精品解析：宁夏回族自治区银川一中2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

银川一中2026/2027学年度(上)高二期中考试 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若，则（    ） A. 5 B. C. D. 3. 已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为（ ） A. B. 16 C. 18 D. 4. 已知直线，双曲线，则（ ） A. 直线与双曲线有且只有一个公共点 B. 直线与双曲线的左支有两个公共点 C. 直线与双曲线的右支有两个公共点 D. 直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 5. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线，，则（    ） A. 当时，直线的一个方向向量为 B. 若与相互平行，则 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 10. 双曲线C：的左右焦点分别是，，左右顶点分别是A，B，两渐近线分别是，，M在双曲线C上，其中O是坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到渐近线的距离是3 B. 若，则的面积是9 C. 直线的斜率为，直线的斜率为，则 D. 过右顶点B作的平行线交于P点，若的面积为3，则双曲线的离心率为 11. 已知正方体中，棱长为，为正方形的中心．为底面所在平面上的一个动点，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则的轨迹是椭圆 B. 若，则的轨迹是圆 C. 若到直线，距离相等，则的轨迹是抛物线 D. 若到直线，距离相等，则的轨迹是双曲线 三、填空题 12. 设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则__________. 13. 若椭圆上有不同的两点、关于直线对称，则线段中点的坐标为______. 14. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为________. 四、解答题 15. 求解下列圆锥曲线方程： （1）求焦点在轴上，焦点到准线的距离为的抛物线方程 （2）求以，为焦点，且过点的椭圆的标准方程. （3）求焦点在轴上，焦距为，且渐近线方程为的双曲线的标准方程． 16. 已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 17. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，点是两曲线在第一象限的一个公共点，为坐标原点. （1）求 的值； （2）判断的形状，并求其面积 18. 已知双曲线的标准方程为，点，与坐标轴都不垂直的直线（不过点）交的右支于两点. （1）求双曲线的离心率和渐近线方程； （2）若 ①求证：直线过轴上的定点 ②若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 已知两条定直线 ，动点到两直线的距离的平方和等于，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，点在第一象限，点在第四象限，且满足直线与直线的斜率之积为，若点为曲线的左顶点，且满足，直线与交于，直线与交于. ①证明：为定值； ②是否存在常数，使得四边形的面积是面积的倍？若存在求出，若不存在说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2026/2027学年度(上)高二期中考试 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程可得直线斜率，结合斜率定义可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 直线即为，其斜率， 即，可得， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若，则（    ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知，又，所以. 3. 已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为（ ） A. B. 16 C. 18 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离等于，列出方程，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以准线方程为， 如图所示，设点其中，且 过点作，垂足为， 由抛物线的定义得，点到抛物线的准线的距离等于，即， 所以，解得，即点的横坐标为. 故选：C. 4. 已知直线，双曲线，则（ ） A. 直线与双曲线有且只有一个公共点 B. 直线与双曲线的左支有两个公共点 C. 直线与双曲线的右支有两个公共点 D. 直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【解析】 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 5. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，将该渐近线与圆有公共点，转化为圆心到渐近线的距离小于或等于圆的半径，列出相应的关系式，求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由，得. 记圆的圆心为，半径为. 设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，即. 由题可知，，化简得：. 由，得. 化简，得，所以. 双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 6. 设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设，根据图形分别表示出和即可得解. 【详解】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为，则其焦点为， 点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为， 点在上，设为，若，则， 且，则. 故选：B. 7. 已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，用定义得，代入余弦定理得的关系，转化为离心率约束，对目标式平方后用基本不等式求最大值，再由等号条件求. 【详解】设为第一象限内的交点，，，焦距为. 椭圆的定义：， 双曲线的定义：（因在第一象限，）， 解得：，. 在中，，由余弦定理，得， 得，即， 交叉相乘并整理： ， 两边除以，结合，，得. . 当且仅当，即， 因，故，则时等号成立，即取最大值. 因此，. 综上所述，当取最大值时，. 故选：C 二、多选题 9. 已知直线，，则（    ） A. 当时，直线的一个方向向量为 B. 若与相互平行，则 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 【答案】BC 【解析】 【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B，C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为， ，A错误； 对B，若与相互平行，则，解得或， 当时，与重合，当两直线平行，B正确； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，即， 则，解得，D错误 10. 双曲线C：的左右焦点分别是，，左右顶点分别是A，B，两渐近线分别是，，M在双曲线C上，其中O是坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到渐近线的距离是3 B. 若，则的面积是9 C. 直线的斜率为，直线的斜率为，则 D. 过右顶点B作的平行线交于P点，若的面积为3，则双曲线的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式即可判断A，根据勾股定理结合双曲线的定义，即可利用面积公式求解B，利用反例即可说明C，根据面积公式即可求解D. 【详解】因为焦点到渐近线的距离是，故A正确； 时，则，故， 由勾股定理得 得， 则，所以， 由三角形的面积公式可得，故B正确； 当时，，当M在右顶点时，，故不是定值，故C错误； 过右顶点B作的平行线交：于P点，则，故， 则的面积为，解得，则双曲线的离心率为，故D正确， 故选：ABD. 11. 已知正方体中，棱长为，为正方形的中心．为底面所在平面上的一个动点，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则的轨迹是椭圆 B. 若，则的轨迹是圆 C. 若到直线，距离相等，则的轨迹是抛物线 D. 若到直线，距离相等，则的轨迹是双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用定义和数形结合进行判断. 【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为， 对于A，满足椭圆定义，A正确； 对于B，，，，， 则，即，即， 所以的轨迹是点，故B错误 对于C，若到直线，距离相等，面，面， 所以，所以到直线的距离为到点的距离， 则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故C正确； 对于D，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为， 过向作垂线，垂足为，此时， 若到直线，距离相等，即，则， 即，则的轨迹是双曲线，故D正确， 三、填空题 12. 设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程与的关系式即可得解. 【详解】因为是双曲线，所以，则， 又点是双曲线的一个焦点，则， 所以由，得，则. 故答案为：. 13. 若椭圆上有不同的两点、关于直线对称，则线段中点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设、，设的中点，将点、的坐标代入椭圆方程后将两式相减，再结合点的坐标和直线的斜率得到，代入方程后可得所求中点的坐标． 【详解】设、，设线段的中点，则， 由点、在椭圆上得， 两式相减得， 因为点、关于直线对称，则． 又，所以，所以， 将代入，解得，所以的中点坐标为． 14. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，设，表示出，，再由双曲线的定义得到，再在中利用余弦定理得到、的关系，即可得解. 【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线. 所以， 又由知，所以， 故，所以. 可设，则，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题 15. 求解下列圆锥曲线方程： （1）求焦点在轴上，焦点到准线的距离为的抛物线方程 （2）求以，为焦点，且过点的椭圆的标准方程. （3）求焦点在轴上，焦距为，且渐近线方程为的双曲线的标准方程． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据焦点在轴设出抛物线两种形式的标准方程，利用焦点到准线距离求出，直接写出方程； （2）用共焦点椭圆系方程设椭圆方程，把已知点坐标代入求出参数，舍去不合理的解后得到椭圆标准方程； （3）依据焦点在轴上设双曲线标准方程，结合焦距、与的比例关系以及的关系式列方程组求解参数，写出双曲线方程. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点在轴上，所以可设其方程为或， 又抛物线焦点到准线的距离为，即， 所以抛物线方程为或. 【小问2详解】 由题意可设所求椭圆的标准方程为. 又椭圆过点，将代入方程得， 解得或(舍去). 故所求椭圆的标准方程为. 【小问3详解】 由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c， ∴，解得， ∴该双曲线的方程为． 16. 已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心在直线上，设，设圆半径为，根据求解；（2）设直线的方程为，根据△是等腰直角三角形求出，利用求出，再根据求出. 【小问1详解】 ∵圆心在直线上，设，设圆半径为，则， ∴，化简展开得，解得， ∴，半径，∴圆的方程为：． 【小问2详解】 ∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率，设直线的方程为， ∴，则△是等腰直角三角形，∴， 由弦长公式得，解得， 圆心到直线的距离：，解得或 ， ∴直线的方程为或． 17. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，点是两曲线在第一象限的一个公共点，为坐标原点. （1）求 的值； （2）判断的形状，并求其面积 【答案】（1）2 （2）直角三角形，面积为1 【解析】 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的定义可得，进而可用表示，进而求出； （2）根据勾股定理可判断直角三角形，进而可求面积. 【小问1详解】 不妨设在第一象限，为左右焦点，焦距为，由椭圆和双曲线的定义可得：，故， 又，故可得 . 【小问2详解】 由（1）可知：， 故 ，因此形状是直角三角形，以为直角， . 18. 已知双曲线的标准方程为，点，与坐标轴都不垂直的直线（不过点）交的右支于两点. （1）求双曲线的离心率和渐近线方程； （2）若 ①求证：直线过轴上的定点 ②若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）离心率，渐近线为 （2）①证明：直线方程设为， 由，得， 则有，即， 设， ， 又因为， 即， 即， 整理得， 即， 所以， 同时除以， 得， 解得， 所以直线的方程为，过定点. ②是定值， 【解析】 【分析】（1）根据方程求出的值，由离心率公式、渐近线方程的公式求解即可； （2）①直线方程设为，与双曲线方程联立，结合韦达定理和，可得，即可得证； ②求出的中点坐标，圆的半径及圆心到直线的距离，由求解即可. 【小问1详解】 由题意可得, 所以， 所以离心率， 渐近线为， 即 【小问2详解】 ①略； ②设的中点坐标为， 则，， 所以 ， 所以圆的半径, 又因为圆心到直线的距离： ， ， 又因为，所以， 所以. 19. 已知两条定直线 ，动点到两直线的距离的平方和等于，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，点在第一象限，点在第四象限，且满足直线与直线的斜率之积为，若点为曲线的左顶点，且满足，直线与交于，直线与交于. ①证明：为定值； ②是否存在常数，使得四边形的面积是面积的倍？若存在求出，若不存在说明理由. 【答案】（1） （2）①显然直线不垂直于轴，设直线，，而， 显然，由，得， 则， 整理得， 又直线与直线的斜率之积为，则，即， 因此，所以，即为定值. ②存在， 【解析】 【分析】（1）对给定等式直接展开化简，整理得到曲线的椭圆标准方程； （2）①依托向量分解条件列出坐标方程组，对方程组整体代入椭圆方程展开，结合、斜率之积的条件化简消元，推导出为定值；②设直线与椭圆联立，借助韦达定理与题设条件得到参数关系式，再利用面积公式转化面积比，联立直线求出交点纵坐标并代数化简，算出面积比值得到常数. 【小问1详解】 由题意可得，整理得，即， 故曲线的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②由①，消去并整理得 ， ， ， ，即有，则， ， 的面积， 四边形的面积， 设，则， 直线，直线，联立解得， 同理， ，因此， 所以存在常数，使得四边形的面积是面积的倍，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $