精品解析：天津市大毕庄中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

天津市大毕庄中学2026－2027（一）阶段练习 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 7. 已知，点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象交轴于，对称轴为．则下列结论：①；②；③；④若，是图象上的两点，则；⑤若，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知方程的一个根是，则它的另一个根是___________． 12. 二次函数的最小值为________． 13. 已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________． 14. 三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 15. 二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____． 16. 当时，函数的最小值为1，则的值为______． 三、解答题（共52分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 关于的一元二次方程的实数解是和． （1）求的取值范围； （2）如果且k为整数，求k的值． 19. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 20. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： （1）求二次函数的解析式； （2）当时，x的取值范围________； （3）当时，y的最大值是________； （4）当时，y的取值范围是________； （5）若直线与该二次函数的图象有公共点，则k的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市大毕庄中学2026－2027（一）阶段练习 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解决此题的关键是熟记一元二次方程是含有1个未知数，未知数的最高次数是2，两边都是整式的方程；根据一元二次方程的定义一一判断即可； 【详解】解：含有2个未知数，故A错误； 最高次数是3，故B错误； 含有分式的形式，故 C错误； 满足一元二次方程的形式，故D正确； 故选：D． 2. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，判断各选项是否为整式且最高次数为2即可． 【详解】解：选项A：形如，但未明确，当时不是二次函数，故不符合题意； 选项B：含分式，不符合二次函数为整式的要求，故不符合题意； 选项C：展开得，是最高次为2的整式，且二次项系数，符合二次函数定义，故符合题意； 选项D：展开得，是一次函数，故不符合题意． 故选：C． 3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式逐一判断即可． 【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确； B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误； C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误； D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键． 5. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 6. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程． 【详解】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为， ∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元 即2019年我国快递业务收入为亿元， ∴可列方程：， 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程． 7. 已知，点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是，根据时，y随x的增大而增大，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴图像的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵，，， 又∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练的运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 8. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 10. 如图，已知二次函数的图象交轴于，对称轴为．则下列结论：①；②；③；④若，是图象上的两点，则；⑤若，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知当x=0时，c<0，再根据开口向上及对称轴，即可得a、b的取值范围，据此即可判定①；根据题意可求得函数图象与x轴的另一个交点坐标，再根据二次函数的性质，即可判定②；根据对称轴所在的直线为，可得b=2a，由当x=1时，a+b+c=0，即可判定③；首先可求得点关于对称轴对称的点的坐标为，再根据二次函数的性质，即可判定④；首先可求得点(0,c)关于对称轴对称的点的坐标为(-2,c)，再根据函数图象即可判定⑤，据此即可解答． 【详解】解：由图象可知，当x=0时，y<0， ∴c<0， 该二次函数的图象开口向上， ， ， ， ∴①不正确； ∵对称轴为直线x=−1，二次函数的图象交轴于， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点为， 该二次函数的图象开口向上， 当x=2时， ∴②正确； ， ， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 当x=1时，a+b+c=0， ∴a+2a+c=0，即3a+c=0， ∴③正确； ∵函数图象的对称轴为直线x=-1， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴， ∴④不正确； 该函数图象与y轴的交点坐标为(0,c)， 点(0,c)关于对称轴对称的点的坐标为(-2,c)， 时，， ∴⑤正确； 故正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取相关信息，采用数形结合的思想是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知方程的一个根是，则它的另一个根是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系解答即可． 【详解】解：设方程的另一个根为a，则， ∴ 故答案为：2． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解题的关键． 12. 二次函数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】题目给出的二次函数为顶点式，结合二次项系数判断开口方向，顶点处的函数值即为函数的最小值． 【详解】解：对于二次函数，二次项系数为，顶点坐标为， ∴抛物线开口向上，函数存在最小值， ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 13. 已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】由题意可分当a=0时，则函数与x轴满足只有一个交点，当a≠0时，则需满足，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： 当a=0时，则函数解析式为，满足与x轴只有一个公共点， 当a≠0时，则函数的图像与x轴只有一个公共点，需满足，即， ∴， 综上所述：当函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是0或1； 故答案为0或1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 14. 三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 【答案】17 【解析】 【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案． 【详解】解：解方程得x1=2，x2=6， 当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去； 当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17. 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 15. 二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答． 【详解】∵二次函数y=2x2﹣+bx+3的对称轴是直线x=1， ∴x=﹣=1， ∴b=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解答本题的关键． 16. 当时，函数的最小值为1，则的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时，求的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 【详解】解：当时，有， 解得：，． ∵当时，函数有最小值1， ∴或， ∴或， 故答案为：2或． 三、解答题（共52分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴， 即，． 18. 关于的一元二次方程的实数解是和． （1）求的取值范围； （2）如果且k为整数，求k的值． 【答案】（1） （2）1或2 【解析】 【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系． （1）方程有两个实数根，必须满足，从而求出实数的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得，，再代入不等式，即可求得的取值范围，然后根据为整数，求出的值． 解决问题的关键在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式． 【小问1详解】 解：∵方程有实数解是和， ∴，解得， 故的取值范围是； 【小问2详解】 ∵一元二次方程的实数解是和， ∴，， 则， ∵ ∴，解得， 又由（1）知， ∴， ∵为整数， ∴的值为1或2． 19. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了个人 （2）经过三轮传染后共有个人会患流感 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，熟练掌握传播问题解法是解决问题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，则开始是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中求得每轮传染中平均一个人传染人数，直接计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则开始时是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； 【小问2详解】 解：经过第二轮传染后共计81人，则第三轮传染人， 经过三轮传染后，会患流感人数为人， 答：经过三轮传染后共有个人会患流感． 20. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： （1）求二次函数的解析式； （2）当时，x的取值范围________； （3）当时，y的最大值是________； （4）当时，y的取值范围是________； （5）若直线与该二次函数的图象有公共点，则k的取值范围是________． 【答案】（1） （2）或 （3）3 （4） （5） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据函数图象进行解答即可； （3）根据增减性，进行求解即可； （4）根据增减性，进行求解即可； （5）求出顶点坐标，图象法进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 即图象经过，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据函数图象可得：当时，x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， 把代入得， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 【小问4详解】 解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； ∵ ∴当时，函数有最小值为； ∴当时，y的取值范围是； 【小问5详解】 解：依题意，， ∴当时，有最大值为4， ∵直线与该二次函数的图象有公共点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $