精品解析：北京市第十二中学2026-2027学年第一学期期中考试试题八年级数学

北京十二中2026—2027学年第一学期期中考试试题 初二年级 （满分100分，时间120分钟） 一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2. 三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵三角形两边长分别为和，第三边长为， ∴，即， ∵为偶数， ∴的值为或. 3. 等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 65°或80° C. 50°或65° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【详解】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°； 当50°是底角时也可以． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 4. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 5. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据是线段的垂直平分线，可得，然后根据的周长是，以及，求出的长为多少即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， 的周长是， ， ， ， ， 又， ． 6. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于 A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B 【详解】∵∠ACD=∠A+∠B ∴∠A=∠ACD﹣∠B=120° ﹣40°=80°． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，解决此题的关键是要认真细致，不要算错． 7. 如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，先根据求出的度数，由三角形外角的性质求出的度数，再根据平分得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的外角，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 8. 三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 9. 如图，已知中，点D，E分别是边的中点，若的面积等于12，则的面积等于（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质、三角形的面积等知识点，正确的识别图形是解题的关键． 利用三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵点E是边的中点，的面积等于12， ， ∵D是的中点， ． 故选B． 10. 如图，为等边三角形，，、相交于点，于，，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件，先证明得，可得，．即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 11. 如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　） A. 8.4 B. 9.6 C. 10 D. 10.8 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图： 则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 12. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD=，∠ABE= ∴∠BAD+∠ABE= ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确； ∴∠BPD=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB 又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA） ∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确； 在△APH与△FPD中 ∵∠APH=∠FPD=90° ∠PAH=∠BAP=∠BFP PA=PF ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH=FD， 又∵AB=FB ∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确； 连接HD，ED， ∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP ∴，，PH=PD， ∵∠HPD=90°， ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD∥EP， ∴ ∵ 故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 13. 点和点关于轴对称，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， 故答案为：． 14. 若三角形三边长分别为，，，且满足，则此三角形的形状为__________． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】已知三角形三边满足平方项与绝对值项的和为0，根据非负数的性质推导三边的等量关系，即可判断三角形形状. 【详解】解：∵，，，且 ∴，， ∴，， ∴ ∴此三角形为等边三角形. 15. 如图，是的平分线，，垂足为，，则点到的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质，过点作于点，根据角平分线性质得到，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 是的平分线，，， ， 点到的距离是， 故答案是：． 16. 如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为_______． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：， ， ， . 故答案为：. 17. 如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由__________________________________________________． 【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等 【解析】 【分析】根据角平分线性质定理求解即可． 【详解】解：角平分线上的点到角两边的距离相等． 故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【点睛】本题考查角平分线性质，掌握角平分线性质是解题关键． 18. 如图，在中，，平分，交于点，且，若，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 19. 如图，是的外角的角平分线，，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出两对全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再利用“”证明和全等，和全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， ，， ， 解得． 故答案为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，以此类推，若，则的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质等等．过点作轴于点，根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后利用等腰三角形的性质可得的长，即可得点的横坐标，同样的方法分别求出点的横坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，即点的横坐标为， 同理可得：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 归纳类推得：点的横坐标为（为正整数）， 则点的横坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，解答即可． 【详解】证明：略． 22. 已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①作线段AB的垂直平分线1，直线l交射线AN于点D； ②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C； ③连接BC，则△ABC即为所求三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠A＝∠　 　． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ∵BC＝BD ∴∠ACB＝∠BDC （ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠ACB＝2∠A． 【答案】 （1）如图所示： （2）证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等　）（填推理的依据）． ∴∠A＝∠　DBA 　． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ∵BC＝BD ∴∠ACB＝∠BDC （ 　等腰三角形两底角相等 　）（填推理的依据）． ∴∠ACB＝2∠A． 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应图形即可； （2）根据证明过程补全相应知识点即可． 【详解】略 【点睛】本题考查尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，圆的任意半径相等，灵活运用性质定理是解题关键． 23. 如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）请在图中作，使和关于轴对称，点A、B、C的对应点分别为、、； （2）请写出、、的坐标； 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）先作出点、、关于轴的对称点， 再顺次连接即可得； （2） 根据所作图形可得三个顶点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，掌握轴对称变换的定义和性质是解题的关键． 24. 如图，于，于．若，． 求证：平分． 【答案】证明：∵于，于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 【解析】 【分析】先证明，所以，然后通过角平分线的判定定理即可求证． 【详解】略． 25. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1） 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 26. 已知是等边三角形，点是的中点，点在射线上，点在线段上，． （1）如图1，若点与点重合，求证：； （2）如图2，若点在线段上，，求的值． 【答案】（1）证明：为等边三角形， ，， 为的中点， ∴平分， ． 点与点重合，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质证明， 再利用三角形的内角和定理求解，从而可得结论； （2）过点作交于点，先证明为等边三角形，再证明，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， 为等边三角形，，点是的中点， ，． ，， ∴为等边三角形，， ， ． ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 27. 如图，已知在中，，，点是边上的动点，连接，点关于直线的对称点为点，射线与射线交于点． （1）在图中，依题意补全图形； （2）记（），直接写出的大小： （用含的式子表示） （3）若是等边三角形，猜想和的数量关系，并证明． 【答案】（1）解：如图所示即为所作， （2） （3）猜想，； 证明：如图，连接， 由（2）可知，， ，， ， ， 点关于直线的对称点为点， ， ， ， 是直角三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， 由对称的性质得， ． 【解析】 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）根据对称的性质得，，再表示出，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理计算即可； （3）先判断出是直角三角形，结合是等边三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 根据对称的性质得，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 28. 对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义： 若点满足，则称为线段的“轴点”．其中，当时，称为线段的“远轴点”；当时，称为线段的“近轴点”． （1）如图1，点，的坐标分别为，．则在，，，中，线段的“近轴点”是______． （2）如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，． ①若为线段的“远轴点”，直接写出点的横坐标的取值范围． ②点为轴上的动点（不与点重合且），若为线段的“轴点”．当线段与的和最小时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或；② 【解析】 【分析】（1）先画出等边，再求出点的坐标，进而可得答案： （2）①先画出等边，再求出点的坐标，进而可得答案； ②先判断出点在与的垂直平分线的交点处时，线段与的和最小，再画出相关图形求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点P在的垂直平分线上，即点P在y轴上． 如图，作等边， 点的坐标分别为， 在中，， 点， 同理可得：， 当点在线段上时，点是“近轴点”， 和是”近轴点”； 【小问2详解】 解：①如图， 以为边作等边， 设， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴． 在中，， 解得或 (负值舍去)， ． 在等边中， ， ， 点的坐标为， 同理可得， 若为线段的“远轴点”， 点的横坐标的取值范围为或． ②如图，由题意点在线段的垂直平分线上．连接． 点在的垂直平分线上， 根据垂线段最短可知：当共线且时，的值最小，最小值为线段的长，此时点就是的垂直平分线与轴的交点， 在的垂直平分线上， ， ， ． ， 点的坐标为， ， ∴， 当点的坐标为时，的值最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十二中2026—2027学年第一学期期中考试试题 初二年级 （满分100分，时间120分钟） 一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 3. 等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 65°或80° C. 50°或65° D. 40° 4. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于 A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 7. 如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 9. 如图，已知中，点D，E分别是边的中点，若的面积等于12，则的面积等于（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，为等边三角形，，、相交于点，于，，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　） A. 8.4 B. 9.6 C. 10 D. 10.8 12. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 13. 点和点关于轴对称，则的值是________． 14. 若三角形三边长分别为，，，且满足，则此三角形的形状为__________． 15. 如图，是的平分线，，垂足为，，则点到的距离是______． 16. 如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为_______． 17. 如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由__________________________________________________． 18. 如图，在中，，平分，交于点，且，若，则_____． 19. 如图，是的外角的角平分线，，于点，若，，则的长为______． 20. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，以此类推，若，则的横坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 如图，已知，，．求证：． 22. 已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①作线段AB的垂直平分线1，直线l交射线AN于点D； ②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C； ③连接BC，则△ABC即为所求三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠A＝∠　 　． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ∵BC＝BD ∴∠ACB＝∠BDC （ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠ACB＝2∠A． 23. 如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）请在图中作，使和关于轴对称，点A、B、C的对应点分别为、、； （2）请写出、、的坐标； 24. 如图，于，于．若，． 求证：平分． 25. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 26. 已知是等边三角形，点是的中点，点在射线上，点在线段上，． （1）如图1，若点与点重合，求证：； （2）如图2，若点在线段上，，求的值． 27. 如图，已知在中，，，点是边上的动点，连接，点关于直线的对称点为点，射线与射线交于点． （1）在图中，依题意补全图形； （2）记（），直接写出的大小： （用含的式子表示） （3）若是等边三角形，猜想和的数量关系，并证明． 28. 对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义： 若点满足，则称为线段的“轴点”．其中，当时，称为线段的“远轴点”；当时，称为线段的“近轴点”． （1）如图1，点，的坐标分别为，．则在，，，中，线段的“近轴点”是______． （2）如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，． ①若为线段的“远轴点”，直接写出点的横坐标的取值范围． ②点为轴上的动点（不与点重合且），若为线段的“轴点”．当线段与的和最小时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $