2.3.4 两条平行直线间的距离 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.4两条平行直线间的距离 教学设计--高中数学人教A版选择性必修 第一册-2026-2027学年

人民教育出版社A版《普通高中教科书·数学》选择性必修 第一册

一、课题基本信息

课题：2.3.4 两条平行直线间的距离

教材版本：人民教育出版社A版《普通高中教科书·数学》选择性必修 第一册（2019年审定）

册次：选择性必修 第一册（第二章 直线和圆的方程）

年级：高二年级

课时：2.3.4（第二章2.3节第4课时）

课型：新授课

教学内容：两条平行直线间的距离的定义，把两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离，推导并应用两条平行直线间的距离公式

二、教材内容分析

本课时是人教A版选择性必修第一册第二章“2.3 直线的交点坐标与距离公式”的最后一课，承接2.3.3点到直线的距离公式，解决两条平行直线间的距离的计算问题。教材以“思考”栏目驱动探究：如何求两条平行直线之间的距离？其核心思路是化归——在一条直线上任取一点，把两条平行直线间的距离转化为这个点到另一条直线的距离。

教材借助一般化推导得出距离公式：设两条平行直线与（A、B不同时为0），在上任取一点，则，即。点P到的距离为，代入并化简，得两条平行直线间的距离公式。

推导过程中点P的任意性保证了结果的确定性：无论在上取哪个点，算出的距离都相同，因此实际计算时可以选取使运算简便的特殊点，如直线与坐标轴的交点。这一推导集中体现了化归思想与从特殊到一般的数学思想。

教材例7给出了两条方程系数不对应相同的平行直线与，教材示范了取直线与坐标轴的交点作为特殊点的解法，同时为“统一系数后直接使用公式”留出了比较空间，是本课时落实化归思想的主要载体。

教学时以“芯片制造中的平行导线间距”为情境载体，让学生经历“定义—化归—推导—应用”的完整过程，体会坐标法把几何问题代数化的力量，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算与直观想象素养。

三、学情分析

学生刚在2.3.3学习了点到直线的距离公式，能较熟练地计算点到直线的距离，但对“两条平行直线间的距离”还没有正式定义。部分学生凭直觉认为需要先求出公垂线段两个端点的坐标，再用两点间距离公式计算，思路可行但运算繁琐，正可作为引入化归方法的认知起点。

高二学生已具备一定的化归意识，但在具体问题中主动选取特殊点简化运算的习惯尚未形成；对公式使用前提——两条直线的方程须化为一般式且x、y的系数对应相同——容易忽视，常出现把系数不同的方程直接代入公式导致结果错误的情形。

学生对含绝对值、含根式的运算熟练度不足，尤其是把化为这类最简结果时容易出错，需要通过板演示范与错例辨析强化运算的规范性。

四、教学目标（核心素养导向）

【数学抽象】

1. 理解两条平行直线间的距离的定义，能把两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离，体会化归思想。

【逻辑推理】

2. 经历在一条直线上任取一点、利用点到直线的距离公式推导两条平行直线间距离公式的过程，理解公式的合理性与使用前提。

【数学运算】

3. 能正确运用公式求两条平行直线间的距离，能根据距离条件求参数的值，运算结果化为最简形式。

【直观想象】

4. 能借助图形直观理解“平行线间距离处处相等”与公垂线段的意义，对例题中的位置关系作出图形表征。

五、教学重点、难点

教学重点：两条平行直线间的距离的求法；距离公式的推导与应用。

教学难点：对公式使用前提的理解（方程须化为一般式，且x、y的系数对应相同）；取特殊点简化运算的选择。

六、教学准备

多媒体课件（动态演示两条平行直线间的距离的化归过程）、学案（含公式推导留白与分层练习）、直尺、投影设备。

课前要求学生复习2.3.3点到直线的距离公式，完成学案回顾题：求点P(1,2)到直线的距离。参考答案：。

七、教学过程

本课时按“情境导入—新知探究—例题精讲—课堂练习—小结作业”推进，五个环节共45分钟。

环节：情境导入（约5分钟）

教师出示情境：2026年，我国自主研制的先进制程芯片实现量产突破。一枚芯片上数以亿计的金属互连线中，有大量互相平行的直线段，两条平行导线之间的间距必须精确控制——间距过小可能造成短路，间距过大则浪费版图面积。工程师检测时，把两条平行导线抽象为同一平面内的两条平行直线，需要测定它们之间的距离。

教师追问：我们已经会求点到直线的距离，那么同一平面内两条平行直线之间的距离该如何定义、又该如何计算？由此引出课题。

设计意图：以芯片制造的真实技术情境引出数学问题，渗透科技自立自强的价值引领，让学生感受用坐标法研究几何问题的必要性。

环节：新知探究（约13分钟）

活动一：定义与化归。教师引导学生观察图1：两条平行直线与，在上任取一点，过P作，垂足为。师生共同明确：两条平行直线间的距离等于夹在这两条平行直线间的公垂线段的长度；由于两直线平行，点P取在的任何位置，点P到的距离都相等，因此可以在一条直线上任取一点，把两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离。

图1 两条平行直线间的距离的化归示意