精品解析：北京市第四十三中学2026-2027学年第一学期期中考试高二年级数学试卷

北京市第四十三中学2026-2027学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 （时间：120分钟） 2026.11 考生须知： 1.本试卷共3页，三道大题，21道小题.满分150分.考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和教育ID号. 3.试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.考试结束时，将答题卡按考场座位顺序上交. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 空间任意四个点、、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 根据空间向量的线性运算法则得 . 2. 已知向量，，且，那么实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行关系可知，由向量坐标运算可构造方程求得结果. 【详解】，，，解得：. 故选：B. 3. 已知圆的方程是，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出该圆的圆心坐标与半径. 【详解】圆的标准方程为，所以，该圆的圆心坐标为，半径为. 故选：D. 4. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 5. 已知圆：，直线：，则直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先根据圆的一般方程求圆心和半径,再结合半径,弦长和圆心到直线距离的关系式,计算即可. 【详解】已知圆：,所以圆心,半径为, 圆心到直线：的距离 所以直线被圆所截得的弦长为 故选:. 6. 椭圆 的一个焦点是 ，那么 等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，且焦点在轴上，再由的关系求解即可 【详解】因为椭圆 的一个焦点是 ， 所以，且焦点在轴上， 所以 ， 故选：B 7. 一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 8. “”是“直线与直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出当时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】当时，，即，解得或. 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时. 因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 9. 已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆上的点到一条直线距离的最大值等于圆心到此直线距离与半径和，根据恒过的定点，过圆心作直线的垂线，垂足为，得知点的轨迹为以为直径的圆，则求解. 【详解】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为， 则点到直线的距离为，所以， 又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆， 则，所以 故选：B 10. 曲线.给出下列结论: ①曲线关于原点对称; ②曲线上任意一点到原点的距离不小于1; ③曲线只经过个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中,所有正确结论的序号是 A. ①② B. ② C. ②③ D. ③ 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，化简后可确定①的真假性.对分成等种情况进行分类讨论，得出，由此判断曲线上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线的两个整点，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确. 【详解】①，将代入曲线，得，与原方程不相等，所以曲线不关于原点对称，故①错误. ②，对于曲线，由于，所以，所以对于任意一个，只有唯一确定的和它对应.函数是单调递减函数.当时，有唯一确定的；当时，有唯一确定的.所以曲线过点，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于.当时，，所以.当时，，所以.当时，，且 ， 所以. 综上所述，曲线上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确. ③，由②的分析可知，曲线过点，这是两个整点.由可得，当且时，若为整数，必定不是某个整数的三次方根，所以曲线只经过两个整点.故③正确. 综上所述，正确的为②③. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由向量的线性运算求出 的坐标，再代入空间向量的模长公式计算即可. 【详解】由题意，. 所以 . 12. 已知直线过点，倾斜角为120°，则该直线的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据倾斜角求出斜率，再利用点斜式写出方程并化为一般式． 【详解】由直线的倾斜角可得斜率． 直线经过点，由点斜式得． 整理得． 13. 已知直线与圆交于两点，则线段的垂直平分线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】圆，可化为，圆心为. 直线的斜率. 弦的垂直平分线与直线垂直，由，得. 弦的垂直平分线过圆心， 所以弦的垂直平分线方程为，即. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求出，在中利用直角三角形面积公式求解即可. 【详解】 在椭圆中，，. ，所以，，. 由，，得. 在中，由，得， 所以是直角三角形，， 故. 15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论： ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以为顶点，为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，利用空间坐标即可求解. 【详解】对于①，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间距离，而，所以的最小值为； 对于②，，而，所以四面体的体积为； 对于③，由题意可知，当与重合，与重合时， ，又根据正方体性质可知，，所以当为中点，与重合时，此时，故与垂直的不唯一，③错误； 对于④，当为等边三角形时，，则此时.所以只需要与的夹角能等于即可. 以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图， 设，则由题意可得，，，则可得，，则，整理可得，该方程看成关于的二次函数，，所以存在使得为等边三角形. 故答案为：①②④ 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知两点，，直线． （1）若直线经过点，且与直线平行，求直线的方程； （2）设点是直线上任意一点，求线段的最小值； （3）一束光线从点射向直线，反射后经过点，求光线从点到点走过的路程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系求出直线，结合直线的点斜式方程求解即可. （2）根据点到直线的距离公式求解即可. （3）根据点关于直线的对称性，结合两点间的距离公式求解即可. 【小问1详解】 直线的斜率. 因为直线与直线平行，所以. 又直线经过点，所以的方程为，即. 【小问2详解】 易知线段的最小值即为点到直线的距离. 直线的方程可化为， 点到直线的距离为. 因此线段的最小值为. 【小问3详解】 设点关于直线的对称点为，连接，交直线于点，连接， 则，因此光线的总路程，即. 设，则，即，所以，即. 又线段的中点在直线上，的中点坐标为， 所以，整理得. 联立，解得，即. 点到的距离：. 因此光线从点到点走过的路程为. 17. 已知圆的方程为，点． （1）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； （2）若点在圆上，求的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）明确圆的圆心坐标与半径，分切线斜率不存在、存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径求解切线方程即可. （2）利用的几何意义（圆上点到原点距离的平方），结合圆的性质求原点到圆上点的最小距离，再平方求解即可. 【小问1详解】 由圆的方程，可得圆心，半径. ①当直线的斜率不存在时，直线方程为. 圆心到直线的距离：，故是圆的一条切线. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 因为直线与圆相切，则. 对等式两边平方得，整理得，解得. 将代入所设直线方程，整理得. 综上，直线的方程为或. 【小问2详解】 表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，即. 原点到圆心的距离：. 由于，所以原点在圆的外部， 因此圆上的点到原点的最小距离为：. 因此的最小值为：. 18. 如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形． （1）求证：平面； （2）若平面，，，，求二面角的余弦值： （3）在（2）的前提下，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：过C作交于G点， 因为，所以四边形为平行四边形，则， 又四边形为平行四边形，所以， 所以，则四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定结合线面平行的判定证明即可； （2）根据题意判定线线垂直，构造合适的空间直角坐标系，再求出两平面法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得； （3）利用点面距离公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 又，所以三条线两两垂直， 即可以以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，即， 易知平面的一个法向量为， 二面角的平面角为锐角， 设二面角的一个平面角为， 则； 【小问3详解】 ，则点到平面的距离. 19. 如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：；条件②：． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）选①或②，都能得到，，然后如图以 为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求线线角即可； （2）以 为原点建立空间直角坐标系，设 ，利用向量方法得到直线与平面所成角，列出方程求解即可. 【小问1详解】 若选择①，因 平面 ， 平面 ，则 ， 又 ， 平面 ，，则 平面 ， 又 平面 ，则 ； 若选择②，作 ，交 于 ，又 ，则四边形 是平行四边形， 则 ，又 ，则 ， 则在 中，，得 ，又 ，则 . 即两两垂直，则可以为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则 ，，，， 得 ，， 则直线 与 所成角的余弦值为：. 【小问2详解】 因点 在线段 上，则设 ，其中 ， 又 ，，，， 则 ， ，， 设平面 法向量为 ， 则 ，故可取 ， 则直线 与平面 所成角的正弦值为： ，解得或， 所以线段 的长为 或 . 20. 已知椭圆的离心率为，焦距为．直线与椭圆交于两点． （1）求椭圆的方程； （2）若，求实数的值； （3）设为坐标原点，先用表示的面积，然后求的最大值． 【答案】（1）， （2）， （3），最大值为. 【解析】 【小问1详解】 焦距：， 离心率：， 则，， ， 椭圆方程为：， 【小问2详解】 联立：，得：， 则：， ， 设，， 则，， ， 解得：， 【小问3详解】 原点到直线的距离， ， 令，由得， ， 令，开口向下，对称轴为， 时，， ， 即，. 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 【答案】（1）不具有性质,具有性质, （2） “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; （3） 【解析】 【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出; (2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可. (3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可. 【小问1详解】 解:由题知, 即 因为, 所以不具有性质, 由于, 即 因为 故具有性质, 因为 故; 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设 规定时,, 时,, 则, 所以, 考虑数列, , 由题设可知,他们均具有性质, 设中元素个数最小值为, 所以, 所以, 由(2)知,从而, 当时,令, 当时,令, 此时均有, 所以中元素个数的最小值为. 【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有: (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思; (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言; (3)将已知条件代入新定义的要素中; (4)结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第四十三中学2026-2027学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 （时间：120分钟） 2026.11 考生须知： 1.本试卷共3页，三道大题，21道小题.满分150分.考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和教育ID号. 3.试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.考试结束时，将答题卡按考场座位顺序上交. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 空间任意四个点、、、，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，那么实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的方程是，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 5. 已知圆：，直线：，则直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 6. 椭圆 的一个焦点是 ，那么 等于 （ ） A. B. C. D. 7. 一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. “”是“直线与直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 10. 曲线.给出下列结论: ①曲线关于原点对称; ②曲线上任意一点到原点的距离不小于1; ③曲线只经过个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中,所有正确结论的序号是 A. ①② B. ② C. ②③ D. ③ 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知，则______． 12. 已知直线过点，倾斜角为120°，则该直线的一般式方程为______． 13. 已知直线与圆交于两点，则线段的垂直平分线方程为______． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，则的面积为______． 15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论： ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知两点，，直线． （1）若直线经过点，且与直线平行，求直线的方程； （2）设点是直线上任意一点，求线段的最小值； （3）一束光线从点射向直线，反射后经过点，求光线从点到点走过的路程． 17. 已知圆的方程为，点． （1）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； （2）若点在圆上，求的最小值． 18. 如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形． （1）求证：平面； （2）若平面，，，，求二面角的余弦值： （3）在（2）的前提下，求点到平面的距离． 19. 如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：；条件②：． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长 20. 已知椭圆的离心率为，焦距为．直线与椭圆交于两点． （1）求椭圆的方程； （2）若，求实数的值； （3）设为坐标原点，先用表示的面积，然后求的最大值． 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $