精品解析：四川省成都七中万达学校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

成都七中万达学校高2024级高二上半期考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 2. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 531 224 344 151 254 424 142 435 414 135 432 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.45 C. 0.5 D. 0.55 【答案】C 【解析】 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算， 知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 故选：C. 3. 点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆上 B. 在圆内 C. 在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用点与圆心的距离与半径的大小关系判断. 【详解】因为， 所以点在圆外， 故选：C 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题. 4. 如图所示，在平行六面体中，点满足，若，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的运算性质及其基本定理即可求解. 【详解】如题图，由， 而，且，，不共面，所以，，， 所以， 故选：B. 5. 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：C. 6. 已知是空间的一个基底，向量，，，且A，B，C，D四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四点共面可得存在实数，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】因为A，B，C，D四点共面， 则存在实数，使得， 又因为是空间的一个基底，且， 则，解得. 故选：B. 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【详解】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线方程求出坐标，再依据两直线垂直得出，进而利用基本不等式即可. 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 等号成立时， 故的最小值是. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（    ） A. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 B. 一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数和方差都变小 C. 一个样本的方差，则这组数据的总和等于100 D. 数据，，，．．．，的方差为M，则数据，，，…，的方差为2M 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由频率分布直方图的性质，以及数据的平均数和方程的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，根据频率分布直方图的性质，若与中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边，所以数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，所以A正确； 对于B，若一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，根据平均数和方程的性质， 则这组数据的平均数也减去a，方差不改变，所以B错误； 对于C，因为样本的方差， 可得这个样本有20个数据，平均数是5，所以这组样本数据的总和为，所以C正确； 对于D，数据，，，…，的方差为，由方程的性质，可得数据，，，…，的方差为，所以D不正确． 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 方程表示过点的所有直线 B. 已知两条直线，若，则； C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 过点的直线与以、为端点的线段有交点，则直线斜率的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程的概念，可判定A错误；根据两直线的位置关系，列出方程，求得的值，可得判定B正确；根据直线过定点，结合垂直时距离最大，求得的值，可判定C正确；根据直线的斜率公式，求得直线斜率的取值范围，可判定D错误. 【详解】对于A，方程表示过点，且斜率为的直线， 其中不包括斜率不存在的直线，所以A错误； 对于B，由直线和， 可得和， 因为，所以且，解得，所以B正确； 对于C，将直线方程变形为，由，可得， 所以直线过定点， 当直线与垂直时，点到的距离最大， 因为，则，所以C正确； 对于D，如图所示，由，， 所以由图知，或，所以斜率的取值范围是，所以D错误. 故选：BC. 11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为的中点时， B. 若在线段上运动，三棱锥的体积为定值 C. 存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，，，利用向量的坐标运算即可证明；对于，当点与点重合时，当点与点重合时，等体积法转化即可得三棱锥的体积；对于，当为中点时，平面截正方体所得的截面为正六边形，可得截面面积；对于，设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为，由可求外接球半径，根据球的表面积公式即可判断. 【详解】对于选项，以为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为，所以，故选项正确； 对于选项，当点与点重合时，如图2所示，， 当点与点重合时，如图3所示，， 所以三棱锥的体积不是定值，故选项错误； 对于选项，当为中点时，平面截正方体所得的截面为正六边形，如图4所示，其中，，为相应边的中点，则正六边形的边长为， 所以该截面的面积为，故存在点，符合题意，故选项正确； 对于选项，当为的中点时，如图5所示，易知平面， 因为，， 所以由余弦定理的推论得， 所以，设的外接圆半径为， 则，所以， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故选项正确， 故选：ACD． 第Ⅱ卷（综合题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上. 12. 已知点，点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则线段BC的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、点坐标，再由距离公式计算可得. 【详解】因为点，点与点关于平面对称，所以， 又点与点关于轴对称，所以， 所以. 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，已知圆，，，若，均为正整数，且圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】设圆上任意一点，从而，对比圆的方程，结合，即可求解. 【详解】由题意设圆上任意一点，则， 所以， 整理后． 展开圆的方程：， 所以， 从而， 又知且，均为正整数，则，所以， 代入，得． 故答案为：10． 14. 小王一次买了两串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，另一串有三颗冰糖葫芦．若小王每次随机从其中一串吃一颗，则只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意将问题等价转换为满足题意的间隔插空或者捆绑插空的概率，即可求解. 【详解】将串在一起的两颗冰糖葫芦编号为1，2（最下面那颗），串在一起的三颗冰糖葫芦编号为3，4，5（最下面那颗）， 符合要求的顺序及对应的概率可以为以下几种： 按照的顺序，概率为； 按照或的顺序，概率为； 按照或或的顺序，概率为； 所以符合题意得概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将问题等价转换为间隔插空或者捆绑插空是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球､定点高远球､吊球､杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数； （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和为1求出的值，根据百分位数的定义列出方程，求解即得； （2）利用分层抽样方法确定从两组中应抽取的数目，设出样本点，列出试验所含的样本空间和事件包含的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 因为， ， 设第60百分位数为，则， 解得，即第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为， 在的有人，设为. 则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为： ，， 设事件“两人得分分别来自和”， 则， 因此 所以两人得分分别来自和的概率为. 16. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点 （1）证明：平面； （2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示， 为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，易知，又，得. 由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有. 如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则有，， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，有，得， ， 设点到平面的距离为， . 17. 的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ），轨迹是以为圆心，半径为的圆． 【解析】 【分析】（1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）（ⅰ）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程； （ⅱ）设，点，由，求得，根据在圆上运动，得到，代入，即可求解. 【小问1详解】 解：设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为， 又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为. 【小问2详解】 解：（ⅰ）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （ⅱ）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 18. 某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接. 已知元件正常工作的概率为，元件，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.线路是否正常工作仅由元件决定.指示灯是否正常对电路不影响. （1）记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”，若时， ①求； ②求一个模块中恰好有一个指示灯亮的概率； （2）该器件由上述2个相互独立的模块构成，只有在器件中至少有一个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件（共4个模块），新器件至少有2个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由. 【答案】（1）①，； ②； （2）新器件正常工作的概率小于原器件正常工作的概率.理由如下： 设每个模块中指示灯b亮的概率为q，则，由0 < p < 1，得， 原器件：由2个独立模块构成，正常工作需至少一个模块指示灯 ( b ) 亮， 原器件正常工作的概率为， 新器件：由4个独立模块构成，正常工作需至少2个模块指示灯 ( b ) 亮， 新器件正常工作的概率为， 因此， 而，则，，即， 所以新器件正常工作的概率小于原器件正常工作的概率. 【解析】 【分析】（1）①根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式列式计算；②将所求概率的事件分拆成相互独立事件的积，再利用公式求出概率. （2）根据给定条件，求出新旧器件正常工作的概率，再作差比较大小即得. 【小问1详解】 记事件表示元件正常工作，， ① ， . ②恰好一个指示灯亮的唯一可能情况是 ( a ) 不亮而 ( b ) 亮，即正常、 异常、 正常， 记事件C表示“一个模块中恰好有一个指示灯亮”， 因此：. 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面; （2）若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1） 在四棱锥中，由，且，可得， 所以，，因为，且平面， 所以平面，即平面， （2）存在，，理由如下： 因为，以为原点，以所在的直线分别为轴和轴， 以过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由，可得，则是二面角的平面角， 又由，即，又，且平面，所以平面，所以， 由，得分别是中点， 又由，可得， 令，则， 可得， 设平面的法向量，则， 取，可得，所以， 又由平面的法向量为， 因此，解得或（舍去）， 所以在线段上存在一点满足题意，此时. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面； （2）以为原点，，建立空间直角坐标系，令，得到和，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案； （3）设，得到，求得的值，求得，再由平面的法向量为，利用向量的夹角公式，列出方程，求得，结合函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）中空间直角坐标系，知， 设，其中， 则，由，得， 解得，即，则， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，又由且，即， 由平面的法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 则， 令，因函数在上递减，， 因此，而，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中万达学校高2024级高二上半期考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 531 224 344 151 254 424 142 435 414 135 432 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.45 C. 0.5 D. 0.55 3. 点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆上 B. 在圆内 C. 在圆外 D. 不能确定 4. 如图所示，在平行六面体中，点满足，若，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 5. 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是空间的一个基底，向量，，，且A，B，C，D四点共面，则（ ） A. B. C. D. 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（    ） A. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 B. 一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数和方差都变小 C. 一个样本的方差，则这组数据的总和等于100 D. 数据，，，．．．，的方差为M，则数据，，，…，的方差为2M 10. 下列说法正确的是（    ） A. 方程表示过点的所有直线 B. 已知两条直线，若，则； C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 过点的直线与以、为端点的线段有交点，则直线斜率的取值范围是 11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为的中点时， B. 若在线段上运动，三棱锥的体积为定值 C. 存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 第Ⅱ卷（综合题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上. 12. 已知点，点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则线段BC的长为_______ 13. 在平面直角坐标系中，已知圆，，，若，均为正整数，且圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，则______． 14. 小王一次买了两串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，另一串有三颗冰糖葫芦．若小王每次随机从其中一串吃一颗，则只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球､定点高远球､吊球､杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数； （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； 16. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点 （1）证明：平面； （2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 17. 的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 18. 某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接. 已知元件正常工作的概率为，元件，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.线路是否正常工作仅由元件决定.指示灯是否正常对电路不影响. （1）记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”，若时， ①求； ②求一个模块中恰好有一个指示灯亮的概率； （2）该器件由上述2个相互独立的模块构成，只有在器件中至少有一个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件（共4个模块），新器件至少有2个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由. 19. 如图，在中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面; （2）若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $