精品解析：上海市西南位育中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

高三数学 2026.11 （时间：120分钟，满分150分） 一、填空题：本题共12小题，共54分. 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的运算规律，计算即可 【详解】. 故答案为： 2. 已知幂函数过点，则函数的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【详解】设幂函数的解析式为：， ∵幂函数过点， ∴，解得：， 故函数的解析式为：． 3. 已知，则的最大值为________ 【答案】 【解析】 【详解】由得，解得， 当且仅当即时取等，所以的最大值为. 4. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化为，解不等式即可. 【详解】，通分得：. 等价于. 解得：. 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，将分式不等式转化为整式不等式为解题的关键，属于简单题. 5. 已知角为第二象限角，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据角的范围应用同角三角函数关系得出余弦值，结合诱导公式计算求解. 【详解】为第二象限角， ． 故答案为： 6. 已知数列为等比数列，，是方程的两个实数根，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】已知，是方程的两个实数根， 由韦达定理知，，，所以， 因为在等比数列中， 所以，因为，所以. 7. 已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意画出图象如下图所示： 易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式求得，进而得到，解绝对值不等式求得的取值范围. 【详解】，当且仅当时取等号， 由不等式恒成立，得，即或， 解得或，即实数a的取值范围是． 故答案为： 9. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值. 【详解】取得最小值，则公差，或， （1）当 ， ， 所以的最小值为. （2）当，不合题意. 综上所述：的最小值为. 故答案为： 10. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得，结合函数的单调性可得在区间上，，在上，，结合函数的奇偶性可得区间上，，在上，，进而不等式或，分析可得不等式的解集，即可得答案． 【详解】根据题意，为偶函数，且，则， 又由函数在上单调递减，则在区间上，，在上，， 又由函数为偶函数，则区间上，，在上，， 不等式或， 解可得：或； 即不等式的解集为； 故答案为． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，涉及分式不等式的解法，属于基础题．分式不等式一般先化为整式不等式，之后再结合二次函数的性质得到解集. 11. 已知函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标依次是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的性质，得到，求得，再由1与2的中点必为函数的最大值点，求得，即可求解. 【详解】因为函数与直线的三个相邻交点的横坐标依次是， 可得函数的最小正周期为，解得， 结合三角函数的性质，可得1与2的中点必为函数的最大值点， 且2与4的中点必为函数的最小值点， 可得，解得， 因为，所以 故答案为：. 12. 反坦克拒马是二战经典的反坦克障碍物，下图为简易模型，三根长度均为4米的线段，，交于共同的中点，，，为下端点，，，为上端点，一根线段的上端点与另外两根线段的下端点构成的三角形（如），其面积称作拒马的“狙击面积”，结构上，由于力学考量，，均为正三角形，且任意两根线段所在直线所成的，则该拒马的狙击面积最大值为______平方米． 【答案】 【解析】 【分析】由于三根线段两两所在直线夹角，且上下端点构成正三角形，因此三根线段在空间中具有高度对称性，可以用向量表示三根线段的方向，再利用正三角形条件求出向量内积，最后把的面积表示成的函数，求最大值. 【详解】设三根线段交于点，设， 则，， 由为正三角形得， 结合任意两根线段所在直线所成角为， 取， ，同理，， 即是等腰三角形，， 底边上高， ， 平方得， 当时，即，满足，此时. 【点睛】关键点睛：把三根线段看成共起点的三个向量，利用“中点”和“正三角形”条件得到三个向量两两内积相等。关键转化：，把几何最值问题转化为二次函数最值问题。 二、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 13. 设，，已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，当，，满足，，得，故A错误； 对于B，， 因为，，所以， 则，即，故B正确； 对于C，取，，满足，，但没意义，故C错误； 对于D，取，，满足，，得，故D错误. 14. （）是的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】判断（）和之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当（）时,, 当时，有（）或（）， 故（）是的充分非必要条件， 故选：A 15. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得最大值 C. 函数在上单调递减 D. 在区间内的函数值为负 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可得的符号，进而可判断的单调性，结合的单调性逐项分析判断. 【详解】由图象可得：当或时，；当或时，； 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 故A错误，C正确； 函数在处取得极大值，不一定是最大值，故B错误； 根据题意只能得到的符号，以及的单调区间，无法判断的符号，故D错误. 16. 若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解. 【详解】双曲线的渐近线， 双曲线与直线没有公共点，则. 又因为双曲线离心率大于1，所以B选项符合题意. 故选：B 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知向量，.设. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可； （2）根据求出角A，结合条件及三角形面积公式求出c，利用余弦定理即可求解a. 【小问1详解】 由题意， ， 因此函数的最小正周期为； 【小问2详解】 由得， 因为，所以，解得， 因为，所以, 由余弦定理解得, 所以. 18. 双曲线的左右顶点为，，其渐近线上有一点．过点作直线交于点，点在第一象限． （1）求双曲线的焦距和离心率； （2）若的面积为14，求直线的方程． 【答案】（1）双曲线的焦距为，离心率为 （2）直线的方程为 【解析】 【小问1详解】 ∵双曲线，∴，， ， ∴双曲线的焦距为， 离心率为. 【小问2详解】 ∵直线过，设直线方程为，与交点在第一象限， 联立，化简得， 则由韦达定理得， ，∵点在第一象限， ∴，点到直线的距离， ， ， 化简得， 解得或（舍）， ∴直线的方程为. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）函数在上有两个不相等的零点，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求解斜率，代入点斜式直线方程求解； （2）利用两角和差的正弦公式化简导函数，再判断单调性，结合零点存在性定理求出. 【小问1详解】 当时，，则， 得， 故函数在处的切线方程为； 【小问2详解】 ， 因为，所以，， 则当即时，； 当即时，； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当函数在上有两个不相等的零点时， ，，，得， 故的取值范围为 20. 设函数在非空数集上的取值集合为，即．若，则称为上的“集中函数”． （1）分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； （2）设，若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）由题意，，故是上的“集中函数”； 不是的子集，故不是上的“集中函数”． （2） 【解析】 【分析】（1）根据集中函数的定义判断即可； （2）讨论，和三种情况下，函数在上的单调性，得到其值域，由，求得的取值范围； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由在上的值域，对称轴为，分类讨论： ①当时，在上单调递增，， 由，需满足：. 故存在实数，使得为上的“集中函数”， 所以满足条件． ②当时，在递减、递增，设表示，中最大的数， 值域． 由，故，故， 故存在使得为上的“集中函数”， 因此均满足条件． ③当时，此时在上单调递减，值域． 由，故， 故，解得． 由，得． 当时，，， 故存在实数，使得为上的“集中函数”， 所以只有满足条件. 综上所述，实数的取值范围是． 21. 已知椭圆，过定点的直线交椭圆于，两点，其中． （1）若椭圆短轴长为4且经过点，求椭圆方程； （2）对（1）中的椭圆，若，求面积的最大值； （3）在轴上是否存在点使得恒成立？如果存在，求出，的关系；如果不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由短轴长和椭圆上的点可构造方程求得，进而得到椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得韦达定理的形式，由，结合韦达定理可化简为，再利用基本不等式可求得最大值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，假设，可得，利用两点连线斜率公式和韦达定理可化简整理，求得，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意，，解得，， 则椭圆方程为． 【小问2详解】 由题意，，显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为3． 【小问3详解】 由题意，设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，， 若，则，即， 所以，即， 则，即， 故，则，即， 另一方面，当直线的方程为时，此时， 故轴上存在点使得恒成立，且，满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 2026.11 （时间：120分钟，满分150分） 一、填空题：本题共12小题，共54分. 1. 已知集合，则__________. 2. 已知幂函数过点，则函数的解析式是__________． 3. 已知，则的最大值为________ 4. 不等式的解集为______. 5. 已知角为第二象限角，，则______． 6. 已知数列为等比数列，，是方程的两个实数根，则___________. 7. 已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 8. 若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______． 9. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为__________． 10. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为______． 11. 已知函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标依次是，则______. 12. 反坦克拒马是二战经典的反坦克障碍物，下图为简易模型，三根长度均为4米的线段，，交于共同的中点，，，为下端点，，，为上端点，一根线段的上端点与另外两根线段的下端点构成的三角形（如），其面积称作拒马的“狙击面积”，结构上，由于力学考量，，均为正三角形，且任意两根线段所在直线所成的，则该拒马的狙击面积最大值为______平方米． 二、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 13. 设，，已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 14. （）是的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 15. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得最大值 C. 函数在上单调递减 D. 在区间内的函数值为负 16. 若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足（ ） A. B. C. D. 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知向量，.设. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长. 18. 双曲线的左右顶点为，，其渐近线上有一点．过点作直线交于点，点在第一象限． （1）求双曲线的焦距和离心率； （2）若的面积为14，求直线的方程． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）函数在上有两个不相等的零点，，求的取值范围． 20. 设函数在非空数集上的取值集合为，即．若，则称为上的“集中函数”． （1）分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； （2）设，若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围． 21. 已知椭圆，过定点的直线交椭圆于，两点，其中． （1）若椭圆短轴长为4且经过点，求椭圆方程； （2）对（1）中的椭圆，若，求面积的最大值； （3）在轴上是否存在点使得恒成立？如果存在，求出，的关系；如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $