四川成都七中万达学校2026-2027学年上学期高二期中考试数学试卷

成都七中万达学校2026一-2027学年上期高2025级半期考试 数学 参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 6 1 8 答案 C B c 叹 B A D c 题号 9 10 11 12 13 14 答案 BD AD ABD 0 (x-5)2+y2=16 3 8.C 法一参数法（设Q的参数） 设P(3,5t,5t)(0≤t≤1)，Q(10cos6,10sin6,0).由两点间距离公式展开： Pg2=(3-10cos02+(5t-10sin0)2+25P=109+50rP-(60cos0+100tsin0). 由辅助角公式acos0+bsing=√：+bsin(0+p)≤√e+F,得 60cos6+100tsin0≤√3600+10000t=20W9+25f, 故P9≥109+502-20W9+25.令u=√9+25F∈[3，√34]，则50P=22-18,于是 PQ≥22-20u+91=2(u-52+41≥41. 因为5e[3,V34],故u=5(即t=号)时取到最小值，POm=④（此时P3,4,4),O6,8,0) 法二几何法（先定Q的最优位置） P在xOy平面上的投影为P'(3,5t,0),高度h=5t.对固定的P,圆上到P最近的点Q落在射线OP上， 于是PQ=(u-10)2+2,其中u=OP=√9+25f.由坐标直接算得2-？=(9+25t2)-25P=9,即= -9,故PQP=(u-102+2-9=2(u-5)+41.u∈[3，√34]且5在区间内，故最小值为√4I 11.ABD 当x≥0，y≥0时，曲线C:x2+y2=2x+2y,整理化简可得(x-1)2+(y-1)2=2,表示圆 4 心为(1,1)，半径为√2的半圆，同理可得当x≥0，y<0时，(x-1)2+(y+1)2=2,表示 半径为√2，圆心为(1，-1)的半圆， 当x<0,y≥0时，(x+1)2+(y-1)2=2,表示半径为√2，圆心为(-1,1)的半圆， 当x<0,y<0时，(x+1)2+(y+1)2=2,表示半径为√2，圆心为(-1，-1)的半圆，作出 曲线图形， 对于A,当x≥0，y≥0时，曲线C:(x-1)2+(y-1)2=2,那么过点(2,2)，同理曲线还过(2，-2)，（-2， -2,(-2,2),(2,0),(0,2),（-2,0),(0,-2),共8个整数点，因此A正确： 对于B,曲线围成的图形的面积为2×π×（√2）P+2W2×2√2=8+4π，因此B正确： 对于C,曲线C上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即为2√2+2√2=4√2>4， 因此C错误： 数学答案第1页共4页 对于D,由于点P,m到直线x十y一6=0的距离d=m+-6,因此m+n-6=√2d,当d最小时， √2 易得点P(,)在曲线C的第一象限图象上，且最小距离为圆心(1,1)到直线x+y-6=0的距离减去半径， 因此4=1+16-V2=2W2-V2=V2,因此|m+n-6=2dm=2,因此D正确 V2 14.3 法一相切圆法（米勒定理）：当且仅当过A,B的圆与x轴相切于P时∠APB最大.AB的中垂线为y= -x+5,设圆心(a,5-a),由(a-12+(a-32=(5-a2得a=3或a=-5；a=3时切点为(3,0)，此时 ∠APB=45,比a=-5时的视角大. 法三到角公式：设PGo,=己，则m∠5- 2+1因- 1+kpakpB P-4t+11 4t+11=(t-22+7>0恒成立.当t>-1时，令3=t+1>0,则t=s-1,分母化为s2-6s+16,于是 tan∠APB=，2s s2-6r+165+16-6 2一.由基本不等式s+16≥2W16=8(s>0,当s=4时取等)，得an∠APB ≤326=1，即∠4PB≤45，等号在5=4即1-3时成立当1<-1时，令y=-+1)≥0，同理化为 S-2 ,兰65。一宁·权角更个故发大视角方5，此时P领标为： 15.(13分) 1)由81.0叭、c5,2)得：-智-分故8Cy-号x-10.即x-2-1-0 (2)AB的方程为x-y-1=0.设A(4,3)关于BC:x-2y-1=0的对称点为A',由点线距离式得 5,号》所求直线过B1,0)与，斜率k=行故y=号-，-y-1=0. (3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入三点解得D=-6、E=-2、F=5, 故标准方程为(x-32+(y-1)2=5. 16.(15分) (1)在直观图中：F在B的正上方，G在C的正上方，H在D的正上方. 以A为原点，AB、AD、AE所在直线分别为x,y,z轴建系，棱长设为2，则A(0,0,0), B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(0,0,2),G(2,2,2),H(0,2,2),且M(2,1,0)、N(1,2,2). 平面BDH中，BD=(-2,2,0),B五=（-2,2,2)，法向量可取i=(1,1,0) M=(-1,1,2),MNi=-1+1+0=0,故MN∥平面BDH或NC平面BDH;又点M满足x+y=3≠ 2,不在该平面内，故MN∥平面BDH. (2)平面AEG中，A正=(0,0,2)，AG=(2,2,2),法向量可取元=(-1,1,0). 平面MEG中，EM=(2,1,-2),EG=(2,2,0),法向量可取=(2，-2,1).两法向量夹角余弦的绝对值为 i-上2-2-22.枚平面ABG与平面GM所成角的余弦值为2 2×3 3 3 数学答案第2页共4页 17.(15分) (1)各组频率之和为1，即10(a+b+0.040+0.010)=1,故a+b=0.05; 又10b-10a=0.2,即b-a=0.02.联立解得a=0.015,b=0.035. (2)前两组频率之和为0.15+0.35=0.50，前三组为0.90，故70%分位数落在(80,90]内. 设其为x,则80+0.70050×10=85，即4等车的分数线为85分. 0.40 (3)超过80分的两组频率为0.40与0.10，按比例分层抽样抽5辆，则(80,90]抽4辆、（90,100]抽1辆. 把前4辆记为4，，g,a4,后1辆记为b.从5辆中任取2辆，共10种：4、44、14、a1b; a4b;sa44b;a4b.其中两辆都不超过90分，即不含b的共6种：4、4、a44、4g、aa4 4故所求概率为0=了 63 18.(17分) (1)因为EO∥CD,两条平行线确定一个平面a,故C,D,E,Q四点共面，又D、E都在平面AD内，也 在《内，故《与平面PAD的交线为DE.已知CQ∥平面AD,且CQC&,由直线与平面平行的性质定理得 CQ∥DE. (2)平面PCD⊥平面ABCD,交线为CD.在平面PCD内过P作PH⊥CD于H,由面面垂直的性质定理得 PH⊥平面ABCD.因为∠PDC=120>90,所以H落在DC的反向延长线上（若H落在线段DC内，则 ∠PDC会是锐角)，且∠PDH=180°-120=60. 在Rt△PHD中，PD=2,故DH=2cos60=1,PH=2sin60=√3.以D为原点，DC所在直线为x轴，底 面ABCD为xDy平面，z轴沿HP方向.由CD=2得C(2,0,0):由H在DC的反向延长线上、DH=1得 H(-1,0,0),从而P(-1,0,3). 由BC⊥AB且AB∥CD得BC⊥CD,故BC沿y轴方向，B=C+(0,2,0)=(2,2,0): 又AB∥DC且AB=3,故A=B-(3,0,0)=(-1,2,0). 所以D(0,0,0),C(2,0,0),B(2,2,0),A(-1,2,0),P(-1,0,3). PB=(3,2,-√3)，PC=(3,0,-√3).设i=(x,y,z),则3.x+2y-√3z=0,3x-√3z=0, 由第二式得z=3x,代入第一式得y=0.取x=3,得z=3,故=(W3,0,3),=3+0+9=23, C=(-3,2,0),故d= n.CA -_5×-3》+0x2+3×0-=子，所以，点A到平面PBC的距离为 2√3 2√3 3 2 3)由(I)知CDB0为平行四边形，故BO=CD=2:又0∥AB,由△PB0一△2AB得P0=子丽. 由4(-12.0叭、B22.0叭、C2.00)得g1,号，9)平面40c的法向量可取i=(2w5,3v3.6, AB.i 园=53：AB=(3,0,0).故sin0= 6W3 2 A 3X5√5=5 数学答案第3页共4页 19.(17分) 圆M:x2+y2-12x-14y+60=0即(x-6)2+(y-7)2=25,圆心M(6,7),半径5. (1)设N(6,n).与x轴相切得半径r=l:与圆M外切得W=5+m,即-7=5+m. 当0<n<7时，7-n=5+n,解得n=1,r=1;其余情形无解 故圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1=1. (2)法一（联立+韦达）把y=2x+m代入圆M的方程，整理得5x2+(4-40)x+-14m+60=0,则x1 +=404m、X,=心-14+60.由y-4=2x+m一4展开数量积： 5 亚C=55+(2m-10+)+m-8m+20=号(m+名-多 放最小值为一子，此时加=一三判别式△=475>0，确有两交点》 法二（中点法）设BC的中点为D.因D为BC中点，D厉=一DC,故 AB.AC=ADP-DBP=AD-(25-MDP) 百线1的斜率恒为2，其单位法向量为三2，故D=M+e由=(4,3小、AME三5得 4.AC=(25+2W5s+s)-25+=2x+2w55=25+y5}-5 22 当5=-5时取最小值-多此时D5,空)代入2x-y+m=0得m=3 2 (3)设P(m,m、Q(x,y八、T(t,0).由+2TP=T西，即(A-T)+2(P-T)=Q-T,得x=2+2-2t,y -2n+4解得m=子之、1=是，代入P所在的圆(-6矿+加-7-25： 2 (4+2+(18了=25，即x-14+2yr+0-18°-100 所以Q的轨迹是圆：圆心(14-2t,18),半径10. O还要在圆M(圆心(6,7)、半径5)上，故上述圆与圆M有公共点，即圆心距介于半径之差与半径之和之 间：5≤√(14-2t-62+(18-7)2≤15，即25≤(8-2t)2+121≤225.左边恒成立；右边给出(8-2t)2≤104， 即(t-4)2≤26，故4-√26≤t≤4+√26.t的取值范围是[4-√26,4+√26]. 数学答案第4页共4页成都七中万达学校2026一2027学年上期高2025级半期考试 数学试卷 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选出一个正确答案.如果考生掌 握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一道题不会做，他随机地选择一个答案，则他 答对的概率为 () A号 B. c D.1 2.己知直线1的一个方向向量为(1，√3)，则直线1的倾斜角α= () A.30 B.60° C.120° D.150° 3.己知一组数据x1,x2,…,x10的平均数为5，方差为2.若令=3x-4(i=1,2,,10),则M,y2,…,0的平均 数与方差分别为 () A.15和6 B.11和6 C.11和18 D.15和18 4已知直线l1:(m+2)x+3y+1=0与2：(-2)x+(+2)y-3=0垂直，则实数m的值为 A.-1或-2 B.1或-2 C.-1或2 D.1或2 5.直线1：y=k(x-3)+4被圆x2+y2=50所截得的最短弦长为 A.5 B.10 C.5v2 D.10W2 6.过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina= A.15 B.v10 c D.25 4 5 7.己知正方体ABCD-A1BC1D的棱长为2，点M满足B☑=xBA+yBD+zBC,且x+z=1-y,则B 的最小值是 () A.2W② B.23 C.4W2 D.4v3 3 3 3 3 8.在空间中，动点P在以A(3,0,0),B(3,5,5)为端点的线段上运动，动点Q在以原点为圆心、Oy平面内半 径为10的圆周上运动，则|PQ的最小值为 () A.7 B.2√10 C.√4I D.10-√34 数学试卷第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A=“第一次正面朝上”，事件B=“第二次反面朝上”，则() A.A与B互斥 B.A与B相互独立 C.A与B相等 D.P(A)=P(B) 10.关于空间向量，下列说法正确的是 A.点P(1,-2,3)关于xOy平面对称的点的坐标是(1，-2，-3) B.若a≠0，且a.b=ac,则b=d C.若三个向量，五，共面，则其中至少有两个向量共线 D.若{a,b,}是空间的一个基底，则{a+,+,+也是空间的一个基底 11.曲线C:x2+y2=2x+2y(x2+y2≠0)是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出的下列结论中正确的个数 为 () A.曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； B.曲线C围成的图形的面积是8+4π； C.曲线C上任意两点间的距离的最大值为4； D.若P(m,n)是曲线C上任意一点，则m十-6的最小值是2. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知a=(2,-3,1),3=(2,0,3),=(0,0,2),则·（⑦+=一 13.P(x,y)到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离的比等于2，则动点P的轨迹方程是 14.已知A(1,2),B(3,4),点P在x轴上移动，当∠APB取得最大值时，点P的横坐标为 四、解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.己知△ABC的三个顶点为A(4,3),B(1,0),C(5,2). (1)求边BC所在直线的方程： (2)求直线AB关于直线BC对称的直线方程： (3)求△ABC外接圆的标准方程， 数学试卷第2页共4页 16.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M,GH 的中点为N. (1)在直观图中标出点F,G,H,并证明：直线N∥平面BDH; (2)求平面AEG与平面EGM所成角的余弦值. D 17.随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了 200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布 直方图（分组区间为(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]）.已知样本中评分在(70,80]内的频率比评分 在(60,70]内的频率多0.2. (1)求a,b的值： (2)现根据频率分布直方图对所有无人快递车划定等级，规定分数不低于70%分位数的车为A等车，其 余为B等车，估计A等车的分数线； (3)为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽 取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概 率 A频率组距 0.040 0 0.010 060708090100评分1份 数学试卷第3页共4页 18.在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,AB=3,BC=CD=PD=2,∠PDC=120,平面PCD⊥平 面ABCD.若在线段PB上存在一点Q满足CQ∥平面PAD.,点E在棱PA上，满足EQ∥AB. (1)求证：CQ∥DE: P (2)求点A到平面PBC的距离： (3)求直线AB与平面AQC所成角的正弦值. E 0 19.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点 A(2,4) (1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程； (2)设直线1：y=2x+与圆M相交于不同的B,C两点，求AB·AC的最小值，并求取得最小值时m的 值； (3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得+2T=西，求实数t的取值范围. M 数学试卷第4页共4页