 令， 因为，所以只要证， 即证，设， 则，，，所以， 即，当且仅当，即，等号成立. 法2：假设存在另一条直线，它与函数，的偏差小于， 则对于任意有，即（1），（2）， （3），由（1）（3）得，由（2）（3）得矛盾， 所以假设不成立，从而直线是函数在上的最佳逼近直线. 法3，令. 当，，其最大值只会在区间端点处产生，则， 表示到数轴上两数距离的最大值，为使该最大值最小，则取数轴上两数对应点中点对应数 1， 从而此时，取等号时； 当，，则其最大值可能在时产生， 从而，表示到数轴上数字距离的最大值. 为使该最大值最小，则应取三者中最大，最小两数所对应两点中点处所对应的数. 若，则，则此时， 当且仅当时取等号； 若，且，即时，，因，由双勾函数性质 可得，则，取等号时； 当时，注意到，则此时. 综上的最小值为，对应，即为的最佳逼近直线. 【解析】 【分析】（1）根据“偏差”的概念，一元二次函数的性质，即可求解； （2）根据“偏差”的概念，利用函数的单调性，分类讨论，即可求解； （3）根据“偏差”的概念，建立函数模型，通过函数思想，即可求解．法1，只要证即可；法2，利用反证法，证明不存在直线与函数，的偏差小于即可；法3，分类讨论的取值情况，求解，即可完成证明. 【小问1详解】 记， 当时，又， 故，所以偏差为，偏差点为； 【小问2详解】 设， 当时，， 所以 ， 要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为. 【小问3详解】 略. 【点睛】本题涉及概念：切比雪夫最佳逼近直线，求解切比雪夫最佳逼近直线的关键为去掉绝对值和分类讨论，此外进一步学习之后，也可以用切比雪夫交错定理解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $