1.5.1 全称量词与存在量词教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5.1  全称量词与存在量词

课  型

新授课

课时数

1

授课时间

第___周第___课时

教学目标

（学科核心素养）

1．理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词与存在量词，会用符号"∀""∃"表示，能将含有限定词的自然语言语句与符号语言相互转化，发展数学抽象素养。

2．了解全称量词命题与存在量词命题的含义，能用数学符号表示含有一个量词的命题，并能正确判断其真假，通过"举反例""找特例"等方法发展逻辑推理素养。

3．通过具体实例概括量词的本质属性，经历"具体语句—抽象概念—符号表示—真假判断"的探究过程，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力，激发学习数学的兴趣。

教学重点

全称量词和存在量词的意义；全称量词命题和存在量词命题真假的判定。

教学难点

全称量词命题和存在量词命题真假的判定；含参数的量词命题中参数取值范围的求解。

教学方法

合作探究    讲练结合

教学过程

一：复习检测（导入新课）

1．什么叫作命题？——能够判断真假的陈述句叫作命题。判断一个语句是不是命题，关键看它能否判断真假。

2．下列语句是命题吗？请同学们观察（1）和（3）、（2）和（4），它们之间有什么关系？

（1）；

（2）是整数；

（3）对所有的；

（4）对任意一个是整数。

学生活动：学生经过思考，根据命题的定义得到结果：（1）（2）含有变量，无法判断真假，不是命题；（3）（4）可以判断真假，是命题。（3）在（1）的基础上，用短语"所有的"对变量进行了限定；（4）在（2）的基础上，用短语"对任意一个"对变量进行了限定。

教师总结：用短语"所有的""任意一个"对变量进行限定后，使原来不是命题的语句成为可以判断真假的语句。

设计意图：通过对比，激发学生对"所有"这类短语的兴趣，体会量词的限定作用，由此自然引出全称量词的概念、符号以及全称量词命题的概念。

二：探究新知

（一）全称量词与全称量词命题

1．全称量词：短语"所有的""任意一个"在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号"∀"表

备注

（二次备课）

示。

常见的全称量词还有"一切""每一个""任给"等。

2．全称量词命题：含有全称量词的命题叫作全称量词命题。

全称量词命题"对中任意一个，成立"可用符号简记为：

读作"对任意属于，有成立"。

3．找出下列命题中的量词，你还能举出一些常见的全称量词吗？

（1）任意实数的平方都是正数；（2）0乘以任何数都等于0；（3）正方形是矩形。

学生活动：学生经过思考，找到（1）（2）中的量词分别为"任意""任何"；对于（3），学生结合已有的知识和课本中的提示，列举"所有的""任意一个""一切""每一个""任给"等量词，并发现（3）中省略了全称量词"所有的"——"正方形是矩形"的含义是"所有的正方形都是矩形"。

教师强调：一个全称量词命题可以包含多个变量；有些全称量词命题中的全称量词被省略了，判断时要先补上省略的量词。

设计意图：让学生认识全称量词的多种表述形式，加深对全称量词的认识，并体会符号语言表达数学内容的准确性和简洁性。

（二）全称量词命题的真假判断

例1  判断下列全称量词命题的真假：

（1）所有的素数都是奇数；

（2）；

（3）对任意一个无理数，也是无理数。

解析：（1）是假命题。因为2是素数，但2不是奇数，只要举出反例"2"，即可判定该命题为假。

（2）是真命题。因为对任意，都有，从而，命题成立。

（3）是假命题。取，是无理数，但是有理数，命题不成立。

方法归纳：要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每个元素，验证成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出集合中的一个，使得不成立即可（这就是通常所说的"举出一个反例"）。

设计意图：通过三个命题的真假判断，使学生掌握"全称量词命题判真需逐一验证、判假只需举反例"的方法，突破本节课的难点。

（三）存在量词与存在量词命题

1．再观察：下列语句是命题吗？

（1）存在一个，使；

（2）至少有一个，能被2和3整除。

学生活动：学生判断出这两个语句都是命题，并发现它们分别在（1）""和（2）"能被2和3整除"的基础上，用短语"存在一个""至少有一个"对变量的取值进行了限定。

2．存在量词：短语"存在一个""至少有一个"在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号"∃"表示。

常见的存在量词还有"有些""有一个""对某些""有的"等。

3．存在量词命题：含有存在量词的命题叫作存在量词命题。

存在量词命题"存在中的元素，使成立"可用符号简记为：