精品解析：广东广州市白云区云雅实验学校2026-2027学年八年级上学期期中考试数学卷

2026学年第一学期八年级数学期中随堂练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物鲜活起来．下列四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算． ，，，，按公式运算即可． 【详解】A．，选项不符合题意． B．和不是同类项，没法合并，选项不符合题意． C．，选项符合题意． D．，选项不符合题意． 故选：C． 3. 若三角形的三边长分别是3，6，，则下列的取值不可能的是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出a的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系得到：， ∴， ∴a的取值不可能是3． 故选：D． 4. 若点和点关于y轴对称，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，求代数式的值，关于y轴对称的点的特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求得a与b的值，从而求得代数式的值． 【详解】解：由条件可知，， ∴， 故选：C． 5. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】解：是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 是的角平分线，并非中线，无法推出， 故、、都正确，不正确． 6. 下列定理中，逆命题错误的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断逆命题的真假，先写出各项的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、逆命题为：两锐角互余的三角形为直角三角形，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； D、逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选C． 7. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点的坐标是，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，过点A作轴于点D，过点C作轴于点E，通过证明即可得出结论． 【详解】解 ：过点A作轴于点D，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A的坐标是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等是判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形． 8. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1． 【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线， ∵∠C=90°， ∴当GP⊥AB时，GP=CG=1， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 9. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，三角形的外角，掌握相关的性质是解题的关键，根据平行线的性质，得到，三角形的外角求出的度数即可． 【详解】解：由题意和图可知：，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10. 如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③是等腰三角形；④；⑤； A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由“”可证，可得，故 ① 正确．由等腰三角形的性质可得 ，故②正确，由角的数量关系可求，可得，即是等腰直角三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得，则可得，故④正确；由角平分线的性质可得点F到的距离等于点F到的距离，由三角形的面积公式可求 ，故⑤正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，故①正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确． ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵平分， ∴点F到的距离等于点F到的距离， ∴ ，故⑤正确， 所以，正确的结论是①②③④⑤，共5个 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 计算：_________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据整式的乘法即可计算. 【详解】=6. 【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式的乘法法则. 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方逆用和同底数幂的乘法，将方程中的底数统一为的幂，利用指数运算法则简化方程，再比较指数得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，在中，平分，平分，过点O作，分别与相交于点M、N．若的周长为18，的周长为12，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质，根据角平分线的定义及平行线的性质证得是解决问题的关键． 根据平分平分，且，结合等角对等边可证得，得到三角形的周长，根据的周长即可求得． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 故答案为：6． 14. 某天，小明和爸爸外出郊游，在河岸边玩耍，他想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点A，再在河这边岸边选取两点，测得，并测量出长为30米，则河的宽度为 ____________． 【答案】15米 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得出，进而可得出，则，最后根据含30度直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， 在中， （米） 故答案为：15米． 15. 如图，D，E，F分别为的中点，点G为的重心．已知的面积为，则的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线等分面积的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中线的性质． 由D，E，F分别为的中点，得到，，，，设，，，然后得到，即可得到，即可求解． 【详解】解：∵D，E，F分别为的中点， ∴，，， 设，，， ∴由得， ∴， 同理， ∴， ∴ ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：． 16. 如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】按照动点最值问题的做法，作点关于的对称点，由对称性得，结合三角形三边关系及点到直线距离垂线段最短得出，由等面积法求出即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点，如图所示： 是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，则， ，， ， ， 即的最小值为． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂相乘，幂的乘方的法则，计算即可； （2）根据同底数幂相乘、积的乘方的逆运算，计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【解析】 【分析】先运用整式的乘法，整式的加减，进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 当，时，原式． 19. 一艘轮船上午8时在A处沿正东方向行驶，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上．行驶1小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东20°方向上，求∠C和∠DBC的度数． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据题意确定和的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，根据邻补角的性质求得的度数． 【详解】解：在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上， ， ， 在B处测得灯塔C在北偏东20°方向上， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是与方位角有关的计算，掌握三角形内角和定理和邻补角的性质是解题的关键． 20. 如图，点在线段上，，，，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，再根据直角三角形的全等判定定理“”证明即可，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度． 【答案】2m 【解析】 【分析】证明△ABM≌△DCM（AAS），则BM＝CM＝6m，AM＝DM＝8m，再计算AC的长度． 【详解】∵在△ABM与△DCM中，， ∴△ABM≌△DCM（AAS）， ∴BM＝CM＝6m，AM＝DM＝8m， ∴AC＝AM﹣CM＝2m． 即梯子下滑的高度是2m． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题时，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系． 22. 如图，在中，． （1）作边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） 作图如图所示： （2）4 【解析】 【分析】本题考查作图—线段垂直平分线的做法、等腰三角形的性质、含有30°角直角三角形的性质： （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，再根据在直角三角形中30°所对边是斜边一半即可求解． 【小问1详解】 解：作法：以A、C为圆心，大于长为半径画圆弧，两圆弧交于两点，过这两点作直线，交于E，交于D，连接． 【小问2详解】 解： ， ． 为线段AC的垂直平分线， ， ． 在Rt中， ． 23. 人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由）， ∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 【答案】 证明：∵， ∴； （1）证明：由折叠知，， 在中，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边对等角． （1）先由折叠得出，再利用三边关系，即可得出结论； （2）先判断出，再判断出，进而求出，即可得出结论． 【详解】略 （1）略 （2）解：由折叠知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. （1）已知中，， ①求出与的度数． ②请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）已知中，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系． 【答案】（1）①，； ②如图（共有2种不同的分割法）． （2）或或或，是小于的任意角 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质． （1）①先由，得，进而可得与的度数； ②已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上； （2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系． 【详解】解：（1）①∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②略 （2）设，，过点B的直线交边于D．在中， ①若是顶角，如图1， 则，，而，此时只能有， ∴ ∴， ∴； ②若是底角， 第一种情况：如图2， 当时，则，中，，， 由，得，此时有，即， 由，得，此时，即， 由，得，此时，即，为小于等于的任意锐角， 第二种情况，如图3， 当时，，，此时只能有， 从而，这与题设是最小角矛盾， ∴当是底角时，不成立， 综上，与之间的关系是：或或或，是小于的任意角． 25. 在城市规划中，工程师们正在设计一座新的桥梁．桥梁的主结构由多个三角形支撑构成，以确保其稳定性．为了优化材料的使用和承重分布，工程师需要精确计算各个支撑杆的长度和角度． （1）等边三角形支撑的初步计算： 桥梁的一个主要支撑结构是一个等边三角形，其边长为米．为了加强支撑，工程师在边上选择了一个点，并从点平行于方向铺设了一根长度为米的加固杆同时，从点向外延伸米到点，连接与相交于，请计算的长度． （2）可变尺寸的等边三角形支撑： 现在，工程师考虑用不同尺寸的等边三角形支撑，其边长为米．同样地，从点平行于铺设长度为米的加固杆，并延长至点使得米．为了进一步加固，从点垂直设置一根支柱，与交于，请计算的长度． （3）非等边三角形支撑的特殊条件： 在另一个设计中，支撑结构不再是等边三角形，工程师在边上选择点，并从点垂直向下设置测量杆他们发现主梁与斜拉索的长度相等，并且，请证明． 【答案】（1） （2） （3） 证明：延长至，使，过点作交的延长线于点，连接 ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质；熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）先证明是等边三角形，根据平行线的性质可得出，证明，即可得证； （2）由（1）可得，，且，证明是等边三角形，即可求解； （3）延长至，使，过点作交的延长线于点，连接，证明，进而证明，根据线段的和差关系，即可求解． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， 【小问2详解】 由（1）可得，，且 ， 为的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ，， 即； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期八年级数学期中随堂练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物鲜活起来．下列四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 若三角形的三边长分别是3，6，，则下列的取值不可能的是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 若点和点关于y轴对称，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5 5. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列定理中，逆命题错误的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 7. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点的坐标是，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 9. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③是等腰三角形；④；⑤； A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 计算：_________. 12. 若，则______． 13. 如图，在中，平分，平分，过点O作，分别与相交于点M、N．若的周长为18，的周长为12，则_______． 14. 某天，小明和爸爸外出郊游，在河岸边玩耍，他想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点A，再在河这边岸边选取两点，测得，并测量出长为30米，则河的宽度为 ____________． 15. 如图，D，E，F分别为的中点，点G为的重心．已知的面积为，则的面积为______． 16. 如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 一艘轮船上午8时在A处沿正东方向行驶，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上．行驶1小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东20°方向上，求∠C和∠DBC的度数． 20. 如图，点在线段上，，，，，求证：． 21. 如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度． 22. 如图，在中，． （1）作边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）若，且，求的长． 23. 人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由）， ∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 24. （1）已知中，， ①求出与的度数． ②请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）已知中，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系． 25. 在城市规划中，工程师们正在设计一座新的桥梁．桥梁的主结构由多个三角形支撑构成，以确保其稳定性．为了优化材料的使用和承重分布，工程师需要精确计算各个支撑杆的长度和角度． （1）等边三角形支撑的初步计算： 桥梁的一个主要支撑结构是一个等边三角形，其边长为米．为了加强支撑，工程师在边上选择了一个点，并从点平行于方向铺设了一根长度为米的加固杆同时，从点向外延伸米到点，连接与相交于，请计算的长度． （2）可变尺寸的等边三角形支撑： 现在，工程师考虑用不同尺寸的等边三角形支撑，其边长为米．同样地，从点平行于铺设长度为米的加固杆，并延长至点使得米．为了进一步加固，从点垂直设置一根支柱，与交于，请计算的长度． （3）非等边三角形支撑的特殊条件： 在另一个设计中，支撑结构不再是等边三角形，工程师在边上选择点，并从点垂直向下设置测量杆他们发现主梁与斜拉索的长度相等，并且，请证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $