第2章 09 专题强化练4 直线系方程及其应用（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

**基本信息** 以直线系方程为核心，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，实现从概念辨析到跨知识整合的知识巩固路径，培养数学思维与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线系方程基础应用（过交点、平行）|选择填空结合，如第1题过交点平行直线求解，第2题概念辨析| |综合应用|参数讨论与几何综合（垂直、面积、距离）|融入几何情境，如第4题定点垂直与面积最值，第6题平行直线距离最值| |创新拓展|跨知识整合（与三角函数结合）|引入三角函数参数，如第11题直线系平行距离定值问题|

专题专项练 专题强化练4　直线系方程及其应用 1.(2026江苏连云港赣榆海头高级中学月考)已知直线l过直线l1:x-y=0和l2:x+y-2=0的交点,且与直线3x+4y-5=0平行,则l的方程是(　　) A.3x+4y+7=0　　 B.3x+4y-7=0 C.4x-3y+1=0　　 D.4x-3y-1=0 2.(多选题)(2026河南开封期中)已知P(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上一点,Q(x2,y2)是l外一点,则下列对方程:①f(x,y)+f(x2,y2)=0,②f(x,y)=f(x1,y1)+f(x2,y2)的描述中,正确的有(　　) A.①表示的直线是与l重合的直线 B.①表示的直线是不过点Q且与l平行的直线 C.②表示的直线是与l重合的直线 D.②表示的直线是过点Q且与l平行的直线 3.(2026上海华东师范大学第二附属中学月考)已知k∈R,则直线(3k+1)x+(1-4k)y=5k+4和直线(k+4)x+(k-8)y=12不可能(　　) A.平行　　B.重合 C.垂直　　D.关于x轴对称 4.(2026湖北随州第一高级中学月考)已知过定点A的动直线l1:x-my+m-2=0和过定点B的动直线l2:mx+y-4+2m=0交于点P(P不与A,B重合,m∈R),有以下命题:①|AB|=5;②|PA|2+|PB|2为定值;③S△PAB的最大值为;④|PA|+|PB|的最大值为5,其中真命题的个数为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 5.(2026北京第二中学期中)已知点A(-2,0),B(2,0),C(0,2),直线y=ax+2a将△ABC分割为面积相等的两部分,则实数a的值是　　　　.  6.(2026上海海事大学附属北蔡高级中学期中)已知两条平行直线l1:(λ+2)x-(2λ-1)y+6λ-8=0,l2:(λ+2)x-(2λ-1)y-4λ-13=0,当l1,l2之间的距离最大时,λ=　　　　.  7.(2026天津滨海新区塘沽第一中学月考)设直线l经过直线2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,则直线l的方程为　　　　　　　　　　.  8.(2026江苏扬州红桥高级中学月考)设m∈R,若过定点A的动直线x+my-m=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),AB的中点为Q,则|PQ|的值为　　　　.  9.(2026北京中国人民大学附属中学期中)在平面直角坐标系中,已知一个正方形四条边所在的直线l1,l2,l3,l4分别经过点A(1,0),B(2,0),C(4,0),D(8,0),且l1的斜率为正数,给出下列三个结论: ①若l1∥l2,则该正方形的面积是; ②若l1⊥l2,则该正方形的面积是; ③若该正方形的面积为,则l1的斜率为2. 其中正确结论的序号是　　　　.  10.(2026广东佛山南海中学月考)已知直线l1的方程为(2λ+3)x+(λ+4)y+2(λ-1)=0,则l1所过的定点Q的坐标为　　　　;已知点P的坐标为(x,y),且满足方程|x|+=1,则直线PQ的斜率的取值范围是　　　　.  创新点　直线系与三角函数结合考查定值问题 11.“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合,通常用含参数的直线方程来表示,当参数取不同值时,方程表示该直线系中的某一条直线.已知l1,l2是直线系A:xsin α-ycos α+2-sin α=0(α∈[0,2π))中的两条不同直线,若l1∥l2,则l1,l2之间的距离为　　　　.  答案与分层梯度式解析 专题专项练 专题强化练4　直线系方程及其应用 1.B 2.BD 3.D 4.B 1.B　解法一:联立直线l1,l2的方程,得解得x=y=1,故直线l1,l2的交点坐标为(1,1), 因为直线l与直线3x+4y-5=0平行,所以可设直线l的方程为3x+4y+m=0(m≠-5), 将点(1,1)的坐标代入直线l的方程可得3+4+m=0,解得m=-7. 因此直线l的方程为3x+4y-7=0. 解法二:设所求直线方程为(x-y)+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-1)y-2λ=0.因为该直线与直线3x+4y-5=0平行,所以4(1+λ)=3(λ-1),可得λ=-7,经检验符合条件,所以所求直线方程为3x+4y-7=0. 名师指点　几种常见的直线系方程 (1)过已知点P(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为参数),但此方程不能表示直线x=x0. (2)斜率为k的直线系方程为y=kx+b(b是参数). (3)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ≠C). (4)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0. (5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数),但此方程不能表示直线l2. 2.BD　因为Q(x2,y2)是l外一点,所以可设f(x2,y2)=a,其中a≠0, 所以由f(x,y)+f(x2,y2)=0得f(x,y)+a=0,又f(x2,y2)+a=2a≠0, 故f(x,y)+f(x2,y2)=0表示的是不过点Q且与l平行的直线,B正确; 因为P(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上一点,所以f(x1,y1)=0, 故f(x,y)=f(x1,y1)+f(x2,y2)=0+a=a,又f(x2,y2)=a, 所以f(x,y)=f(x1,y1)+f(x2,y2)表示的是过点Q且与l平行的直线,D正确. 3.D　对于A,B,由(3k+1)(k-8)=(1-4k)·(k+4),整理得到7k2-8k-12=0,解得k=2或k=-, 当k=2时,两直线方程均为x-y-2=0,此时两直线重合; 当k=-时,两直线方程分别为11x-31y-2=0和11x-31y-42=0,此时两直线平行. 对于C,由(3k+1)(k+4)+(1-4k)(k-8)=0,整理得到k2-46k+4=0,又Δ=462-16>0,所以k2-46k+4=0有实数解,即存在k值使两直线垂直. 对于D,由(3k+1)x+(1-4k)y=5k+4,得到k(3x-4y-5)+x+y-4=0, 由解得x=3,y=1,所以直线(3k+1)x+(1-4k)y=5k+4过定点(3,1), 若两直线关于x轴对称,则点(3,-1)必在另一直线上,所以3(k+4)-k+8=12, 得到k=-4,此时两直线方程分别为11x-17y-16=0和y=-1,显然两直线不关于x轴对称. 4.B　由x-my+m-2=0,得(x-2)-m(y-1)=0,由得即A(2,1). 由mx+y-4+2m=0,得m(x+2)+(y-4)=0,由得即B(-2,4). 易得|AB|==5. 对于直线l1:x-my+m-2=0和直线l2:mx+y-4+2m=0,因为1×m+(-m)×1=0, 所以l1⊥l2,(垂直关系是解题的关键) 所以PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=25,为定值. S△PAB=|PA||PB|≤×=,当且仅当|PA|=|PB|=时取等号. 因为(|PA|+|PB|)2≤2(|PA|2+|PB|2)=50,所以|PA|+|PB|≤5,当且仅当|PA|=|PB|=时取等号,即|PA|+|PB|的最大值为5. 综上,知命题①②为真命题,③④为假命题,所以真命题的个数为2. 5.答案　 解析　∵y=ax+2a=a(x+2), ∴直线y=ax+2a过定点(-2,0),即过定点A(-2,0), 又直线y=ax+2a将△ABC分割为面积相等的两部分, ∴直线y=ax+2a必过线段BC的中点(1,1)(解题关键), ∴a+2a=1,解得a=. 6.答案　2 解析　l1:(λ+2)x-(2λ-1)y+6λ-8=0即λ(x-2y+6)+(2x+y-8)=0, 由得∴直线l1恒过点(2,4),记A(2,4). l2:(λ+2)x-(2λ-1)y-4λ-13=0即λ(x-2y-4)+(2x+y-13)=0, 由得∴直线l2恒过点(6,1),记B(6,1), 易知当直线AB与l1,l2均垂直时,两直线间的距离最大, ∴kAB·=-1,∵kAB==-,∴==,解得λ=2, ∴l1,l2之间的距离最大时,λ=2. 7.答案　x-y-4=0或x+y-24=0 解析　设直线l的方程为2x-3y+2+λ(3x-4y-2)=0,整理得(2+3λ)x-(3+4λ)y+2-2λ=0,令x=0,得y=,令y=0,得x=-,依题意得=,即=±1,解得λ=-1或λ=-.所以直线l的方程为x-y-4=0或x+y-24=0. 8.答案　 解析　由x+my-m=x+m(y-1)=0,知此直线经过的定点为(0,1),所以A(0,1), 由mx-y-m+3=m(x-1)-y+3=0,知此直线经过定点(1,3),故B(1,3), 因为1·m+m·(-1)=0,所以两直线垂直,如图, 因此△ABP为直角三角形,所以|PQ|=|AB|=×=. 9.答案　①③ 解析　若l1∥l2,因为直线l1,l2分别经过点A(1,0),B(2,0),且l1的斜率为正数,所以可设l1:y=k(x-1),l2:y=k(x-2),k>0, 根据题意可知l3,l4的斜率为-, 又l3,l4分别经过C(4,0),D(8,0), 所以l3:y=-(x-4),l4:y=-(x-8), 由题知l1,l2之间的距离等于l3,l4之间的距离, 即=,解得k=4(舍负),故该正方形的边长为==, 则该正方形的面积为=,故①正确. 根据l1⊥l2及题意可知,若l1∥l3,l2∥l4,设l1:y=k1(x-1),l2:y=-(x-2),k1>0,则l3:y=k1(x-4),l4:y=-(x-8), 由题知l1,l3之间的距离等于l2,l4之间的距离, 即=,解得k1=2(舍负),故该正方形的边长为==, 则该正方形的面积为=; 若l1∥l4,l2∥l3,设l1:y=k2(x-1),l2:y=-(x-2),k2>0,则l3:y=-(x-4),l4:y=k2(x-8), 由题知l1,l4之间的距离等于l2,l3之间的距离, 即=,解得k2=(舍负),故该正方形的边长为=, 则该正方形的面积为=,故②不正确. 由上述分析可知,若该正方形的面积为,则l1的斜率为2,故③正确. 10.答案　(-2,2); 解析　直线l1的方程(2λ+3)x+(λ+4)y+2(λ-1)=0可整理为λ(2x+y+2)+3x+4y-2=0.(将直线方程整理为关于参数λ的表达式) 令解得x=-2,y=2, 故定点Q的坐标为(-2,2). 对于|x|+=1, 当x≥0,y≥0时,方程可化为x+=1;当x≥0,y<0时,方程可化为x-=1; 当x<0,y≥0时,方程可化为-x+=1;当x<0,y<0时,方程可化为-x-=1. 由此画出方程|x|+=1表示的图形如下: 易知该图形为四个顶点分别是(1,0),(0,3),(-1,0),(0,-3)的菱形. 直线PQ的斜率k=,即该菱形上的点与Q(-2,2)连线的斜率.(计算各顶点与Q(-2,2)连线的斜率) Q(-2,2)与点(1,0)连线的斜率为-,与点(0,3)连线的斜率为,与点(-1,0)连线的斜率为-2,与点(0,-3)连线的斜率为-. 结合图形可知,斜率k的取值范围是. 解后反思　将所求斜率转化为动点与定点连线的斜率,计算菱形各顶点与定点连线的斜率,结合图形得出取值范围. 11.答案　4 解析　方程xsin α-ycos α+2-sin α=0可改写为(x-1)sin α-ycos α+2=0,无论α取何值,点(1,0)到直线系中的直线的距离d==2,为定值,因为l1∥l2,所以l1,l2之间的距离为4. 7 学科网（北京）股份有限公司 $