精品解析：天津市河东区第四十五中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026—2027学年度第一学期九年级数学练习卷 时间：100分钟 满分120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 5，4，1 B. 5，4， C. 5，， D. 5，，1 【答案】C 【解析】 【分析】对照一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数； 叫做一次项； 叫做常数项，找二次项系数，一次项，常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5、、． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式的认识，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理成一般形式，识别各项及项的系数，易错点：系数的符号． 2. 方程的两个根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，关键是熟练应用因式分解的方法； 通过因式分解法求解二次方程，利用乘积为零的性质得出根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 即 或 ． 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．先计算出，然后再判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】解：， ， 方程有两个不相等的实数根． 4. 若方程的两个根是和，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，其两根之和为． 直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程中，二次项系数，一次项系数． 根据根与系数的关系，两根之和为：． 故选：A． 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程中的常数项移至右侧，再通过配方将左侧转化为完全平方形式，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：D． 6. 二次函数的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 7. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断． 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式，顶点坐标为， A．∵，∴图象的开口向上，故此选项错误； B、对称轴为直线，故此选项错误； C、∵二次函数顶点坐标为，∴其最小值为1, 故此选项正确； D、∵，且对称轴为直线，∴当时，y随x增大而减小，故此选项错误． 故选：C． 8. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 9. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0与根的判别式非负两个条件． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上：的取值范围是且． 10. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=（x+1）2向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（　　） A. y=（x﹣2）2﹣4 B. y=（x﹣1）2﹣4 C. y=（x﹣2）2﹣3 D. y=（x﹣1）2﹣3 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：∵抛物线顶点坐标为 向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∴平移后抛物线的顶点坐标为 ∴平移后抛物线的解析式为 故选B． 11. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵ ∴该函数的对称轴为x=-1 ∴当x＜-1，y随x的增大而增大；当x＞-1，y随x的增大而减小；且距x=-1距离越远，y越小 ∵-1＜1＜2 ∴y1＞y2 ∵|-1-(-2)|=1＜|-1-1|=2 ∴y3＞y1 ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系以及函数的对称性和增减性，掌握二次函数的性质成为解答本题的关键． 12. 如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……，则下列说法： ①10是三角点阵中前4行的点数和； ②300是三角点阵中前24行的点数和； ③前n个点数和为200的点，在这个三角形点阵中位于第19行第10个点； ④这个三角点阵中前n行的点数和不可能是600．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和题目中点的个数的变化，可以判断各个说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当n＝4时，三角点阵中的点数之和是：1+2+3+4＝10，故①正确， 当1+2+…+n＝300时，即，得n＝24，故②正确， 当n＝19时，三角点阵中的点数之和为190， ∵190+10＝200， ∴前n个点数和为200的点，在这个三角点阵中位于第20行第10个点，故③错误； ∵当600，即时， 解得n（负根已舍去），不是整数， 故这个三角点阵中前n行的点数和不可能是600．故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的个数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 若是方程的一个根，则a的值等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，将代入方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴． 14. 若是方程的一个根，则式子的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得，再代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为． 15. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数的图象开口向下可知，解之，即可求得答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 解得：， 故答案为：． 16. 一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排场比赛，则本次比赛共有________个参赛棋手． 【答案】 【解析】 【分析】设参赛棋手有x人，每两人赛一场属于单循环赛，总场次公式为，据此列出方程，整理后因式分解求解，舍去负数解即可． 【详解】解：设本次比赛共有个参赛棋手， 由题意得， 整理得， ， 或， 或（舍去）， 本次比赛共有个参赛棋手． 17. 已知二次函数，当时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数解析式可知，函数对称轴为直线，在和之间，可确定的最大值在处取得，再求出和时的值，可得出的最小值，即可确定的范围． 【详解】解：由二次函数得，二次项系数，抛物线开口向下，且， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点、、、均在格点上．点为直线上的动点，连接，作于，点为边上的动点，连接和． （Ⅰ）当点为边的中点时，的面积为________； （Ⅱ）当最短时，请在图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_________________． 【答案】 ①. ②. 如图，；取格点G、M、N，分别连接、交于点，连接交于P，点P即为所求． 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明是等腰直角三角形即可解决问题． （Ⅱ）取格点G、M、N，分别连接、交于点，连接交于P，点P即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）由题意，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴． （Ⅱ）图略 理由：建立平面直角坐标系，取格点G、M、N，，分别连接、交于点，连接交于P，如图，则，，，，连接，交于点， ∴，， ∵， ∴。 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为 的中点， 同理可得， 又， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴垂直平分线段， 设直线的解析式为， 把，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上， ∴线段在直线上， ∴直线是线段的垂直平分线段， ∴ ∵， ∴当点三点共线时，线段最小，的值最小． 三．解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法，先移项，再开平方求出两个根； （2）用因式分解法，把一元二次方程分解成，令每个因式等于0求解； （3）用配方法，方程两边同时加9凑成完全平方，再开平方计算； （4）先移项，提取公因式因式分解，进而得到方程的根． 【小问1详解】 解：， ， ，， ，； 【小问2详解】 解：， ， ，， ，； 【小问3详解】 解：， ， ， ，， ，； 【小问4详解】 解：， ， ， ，， ，． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由（1）可得， ∴． 21. 已知二次函数过点和点． （1）求这个二次函数的解析式，并写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． （2）写出当为何值时，随的增大而增大． （3）当________时，二次函数有最________值，其值为________． 【答案】（1）；二次函数图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为 （2）当时，随的增大而增大 （3）；大； 【解析】 【分析】（1）用待定系数法将点和点代入二次函数中，求解即可，然后根据求得的解析式即可得出二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）根据二次函数，其图象的开口向下，关于轴对称，即可得出结果； （3）根据二次函数，其图象的开口向下，关于轴对称，顶点坐标为，即可得出结果． 【小问1详解】 解：将点和点代入二次函数中得： ，解得：， ∴二次函数解析式为， ∵二次函数，且， ∴二次函数图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵二次函数，其图象的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大． 【小问3详解】 解：∵二次函数，其图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为， ∴当时，二次函数有最大值，其值为． 22. 如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为秒． （1）根据题意知：__________，___________；（用含的代数式表示） （2）为何值时，的面积等于？ （3）点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3） 解：不可以，理由如下：  如果可以，则由勾股定理得， 整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴的长不可以是． 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程的应用．熟练掌握动点路程、速度和时间的关系，动点形成三角形面积，列一元二次方程，一元二次方程根的判别式判定一元二次方程根的情况，是解题的关键． （1）根据动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从点C出发以的速度向点B移动，可以得出，； （2）根据的面积等于，列方程求出t的值； （3）假设可以，根据这一条件列方程并且整理出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式判定此方程没有实数根，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵动点D、E同时出发，动点E从点C出发以的速度向点B移动， ∴， ∵动点D从点A出发以速度向点C移动， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当的面积等于， 根据题意得， 整理得， 解得， 答：，即运动1秒时，的面积等于； 【小问3详解】 略 23. 综合与实践 项目主题：设计小区停车场扩建方案 项目背景：随着生活条件的改善，某小区停车场不能满足业主的需求，学校综合与实践活动小组以探究“设计小区停车场扩建方案”为主题开展了项目学习． 数据信息：（如图1所示） 信息1，原停车场的长为，宽为． 信息2，扩建后的长最大为，宽最大为． 问题解决： （1）如图1，若将原停车场的长、宽增加相同的长度后，得到一个面积为的新停车场，求新停车场的长与宽． （2）如图2，当时，新停车场的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】（1）新停车场的长为，宽为 （2） 不可以，理由如下：设． 根据题意，得． 整理，得 解得（不符合题意，舍去）． 当时，．（不符合题意，舍去） 当时，新停车场的面积不可以为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设设将停车场的长、宽各增加，根据得到一个面积为的新停车场列方程求解即可； （2）假设新停车场的面积可以为，设，根据新停车场的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，将其正值代入验证即可． 【小问1详解】 解：设将停车场的长、宽各增加．根据题意，得 ． 整理，得． 解得（不符合题意，舍去）． ∴． 答：新停车场的长为，宽为． 【小问2详解】 略 24. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． （1）求该抛物线的解析式． （2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）． （2）存在，点坐标为． （3）存在，点的横坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）因为已知抛物线上点A的坐标和顶点式，所以将A点坐标代入，求解得到a的值即可确定解析式． （2）首先求出B、C、D三点坐标，因为，设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F，证明，求出，直线的解析式为．联立直线与抛物线解析式求出，即得． （3）因为与同底且面积相等，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，所以过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离．设点D关于的对称点为点H，求出过点D平行于的直线的解析式为，过点H平行于的直线的解析式为．分别与抛物线的解析式联立，即可求出点P的横坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点式为过点， ∴， 解得． ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：存在． 对． 令，得方程， 解得或， ∴； 令，得， ∴； ∵抛物线对称轴为直线，轴， ∴点横坐标为1、纵坐标与相同， 即． 设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为． 则， 解得， ∴直线的解析式为． 联立直线与抛物线解析式：， 消去整理得， 解得（对应点，舍去），或， 代入直线解析式得， ∴． 【小问3详解】 解：存在． ∵与同底且面积相等， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离． 设直线的解析式为， 由（2）知，、， ∴， 解得， ∴直线为． 设过点D平行于的直线的解析式为， ∵该直线过点， ∴， 解得， ∴过点D平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． 设点D关于的对称点为点H， 则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在y轴上， ∴， ∴， 设过点H平行于的直线的解析式为， 则， ∴过点H平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． ∴满足条件的点的横坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期九年级数学练习卷 时间：100分钟 满分120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 5，4，1 B. 5，4， C. 5，， D. 5，，1 2. 方程的两个根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 若方程的两个根是和，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 7. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 8. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 9. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=（x+1）2向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（　　） A. y=（x﹣2）2﹣4 B. y=（x﹣1）2﹣4 C. y=（x﹣2）2﹣3 D. y=（x﹣1）2﹣3 11. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……，则下列说法： ①10是三角点阵中前4行的点数和； ②300是三角点阵中前24行的点数和； ③前n个点数和为200的点，在这个三角形点阵中位于第19行第10个点； ④这个三角点阵中前n行的点数和不可能是600．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 个 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 若是方程的一个根，则a的值等于______． 14. 若是方程的一个根，则式子的值为________． 15. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______． 16. 一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排场比赛，则本次比赛共有________个参赛棋手． 17. 已知二次函数，当时，的取值范围为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点、、、均在格点上．点为直线上的动点，连接，作于，点为边上的动点，连接和． （Ⅰ）当点为边的中点时，的面积为________； （Ⅱ）当最短时，请在图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_________________． 三．解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21. 已知二次函数过点和点． （1）求这个二次函数的解析式，并写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． （2）写出当为何值时，随的增大而增大． （3）当________时，二次函数有最________值，其值为________． 22. 如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为秒． （1）根据题意知：__________，___________；（用含的代数式表示） （2）为何值时，的面积等于？ （3）点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由． 23. 综合与实践 项目主题：设计小区停车场扩建方案 项目背景：随着生活条件的改善，某小区停车场不能满足业主的需求，学校综合与实践活动小组以探究“设计小区停车场扩建方案”为主题开展了项目学习． 数据信息：（如图1所示） 信息1，原停车场的长为，宽为． 信息2，扩建后的长最大为，宽最大为． 问题解决： （1）如图1，若将原停车场的长、宽增加相同的长度后，得到一个面积为的新停车场，求新停车场的长与宽． （2）如图2，当时，新停车场的面积可以为吗？请说明理由． 24. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． （1）求该抛物线的解析式． （2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $