精品解析：天津市第三十二中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

九年级上学期第一次学情调研数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用公式法解方程时，a、b、c的值分别是（　　） A. 5、6、 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将化为一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解：将化为一元二次方程的一般形式为：， a、b、c的值分别是， 故选：C． 2. 若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟知，是解本题的关键． 直接根据根与系数的关系，，代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， 根据根与系数的关系得：， 即：， ∴， 故选：A． 3. 在某班初三学生毕业20年的联谊会上，每两名学生握手一次，统计共握手630次．若设参加此会的学生为x名，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，即等量关系为：学生数×（学生数-1）=总握手次数×2． 【详解】设参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x-1）次， 可列方程为． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是“找出等量关系”，然后根据题意设出未知数，再列方程即可． 4. 下列关于二次函数的说法正确的是( ) A. 它的图象经过点 B. 当时，有最大值为0 C. 它的图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小． 【详解】解： ∵二次函数， ∴，图像开口向上，对称轴为． 对于选项A：当时，，∴A错误． 对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误． 对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误． 对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确． 故选：D． 5. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 是由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，从解析式中准确提取信息是解题关键． 根据中、、的意义，结合抛物线的开口方向、平移规律、增减性及最值来逐一判断选项． 【详解】解：抛物线的解析式为，属于顶点式的形式，其中，，， 对于选项：∵， ∴抛物线开口向上，选项正确； 对于选项：根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，向右平移个单位得，再向下平移个单位得，选项正确； 对于选项：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，选项正确； 对于选项：∵抛物线开口向上，顶点为最低点， ∴当时，有最小值，而非最大值，选项错误． 故选：． 6. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，取最大值2 D. 若和是抛物线上两点，则当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、最值、单调性），解题的关键是结合二次函数的系数与顶点式分析其图象特征． 由二次项系数为负判断开口向下；配方得顶点式，确定对称轴与最大值；根据对称轴两侧的单调性，判断两点函数值的大小关系，进而找出错误结论． 【详解】解：， ，抛物线开口向下， 故A正确； 对称轴为直线 ， 故B正确； 当 时， 取最大值2， 故C正确； 当 时，若 均小于1，则 随 增大而增大，有 ； 但若 均大于1，则 随 增大而减小，有 ， 故D错误． 故选D． 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（ ） A. B. 图象与x轴的负半轴交于点 C. 函数的最大值为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，与y轴交点坐标和对称轴公式求出，，，然后逐项判断即可． 【详解】解：由图象得，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，故A正确； 由图象得，抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的负半轴交于点，故B正确； 由图象得，抛物线开口向下， ∴， ∴当时，函数的最大值为，故C正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故D错误．符合题意. 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练运用分类讨论思想是解题的关键； 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 10. 已知、、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于（ ） A. 1 B. -2 C. 1或2 D. 1或-2 【答案】C 【解析】 【分析】分当m=3或n=3时，或当m=n时两种情况进行讨论即可． 【详解】解：∵m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴①当m=3或n=3时，即x=3， ∴方程为32-4×3+k+2=0， 解得：k=1， ②当m=n时，即△=（-4）2-4×（k+2）=0， 解得：k=2， 综上所述，k的值等于1或2， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 11. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对②进行判断；时，，可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． ∴时，，即， ∵， ∴，故③错误； ④∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点． ∴一元二次方程无实数根． 故④正确， 故选：C． 12. 已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为y轴，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为y轴， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，抛物线有最大值为0，则抛物线与线段没有交点； 当时， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴当时，； 当时，，解得， ∴， 综上所述：． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 若关于的一元二次方程没有一次项，则__． 【答案】 【解析】 【分析】根据没有一次项可得，且求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的一般形式为 14. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 已知二次函数，当时，y的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出在内，二次函数的增减性，进而求出最大值与最小值，由此即可得． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴当时，的最小值为0，最大值为9， ∴． 16. 用配方法将二次函数写成的形式是________． 【答案】 【解析】 【分析】用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法是本题的关键． 17. 二次函数图象上部分点的坐标满足表： x …… 1 2 3 4 …… y …… …… 若点，在该函数图象上，则、的大小关系为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用表中数据确定抛物线的对称轴和开口方向，然后根据抛物线的对称性求解． 【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴点到对称轴的距离为， ∵， ∴点到对称轴的距离最小值是5， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性． 18. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的对称轴为直线，该对称轴在给定区间内，再根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，分情况确定区间内最小值的位置，代入计算求解符合条件的值. 【详解】解：该二次函数为顶点式，对称轴为直线，且在区间内，分两种情况讨论： ① 当时，抛物线开口向上，顶点为区间内的最低点，此时函数的最小值为顶点的纵坐标， 根据题意得，与矛盾，该情况舍去； ② 当时，抛物线开口向下，顶点为区间内的最高点，此时函数的最小值出现在离对称轴更远的区间端点， 计算两个端点到对称轴的距离： 到的距离为， 到的距离为， ∵ ， ∴ 处的函数值更小，为区间内的最小值， 将代入函数得， 根据题意得， 解得，符合的条件， 综上，的值为. 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 19. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ， 或， ∴，； 【小问3详解】 解： ，，， ， ， ∴，； 【小问4详解】 解： ， ， ， 或， ∴，． 四、解答题：本题共6小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若原方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：． 不论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程： （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于m的一元二次方程，最后解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，， ， ， ， 解得， 的值为或． 21. 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广． 如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． 求这个茶园的长和宽． 【答案】这个茶园的长为，宽为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等式是解决本题的关键． 设这个茶园的宽为，则可表示这个茶园的长，再根据面积为建立一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个茶园的宽为，则长为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 由题意知：， 解得：， ， 此时，， 答：这个茶园的长为，宽为． 22. 已知二次函数，下表是的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 ．．． （1）补全表格，并写出该函数图象的对称轴和顶点． （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象． （3）为何值时，随的增大而增大？为何值时，随的增大而减小？的值为多少时，有最大值（或最小值）？ 【答案】（1）补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 1 ．．． 对称轴直线为，顶点坐标为 （2） （3）当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． 【解析】 【分析】（1）分别求出，，时对应的y值，然后补全表格，最后再写出对称轴直线以及顶点坐标即可； （2）描点，连线即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 补全表格略； 二次函数的对称轴直线为，顶点坐标为． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：结合函数图象可知：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． （1）求这个二次函数的表达式： （2）当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，利用函数图象求解不等式，熟记二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时x的值，结合图象即可得到x的取值范围． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为，依题意得： ， 解得： ∴二次函数的表达式为。 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， 如图， 当函数值小于3时，或. 24. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． （1）若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元； （2）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）175，3500 （2）（且为整数） （3）当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元 【解析】 【分析】本题考查一元二次函数的实际应用： （1）根据题意直接求解即可； （2）根据题意每件商品的售价上涨x元，则每件利润为元，销量减少为件，从而可求出总利润y，根据每件单价不能高于70元可求x的范围； （3）根据二次函数图像的性质即可求出最大利润及此时的销售定价． 【小问1详解】 解：若上涨5元，每个月可卖出（件）， 每个月的销售利润为（元）， 故答案为：175，3500； 【小问2详解】 解：由题意得：， 由知， 又为正整数， 故（且为整数）； 【小问3详解】 解：二次函数图像的对称轴为， ， ∴二次函数图像开口向下， 根据二次函数图像的对称性可知，当或时，二次函数取到最大值， ∴当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元． 25. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）、、或 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次学情调研数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用公式法解方程时，a、b、c的值分别是（　　） A. 5、6、 B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A. B. C. D. 3. 在某班初三学生毕业20年的联谊会上，每两名学生握手一次，统计共握手630次．若设参加此会的学生为x名，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于二次函数的说法正确的是( ) A. 它的图象经过点 B. 当时，有最大值为0 C. 它的图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 5. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 是由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，有最大值 6. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，取最大值2 D. 若和是抛物线上两点，则当时， 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（ ） A. B. 图象与x轴的负半轴交于点 C. 函数的最大值为 D. 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 已知、、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于（ ） A. 1 B. -2 C. 1或2 D. 1或-2 11. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 若关于的一元二次方程没有一次项，则__． 14. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 15. 已知二次函数，当时，y的取值范围是_________． 16. 用配方法将二次函数写成的形式是________． 17. 二次函数图象上部分点的坐标满足表： x …… 1 2 3 4 …… y …… …… 若点，在该函数图象上，则、的大小关系为_____． 18. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为___________． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 19. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题：本题共6小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若原方程的两个实数根分别为，且，求的值． 21. 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广． 如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． 求这个茶园的长和宽． 22. 已知二次函数，下表是的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 ．．． （1）补全表格，并写出该函数图象的对称轴和顶点． （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象． （3）为何值时，随的增大而增大？为何值时，随的增大而减小？的值为多少时，有最大值（或最小值）？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． （1）求这个二次函数的表达式： （2）当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 24. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． （1）若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元； （2）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 25. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $