培优专题01 因式分解2考点15题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题01 因式分解 常考题型·精准突破 考点一 因式分解 题型1 判断是否是因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型3 求公因式 题型4 提公因式分解因式 题型5 平方差公式分解因式 题型6 完全平方公式分解因式 题型7 综合运用公式法分解因式 题型8 综合提公因式和公式法分解因式（高频） 题型9 因式分解在有理数简算中的应用 题型10 十字相乘法（高频） 题型11 分组分解法（高频） 题型12 因式分解的应用（高频） 考点二 因式分解综合 题型1 因式分解与几何综合（难） 题型2 因式分解求最值（难） 题型3 因式分解的新定义问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 因式分解 ◆题型1 判断是否是因式分解 1．（26-27八年级上·山东烟台·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从因式分解的定义出发，判断结果是否为整式的积且等式成立． 【详解】解：A选项，右边含分式，不是整式的积，不符合要求； B选项，，与左边不相等，等式不成立； C选项，右边为和的形式，不是整式的积，不符合要求； D选项，，是将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解定义． 2．（26-27七年级上·上海普陀·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义即可求解． 【详解】A.是整式乘法，故不符合题意； B.右边不是积的形式，故不符合题意； C.右边是几个整式的积，是因式分解，故符合题意； D.中的分母含字母，不是整式，也不是因式分解，故不符合题意． 3．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：（1），不是因式分解； （2），不是因式分解； （3），不是因式分解； （4），不是因式分解； （5），是因式分解； （6），是因式分解； 故是因式分解的有2个． 4．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可. 【详解】解：∵因式分解要求等式左边为多项式，右边为几个整式乘积的形式； ∴选项A，左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项B，左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项C，右边是多项式和的形式，不是整式乘积，不是因式分解，不符合要求； 选项D，左边是多项式，右边是整式乘积，等式成立，属于因式分解，符合要求. ◆题型2 已知因式分解的结果求参数 5．（26-27八年级上·湖南湘潭·期中）多项式可以因式分解成，m和n为整数，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∵多项式可以因式分解成， ∴， 又∵和都是整数， ∴，， ∴． 6．（26-27八年级上·湖南湘潭·期中）甲、乙两个同学因式分解 时，甲看错了 b，分解结果为，乙看错了 a，分解结果为 ，则 __________． 【答案】 【分析】甲看错时，其分解结果展开后的一次项系数为正确的；乙看错时，其分解结果展开后的常数项为正确的，据此求出、后代入计算即可． 【详解】解：∵ 甲分解时看错了，未看错， ∴ 甲的分解结果展开后的一次项系数等于正确的， ∵ ， ∴ ； ∵ 乙分解时看错了，未看错， ∴ 乙的分解结果展开后的常数项等于正确的， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 【答案】 【分析】将原式分解因式化简后对应系数求出，，的值，代入求解即可． 【详解】解： ， 根据题意得， ，，， ． 8．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式：有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ∴， 解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】(1) (2) 另一个因式为，的值为 【分析】（1）展开等式右侧的因式乘积，对比多项式对应系数求出，，再计算的值； （2）设另一个因式为，利用多项式相等时对应系数相等列方程求解． 【详解】（1） 解：∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：，， ∴另一个因式为，的值为． ◆题型3 求公因式 9．（26-27八年级上·山东烟台·期中）多项式和的公因式是________． 【答案】a 【分析】将两个多项式分别通过提取公因式完成因式分解，对比分解结果找出公共的整式因式即可． 【详解】解：∵， ， 多项式和的公因式是． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 【答案】 2 【分析】本题考查了多项式最大公因式的确定方法，掌握先找系数的最大公约数，再找各字母的最小指数的步骤是解题的关键． 对于每个多项式，先找出系数的最大公约数，再确定变量部分的最小指数，组合得到最大公因式． 【详解】解：（1）多项式的系数和的最大公约数为，变量和无公共变量，故最大公因式为； （2）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，故最大公因式为； （3）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，变量的最小指数为，故最大公因式为． 故答案为：；；． 12．（26-27八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． ◆题型4 提公因式分解因式 13．（重庆育才中学教共体2026-2027学年九年级上学期第二次自主作业数学试卷）若，，则代数式的值等于__________． 【答案】 【分析】将所求代数式因式分解为含已知与的形式，整体代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 14．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）已知，，则的值为_____________． 【答案】78 【分析】利用完全平方公式的变形求出的值，再把所求式子分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 15．（26-27八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容． 分解因式：． 解： ………… ① ………… ② 其中，从①到②所依据的运算律是　　　　　　　　　　． 下列回答错误的是（     ） A．①处依据的是 B．②处的结果是 C．“运算律”一空应填“乘法分配律” D．②处的结果还能继续分解 【答案】D 【分析】先明确因式分解步骤的变形依据：因为和互为相反数，所以原式中可变形为，对应①步的变形依据．分析①到②的变形：因为①式两项有公因式，所以提取公因式得到②式，判断该过程对应的运算律．逐一判断各选项描述是否符合因式分解的要求和步骤逻辑，选出错误选项． 【详解】对选项A，由， 可得，A正确． 对选项B，提取公因式， 得，B正确． 对选项C，从①到②逆用乘法分配律提取公因式，依据的运算律为乘法分配律，C正确. 对选项D，的各因式均不能继续分解， 故该多项式无法再分解，D错误． 16．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）若，，则为（     ） A．15 B．75 C．57 D．95 【答案】C 【分析】先将变形，再代入求解即可． 【详解】解：，， ， ∴． ◆题型5 平方差公式分解因式 17．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算：_____________． 【答案】 【分析】利用平方差公式把原式变形为，即可求解． 【详解】解： 18．（26-27七年级上·上海松江·期中）整式因式分解的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 19．（26-27七年级上·上海青浦·期中）分解因式： 【答案】 【分析】先套用公式分解，再化简合并，提取公因式得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 20．（26-27八年级上·山东淄博·期中）计算：_________． 【答案】 【分析】每个括号内的式子可通过平方差公式拆分为两个分数的乘积，利用相邻项的交叉约分简化连乘计算． 【详解】解：∵ 对任意整数，由平方差公式可得， ∴ 原式可展开为 ． ◆题型6 完全平方公式分解因式 21．（26-27八年级上·广西贵港·期中）下列多项式①，②，③，④中，能用公式法分解因式的是(     ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【详解】解：①不能用公式法分解因式． ②，能用公式法分解因式． ③，不能用公式法分解因式． ④，能用公式法分解因式． 故选：C． 22．（26-27八年级上·海南海口·期中）把下列多项式分解因式 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提公因式4，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）提公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 23．（26-27八年级上·山东淄博·期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（    ）； A．提取公因式   B．平方差公式   C．完全平方公式 (2)在第四步中，该同学将用含的代数式代换，这个结果是否分解到了最后？请说明理由： (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)没有分解到最后．理由：因式分解需分解到每个多项式因式都不能再分解为止，可继续分解为，原式最终分解结果为． (3) 【分析】（1）对比第二步到第三步的变形形式，匹配对应因式分解方法． （2）根据因式分解的最终要求，判断各因式是否可继续分解． （3）采用换元法简化多项式，代回原变量后分解至最简． 【详解】（1）解：∵第二步到第三步是将变形为， ∴运用了完全平方公式． （2）略． （3）解：设． 原式 将代回，得 原式 ． 24．（26-27八年级上·湖南永州·期中）若能运用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为_______． 【答案】 6或 【分析】利用完全平方公式的结构特征，由已知的二次项、常数项确定一次项的两种可能取值，进而求解的值． 【详解】解：∵能运用完全平方公式进行因式分解， ∴该式可写成 的形式，展开得， ∴对应一次项系数相等，即， ∴当时，解得； 当时，解得； ∴常数的值为6或． ◆题型7 综合运用公式法分解因式 25．（26-27八年级上·山东烟台·期中）把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（26-27八年级上·湖南·阶段检测）因式分解：． 【答案】 【分析】先用完全平方公式，再用平方差公式 ． 【详解】解：原式 27．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用平方差公式分解，再提取公因式完成分组分解； （2）先把化成完全平方式，再利用平方差公式继续分解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ， ． 28．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）阅读以下文字并解决问题： 【方法呈现】 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式进行局部配方可以用来解决代数式的最小值（或最大值）问题． 例如：． 因为， 所以． 则这个代数式的最小值是2，这时相应的x的值是． 【尝试应用】 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)借助“配方法”因式分解：； (3)若，求M的最大值，并求出此时a的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，此时 【分析】（1）根据完全平方式的定义进行配方即可； （2）先根据进行配方，配成完全平方后，再利用平方差公式分解因式； （3）先对进行配方，再利用完全平方式的非负性进行分析即可解答． 【详解】（1）解： 添加常数为4． （2）解： （3）解： ， ， ． 的最大值是3，此时, 相应的a的值是． ◆题型8 综合提公因式和公式法分解因式（高频） 29．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式分解因式的结果是__________． 【答案】 【分析】提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ． 30．（26-27八年级上·吉林长春·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （2）先提取公因式，再套用平方差公式分解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 31．（26-27八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式． （2）把式子看成平方差的形式，利用平方差公式分解，之后继续整理． （3）提取公因式，再合并括号内同类项化简． （4）先展开多项式，再合并同类项，最后用完全平方公式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 32．（26-27八年级上·河南周口·期中）阅读与思考 下面是小雨同学的课后学习笔记，请你认真阅读并完成相应的任务． 因式分解的新方法 问题：如何将多项式和分解因式？ 回顾课堂所学“提取公因式法”“公式法”均不能将其分解，于是他便在网上查阅资料，资料提供了“拆项添项法”：把多项式某一项拆成两项（拆项），或添上互为相反数的两项（添项），保持恒等变形，再将所得式子分组，使式子能用“提公因式法”或“公式法”进行分解．具体分解示例如下： 拆项法： ……（▲） ……（★） 添项法： …… 任务： (1)材料中（▲）对应的步骤应用的运算律是______；材料中（★）对应的步骤应用的公式名称为______． (2)请你将材料中的“添项法”分解步骤补充完整． (3)应用材料中介绍的方法，将下列多项式分解因式： ①； ②． 【答案】(1)加法交换律；平方差公式 (2) 原式 ． (3)①；② 【分析】（1）根据题意解答即可； （2）根据题中思路利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （3）①根据题意利用拆项添项法，并结合提公因式法和平方差公式进行因式分解； ②根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解； 【详解】（1）解：根据题意可得材料中（▲）对应的步骤应用的运算律是加法交换律； 材料中（★）对应的步骤应用的公式名称为平方差公式． （2）略 （3）解：① ． ②原式 ． ◆题型9 因式分解在有理数简算中的应用 33．（25-26八年级上·广西桂林·期中）计算（     ） A．10000 B．1800 C．180000 D．225000 【答案】C 【分析】观察式子特征，提取后利用完全平方公式简化计算． 【详解】解： ． 34．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）运用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)13600 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)31.4 (2)40000 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 36．（26-27七年级上·上海嘉定·阶段检测）简便计算：． 【答案】 【分析】将2017和2035改写为含2026的形式，利用平方差公式展开后简便计算． 【详解】解：原式 ． ◆题型10 十字相乘法（高频） 37．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：_______________________． 【答案】 【详解】解：把原式看作以a为未知数、b为常数的二次三项式， ∵二次项可拆分为， ∵常数项拆分为和时，交叉相乘求和为，与原式一次项完全匹配， ∴原式． 38．（26-27七年级上·上海普陀·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 39．（26-27八年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料： 材料    将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如：；． 材料2    分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 材料    对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ． 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)根据材料，分解因式：__________________． (2)根据材料，分解因式：． (3)结合材料，，，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据十字相乘法分解因式； （2）令，分解因式，最后将还原，继续分解因式即可； （3）将拆成，进而分组因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式， 令， 则原式 ； （3）解： ． 40．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：； （2）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． ◆题型11 分组分解法（高频） 41．（26-27八年级上·北京海淀·期中）阅读学习下面材料，解决问题． 材料1：常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分解：； 材料2：我们知道完全平方公式，运用完全平方式是非负数的这一性质，可以找到解决问题的方法．例如， ，． (2)，判断是正数还是负数，说明理由． 【答案】(1) (2)是正数，理由如下： ， ， ， ，， ， 故是正数． 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将含的项分别配方，利用平方的非负性判断c的正负． 【详解】（1）解： （2）略 42．（26-27八年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法． 分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成两数和（差）的平方式，若可以，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．例如： ； ． (1)【应用知识】因式分解： ①； ②． (2)【拓展应用】已知某三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)该三角形是等边三角形，理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵a，b，c是三角形的三边长， ∴该三角形是等边三角形． 【分析】（1）根据分组分解求解①②即可； （2）先对等式进行因式分解，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①原式 ； ②原式 ； （2）略 43．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）漯河某初中数学小组学完“因式分解”后，对“分组分解法”进行了探讨，请认真阅读如下表格，完成项目式学习任务． 典例引领 请用分组法将下面多项式因式分解：． 解：原式 ． 技巧总结 分组分解的关键是分组，要特别掌握提公因式法和公式法 迁移应用 (1)将多项式因式分解； (2)，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由如下： ∵， 即 ∵，，是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）先对多项式分组，再提取公因式，即可求出答案． （2）先对多项式分组，再提取公因式，最后根据三角形三边和大于0的性质可求出有2条边相等，得出答案． 【详解】（1）解： ． （2）略． 44．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题．从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如： ． 拆项法：例如： ． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解 ； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式 可以因式分解为 ； (4)根据图2，若 ，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用分组分解法把分成两组，分别提公因式分解因式； （2）把中凑出一个完全平方式，再分组分解因式； （3）根据长方形的面积可得，再进行因式分解； （4）根据正方形的面积可得，把整体代入即可求出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由图可知长方形的宽为，长为， 长方形的面积为， 多项式分解因式为； （4）解：由图可知正方形的边长为， 正方形的面积为， ， ， 或， 图形的边长不能为负数， 舍去负值， ． ◆题型12 因式分解的应用（高频） 45．（26-27八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识解决代数式的一些问题．观察下列式子： ①， ∵， ∴， ∴代数式有最小值； ②， ∵， ∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： 【直接应用】 (1)代数式的最小值为________； 代数式的最大值为________； (2)求代数式的最小值； 【迁移拓展】 (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)；10 (2)代数式的最小值为5 (3)四边形面积的最大值为 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）利用完全平方公式分解因式得到，据此求解即可； （3）根据，可得，根据，得出，代入得出，据此可得答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； ， ∵， ∴， ∴代数式的最大值为10； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为5； （3）解：由题意可得： ， ∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 46．（26-27八年级上·广西贵港·期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ，， ∴当时，M有最小值3． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，则________； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)若，求当m，n为何值时，W有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)，，W最小值为2024 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征即可确定出k的值； （2）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）首先把y配方写成，根据平方的非负性得y的最大值； （4）用拆项的方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴； （2）解： ； （3）解： ， ， ， ， 的最大值为12； （4）解： ， ∴当，时W有最小值， ∴当，，W最小值为2024． 47．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）材料一：我们学过单项式除以单项式、整式除以单项式，那么整式除以整式该怎么计算呢？类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．即先把被除式、除式按同一字母降幂排列(若有缺项用零补齐)，再用竖式进行运算，当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．例如，求的商式和余式，可以计算(如图) 因此，商式是，余式是． 材料二：已知二次整式，我们把代入，发现，则是方程的一个根，从而整式中有因式．利用长除法得到，因此分解因式得：，我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上材料回答下面问题： (1)的商式是_________，余式是_______．(直接写出结果) (2)利用试根法因式分解： (3)如图2，一个长为，宽为(其中)的长方形，将它的长增加，宽增加得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的倍．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大，求长方形的另一边长(用含的代数式表示)． 【答案】(1)商式是，余式是． (2)． (3)长方形的另一边长为． 【分析】（1）按材料一的竖式除法，把被除式与除式都按降幂排列，逐项相除、相减，直到余式的次数低于除式的次数； （2）用试根法找出使整式的值为的的值，得到一次因式，再用长除法把三次整式化为二次整式后分解； （3）先由长方形的周长是的倍求出，用含的式子表示的长与宽并求其面积，再由的面积比大得的面积，最后由面积除以已知边长求另一边长． 【详解】（1）解： ∴商式是，余式是． （2）解：当时，， ∴是方程的一个根，原整式中有因式． 用长除法：，相减得； ，相减得； ，相减得， ∴． ∵， ∴． （3）解：长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为． 长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为． ∵长方形的周长是长方形的周长的倍， ∴，解得． ∴长方形的宽为， ∴长方形的面积为． ∵长方形的面积比长方形的面积大， ∴长方形的面积为． ∵长方形的一边长为， ∴长方形的另一边长为． 用长除法：，相减得； ，相减得， ∴长方形的另一边长为． 48．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中：①；②；③；④，是完全平方式的有__________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于__________（为常数） (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)②④ (2) (3)有最大值，最大值为 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征，逐个判断多项式是否符合． （2）先确定完全平方式的两个平方项，再推导中间项系数，需考虑正负两种情况． （3）用配方法将代数式变形为含完全平方式的形式，结合平方的非负性确定最值． 【详解】（1）解：完全平方式的结构为． ①的常数项为负，不符合完全平方式的结构，不是完全平方式． ②，符合完全平方式的结构，是完全平方式． ③的常数项为负，不符合完全平方式的结构，不是完全平方式． ④，符合完全平方式的结构，是完全平方式． （2）解：∵，且该式是完全平方式， ∴， ∴． （3）解： ∵， ∴， ∴， ∴代数式有最大值，最大值为． 考点二 因式分解综合 ◆题型1 因式分解与几何综合（难） 49．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，外框为固定大长方形，长、宽．在长方形内部作一条竖直分割线、一条水平分割线，两线交于点；竖直分割线与边的距离，水平分割线与边的距离，其中、满足、．两条分割线将大长方形分成4个小长方形：左上长方形的面积记为、右下长方形的面积记为、右上长方形的面积记为、左下长方形的面积记为．记，． 移动分割线、，观察、的变化． (1)当、时，经过多次操作，小普同学发现一个现象：无论怎样移动两条分割线，的值始终不变，请直接写出这个不变的值为_________________． (2)在（1）的条件下，小普同学继续移动分割线进行探究． ①将的结果因式分解；（用含、的代数式表示） ②判断：是否存在正整数和，使得？若存在，请写出所有和的值；若不存在，请说明理由． (3)如图②，小普同学进行了两次不同的分割，、是所作的第一种情形的分割线，相交于点；、是所作的第二种情形的分割线，相交于点，且、．仍类比题干的记述方式，记第一种情形对角两长方形面积之和分别为、，第二种情形对角两长方形面积之和分别为、．当时，求与的比值． 【答案】(1)12 (2)①； ②存在， 由①得：， 当时，， ∴，即， ∴或， 解得：或， ∵、，且x，y均为整数， ∴y取1，或2， ∴不符合题意，舍去，， 即存在正整数x和，使得，此时，或，． (3)4 【分析】（1）根据，，即可求解； （2）①根据题意可得，再因式分解，即可求解； ②根据当时，，可得或，再结合、，且x，y均为整数，即可求解； （3）设，则，根据题意可得，同理，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：①∵，，长、宽， ∴， ∴ ； ②略 （3）解：设，则， 根据题意得： 同理， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ． 50．（25-26八年级下·广东佛山·期末）我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 【答案】(1) (2)解：能拼出，理由如下： ∵， ∴用1张型号①，2张型号②和3张型号③卡片，可以拼成一个长，宽的大长方形． (3)①的值为，，； ②证明：∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形， ∴大长方形的面积为，且可以因式分解， 设（、为正整数）， ∴，， ∴ ， ∵、为正整数， ∴是整数， ∴是一个整数的平方． 【分析】（1）分别用两种式子表示出大正方形的面积，即可得出答案； （2）把因式分解，得出，即可得出答案； （3）①先根据所用卡片表示出大长方形的面积，设大长方形的长为，宽为，得出长方形面积，对照系数得出，根据、为正整数得出符合条件的、的值，即可求出的值； ②由所用卡片表示出大长方形的面积为，设，可得，，进而用、表示出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形， ∴大正方形的面积可表示为， 大正方形的面积还可表示为， ∴写出一个因式分解式子为． （2）解：略 （3）解：①∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形，， ∴大长方形的面积为， 设大长方形的宽为，长为，（、为正整数，）， ∴大长方形的面积为， ∴， ∴， ∵、为正整数， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为，，． ②略 51．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非”，这段论述深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题： 【解决问题】 (1)根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式为：_________________； 【拓展应用】 (2)将一张大长方形纸板按图中所示方式裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为__________． ②若阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)空白的面积为平方厘米 【分析】（1）根据题意计算正方形面积即可． （2）根据题意计算长方形面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知正方形边长为， ∴正方形面积为， ∵正方形面积等于个正方形和个长方形面积的和， ∴， ∴， ∴． （2）解：解：根据题意可知长方形的长为，宽为， ∴， ∴． 解：∵大长方形纸板的周长为厘米， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为平方厘米， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵空白部分面积为， ∴空白部分面积为（平方厘米）． 52．（25-26七年级上·上海·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 【答案】(1) (2) (3)，36 【分析】（1）仿照题意可得大正方形的面积等于九个图形的面积之和，据此可得答案； （2）根据（1）可得，据此可得答案； （3）根据，可求出，再根据可得的值． 【详解】（1）解：大正方形的边长是 ，它是由三个小正方形和六个长方形组成的， ∴大正方形的面积等于这九个图形的面积之和， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ， ， ∴，    ， ∵， ∴          ． ◆题型2 因式分解求最值（难） 53．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）若（x，y为实数），则W的最小值为_________ ． 【答案】 【分析】本题通过分组对多项式进行配方，利用平方的非负性即可求出的最小值. 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴W的最小值为. 54．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）·【较难】阅读理解： 对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． (1)问题解决：请用上述方法将二次三项式 分解因式． (2)拓展应用：二次三项式有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由． 【答案】(1) (2)有最小值1，理由见解析 【分析】（1）将添加，再减去，凑出一个完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （2）将添加4，再减去4，凑成完全平方式，得，而，因此当时，有最小值，为． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴ ， ∴当时，有最小值，为． 55．（25-26七年级下·四川成都·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据例题用配方法，得出，即可求解； （2）将已知等式用完全平方公式因式分解得出，根据非负数的性质求得，再根据三角形的三边关系，即可求解； （3）利用作差法得出，即可求解． 【详解】（1）解： 当，即时，的最小值为 （2）解：∵ ∴，即 ∵ ∴ ∵ ∴ （3）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ 56．（25-26七年级下·广东梅州·阶段检测）王老师在讲乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．学生们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， 因为，所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______（填“大”或“小”）值，该值为______； (3)已知，求的最值． 【答案】(1)； (2)大；19 (3)最小值为 【分析】（1）仿照题干提供的方法进行解答即可； （2）仿照题干提供的方法进行解答即可； （3）把等式变形为，仿照题干提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：， 因为，所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是， （2）解：， 因为，所以当时，的值最大，最大值是0． 所以． 所以当时，的值最大，最大值是， （3）解：因为， 所以， 因为，所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是． ◆题型3 因式分解的新定义问题（难） 57．（25-26七年级下·浙江台州·期末）我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 【答案】(1)①③ (2)证明：， ， ∵为正整数， ∴是8的倍数，即任意一个“奇异数”都能被8整除． (3)①4；②或 【分析】（1）根据题中所给关系式逐一判断即可； （2）先对进行因式分解，再结合为正整数，即可证明； （3）①先根据题中所给条件求出，再结合求得，进而求解； ②根据和，得出，再因式分解得，分情况讨论进而求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴16是“奇异数”； ②∵不能写成的形式， ∴21不是“奇异数”； ③∵， ∴32是“奇异数”． （2）略． （3）解：由题意得：，， ①∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵ ， ∴， ， ∴． ②∵，，， ∴，即， ∴，即， ∵，为正整数，， ∴，且是16的正、负整数因数， 若， ，解得，， ，解得，， ，解得，舍去， 若， ，解得，舍去， ，解得，舍去， ，解得，舍去． 综上，或． 58．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义：若正整数a满足（m为正整数），则称a为“积序数”． （1）请写出一个“积序数”：________； （2）已知两个不同的“积序数”之差为12，其中较大的数不超过50，则较小的数为________． 【答案】 6（答案不唯一） 30 【分析】(1) 根据积序数的定义，取正整数的值代入即可求出一个积序数． (2) 设两个积序数分别为和（），利用差为12列方程，对与进行因数分解，逐一检验求解． 【详解】（1）解：取， 则， 故一个积序数为6．（答案不唯一） （2）解：设两个不同的积序数分别为和，其中为正整数且， 由题意得：， 即， 整理，得，， ， ，， 将12分解为两个正整数之积，且满足上述条件： 当，时，，解得，， 此时，，，符合题意， 当，时，，解得，，不是正整数，舍去， 当，时，，解得，，不是正整数，舍去， 综上所述，较小的积序数为30． 59．（26-27八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 【答案】(1)40是“和谐数”， 理由：设， 解得， ∴40是“和谐数”； (2)“和谐数”能被8整除， 理由：“和谐数”能被8整除， 理由： ， ∵k是正整数， ∴能被8整除， ∴能被8整除， ∴“和谐数”能被8整除； (3)是 “和谐数”， 理由：∵是“和谐数”， ∴， ∴， ∴． ∵是“和谐数”，即是“和谐数”， ∴可设，其中k为正整数， ∴， ∴， ∴ ． ∵k为正整数， ∴和为两个连续正奇数， ∴为“和谐数”． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是： （1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 60．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”． (1)特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)，为正整数，且，若是“和谐数”． 求的值； 若是“和谐数”，请说明是“和谐数”． 【答案】(1)是，不是 (2)能，理由如下： 设两个正奇数分别是和， ， “和谐数”能被整除； (3)； 是“和谐数”， （为正整数）， 由知，， ， ， ， ， ， ， 是“和谐数”． 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，进而表示出，再将和分别代入求解，据此判断即可； （2）根据“和谐数”的定义及完全平方公式进行说明即可； （3）先利用平方差公式化简的表达式，再利用“和谐数”的定义求解即可；利用中的结论将、转化为关于的表达式，再利用“和谐数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数， ， 令，解得，是正整数， 即， 是和谐数； 令， 解得，不是正整数， 不是和谐数； （2）略； （3）解：根据题意得：， 是“和谐数”， ； 略． 综合攻坚·知能拔高 61．（26-27八年级上·山东淄博·期中）下列多项式，可以用公式法分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，不符合平方差及完全平方公式结构，不能用公式法分解； B、C、D为三项式，对照完全平方公式判断： B选项：中，与的中间项应为，不符合要求； C选项：中，与的中间项应为，不符合要求； D选项：，符合完全平方公式，可以分解． 62．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三种卡片的面积之和等于拼成的长方形面积，通过因式分解求出长方形的另一边长． 【详解】解：所有卡片的总面积为 而 ∵长方形面积长宽，且已知一边长为， ∴另一边长为． 63．（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项 ，将多项式化为整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； B选项 ，是整式乘法运算，将乘积化为多项式，不属于因式分解； C选项 ，结果为和差形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解； D选项 右边式子中不是整式，不符合因式分解要求，不属于因式分解． 64．（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，一个长方形的两边长为，，周长为16，面积为12．则多项式的值为（     ） A．36 B．48 C．60 D．8 【答案】C 【分析】边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12，得到，把多项式因式分解并整体代入即可． 【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12， ∴， ∴． 65．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）现有如图所示的甲、乙两种边长不同的正方形纸片和丙种长方形纸片若干张，小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需要取丙纸片的张数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个． 先分别求出甲、乙、丙纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可． 【详解】解：取甲纸片1张，取乙纸片9张， 面积为， 小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为，， 还需6张丙纸片． 66．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）已知，，则的值是________． 【答案】 【分析】对所求代数式进行因式分解，将其转化为已知等式左侧的两个式子的乘积，再整体代入已知值计算即可． 【详解】解： ， 已知，， ∴代入上式计算得． 67．（2026八年级上·全国·专题练习）因式分解：_____． 【答案】 【分析】首先将拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式，即可求解． 【详解】解：原式 ． 68．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知三角形三边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是________． 【答案】 【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：∵， ， ， ，， ，， 三角形的三条边为a，b，c， ∴， ， 又这个三角形的最大边为c， . 69．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____． 【答案】或 【分析】根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出，列举所有整数对并计算p，即可求出p． 【详解】解：∵可以因式分解为，且， ∴， ∵均为整数， ∴或或或或或或或， 当或时，； 当或时，； 当或时，； 当或时，； 综上所述，满足条件的的值是或． 70．（26-27八年级上·浙江舟山·开学考试）有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当时，各个因式的值是：，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，多项式因式分解的结果是，当它的第一位因式码的值和第二位因式码的值构成的数是“128”时，它的第三位因式码的值是_____． 【答案】或781 【分析】根据密码的构成规则，由第一位因式码和第二位因式码构成的数为，可得，或， ，再将所求第三位因式码利用完全平方公式变形，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵第一位因式码和第二位因式码构成的数是， ∴，或， 当，时，原式， 当，时，原式， 综上所述，的值为28或781． 71．（26-27七年级上·上海·单元测试）分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用立方差公式，分解解答即可； （2）首先根据整式的乘法，化简，再利用完全平方公式，平方差公式，解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 72．（26-27七年级上·上海闵行·期中）因式分解：； 【答案】 【分析】观察式子结构，将视为整体，先对整体做十字相乘分解，再对可分解的二次因式继续分解至最简． 【详解】原式 ． 73．（26-27八年级上·全国·期末）例题：求代数式的最小值． 原式=．可知当时， 有最小值，最小值是． (1)分解因式： ． (2)若，求的值． (3)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)是等边三角形 【分析】（1）仿照例子因式分解即可； （2）将原式化为，根据平方的非负性求出x、y的值，进而代入计算即可． （3）移项后利用完全平方公式变形，然后根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b和c的值即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解： ， ， ， ， ∵， ， ，， 解得，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形． 74．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【提出问题】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． (1)【特例感知】小明的方法是从小到大逐一列举： 3 则小明列举的第8个“智慧数”是 ． (2)【推理证明】小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 证明：设k是正整数， 又∵k是正整数，∴为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明． (3)【综合应用】用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：___________（k是正整数），将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是___________． 【答案】(1)13 (2)证明：设n是大于1的正整数， 则 ， ∵n是大于1的正整数， ∴和都是正整数， ∴是“智慧数”， 又∵能被4整除， ∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”． (3)；2703 【分析】（1）根据规律即可解答； （2）仿照题中的证明，即可解答； （3）根据探究，前四个正整数只有3是“智慧数”，后面的正整数每连续四个中就有三个是“智慧数”，由此可得第2025个“智慧数”，进而可得答案． 【详解】（1）解：第7个“智慧数”是； 第8个“智慧数”是； （2）略 （3）解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， ∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除， ∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2， ∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为； 观察可知，从1开始的正整数中，前四个正整数中只有3为“智慧数”，此后每连续四个正整数中有三个“智慧数”， 将智慧数分为3个一组，在第2组开始，每组的第一个数为的组数倍， ∴第n组的第一个数为（，且n为正整数）． ∵， ∴第2025个智慧数是第675组中的第3个数， ∴第2023个智慧数是2700，第2024个智慧数是2701，第2025个智慧数是2703． 75．（25-26八年级下·山东青岛·期末）数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决． (1)用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为_________； (2)请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式． (3)以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题． ①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________； ②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论． 【答案】(1) (2)； (3)① ②解：割补后的图形如图： 结论：． 【分析】（1）大长方形的面积既可以用长乘宽计算，也可以等于所有卡片面积之和，所以分别计算两种形式的面积，即可得到因式分解等式； （2）将多项式拆分为对应卡片的面积和，多项式对应2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，先对多项式因式分解得到长和宽，再按长和宽拼接卡片，验证面积相等得到等式； （3）①利用割补前后剩余面积相等，图3剩余面积为，图4长方形面积等于长乘宽，根据割补后的边长写出长和宽，即可得到因式分解结果； ②类似①中方法，裁去上方2个宽为1、长为的长方形，再裁去左侧边长为1的3个正方形，剩余面积为，将剩余不规则图形割补，可得到长为、宽为的长方形，据此得到结论． 【详解】（1）解：图2大长方形的长和宽均为，其面积为，所有卡片的面积和为， 因此，得到因式分解等式：； （2）解：拼接方法：拼出长为、宽为的长方形，共使用2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，即可得到因式分解等式：； （3）解：①图4中，割补后长方形的长为、宽为， 因此，； ②略． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解 常考题型·精准突破 考点一 因式分解 题型1 判断是否是因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型3 求公因式 题型4 提公因式分解因式 题型5 平方差公式分解因式 题型6 完全平方公式分解因式 题型7 综合运用公式法分解因式 题型8 综合提公因式和公式法分解因式（高频） 题型9 因式分解在有理数简算中的应用 题型10 十字相乘法（高频） 题型11 分组分解法（高频） 题型12 因式分解的应用（高频） 考点二 因式分解综合 题型1 因式分解与几何综合（难） 题型2 因式分解求最值（难） 题型3 因式分解的新定义问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 因式分解 ◆题型1 判断是否是因式分解 1．（26-27八年级上·山东烟台·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·上海普陀·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． ◆题型2 已知因式分解的结果求参数 5．（26-27八年级上·湖南湘潭·期中）多项式可以因式分解成，m和n为整数，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27八年级上·湖南湘潭·期中）甲、乙两个同学因式分解 时，甲看错了 b，分解结果为，乙看错了 a，分解结果为 ，则 __________． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 8．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式：有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ∴， 解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． ◆题型3 求公因式 9．（26-27八年级上·山东烟台·期中）多项式和的公因式是________． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 12．（26-27八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． ◆题型4 提公因式分解因式 13．（重庆育才中学教共体2026-2027学年九年级上学期第二次自主作业数学试卷）若，，则代数式的值等于__________． 14．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）已知，，则的值为_____________． 15．（26-27八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容． 分解因式：． 解： ………… ① ………… ② 其中，从①到②所依据的运算律是　　　　　　　　　　． 下列回答错误的是（     ） A．①处依据的是 B．②处的结果是 C．“运算律”一空应填“乘法分配律” D．②处的结果还能继续分解 16．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）若，，则为（     ） A．15 B．75 C．57 D．95 ◆题型5 平方差公式分解因式 17．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算：_____________． 18．（26-27七年级上·上海松江·期中）整式因式分解的结果是（     ） A． B． C． D． 19．（26-27七年级上·上海青浦·期中）分解因式： 20．（26-27八年级上·山东淄博·期中）计算：_________． ◆题型6 完全平方公式分解因式 21．（26-27八年级上·广西贵港·期中）下列多项式①，②，③，④中，能用公式法分解因式的是(     ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 22．（26-27八年级上·海南海口·期中）把下列多项式分解因式 (1) (2) (3) 23．（26-27八年级上·山东淄博·期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（    ）； A．提取公因式   B．平方差公式   C．完全平方公式 (2)在第四步中，该同学将用含的代数式代换，这个结果是否分解到了最后？请说明理由： (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 24．（26-27八年级上·湖南永州·期中）若能运用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为_______． ◆题型7 综合运用公式法分解因式 25．（26-27八年级上·山东烟台·期中）把下列各式因式分解： (1) (2) 26．（26-27八年级上·湖南·阶段检测）因式分解：． 27．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 28．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）阅读以下文字并解决问题： 【方法呈现】 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式进行局部配方可以用来解决代数式的最小值（或最大值）问题． 例如：． 因为， 所以． 则这个代数式的最小值是2，这时相应的x的值是． 【尝试应用】 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)借助“配方法”因式分解：； (3)若，求M的最大值，并求出此时a的值． ◆题型8 综合提公因式和公式法分解因式（高频） 29．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式分解因式的结果是__________． 30．（26-27八年级上·吉林长春·期中）分解因式： (1)； (2)． 31．（26-27八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 32．（26-27八年级上·河南周口·期中）阅读与思考 下面是小雨同学的课后学习笔记，请你认真阅读并完成相应的任务． 因式分解的新方法 问题：如何将多项式和分解因式？ 回顾课堂所学“提取公因式法”“公式法”均不能将其分解，于是他便在网上查阅资料，资料提供了“拆项添项法”：把多项式某一项拆成两项（拆项），或添上互为相反数的两项（添项），保持恒等变形，再将所得式子分组，使式子能用“提公因式法”或“公式法”进行分解．具体分解示例如下： 拆项法： ……（▲） ……（★） 添项法： …… 任务： (1)材料中（▲）对应的步骤应用的运算律是______；材料中（★）对应的步骤应用的公式名称为______． (2)请你将材料中的“添项法”分解步骤补充完整． (3)应用材料中介绍的方法，将下列多项式分解因式： ①； ②． ◆题型9 因式分解在有理数简算中的应用 33．（25-26八年级上·广西桂林·期中）计算（     ） A．10000 B．1800 C．180000 D．225000 34．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）运用简便方法计算： (1)； (2)． 35．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）简便方法计算： (1)； (2)． 36．（26-27七年级上·上海嘉定·阶段检测）简便计算：． ◆题型10 十字相乘法（高频） 37．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：_______________________． 38．（26-27七年级上·上海普陀·期中）因式分解： (1)； (2)． 39．（26-27八年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料： 材料    将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如：；． 材料2    分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 材料    对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ． 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)根据材料，分解因式：__________________． (2)根据材料，分解因式：． (3)结合材料，，，分解因式：． 40．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1) (2) ◆题型11 分组分解法（高频） 41．（26-27八年级上·北京海淀·期中）阅读学习下面材料，解决问题． 材料1：常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分解：； 材料2：我们知道完全平方公式，运用完全平方式是非负数的这一性质，可以找到解决问题的方法．例如， ，． (2)，判断是正数还是负数，说明理由． 42．（26-27八年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法． 分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成两数和（差）的平方式，若可以，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．例如： ； ． (1)【应用知识】因式分解： ①； ②． (2)【拓展应用】已知某三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 43．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）漯河某初中数学小组学完“因式分解”后，对“分组分解法”进行了探讨，请认真阅读如下表格，完成项目式学习任务． 典例引领 请用分组法将下面多项式因式分解：． 解：原式 ． 技巧总结 分组分解的关键是分组，要特别掌握提公因式法和公式法 迁移应用 (1)将多项式因式分解； (2)，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 44．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题．从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如： ． 拆项法：例如： ． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解 ； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式 可以因式分解为 ； (4)根据图2，若 ，求的值． ◆题型12 因式分解的应用（高频） 45．（26-27八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识解决代数式的一些问题．观察下列式子： ①， ∵， ∴， ∴代数式有最小值； ②， ∵， ∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： 【直接应用】 (1)代数式的最小值为________； 代数式的最大值为________； (2)求代数式的最小值； 【迁移拓展】 (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，若，求四边形面积的最大值． 46．（26-27八年级上·广西贵港·期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ，， ∴当时，M有最小值3． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，则________； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)若，求当m，n为何值时，W有最小值，并求出这个最小值． 47．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）材料一：我们学过单项式除以单项式、整式除以单项式，那么整式除以整式该怎么计算呢？类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．即先把被除式、除式按同一字母降幂排列(若有缺项用零补齐)，再用竖式进行运算，当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．例如，求的商式和余式，可以计算(如图) 因此，商式是，余式是． 材料二：已知二次整式，我们把代入，发现，则是方程的一个根，从而整式中有因式．利用长除法得到，因此分解因式得：，我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上材料回答下面问题： (1)的商式是_________，余式是_______．(直接写出结果) (2)利用试根法因式分解： (3)如图2，一个长为，宽为(其中)的长方形，将它的长增加，宽增加得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的倍．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大，求长方形的另一边长(用含的代数式表示)． 48．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中：①；②；③；④，是完全平方式的有__________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于__________（为常数） (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 考点二 因式分解综合 ◆题型1 因式分解与几何综合（难） 49．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，外框为固定大长方形，长、宽．在长方形内部作一条竖直分割线、一条水平分割线，两线交于点；竖直分割线与边的距离，水平分割线与边的距离，其中、满足、．两条分割线将大长方形分成4个小长方形：左上长方形的面积记为、右下长方形的面积记为、右上长方形的面积记为、左下长方形的面积记为．记，． 移动分割线、，观察、的变化． (1)当、时，经过多次操作，小普同学发现一个现象：无论怎样移动两条分割线，的值始终不变，请直接写出这个不变的值为_________________． (2)在（1）的条件下，小普同学继续移动分割线进行探究． ①将的结果因式分解；（用含、的代数式表示） ②判断：是否存在正整数和，使得？若存在，请写出所有和的值；若不存在，请说明理由． (3)如图②，小普同学进行了两次不同的分割，、是所作的第一种情形的分割线，相交于点；、是所作的第二种情形的分割线，相交于点，且、．仍类比题干的记述方式，记第一种情形对角两长方形面积之和分别为、，第二种情形对角两长方形面积之和分别为、．当时，求与的比值． 50．（25-26八年级下·广东佛山·期末）我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 51．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非”，这段论述深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题： 【解决问题】 (1)根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式为：_________________； 【拓展应用】 (2)将一张大长方形纸板按图中所示方式裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为__________． ②若阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积． 52．（25-26七年级上·上海·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． ◆题型2 因式分解求最值（难） 53．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）若（x，y为实数），则W的最小值为_________ ． 54．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）·【较难】阅读理解： 对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． (1)问题解决：请用上述方法将二次三项式 分解因式． (2)拓展应用：二次三项式有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由． 55．（25-26七年级下·四川成都·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 56．（25-26七年级下·广东梅州·阶段检测）王老师在讲乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．学生们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， 因为，所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______（填“大”或“小”）值，该值为______； (3)已知，求的最值． ◆题型3 因式分解的新定义问题（难） 57．（25-26七年级下·浙江台州·期末）我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 58．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义：若正整数a满足（m为正整数），则称a为“积序数”． （1）请写出一个“积序数”：________； （2）已知两个不同的“积序数”之差为12，其中较大的数不超过50，则较小的数为________． 59．（26-27八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 60．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”． (1)特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)，为正整数，且，若是“和谐数”． 求的值； 若是“和谐数”，请说明是“和谐数”． 综合攻坚·知能拔高 61．（26-27八年级上·山东淄博·期中）下列多项式，可以用公式法分解因式的是（     ） A． B． C． D． 62．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 63．（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 64．（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，一个长方形的两边长为，，周长为16，面积为12．则多项式的值为（     ） A．36 B．48 C．60 D．8 65．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）现有如图所示的甲、乙两种边长不同的正方形纸片和丙种长方形纸片若干张，小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需要取丙纸片的张数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 66．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）已知，，则的值是________． 67．（2026八年级上·全国·专题练习）因式分解：_____． 68．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知三角形三边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是________． 69．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____． 70．（26-27八年级上·浙江舟山·开学考试）有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当时，各个因式的值是：，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，多项式因式分解的结果是，当它的第一位因式码的值和第二位因式码的值构成的数是“128”时，它的第三位因式码的值是_____． 71．（26-27七年级上·上海·单元测试）分解因式： (1)； (2)； 72．（26-27七年级上·上海闵行·期中）因式分解：； 73．（26-27八年级上·全国·期末）例题：求代数式的最小值． 原式=．可知当时， 有最小值，最小值是． (1)分解因式： ． (2)若，求的值． (3)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由． 74．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【提出问题】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． (1)【特例感知】小明的方法是从小到大逐一列举： 3 则小明列举的第8个“智慧数”是 ． (2)【推理证明】小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 证明：设k是正整数， 又∵k是正整数，∴为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明． (3)【综合应用】用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：___________（k是正整数），将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是___________． 75．（25-26八年级下·山东青岛·期末）数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决． (1)用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为_________； (2)请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式． (3)以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题． ①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________； ②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $