精品解析：宁夏育才中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

宁夏育才中学2026-2027学年第一学期高二年级期中考试 数 学 试 卷 (试卷满分 150分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直关系确定所求直线的斜率，然后结合经过的点的坐标求出结果即可. 【详解】因为直线变形为，其斜率为， 所以与其垂直的直线的斜率为3，设其方程为. 又该直线经过点，所以，解得. 故所求直线的方程为，即. 故选：B. 2. 已知圆与圆，则与的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合圆心距与半径的关系，即可求解． 【详解】易知圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以与外离. 故选：D. 3. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 4. 如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果. 【详解】因为底面，所以，又， 所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， ，， 设异面直线与所成的角为，， 则. 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：A 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题. 5. 一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 6. 赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米，若一艘宽12米，水面以上高2米的货轮恰好能通过，则拱顶到水面的距离至少为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 3.5米 【答案】B 【解析】 【分析】设圆的半径为，画出草图，利用勾股定理求出圆的半径与，即可得解； 【详解】解：根据题意，如图：设圆的半径为， 已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米，设此时的水面为，为的中点， 则，依题意一艘宽12米，水面以上高2米的货轮恰好能通过，则，且 所以，解得，，所以拱顶到水面的距离为米； 故选：B． 7. 直线与圆截得的弦长为4，则的最小值是 A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出圆的圆心和半径，并判断直线过圆心，求得，再转化为二次函数求最小值. 【详解】， 圆的圆心为，半径， 因为直线所截得的弦长为，所以直线过圆心，即， 即， ， 当时，取得最小值2. 故选：B 【点睛】本题考查直线与圆相交，最值问题，重点考查计算能力，属于基础题型. 8. 数学美的表现形式不像自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线．对于曲线，下列说法错误的是（ ） A. 曲线上任意两点间距离的最大值为 B. 若点在曲线的内部不含边界，则 C. 若曲线与直线有公共点，则 D. 若曲线与圆有公共点，则 【答案】D 【解析】 【分析】对曲线方程中，取值进行分类讨论，并作出曲线的图象，然后结合直线与圆的性质依次对选项进行求解即可． 【详解】当时，， 它是圆心为，半径的圆在第一象限内以及坐标轴上的部分； 当时，， 它是圆心为，半径的圆在第二象限内以及轴上的部分； 当时，， 它是圆心为，半径的圆在第三象限内的部分； 当时，， 它是圆心为，半径的圆在第四象限内以及轴上的部分． 作出曲线如图所示，其中，，，． 对于A，因为曲线在第一象限内的点到原点的距离的最大值为， 且曲线关于轴、轴、原点均对称， 所以曲线上任意两点间距离的最大值为，A正确； 对于B，因为点在曲线的内部不含边界， 所以点也在曲线的内部不含边界． 故点坐标满足，即， 解得，即，B正确； 对于C，易知当直线与曲线相切时，即为取值的临界情况． 当直线与曲线相切于第二象限时， 点到直线的距离， 解得或（舍去）； 当直线与曲线相切于第四象限时， 点到直线的距离， 解得（舍去）或． 故曲线与直线有公共点，则，C正确； 对于D，易得曲线与坐标轴的交点为，． 当圆过，时， 最小，最小值为； 当圆与圆外切时，最大，最大值为． 故若曲线与圆有公共点，则，D错误． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 的斜截式为 B. 圆的半径为 C. 圆心在直线上 D. 直线截圆的弦长为 【答案】BD 【解析】 【详解】对A，由，所以直线的斜截式为.故A错误； 对B，由得圆的圆心为，半径.故B正确； 对C，因为，即圆心不在直线上.故C错误； 对D，圆心到直线的距离为， 所以弦长.故D正确. 10. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量平行的条件、向量的模、向量垂直的充要条件、向量夹角余弦的求法运算即可得解. 【详解】对于选项A，由题意，，， 假设，则存在实数，使得， 即，所以，方程组无解， 即不存在实数，使得，所以和不平行，故A错误； 对于选项B，由，，可得， ，则，故B正确； 对于选项C，由，， 可得， 因为，所以，故C正确； 对于选项D，由，， 可得，故D错误. 故选：BC． 11. 已知正四面体，棱长为2，是的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平面所成角正弦值为 C. 平面与平面所成角余弦值为 D. 到平面距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. 设E是BD的中点，运用空间向量基本定理用三个不共面的空间向量表示出来； B.找出线面角，借助直角三角形求解； C.找出面面角的平面角，借助三角形用余弦定理求解； D.借助三棱锥A-OBC的体积，用等积法求解. 【详解】 图1 A.如图1，设E是BD的中点，则C、O、E三点共线，且CO=2OE. ，A正确； 图2 B.由题意知，平面BCD，所以就是与平面所成角， 如图2，AB=2，，，， 所以. 图3 C.取BC中点为F，连接AF，DF，则，， 是平面平面=BC， 所以即为平面与平面所成角的平面角， 又，AD=2， 在中，. D. ， 设d为到平面距离， 又 即， 所以，. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与直线之间的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式求解. 【详解】直线，直线， 因为，，，所以， 所以两直线间距离为：. 13. 已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________. 【答案】或. 【解析】 【分析】分斜率不存在与斜率存在两种情况，再利用点到直线的距离公式，求得斜率存在时的切线方程. 【详解】由题意：当切线斜率不存在时，方程为：，满足与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为：， 则：，解得，此时切线方程为：，即， 故答案为：或 14. 在棱长为3的正方体中，点E，F分别在棱AB，BC上，，点G，H为棱上的动点．若平面平面，，则＝___． 【答案】## 【解析】 【分析】建立坐标系，用向量法求解即可 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立坐标系，如图所示： 则， 设，由可得， 设平面的一个法向量为，， 则，即， 令，则； 设平面的一个法向量为，， 则，即， 令，则； 因为平面平面， 所以， 所以，即，解得， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标为，，且椭圆经过点； （2）椭圆经过，两点； （3）焦距等于，且椭圆经过点． 【答案】（1）​ （2）​ （3）或 【解析】 【小问1详解】 ∵椭圆焦点在轴上，∴可设其方程为，其中，半焦距为， ∵椭圆经过点，∴，又，∴， ∴椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 ∵椭圆经过点和，这两点分别为椭圆在轴和轴上的顶点，且， ∴椭圆的长轴在轴上，可设其方程为，其中， 代入两点坐标，得，， ∴椭圆的标准方程为． 【小问3详解】 ∵椭圆的焦距为，∴半焦距，由得，即， 焦点可能在轴上，也可能在轴上，故设椭圆方程为或， ∵椭圆经过点，两种情形均有，即，解得或． 由，舍去，得，， ∴椭圆的标准方程为或． 16. 已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点，． （1）求圆的标准方程； （2）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得出点的横坐标，将代入直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）设、，由中点坐标公式化简得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为圆与轴交于两点、，则线段的中点为， 由垂径定理可知轴，则点的横坐标为， 将代入，得，解得，得圆心， 圆的半径为， 圆C的标准方程为． 【小问2详解】 设、，由中点坐标公式得，即． 将点的坐标代入圆C的方程得， 即，即， 化简得， 线段中点的轨迹方程为． 17. 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； 【小问3详解】 由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 18. 已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． （1）证明：； （2）已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面， 而平面， 故． （2）（ⅰ）； （ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得结果； （2）建系标点，（ⅰ）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （ⅱ）设，，根据垂直关系列式求，即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意易知两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， （ⅰ）因为， 则，，，，，， 故，， 设为平面的法向量，则， 令，则， 可得为平面的一个法向量， 而，记直线与平面所成的角为， 则； （ⅱ）由题意， 设，， 故，， 设，，则， 而，， 若平面，则， 解得， 故当重合，点的坐标为时， 平面，此时． 19. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； （2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）. （2），或， 【解析】 【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. 【小问1详解】 （ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是. 【小问2详解】 设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 【点睛】关键点点睛：解决此类题目，关键在于理解所给的新定义，利用新定义去解决问题，对能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏育才中学2026-2027学年第一学期高二年级期中考试 数 学 试 卷 (试卷满分 150分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆与圆，则与的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 3. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米，若一艘宽12米，水面以上高2米的货轮恰好能通过，则拱顶到水面的距离至少为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 3.5米 7. 直线与圆截得的弦长为4，则的最小值是 A. 3 B. 2 C. D. 1 8. 数学美的表现形式不像自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线．对于曲线，下列说法错误的是（ ） A. 曲线上任意两点间距离的最大值为 B. 若点在曲线的内部不含边界，则 C. 若曲线与直线有公共点，则 D. 若曲线与圆有公共点，则 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 的斜截式为 B. 圆的半径为 C. 圆心在直线上 D. 直线截圆的弦长为 10. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 11. 已知正四面体，棱长为2，是的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平面所成角正弦值为 C. 平面与平面所成角余弦值为 D. 到平面距离为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与直线之间的距离为_____． 13. 已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________. 14. 在棱长为3的正方体中，点E，F分别在棱AB，BC上，，点G，H为棱上的动点．若平面平面，，则＝___． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标为，，且椭圆经过点； （2）椭圆经过，两点； （3）焦距等于，且椭圆经过点． 16. 已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点，． （1）求圆的标准方程； （2）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 17. 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 18. 已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． （1）证明：； （2）已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； （2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $