精品解析：北京市北京师范大学附属实验中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

北师大实验中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 高二年级数学 考生须知 1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，答题卡共4页，满分150分.考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号. 3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 命题人：屈伸 审题人：黎栋材，刘丹，贺博 第I卷（共100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 过点、的直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由两点的斜率公式直接求出答案. 【详解】由题意知, 故选：D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程公式直接求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 则， 所以渐近线方程为， 故选： 3. 设向量，，则与，共面的向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合共面向量定理，得到共面向量的坐标，结合选项，即可求解. 【详解】设向量与共面，则存在实数使得， 即， 结合选项，选项C满足题意， 所以与共面的向量坐标可以是. 故选：C. 4. 如图，棱长为1的正方体中，（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标，利用坐标法计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以. 故选：B 5. 已知椭圆过点，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆过一点可得椭圆方程，再根据椭圆方程中的关系可得的值，从而得椭圆的焦距. 【详解】已知椭圆过点得，解得， 故椭圆方程为， 设椭圆的半焦距为，则，则， 所以该椭圆的焦距为. 故选：C. 6. 如图，三棱柱中，记向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】. 故选：A. 7. 空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面的法向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知过原点且倾斜角为的直线与直线交于点，则当在上变化时，点的轨迹长度为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出当与时直线与直线的交点坐标，再由两点的距离公式求出轨迹长度. 【详解】当时，直线的斜率，直线为， 联立，; 当时，直线的斜率，直线为， 联立，; 所以点的轨迹. 故选：D. 9. 设为坐标原点，若对于圆上的任意两点，均有，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得当圆的半径最大时，的最大值为，此时，进一步计算即可. 【详解】因为, 所以， 当圆半径最大时，角取最大值， 此时直线均与圆相切， 且，则中， , 故选： 10. 已知某圆锥的底面半径为2，高为，为该圆锥的顶点，点，，在其底面圆周上，且不是钝角三角形，记平面，，与底面所成角的大小分别为，，，若，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设和平面所成角定义取三个三角形底边的中点、记圆锥的底面圆圆心为O得到分别为平面，，与底面所成的角，再依据题设数据逐步分析求出得到O为AC中点且求出，进而得到底面即可求解. 【详解】由题意可得、和均为等腰三角形， 分别取三个三角形底边的中点，记圆锥的底面圆圆心为O， 连接， 则，底面， 所以分别为平面，，与底面所成的角， 所以， 所以由得， 所以， 所以，则即， 所以O为AC中点，且，因为平面， 所以平面底面，所以. 故选：D 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若直线与平行，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行列方程求解参数，并验证是否重合即可得结论. 【详解】直线与平行， 则，解得， 经检验，当时，两直线不重合，故. 故答案为：. 12. 单位向量，，满足，，，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积运算即可. 【详解】因为，，，， 所以，，， 所以. 故答案为：. 13. 双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则____________. 【答案】2 【解析】 【分析】先由题设和双曲线定义求出，接着由勾股定理求出，再由即可求解. 【详解】由题可得， 又，所以， 所以. 故答案为：2 14. 如图，三棱锥中，平面，，，，，设为棱上的一个动点，记与平面所成角为. ①当与重合时，___________； ②的最大值为____________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】过A作交于点，连接，由线面角定义直接计算即可求解第①空；由求出最小值即可求解第②空. 【详解】过A作交于点，连接， 因为平面，平面， 所以， 所以当与重合时，与平面所成角满足； 当在棱上运动时，因为平面，所以即为与平面所成角且， 所以，所以当取得最大值时，取得最大值，则取得最小值为， ,,,平面中，所以平面, 平面,所以, 所以，所以. 所以最大值为，所以取得最大值为. 故答案为：； 15. 平面直角坐标系中，圆. 给出下列四个结论： ①对于任意，均存在，使得圆在轴的上方； ②对于任意，均存在，使得圆经过点； ③若存在，使得圆经过点，则； ④若直线与圆相切于点，且，则. 其中所有正确结论的序号为____________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用圆心坐标，对分析可得①错误，通过验证可判断②正确，利用判别式可得③正确，利用直线与圆相切以及切线长计算公式可解方程组得④正确. 【详解】由圆可得：圆心，半径， 当时，圆心，此时圆恒在轴的下方， 所以不满足任意，均存在，使得圆在轴的上方，故①错误； 由圆经过点可得：， 化简得：，所以对任意的均存在，故②正确； 由圆经过原点可得：， 化简得：， 由解得：，故③正确； 由直线与圆相切可得： ， 再由可得：， 整体代入得：，故④正确； 故答案为：②③④ 三、解答题（本大题共3小题，共35分） 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）若，求，的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算法则及垂直时的坐标关系进行运算即可； （2）根据空间向量的坐标运算法则及平行时的坐标关系进行运算即可. 【小问1详解】 由题可得，， 又， 所以， 解得； 【小问2详解】 由题可得， 又，， 则， 所以， 解得. 17. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 在直三棱柱中，四边形为矩形， 又因为，分别为，的中点， 所以,且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再由线面平行的判定定理证明平面； （2）点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可求出二面角的余弦值； （3）利用点到平面的距离求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，以点为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则平面的一个法向量， 由题意知平面的法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知,平面的一个法向量 所以点到平面的距离. 18. 已知圆的半径为1. （1）求的值； （2）设直线与圆交于，两点，若（为圆心）为锐角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）配方得圆的标准方程，由半径的值列方程求解的值即可； （2）设，联立直线与圆得交点坐标关系，得的取值范围，再根据为锐角运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解不等式可得所求范围． 【小问1详解】 圆化为标准方程为， 由圆的半径为1可得，解得； 【小问2详解】 设， 与圆联立， 可得，得， 则，， 由，可得，， 若为锐角， 可得， 则，整理得，解得或， 又，所以的取值范围是． 第Ⅱ卷（共50分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 19. 若直线过点且与直线垂直，则的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设出与直线垂直的直线系，再将点代入即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以设直线的方程为， 将点代入得： 所以直线的方程为. 故答案为：. 20. 某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线上两点确定公路所在直线的方程，从而可设的坐标，根据结合距离公式列方程求得点横坐标，从而得车站的坐标. 【详解】公路上的两点，， 则，所以直线， 则直线上一点， 由可得：，解得， 故车站的坐标为. 故答案为：. 21. 如图，在正四棱柱中，，，，，设直线与所成角的大小为. ①当时，___________； ②若，则的取值范围是____________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，则可写出、，由即可解得答案. 【详解】由题意，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 所以， 所以，， ， ①当时，， ②当时，， 所以， 化简得，解得：. 故答案为：；. 22. 椭圆的左顶点为，左焦点为，以为圆心，为半径作圆，设点在椭圆上，且线段的中点在圆上. ①若，，则的面积为____________； ②若线段的中点也在圆上，则椭圆离心率为_____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，计算出的中点，代入到圆中，再联立椭圆方程，解出点坐标可得①空的答案；设，分别计算出，的中点，，代入到圆中，联立可解出，再代入到椭圆中，解方程即得答案. 【详解】因，则 ，，， 圆 的圆心为 ，半径 . 点 在椭圆上，满足椭圆方程：①， 的中点在圆上，则得， 整理得②. 联立①与②，解得：或，即得或， 于是，. 因离心率 ，则 ，，圆， 点 在椭圆上，满足椭圆方程：， 因的中点在圆上，则有，（1） 又的中点也在圆上，则有， 即，（2） 联立（1）和（2）解得 ，将 代入可得， 再将其代入到圆，可得， 整理得：， 再把 代入椭圆方程得：， 化简得：，即. 解得： 或 或 . 又因为，故. 故答案为：； 五、解答题（本大题共3小题，共34分） 23. 已知直线，相互垂直，且均过点，设，与轴分别交于点，（，分别在轴的正、负半轴上），若的面积为5，求，的方程. 【答案】的方程为，的方程为. 【解析】 【分析】设，则，确定，坐标并确定的取值范围，再根据三角形面积公式结合坐标关系列方程求解的值，即可得两直线的方程. 【详解】由题可知，直线，的斜率均存在， 设，则， 所以，且，解得， 则， 整理得，解得或，由得， 所以的方程为，的方程为. 24. 如图，多面体中，正方形的边长为2，，，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为的中点，，分别在，上，且平面平面，求的长. 【答案】（1） 正方形中，, 又，平面, , 所以平面,又平面, 所以. 在中，，，, 则 , 则, 所以,即, 又平面, , 所以平面,又平面, 所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得所以平面,又平面, 所以；再利用余弦定理求得的长度，继而证明，再利用线面垂直的判定定理证得平面,继而可得. （2）以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，进一步计算即可. （3）设，，继而求得平面的法向量，利用平面平面，两平面的法向量平行，进一步计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则, 所以, 设平面的法向量， 则,即， 令，得， 则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 为的中点，则其坐标为， 又平面平面， 平面平面, 平面平面, 则, 设，,则， 所以, 设平面的法向量， 则,即， 令，得 则，又平面平面， 所以，则， 此时, 故. 25. 平面直角坐标系中， ，为不同两点，为线段的中点，若点满足，则称为，的“相关点”. （1）设，，若点是，的“相关点”，求的值； （2）对于，设，，若坐标轴上不存在，的“相关点”，求的所有可能取值； （3）设，，已知曲线，若对于任意，曲线上均存在，的“相关点”，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用“相关点”的定义计算即可； （2）当在轴上存在，的“相关点”时：设，结合新定义可得，根据和时，方程误解，即可结合三角函数的性质求解； （3）由题意得，对分类讨论，结合分，当两种情况求解即可. 【小问1详解】 由题意知：，. 则， 解得：. 【小问2详解】 因为设，，所以 若是，的“相关点”，则有 所以， 化简得：, 当时，若使关于的方程无解， 则，故， 当时，若使关于的方程无解， 故，即， 故，故当时等号成立， 意义，故或； 综上所述：若坐标轴上不存在，的“相关点”，或. 【小问3详解】 因为，，则,， 因为 所以 化简得：， 即（*）， 曲线， ①当 当，即时， 曲线 此时方程无解， 当，即时，曲线， 将方程代入（*）中可得， 当时，此时方程无解，不合题意，舍去， ②， 当时，曲线， 将代入可得， 将代入（*），整理可得， 由可知， 当时，曲线, 将代入可得， 将代入（*），整理可得， 由知：， 进而， 综上可得，即， 由题可知：，即，解得， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 高二年级数学 考生须知 1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，答题卡共4页，满分150分.考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号. 3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 命题人：屈伸 审题人：黎栋材，刘丹，贺博 第I卷（共100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 过点、的直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，则与，共面的向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，棱长为1的正方体中，（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 5. 已知椭圆过点，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 如图，三棱柱中，记向量，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知过原点且倾斜角为的直线与直线交于点，则当在上变化时，点的轨迹长度为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 9. 设为坐标原点，若对于圆上的任意两点，均有，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 已知某圆锥的底面半径为2，高为，为该圆锥的顶点，点，，在其底面圆周上，且不是钝角三角形，记平面，，与底面所成角的大小分别为，，，若，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若直线与平行，则____________. 12. 单位向量，，满足，，，则____________. 13. 双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则____________. 14. 如图，三棱锥中，平面，，，，，设为棱上的一个动点，记与平面所成角为. ①当与重合时，___________； ②的最大值为____________. 15. 平面直角坐标系中，圆. 给出下列四个结论： ①对于任意，均存在，使得圆在轴的上方； ②对于任意，均存在，使得圆经过点； ③若存在，使得圆经过点，则； ④若直线与圆相切于点，且，则. 其中所有正确结论的序号为____________. 三、解答题（本大题共3小题，共35分） 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）若，求，的值. 17. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知圆的半径为1. （1）求的值； （2）设直线与圆交于，两点，若（为圆心）为锐角，求的取值范围. 第Ⅱ卷（共50分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 19. 若直线过点且与直线垂直，则的方程为___________. 20. 某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为_____________. 21. 如图，在正四棱柱中，，，，，设直线与所成角的大小为. ①当时，___________； ②若，则的取值范围是____________. 22. 椭圆的左顶点为，左焦点为，以为圆心，为半径作圆，设点在椭圆上，且线段的中点在圆上. ①若，，则的面积为____________； ②若线段的中点也在圆上，则椭圆离心率为_____________. 五、解答题（本大题共3小题，共34分） 23. 已知直线，相互垂直，且均过点，设，与轴分别交于点，（，分别在轴的正、负半轴上），若的面积为5，求，的方程. 24. 如图，多面体中，正方形的边长为2，，，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为的中点，，分别在，上，且平面平面，求的长. 25. 平面直角坐标系中， ，为不同两点，为线段的中点，若点满足，则称为，的“相关点”. （1）设，，若点是，的“相关点”，求的值； （2）对于，设，，若坐标轴上不存在，的“相关点”，求的所有可能取值； （3）设，，已知曲线，若对于任意，曲线上均存在，的“相关点”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $