精品解析：宁夏回族自治区2026-2027学年上学期普通高中学业质量监测高二年级数学试题

宁夏回族自治区2026年普通高中学业质量监测 高二年级 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的定义求解即可. 【详解】已知，，所以. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 下列四个函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单调增函数的定义直接判断即可. 【详解】对于A,在R上为减函数，故A错误； 对于B，在上单调为单调减函数，在上为单调增函数，故B错误； 对于C，在R上为增函数，故C正确； 对于D，定义域为，在上为单调增函数，故D错误. 4. 为调查宁夏某旅游景点“十一”假期游客的满意度，计划从名区外游客和名区内游客中，采用按比例分配分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本．则样本中区外游客的人数为（ ） A. 80 B. 120 C. 140 D. 160 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求解． 【详解】设样本中区外游客的人数为，则，解得． 5. 下列函数中，满足性质的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于，，所以不成立； 对于，，所以不成立； 对于，，所以不成立； 对于，，所以成立. 6. 若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面以及面面位置关系的判定和性质定理，对每个选项逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：垂直于内的一条直线，无法判定直线；若垂直于内的两条相交直线，才可判定，故A错误； 对B：若，，则的关系是不确定的，故B错误； 对C：若，则垂直于内的任意一条直线，又，故，C正确； 对D：若，则过的平面与平面的交线与平行，不是平行于平面内的任意一条直线，故D错误. 7. 函数在的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到，令，得或，再根据正弦函数、余弦函数的性质求解即可． 【详解】因为， 令，得或，即或，又， 所以当时，解得或或； 当时，解得或； 所以函数在上共有个零点． 8. 在中，，，，为线段上一点且，为线段上一点且，直线与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】建立平面直角坐标系：将点置于坐标原点，沿轴正方向，根据已知条件确定基础点坐标，如下图所示： 由，得； 由，，得点坐标为，利用定比分点公式求的坐标： 点在上，且，故； 点在上，且，故。 直线过原点与，斜率为，方程为； 直线过与，斜率为，方程为； 联立两直线方程，解得交点； 易知，， 因此； ，故； 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A，∵，∴， 即，A正确； 选项B，∵，，∴， 即，B错误； 选项C，∵，∴， 即，C错误； 选项D，∵，又， ∴，，即，D正确. 10. 在水质检测中，常用pH衡量溶液酸碱度，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度．甲、乙、丙三种溶液的pH取值如下表： 溶液 甲 乙 丙 pH 5 [6,7) 8 已知甲、乙、丙溶液氢离子的浓度依次为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过公式将值转化为氢离子浓度的表达式，再结合范围比较大小. 【详解】甲溶液，故； 乙溶液，可得满足； 丙溶液，故 对于A，，故A正确； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，，，所以，故D正确. 11. 的内角，，对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. 周长的取值范围是 D. 面积的最大值是2 【答案】ABD 【解析】 【详解】 选项A：已知， 由正弦定理（为外接圆半径）， 代入得，整理为； 因为为三角形内角，即，故，即， 因此，A正确； 选项B：由，结合三角形内角和，得， 因此，即，B正确； 选项C：三角形周长，由正弦定理， 代入、，得； 因为，故，即， 因此周长，并非，C错误； 选项D：三角形面积， 因为，故的最大值为1（当，即时取得）， 此时，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.7，则他连续射击两次都命中的概率是____________． 【答案】 0.49 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式计算即可. 【详解】记“第一次射击命中目标”为事件，“第二次射击命中目标”为事件，由题设得，. 所以连续射击两次都命中的概率为. 13. 已知二次函数的部分函数值如下表所示，则不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【详解】由表格可知，二次函数分别在和处取值相等，即的对称轴为， 设， 代入点和可得， 解得，， 即， 由，即， 解得. 14. 已知函数，若在定义域上恒成立，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】讨论的范围，得出时解的个数，分析恒成立的等价条件得出，代入消去后用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为的定义域为， 当时，由得，函数在上恒有，不符合题意. 当时，，因为， 所以等价于， 若，则由解得两个不相等的正实数根和， 不妨设，于是对，有，不符合题意， 所以恒成立，等价于， 所以，当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中国茶文化兴于唐、繁于宋．某校开设茶文化校本课程，组织茶艺实操考核，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生参加．记录每名学生的考核得分，满分10分，得分越高代表实操越规范，结果如图所示． （1）请你就这次考核，对男生和女生的茶艺实操水平进行评价，并说明理由； （2）从本次考核得分不低于6分的所有学生中随机抽取2人参加茶文化推广活动，求抽取的2人恰好为一名男生、一名女生的概率． 【答案】（1）女生整体水平优于男生，且发挥更稳定，理由如下： 由折线图可知， 女生的得分为：， 男生的得分为：． 女生的平均得分为， 男生的平均得分为． 因为，所以女生的平均成绩高于男生． 女生的方差为， 男生的方差为． 因为，所以女生的成绩比男生更稳定． 综上所述，女生的茶艺实操水平整体优于男生，且发挥更稳定． （2） 【解析】 【分析】（1）通过计算男、女生得分的平均数和方差，从集中趋势和离散程度两个维度进行评价；（2）首先筛选出得分不低于6分的学生人数，利用古典概型概率公式计算抽取2人恰好为一男一女的概率. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知，得分不低于6分的学生中， 女生有3人，得分分别为，记为； 男生有2人，得分分别为，记为． 从这5人中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：，共10种． 其中恰好为一名男生、一名女生的结果有：，共6种． 故所求概率． 16. 已知函数的最小正周期是． （1）求的值； （2）比较，，的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的最小正周期公式建立方程求解； （2）通过诱导公式将不同区间的自变量转化到同一单调区间，结合正弦函数的单调性比较大小。 【小问1详解】 函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）的结论可知，且在上单调递增. 又，， ；，；，. 且，所以， 即. 17. 已知圆与轴正半轴交于点，点． （1）求经过点，且与圆相切的直线方程； （2）若直线交圆于另一点，求的面积． 【答案】（1）所求切线方程为和； （2）的面积为 【解析】 【分析】（1）讨论斜率存在、不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径建立方程，求出斜率，即可写出切线方程； （2）先求出直线的方程，利用点到直线距离求出高，利用勾股定理求出，即可求解的面积. 【小问1详解】 由圆，可知圆心为，半径. 当切线的斜率不存在时，切线方程为，也就是轴，与圆有交点，不满足题意； 当切线的斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，即， 则圆心到直线的距离等于半径，即， 整理得，解得， 所以切线方程为和. 【小问2详解】 由题意可知，，则， 所以直线的方程为：，即， 圆心到直线的距离为， 所以， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，点E是棱的中点． （1）证明：平面； （2）设点F在平面内，且满足． （i）求点F的轨迹方程； （ii）求直线与平面所成角正弦值的最大值． 【答案】（1）连接，交于点O，由底面是正方形，则是的中点， 连接，在中，E是棱的中点，则为中位线，故， 又平面，平面， 由线面平行的判定定理，得平面． （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）连接正方形对角线得中点，利用三角形中位线证线线平行，结合线面平行判定定理证明结论； （2）（i）设点F的坐标，利用向量点积为零列方程，配方得到圆的轨迹方程； （ii）求出平面的法向量，结合线面角公式将正弦值表示为参数的函数，利用单调性求出最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， ， 设点，则， 由得，化简整理得， 故F的轨迹是平面内，以为圆心、半径为1的圆； （ii）取平面内向量，设平面的法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成角为，， 则， 令，则， 令，，设，求导得， 在区间上，，故， 即在区间内单调递增，， 故． 19. 在矩形板材上画一条一个周期的余弦型曲线M（如图1），沿M裁剪得到两块部件，卷成斜截圆柱后，可拼接成一个直角烟筒弯头（如图2）． （1）根据图2数据，求制作一个直角烟筒弯头需要的板材面积； （2）若以A为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则所得接口曲线M满足，根据图2数据，求的解析式； （3）定义集合，记为扣除接口损耗后斜截圆柱母线的实际高度．在内，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由底面直径算出周长，利用斜截圆柱侧面积等于平均母线长乘底面周长，结合两块部件求出总面积； （2）根据母线最值求振幅与平衡位置，由周长得周期进而求，结合初始点最小值求出初相，得到解析式； （3）先解三角不等式确定定义域，通过换元与二倍角公式转化为二次函数，利用单调性求出最大值． 【小问1详解】 由题意知，斜截圆柱的底面直径为4，因此底面周长为，故， 结合图1、图2可知，， 故板材的面积． 【小问2详解】 ，由图2可知， 母线最大值为8，最小值为4，故， 周期，故， 由图1可知，时曲线取最小值，即，故， 又，故， 综上可得，． 【小问3详解】 即，化简得， 由得，解得，则， ， 令，则，且，由二倍角公式得， ， 令，由得， 二次函数开口向上，对称轴，在区间左侧， 故函数在区间上单调递增，当时，取最大值： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏回族自治区2026年普通高中学业质量监测 高二年级 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 为调查宁夏某旅游景点“十一”假期游客的满意度，计划从名区外游客和名区内游客中，采用按比例分配分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本．则样本中区外游客的人数为（ ） A. 80 B. 120 C. 140 D. 160 5. 下列函数中，满足性质的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 函数在的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 在中，，，，为线段上一点且，为线段上一点且，直线与交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 在水质检测中，常用pH衡量溶液酸碱度，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度．甲、乙、丙三种溶液的pH取值如下表： 溶液 甲 乙 丙 pH 5 [6,7) 8 已知甲、乙、丙溶液氢离子的浓度依次为，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 的内角，，对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. 周长的取值范围是 D. 面积的最大值是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.7，则他连续射击两次都命中的概率是____________． 13. 已知二次函数的部分函数值如下表所示，则不等式的解集是____________． 14. 已知函数，若在定义域上恒成立，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中国茶文化兴于唐、繁于宋．某校开设茶文化校本课程，组织茶艺实操考核，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生参加．记录每名学生的考核得分，满分10分，得分越高代表实操越规范，结果如图所示． （1）请你就这次考核，对男生和女生的茶艺实操水平进行评价，并说明理由； （2）从本次考核得分不低于6分的所有学生中随机抽取2人参加茶文化推广活动，求抽取的2人恰好为一名男生、一名女生的概率． 16. 已知函数的最小正周期是． （1）求的值； （2）比较，，的大小． 17. 已知圆与轴正半轴交于点，点． （1）求经过点，且与圆相切的直线方程； （2）若直线交圆于另一点，求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，点E是棱的中点． （1）证明：平面； （2）设点F在平面内，且满足． （i）求点F的轨迹方程； （ii）求直线与平面所成角正弦值的最大值． 19. 在矩形板材上画一条一个周期的余弦型曲线M（如图1），沿M裁剪得到两块部件，卷成斜截圆柱后，可拼接成一个直角烟筒弯头（如图2）． （1）根据图2数据，求制作一个直角烟筒弯头需要的板材面积； （2）若以A为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则所得接口曲线M满足，根据图2数据，求的解析式； （3）定义集合，记为扣除接口损耗后斜截圆柱母线的实际高度．在内，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $