2.3.4两条平行直线间的距离 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.4 两条平行直线间的距离 教学设计

（高中数学 人教A版 选择性必修 第一册）

一、教材分析

本节课选自人民教育出版社《普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册》（人教A版，2026—2027学年使用）第二章"直线和圆的方程"，是2.3节"直线的交点坐标与距离公式"的第4课时（教材第78～79页）。在此之前，学生已经学习了2.3.1两条直线的交点坐标、2.3.2两点间的距离公式和2.3.3点到直线的距离公式，初步体会了用坐标法研究几何问题的基本思路。

教材以"平面上的距离问题"为主线，在本课时把距离问题由"点线"自然延伸到"线线"，通过例7呈现了"在一条平行直线上取特殊点，把线线距离转化为点到直线的距离"的思路，并在探究中归纳出两条平行直线间的距离公式。本节课既是前面几种距离公式的延续与收尾，也为后面用坐标法研究圆的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系奠定基础，起着承上启下的作用。

二、教学目标与核心素养

（一）课程目标

1、理解两条平行直线间的距离的概念，掌握两条平行直线间的距离公式的推导过程，并能运用公式求两条平行直线间的距离；

2、经历"化线线距离为点线距离"的探究过程，体会化归与转化的数学思想方法，发展逻辑推理与数学运算素养；

3、能运用公式解决含参数的平行直线问题以及与平行线间距离有关的最值问题，并在道路标线宽度测算等实际情境中感受数学的应用价值。

（二）数学学科素养

1.数学抽象：两条平行直线间的距离的概念及其距离公式；

2.逻辑推理：把两条平行直线间的距离化归为点到直线的距离，完成公式的推导；

3.数学运算：运用距离公式求距离、求参数，处理与距离有关的最值问题；

4.数学建模：将车道标线宽度等实际问题抽象为两条平行直线间的距离模型并加以求解。

三、教学重难点

重点：两条平行直线间的距离公式的推导与运用；

难点：推导公式时"化线线距离为点线距离"的转化思想，以及运用公式时两直线方程须先化为一般式且x、y的系数对应相等的条件。

四、教学方法和工具

教学方法：以学生为主体，以问题为导向，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体、GeoGebra动态数学软件。

五、教学过程

（一）情景导入

情境创设：2026年秋，某市为新建的自动驾驶示范路段重新施划标线。以路缘一侧的中点为原点、沿路的横向为x轴建立平面直角坐标系（单位：m）后，同向两条车道分隔线所在直线分别约为 与 （如图1）。验收标准要求两条分隔线之间的宽度不小于10 m，验收人员能否直接由两个方程算出这两条分隔线之间的距离？

图1 车道分隔线宽度问题示意

提问1：在平面直角坐标系中，我们已经研究过哪些距离问题？分别是怎样求的？

提问2：两条平行直线间的"宽度"指的是哪一段的长度？能否把它转化为我们已经会求的距离？

要求：让学生自由发言，教师不做判断，而是引导学生回顾点到直线的距离公式，进一步观察、研探。

（二）预习课本，引入新课

阅读课本第78～79页，思考并完成以下问题：

1、两条平行直线间的距离是怎样定义的？

2、怎样把两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？

3、两条平行直线间的距离公式是什么？使用公式时需要注意什么条件？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

（三）新知探究

1.概念的建立

探究：夹在两条平行直线之间且与两条直线都垂直的线段（公垂线段）有无数条，它们的长度是否相等？

预设：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长。这些公垂线段互相平行且长度相等，所以两条平行直线间的距离处处相等，与公垂线段的位置无关。

2.公式的推导

思考：两条平行直线 与 （A、B不同时为0，）之间的距离怎样求？

分析：在直线 上任取一点 ，则两条平行直线间的距离就是点 P 到 的距离（如图2）。

因为点 在直线 上，所以 ，即 。由点到直线的距离公式，得

由此得到两条平行直线间的距离公式：

图2 化线线距离为点线距离示意

数学抽象：由于点 P 的选取是任意的，选点不影响结果，因此常选直线与坐标轴的交点等特殊点，使运算简便。