精品解析：北京师范大学附属实验中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

北师大实验中学2026-2027学年度第一学期期中试卷 初二年级数学 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，26道小题；答题纸共3页． 满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、 单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题2分，共16分）． 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除、积的乘方的运算规则，逐一验证选项． 【详解】解：A.与不是同类项，不能合并，此选项错误，不符合题意； B.，此选项错误，不符合题意； C.，此选项正确，符合题意； D.，此选项错误，不符合题意． 3. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．，能用平方差公式分解因式． B．， C．， D．， 均为两项同号的平方和形式，不能用平方差公式分解因式． 4. 如图，，添加下列条件不一定得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先根据“边边角”不一定能证明这两个三角形全等判断A，再根据“角边角”，“边角边”，“角角边”逐个判定即可． 【详解】解：∵， A、当时，和不一定全等，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 5. 若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】未明确的角是等腰三角形的顶角还是底角，需分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论．①当的角为等腰三角形的顶角时，底角度数为． ②当的角为等腰三角形的底角时，底角度数为． 综上，这个等腰三角形的底角为或． 6. 如图，直线，，分别表示三条互相交叉的公路，交点分别记为A，B，C，现要建一个度假村，使它到三条公路的距离相等，度假村的位置可以选在（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质确定度假村的位置． 【详解】解：∵度假村到三条公路的距离相等， ∴度假村的位置可以选在三条角平分线的交点． 7. 如下左图为两种系鞋带的方法．将鞋眼视为同一平面内的点，鞋带系紧后，两列鞋眼所在直线互相平行，各横排鞋眼的连线均与这两条直线垂直，且相邻横排间距相等，鞋带在相邻穿过的鞋眼之间均绷成直线．图（1）、图（2）中的实线分别表示甲、乙两种鞋带系法在三排鞋眼间的穿孔路径，两种系法均可以看成三排鞋眼穿孔的重复排列．分别用和表示甲、乙两种系法所使用的鞋带的长度，则两种系法的鞋带长度的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】设两列平行鞋眼所在直线的水平间距为d，相邻横排鞋眼的竖直间距为h，两种系法中，沿两列鞋眼竖直线段的鞋带总长度完全相等，因此只需要比较斜向鞋带部分的总长度即可． 【详解】解：甲的斜向鞋带由两段组成，每段的水平位移为d，竖直位移为h，因此单段长度为，两段总和为：； 乙的斜向鞋带由一段水平线段和一段长斜线组成；水平段长度为d，长斜线的水平位移为d，竖直位移为，因此长斜线长度为，两段总和为：， ∴， ， ∴， 所以，，再加上竖直鞋带的总长， 所以． 8. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书给出了展开式的系数规律，例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数．那么满足的整数共有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得的系数为1，4，6，4，1，得，，代入，经过变形可求出，故可得解． 【详解】解：根据题意得的系数为1，4，6，4，1， ∴中的，， ∴， ∴， ， ， ， 解得：，， 不是整数，不符合题意， ∴， 所以，整数只有1个． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若代数式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的意义，根据零指数幂有意义，可知，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 10. 若多项式分解因式的结果为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据题意可得，据此可推出，再代值计算即可． 【详解】解：∵多项式分解因式的结果为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 若，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】先由已知等式变形得到，再利用同底数幂的乘法法则化简待求式，通过整体代入计算结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到点到的距离等于点到的距离，所以点到的距离为，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：由作法得平分， ∴点到的距离等于点到的距离， ∵，， ∴点到的距离为， ∴点到的距离为， ∴的面积． 13. 如图，点O是三条边的垂直平分线的交点，连接若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到，由三角形的外角性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：如图，点D是延长线上一点， ∵点O是各边垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，在中，，，点D，E分别在上（点D不与点B，C重合），且，若，则的长为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得出，确定，再由全等三角形的判定和性质得出，，，结合图形即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 的长为3． 15. 在中，，中线，则边的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】通过倍长中线构造全等三角形，将分散的已知线段整合到同一三角形中，借助三角形三边关系推导的取值范围． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 16. 如图，在中，，射线位于内部，且．动点，分别在射线，上（与不重合，与不重合），满足．已知的最小值为，给出下列四个结论： ①； ②当取得最小值时，； ③当取得最小值时，； ④当取得最小值时，连接，． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三点共线，三角形三边关系和三角形内外角和定理等知识点，解题的关键是构造全等三角形和判定三点共线，逐项判断即可． 【详解】解：作，，且点在直线下方，如图， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 当射线交线段于点时，，如图， 则为等边三角形， ∵， ∴，， 那么，，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 则，故③正确； ∵， ∴，故②错误； 在下方作等边三角形，连接和，，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则点，点和点三点共线， 那么，，故④正确． 三、解答题（本题共10小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题9分，第21题6分，第22题7分，第23题6分，第24题6分，第25题9分，第26题7分，共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则、单项式乘以多项式法则，计算即可得出结果； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式以及单项式除以单项式，即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出结果； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式，以及多项式除以单项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 如图，已知，，． （1）尺规作图（保留作图痕迹）： ①以点C为圆心，为半径画弧； ②以点B为圆心，为半径画弧，两弧交于点D； ③连接，交延长线于点H，连接，； ④过点C作于点N． （2）求的长．请完成以下推理过程（其中处填推理的依据）： ，， ∴点B，点C在的垂直平分线上．（） ∴直线是的垂直平分线．（） ，， ．（） 又， ， ∵在中，BC，                           ． （3）若作于点M（此步骤不需要尺规作图），求的长．请完成以下推理过程（其中处填推理的依据）： ，，，                                         ．（） 【答案】（1） （2）与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；三线合一；； （3） ；；角平分线上的点到角两边的距离相等 【解析】 【分析】（1）根据题干要求作图即可； （2）根据线段垂直平分线的判定定理、等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质解答即可； （3）根据角平分线的性质定理解答即可 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴点B，点C在的垂直平分线上．（与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） ∴直线是的垂直平分线．（两点确定一条直线） ，， ．（三线合一） 又， ， ∵在中，， ． 【小问3详解】 解：如图： ，，， ∴．（角平分线上的点到角两边的距离相等） 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于y轴对称的，并写出的坐标为                                    ； （2）已知点D在y轴上，如果要使以A、B、D为顶点的三角形与全等，写出所有符合条件的点D坐标． （3）在y轴上确定一点P，使为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有                        个． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意作轴对称图形即可； （2）根据坐标系画出全等三角形即可，读出点的坐标即可； （3）结合图形，分三种情况画出图象即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，，， ∴点D坐标为或 【小问3详解】 如图所示， ∵． ∴， ∵为等腰三角形， ∴分三种情况： 当时，如图所示即， ∴； 当时，如图所示即， ∴； 当时，如图所示即点， ∴所有符合条件的点P共有4个． 22. 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． （1）求证：AB＝DC； （2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 【答案】 证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE． 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AB＝DC． （2）△OEF为等腰三角形 理由如下：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC． ∴OE=OF． ∴△OEF为等腰三角形． 【解析】 【详解】（1）略 （2）略 23. 如图，边长分别为a，b的两个正方形按图示方式交叠，重叠部分为边长c的正方形，且．两块非重叠部分用阴影表示，面积分别记为，，如图所示．记两块阴影图形各自周长之和为L． （1）根据面积关系填空：              ，                   ．（用含a，b，c的式子表示） （2）已知． （i）要确定的值，只需再知道下列哪一项所列量的值？①c；②；③．请直接写出所有符合要求的序号． （ii）若，求的值． 【答案】（1）， （2）（i）③；（ii）96 【解析】 【分析】（1）根据图形直接求解即可； （2）（i）将代数式变形得出，然后依次判断即可；（ii）根据题意得出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据图形得：，； 【小问2详解】 （i）， ∵， ∴根据图形得：， ∴， ∵， ∴， ∴知道的值即可， 仅知道c：无法推导得到，不能确定M； 仅知道​：由，式中同时存在和c两个未知量，无法确定，不能确定M； 仅知道：由可直接算出，代入即可确定M，故符合题意； （ii）由得，． 当时，， ． ， 原式． 24. 利用完全平方公式，可以不用计算器，逐位确定一个正数的算术平方根． 阅读下列材料，完成问题． 【材料阅读】 （1）补全下列材料中的空缺． 由完全平方公式            ，因此，已知，要判断是否超过，只需比较       （与上一空相同）与的大小． 以求为例： ①确定十位数字．由，可知的整数部分是两位数，十位数字为3，先取． ②确定个位数字．此时．在0，1，…，9中，选取使的最大数字．由于，可知个位数字为5，于是将更新为35． ③确定十分位数字．此时．在0，，…，中，选取使的最大值．由于，所以                          ，继续按上述方法试算，可以逐步确定百分位、千分位等数位上的数字． 【案例学习】 （2）参照上述方法，                      （两空填两个相邻的一位小数）． 【方法探究】 （3）在某一步中，已取正数，且．小明将被除所得的商记为，直接用估计，求的值（用含的式子表示），并判断小明得到的估值偏大还是偏小． 【答案】（1），； （2） （3），小明得到的估值偏大 【解析】 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）根据题意先确定的整数部分为25，再确定最大值，即可求解； （3）根据题意得出，然后代入式子确定，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴要判断是否超过，只需比较与的大小； 根据题意得； 【小问2详解】 解：先确定整数部分：， ∴的整数部分为25， 取，此时， 确定十分位：在0，，…，中，选取使的最大值．即， 当时，， 当时，， ∴最大值， ∴； 【小问3详解】 解：∵被除所得的商记为， ∴，即， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴估值偏大． 25. 在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧），点D是射线上一个动点（不与点C重合），点E在射线上（不与点B重合），且． （1）如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是               ，与的数量关系是                 ； （2）如图2，当点E在线段延长线上时，连接． ①求与之间的数量关系； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】（1）； （2） ① ② 延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ，即， ， 在和中， ， 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出结果；过点A作，利用全等三角形的判定和性质得出，，再由等腰三角形的性质即可得出结果； （2）①设，得出，利用三角形内角和定理得出，再由各角之间的等量代换即可得出结果； ②延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，，，，结合图形即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 过点A作，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①设 在中，， 又 又 ． ②略 26. 在平面直角坐标系中，直线经过点，且与y轴平行，点A的坐标为．点B为一动点，满足点A，B位于直线l同侧（B不在直线l上），且不垂直于直线l． 定义“镜衡点”如下：设点B关于直线l的对称点为，若点P满足，且点P与点B位于直线的两侧，则称点P为点B的“镜衡点”． （1）当时，在点，，，中，点B的“镜衡点”是                   ． （2）设，，其“镜衡点”分别为，，且分别满足，其中，分别为，关于直线l的对称点．求线段的长． （3）已知正方形的四个顶点分别为，，，．若点B的横、纵坐标均为整数，存在B的“镜衡点”P满足：P位于正方形的内部（不包含边界），且（为B关于直线l的对称点），则所有符合条件的点B的坐标为                          ． 【答案】（1）， （2）2 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，直线为，由轴对称的性质求出，画出图象，结合“镜衡点”的定义逐项分析即可得出结果； （2）先求出，证明、是等边三角形，可得，，，求出，从而可得，最后由全等三角形的性质即可得出结果； （3）设，由题意可得，，由“镜衡点”的定义可得，作轴于点，作交的延长线于，证明，求出，从而可得，，设，则，，求出，，求出，，由题意可得、为整数，最后结合图象分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得，直线为， ∵，点B关于直线l的对称点为， ∴， 如图， ∵，，， ∴，，，，，，，， ∴，，，， 由图可得，点与点B位于直线的两侧，点与点B位于直线的两侧，点与点B位于直线的同侧， 综上所述，点B的“镜衡点”是，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴由题意可得，， ∴， 如图， ∵，， ∴是等边三角形， 同理可得也是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵正方形的四个顶点分别为，，，，P位于正方形的内部（不包含边界）， ∴，， ∵点P为点B的“镜衡点”， ∴， 如图，作轴于点，作交的延长线于， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∵点P与点B位于直线的两侧， ∴， ∴，， ∵点B的横、纵坐标均为整数， ∴、为整数， ∴由图象可得，所有符合条件的点B的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2026-2027学年度第一学期期中试卷 初二年级数学 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，26道小题；答题纸共3页． 满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、 单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题2分，共16分）． 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( ) A. B. C. D. 4. 如图，，添加下列条件不一定得到的是（ ） A. B. C. D. 5. 若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，直线，，分别表示三条互相交叉的公路，交点分别记为A，B，C，现要建一个度假村，使它到三条公路的距离相等，度假村的位置可以选在（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 7. 如下左图为两种系鞋带的方法．将鞋眼视为同一平面内的点，鞋带系紧后，两列鞋眼所在直线互相平行，各横排鞋眼的连线均与这两条直线垂直，且相邻横排间距相等，鞋带在相邻穿过的鞋眼之间均绷成直线．图（1）、图（2）中的实线分别表示甲、乙两种鞋带系法在三排鞋眼间的穿孔路径，两种系法均可以看成三排鞋眼穿孔的重复排列．分别用和表示甲、乙两种系法所使用的鞋带的长度，则两种系法的鞋带长度的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书给出了展开式的系数规律，例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数．那么满足的整数共有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若代数式有意义，则x应满足的条件是______． 10. 若多项式分解因式的结果为，则的值为______． 11. 若，则__________． 12. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 13. 如图，点O是三条边的垂直平分线的交点，连接若，则的度数为___________． 14. 如图，在中，，，点D，E分别在上（点D不与点B，C重合），且，若，则的长为_____________． 15. 在中，，中线，则边的取值范围是____________． 16. 如图，在中，，射线位于内部，且．动点，分别在射线，上（与不重合，与不重合），满足．已知的最小值为，给出下列四个结论： ①； ②当取得最小值时，； ③当取得最小值时，； ④当取得最小值时，连接，． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本题共10小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题9分，第21题6分，第22题7分，第23题6分，第24题6分，第25题9分，第26题7分，共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知，，． （1）尺规作图（保留作图痕迹）： ①以点C为圆心，为半径画弧； ②以点B为圆心，为半径画弧，两弧交于点D； ③连接，交延长线于点H，连接，； ④过点C作于点N． （2）求的长．请完成以下推理过程（其中处填推理的依据）： ，， ∴点B，点C在的垂直平分线上．（） ∴直线是的垂直平分线．（） ，， ．（） 又， ， ∵在中，BC，                           ． （3）若作于点M（此步骤不需要尺规作图），求的长．请完成以下推理过程（其中处填推理的依据）： ，，，                                         ．（） 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于y轴对称的，并写出的坐标为                                    ； （2）已知点D在y轴上，如果要使以A、B、D为顶点的三角形与全等，写出所有符合条件的点D坐标． （3）在y轴上确定一点P，使为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有                        个． 22. 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． （1）求证：AB＝DC； （2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 23. 如图，边长分别为a，b的两个正方形按图示方式交叠，重叠部分为边长c的正方形，且．两块非重叠部分用阴影表示，面积分别记为，，如图所示．记两块阴影图形各自周长之和为L． （1）根据面积关系填空：              ，                   ．（用含a，b，c的式子表示） （2）已知． （i）要确定的值，只需再知道下列哪一项所列量的值？①c；②；③．请直接写出所有符合要求的序号． （ii）若，求的值． 24. 利用完全平方公式，可以不用计算器，逐位确定一个正数的算术平方根． 阅读下列材料，完成问题． 【材料阅读】 （1）补全下列材料中的空缺． 由完全平方公式            ，因此，已知，要判断是否超过，只需比较       （与上一空相同）与的大小． 以求为例： ①确定十位数字．由，可知的整数部分是两位数，十位数字为3，先取． ②确定个位数字．此时．在0，1，…，9中，选取使的最大数字．由于，可知个位数字为5，于是将更新为35． ③确定十分位数字．此时．在0，，…，中，选取使的最大值．由于，所以                          ，继续按上述方法试算，可以逐步确定百分位、千分位等数位上的数字． 【案例学习】 （2）参照上述方法，                      （两空填两个相邻的一位小数）． 【方法探究】 （3）在某一步中，已取正数，且．小明将被除所得的商记为，直接用估计，求的值（用含的式子表示），并判断小明得到的估值偏大还是偏小． 25. 在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧），点D是射线上一个动点（不与点C重合），点E在射线上（不与点B重合），且． （1）如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是               ，与的数量关系是                 ； （2）如图2，当点E在线段延长线上时，连接． ①求与之间的数量关系； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 26. 在平面直角坐标系中，直线经过点，且与y轴平行，点A的坐标为．点B为一动点，满足点A，B位于直线l同侧（B不在直线l上），且不垂直于直线l． 定义“镜衡点”如下：设点B关于直线l的对称点为，若点P满足，且点P与点B位于直线的两侧，则称点P为点B的“镜衡点”． （1）当时，在点，，，中，点B的“镜衡点”是                   ． （2）设，，其“镜衡点”分别为，，且分别满足，其中，分别为，关于直线l的对称点．求线段的长． （3）已知正方形的四个顶点分别为，，，．若点B的横、纵坐标均为整数，存在B的“镜衡点”P满足：P位于正方形的内部（不包含边界），且（为B关于直线l的对称点），则所有符合条件的点B的坐标为                          ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $