专题15 因式分解问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题15 因式分解问题的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用因式分解的定义求参数 题型二、综合提公因式和公式法因式分解 题型三、利用整体法提公因式因式分解 题型四、十字相乘法因式分解 题型五、分组分解法因式分解 题型六、因式分解的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：将多项式化为几个整式乘积，涉及提公因式、公式法、分组分解及十字相乘。 - 解题方法：一提（公因式）二套（平方差、完全平方）三分组；十字相乘拆常数项与一次项系数；分解到不能再分为止。 - 易错提醒：提公因式漏项或符号错；公式结构不匹配硬套；分解不彻底（如x4-1未继续分）；结果未写成乘积形式。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用因式分解的定义求参数 典例1 （26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）若二次三项式可分解为，则的值为________． 【答案】 【分析】将分解后的整式展开，根据两个多项式相等则对应项系数相等，列方程求出和的值，再计算． 【详解】解：先展开，得： ， 二次三项式可分解为， 对应项系数相等，可得，， 解得， 将代入，得， 解得， ． 题型模版 1.特征：已知多项式可分解为指定形式，求其中字母参数，需对比系数或结构。 2.方法：设因式分解形式，展开后与原多项式比较系数，列方程组求参数，注意整式乘法验证。 变式1-1（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 变式1-2（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 【答案】 【分析】将原式分解因式化简后对应系数求出，，的值，代入求解即可． 【详解】解： ， 根据题意得， ，，， ． 变式1-3（25-26八年级下·广东揭阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)另一个因式为，的值为 【分析】（1）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可； （2）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可. 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：， ∴另一个因式为的值为． （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 题型二、综合提公因式和公式法因式分解 典例2 （26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】第题先提公因式，再用完全平方公式；第题把看成整体换元，十字相乘后再继续分解，直到每个因式都不能再分解为止． 【详解】（1）解：原式 （2）解：令，用换元法简化： 原式 题型模版 1.特征：多项式各项有公因式且剩余部分符合公式（平方差、完全平方），需先提后套公式。 2.方法：先提公因式，再观察括号内是否符合平方差或完全平方公式，套用公式分解到不能再分。 变式2-1（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用平方差公式分解即可； （2）将看作整体，先用完全平方公式分解，再用平方差公式继续分解即可； （3）先展开多项式乘积，合并后用完全平方公式分解即可； （4）将看作整体，展开整理后用完全平方公式逐步分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 变式2-2（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式2-3（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）对下列式子进行因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型三、利用整体法提公因式因式分解 典例3 （25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握观察多项式的公因式，提取公因式后合并括号内的项是解题的关键． （1）观察两项的公因式，提取公因式后整理； （2）找出两项的公因式，提取公因式后化简； （3）确定公因式，提取公因式后合并括号内的同类项． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 题型模版 二次项系数含参数，给定条件判断是一元二次或一元一次方程，求参数取值. 为一元二次方程：只需要二次项系数a≠0，无其他限制. 1.特征：多项式中某部分作为整体重复出现，可把这个整体当作公因式提取。 2.方法：将重复出现的式子设为整体（如a+b），提取该整体作公因式，再化简括号内剩余部分。 变式3-1（25-26八年级上·河南濮阳·月考）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，合并同类项，解题的关键是掌握提公因式法． （1）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （2）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （3）先提取公因式，然后合并同类项，再提取公因式即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 变式3-2（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】运用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式3-3（2026七年级下·北京·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提公因式即可得到结果； （2）原式直接提公因式即可得到结果； （3）原式直接提公因式即可得到结果； （4）原式直接提公因式即可得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 题型四、十字相乘法因式分解 典例4 （26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：； （2）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 题型模版 1.特征：二次三项式x2+px+q，找两数积为q、和为p，可分解为(x+m)(x+n)。 2.方法：拆分常数项为两因数，使其和等于一次项系数，交叉相乘验证后写成两因式乘积。 变式4-1（26-27八年级上·全国·单元测试）材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得， 均为整数， ， ． 变式4-2（25-26八年级下·山西运城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ； （2）解：， ，，， ； （3）解：， ，，， ． 变式4-3（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 题型五、分组分解法因式分解 典例5 （26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）在学习完因式分解的内容后， 为了开拓学生的思维， 张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）； 下面是小明和小芳的解法： 小明： （分成两组） （直接提公因式） 小芳： （分成两组） 直接运用公式) 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵是的三边 ∴，即 ∴，即 ∴是等腰三角形． 【分析】（1）将含的项分组凑成完全平方式，再利用平方差公式因式分解； （2）对等式左边分组因式分解，结合三角形三边关系得到两边相等，判断三角形形状． 【详解】（1）解： ； （2）略 题型模版 1.特征：多项式项数较多（四项及以上），分组后可提公因式或套公式，实现整体分解。 2.方法：合理分组（如两两分组或三一分组），各组分别提公因式或套公式，使组间产生新的公因式再提取。 变式5-1（25-26八年级下·贵州毕节·期末）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ∴， ，， ． ，，                 ，， ， ∴这个三角形是等边三角形． 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到，，之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解：原式  ． （2）解：原式， ， ．                 （3）略 变式5-2（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）阅读下列分解因式的过程： ① ② 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知：，，求代数式的值； (3)已知的三边，，满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：是等腰三角形；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）利用分组分解法分解因式即可； （2）利用分组分解法把分解因式，再代入已知条件计算即可； （3）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，，的关系，判断三角形形状即可． 【详解】（1）解： . （2）解：∵，， ∴ . （3）解：略． 变式5-3（25-26八年级下·宁夏银川·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题． 从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如：． 拆项法：例如：． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式可以因式分解为___________； (4)根据图2，若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)12 【分析】（1）根据题干中提供的信息利用分组分解法即可； （2）根据题干中提供的信息利用拆项法分解因式即可； （3）结合图形可得大长方形的面积等于内部所有小图形的面积之和，从而利用因式分解得出结果； （4）根据图形可得出，结合已知条件可得到，由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数，从而求得结果． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：由图1可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的总面积为， ∵大长方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和，即， 两个表达式对应同一个图形的面积， ∴因式分解结果为． （4）解：由图2可知，大正方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和， ∴， ∵，， ∴， 由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数， ∴， ∴． 题型六、因式分解的应用 典例6 （26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解． 如图（1）所示的边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1张边长为的正方形卡片B，2张邻边长分别为的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成或，从而验证． (1)如图（2），用1张正方形卡片A、2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为________________； (2)某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C、开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为________________； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度． 【答案】(1) (2) ，画图表示如下： 【分析】（1）用两种方法表示出图（2）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； （2）用两种方法表示出图（3）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； 画出相关图形，借助图形得到验证多项式的因式分解即可． 【详解】（1）解：图形（2）的面积的表示方法：一、，二、， 图形（2）可以验证多项式的因式分解为． （2）解：图形（3）的面积的表示方法：一、，二、， 图形（3）可以验证多项式的因式分解为． 详解见答案． 题型模版 1.特征：利用因式分解简化计算、求代数式值或判断整除性，将和差化为积的形式。 2.方法：先对式子因式分解，再整体代入数值或约分，利用积的性质简化运算、求值或证明整除。 变式6-1（25-26八年级上·云南德宏·期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 原式 ． ②，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值； 请根据以上材料解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)如图1矩形面积为，如图2正方形面积为，根据图中数据比较，大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）配方得，即可求解； （2），，求出，进行配方，即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，的最小值为； （2）解：由图得 ， ， ， ， ， ， ． 变式6-2（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： (1)下列各数中，“雅美数”有_______； ①10     ②28     ③45     ④39 (2)若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为_______； (3)探究问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； (4)问题拓展：已知整数M，N是“雅美数”，求证：是“雅美数”． (5)应用拓展：已知实数x，y满足，直接写出的最小值． 【答案】(1)①③ (2)9 (3) (4)证明：设，，其中，，，均为整数， ∴， ， ∵，，，均为整数， 和均为整数， 是“雅美数”； (5)3 【分析】（1）根据“雅美数”的定义求解； （2）首先将配方成，求出，，然后代入求解； （3）首先将S配方成，然后根据“雅美数”的定义得到，然后求解即可； （4）设，，其中，，，均为整数，表示出，然后展开后配方即可证明； （5）首先表示出，然后配方后利用平方的非负性求解． 【详解】（1）解：∵① ∴10是“雅美数”； ∵②， ∴28不能表示成（a，b是整数）的形式， ∴28不是“雅美数”； ∵③ ∴45是“雅美数”； ∵④， ∴39不能表示成（a，b是整数）的形式， ∴39不是“雅美数”； 综上所述，“雅美数”有①③； （2）解： ∴，， ∴； （3）解： ∵S为“雅美数”， ∴， ∴； （4）略 （5）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴的最小值为3． 变式6-3（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）【问题探究】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【知识生成】我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解．例如：由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的多项式的因式分解为______． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． (3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______． 【知识迁移】 (4)图4中某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a、b均为整数，请分别求出a、b的长． (5)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．图5表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请根据图5中图形的变化关系，写出一个数学公式______． 【答案】(1) (2)36 (3) (4) (5) 【分析】（1）图2是边长为的大正方形，从整体与分割后各小块面积相等，得到三数和的完全平方公式即可； （2）直接利用第(1)问的完全平方变形公式，把、整体代入，求出平方和即可； （3）先把多项式乘积展开，对比各项系数，得到纸片数量，再求和即可； （4）先根据图形写出长方形面积表达式；是正整数，列出45的正因数对，解方程组，舍去负数解即可； （5）分析从体积不变，左边是原正方体挖去一小块后的体积，右边是重新拼成的长方体体积，即可解答. 【详解】（1）解：大正方形边长为，整体面积为， 分割面积和为， ； （2）解：由(1)得：， ， ， ， ； （3）解： ， ； （4）解：由图4，长方形长：，宽：， ， 为正整数，，且都是正整数，都是45的因数， ， ∴①， 解得（边长不能负，舍去） ②， 解得（边长不能负，舍去） ③， 解得，符合条件． 综上所述，； （5）解：原正方体体积：，挖去小长方体体积：，剩余体积， 重组后的新长方体：长，宽，高，体积， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意； B、中，不属于因式分解，该选项不符合题意； C、，不属于因式分解，该选项不符合题意； D、，是因式分解，该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能运用公式法分解因式，不符合题意； （3），符合题意； （4）不能运用公式法分解因式，不符合题意． ∴能运用公式法分解因式的有2个． 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）把多项式分解因式得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用提公因式法进行多项式因式分解，先通过变形将多项式中互为相反数的因式化为相同形式，再提取公因式，最后对剩余部分继续分解因式，再分析各选项的正误即可． 【详解】解： ． 故选：A． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得，然后与对照，即可求出，的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵多项式可以因式分解成，，为整数， ∴， ∴，， ∴， 即的值是． 故选：C． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 二、填空题 7．（2025·吉林四平·模拟预测）分解因式 ． 【答案】 【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用．由已知条件求得，，，再将原式化成，连接两次代值计算便可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵， ，， 原式 ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式，提公因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 原式利用平方差公式变形，再提公因式，即可解答． 【详解】解： ． ∴一定能被最大的正整数12整除． 故答案为：12 10．（25-26七年级下·浙江金华·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 11．（25-26七年级下·河北唐山·期末）在学了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为m的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得m与n的关系式为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的面积，矩形的面积，等腰直角三角形的面积公式解答即可． 本题考查了正方形的面积，矩形的面积，等腰直角三角形的面积，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，且， 又∵， 故， 解得．即a的值为． 故答案为：． 12．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 【答案】 5 1023669 【分析】本题考查数的规律探究，因式分解的应用，解题关键是通过推导得出“好数”为正奇数，再利用规律计算． 由变形得，代入，通过整式运算化简，结合，推出．因为a、b、不全为0，所以其中只有一个数为0，不妨设，则．将，代入，分析得出满足恒成立的正整数n是奇数，即“好数”为所有正奇数．按正奇数从小到大排列，找到第3个“好数”是5；确定大于100且不超过2025的正奇数，通过数的个数和首尾数，利用（首数尾数）个数的方法，算出这些“好数”的和． 【详解】解：由，得， 则 , ∵， ， 、b、c不全为零， 、b、c中只有一个数为零， 不妨设，从而， 恒成立即恒成立， 显然满足条件的正整数n为奇数， 即不超过2025的正整数中“好数”有1、3、5、、2025共1013个， 大于100且不超过2025的正整数中“好数”有963个， 第3个“好数”是5，大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为． 故答案为：5，． 三、解答题 13．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1)；； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）先通过变形将式子化为有公因式的形式，提取公因式后，再利用平方差公式继续分解； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式、完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可； （4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)． (2)． (3)． (4)． 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法因式分解． （1）利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）利用提公因式法进行因式分解即可； （4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式． 16．（25-26八年级上·山东德州·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解， 故选：C； （2）解：由得该因式分解的最后结果为， 故答案为：； （3）解：依题意，设， ． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． （1）根据，分解因式即可； （2）根据，分解因式即可； （3）根据，分解因式即可； （4）根据，分解因式即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ； 故答案为：； （4） ； 故答案为：． 18．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）阅读理解： 已知，求，的值． 解：， ， ， 又，， ，， ，． 学以致用： (1)若，求t的值； (2)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）将变形为即可求出结果； （2）将变形为，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， ． ∵、、是的三边， ∴是等边三角形． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)若，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)A (2)2 (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何意义及应用，因式分解，掌握公式的结构特征是正确应用的前提，利用公式进行适当的变形是得出答案的关键． （1）根据拼接前后的面积相等可得出答案， （2），即，又，可求出的值， （3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案． 【详解】（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为 因此有，， 故选：A； （2）解：，， ； （3）解：原式， ， ， ． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）问题：已知多项式含有因式和，求，的值． 解：设（其中为整式）， 取，得，① 取，得，② 由①，②解得，． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)若多项式含有因式，求实数的值； (2)若多项式含有因式，求实数，的值； (3)如果一个多项式与某正数的差含有某个一次因式，则称这个正数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式除以一次因式的余数． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、二元一次方程组和一元一次方程的应用，理解阅读材料中的方法是解题关键． （1）设，其中为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）设，其中为整式，分别取，，和，，可得一个关于、的方程组，解方程组即可得； （3）设，其中是一个正数，为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设（其中为整式）， 取，得， 解得； （2）设（其中为整式）， 取，，得，① 取，，得，② 由①，②解得，； （3）设多项式除以一次因式的余数为，另一个因式为， 则， 取，得， 解得， 除以一次因式的余数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15因式分解问题的六类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用因式分解的定义求参数 题型二、综合提公因式和公式法因式分解 题型三、利用整体法提公因式因式分解 题型四、十字相乘法因式分解 题型五、分组分解法因式分解 题型六、因式分解的应用 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 ·题型特征：将多项式化为几个整式乘积，涉及提公因式、公式法、分组分解及十字相乘。 ·解题方法：一提（公因式）二套（平方差、完全平方）三分组；十字相乘拆常数项与一次项系数；分解 到不能再分为止。 ·易错提醒：提公因式漏项或符号错；公式结构不匹配硬套；分解不彻底（如x41未继续分）；结果未写 成乘积形式。 ◆◆ 夙题型归纳一精讲典型题法，务失解题极基 题型一、利用因式分解的定义求参数 典例1(26-27八年级上江苏苏州阶段检测)若二次三项式-mx-6可分解为 (x-3(x+n ,则m+”的 值为 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：已知多项式可分解为指定形式，求其中字母参数，需对比系数或结构。 2方法：设因式分解形式，展开后与原多项式比较系数，列方程组求参数，注意整式乘法验证。 变式1-1(25-26八年级下山东青高阶段检测若将多项式2r+m-2因式分解得：+42x+m）,则mm 的值为 变式12(25-26八年级下陕西成附阶段检测)己知19x-3013x-17)-13x-17)1x-23)可因式分解成 (+b8x+c),其中常数ab,C均为整数，则a+h+C一 变式1-3(25-26八年级下广东揭阳期末)仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x+n),得， x2-4x+m=(x+3)(x+n) 2-4x+m=x2+(n+3)x+3n 则 [n+3=-4 m=3n, 解得n=-7,m=-21, 另一个因式 为x-7）,m的值为21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 山尼知二次三项式+x+m有个因武是x+2),求另个因式以及m的值。 ②已知二次三项式2+3x+长有一个因式是任-引，求月一个因武以及长的值， 题型二、综合提公因式和公式法因式分解 典例2(26-27七年级上·上海宝山阶段检测)因式分解： 2/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (16a9 ②r-4x-82-4x)-48 题型模版 1特征：多项式各项有公因式且剩余部分符合公式（平方差、完全平方），需先提后套公式。 2方法：先提公因式，再观察括号内是否符合平方差或完全平方公式，套用公式分解到不能再分。 变式2-1(26-27八年级上山东淄博·阶段检测)把下列各式因式分解： 2(m2-5+2(m-5)+l1 6c--2+ ④r+2x0e+2x+2)+1 变式22(26-27八年级上河南新乡阶段检测)因式分解 02r-l16y+32y 2a3-32a (2) (m-m）+9(n-mj ④(x+9y2）2-36xy 变式2-3(26-27八年级上江苏苏州阶段检测)对下列式子进行因式分解. 027w2-18xy 23x(a-b)-2y6-a) )16ab2-12ab 3/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④4ry+42-y 题型三、利用整体法提公因式因式分解 典例3(25-26八年级下全国课后作业)把下列各式因式分解： 2a(x+-(x+) (②m(m+m）-2n(m+） 8x-2y)+2x(x-2y) 题型模版 二次项系数含参数，给定条件判断是一元二次或一元一次方程，求参数取值 为一元二次方程：只需要二次项系数≠0，无其他限制！ 1.特征：多项式中某部分作为整体重复出现，可把这个整体当作公因式提取。 2方法：将重复出现的式子设为整体（如+b),提取该整体作公因式，再化简括号内剩余部分。 变式31(25-26八年级上河南濮阳·月考)用提公因式法将下列各式因式分解： ①2a(m-n)-4b(n-m） (210b(x-y-5a(0y-x2 6（2a+b)2a-3b)+(2a+5b)2a+b) 变式3-2(25-26八年级下·全国课后作业)把下列各式因式分解： )2ar-y+c-) 2(a-5)小-35-a) (3)3m(a-by-m(b-a) ④5a+ba-b)-b(a+b2 4/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-3(2026七年级下·北京专题练习)因式分解： ④(--(y-. 2x+旷(x-)+(x+yx-), ③12(x-'+15x(0y-x ④2(x-2y(+2y）+3(2y-x0x+22 题型四、十字相乘法因式分解 典例4(26-27八年级上·湖南娄底阶段检测)阅读下列材料： 将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：r=xx,-35=(5)×(+7) -5 ②交叉相乘，验中项：x 八+7→7r-5r=2x x2+2x-35=(x+7)(x-5) ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法. 试用上述方法分解因式： 0r+5x+4 2x2-7x+3 (2) 题型模版 1.特征：二次三项式x2+px+q,找两数积为q、和为p,可分解为(x+m)(&+n)。 2方法：拆分常数项为两因数，使其和等于一次项系数，交叉相乘验证后写成两因式乘积。 变式41(26-27八年级上·全国单元测试)材料：如何将 +(p+q)x+P9型的式子分解因式呢？ 5/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 我们知道x+px+q)=r+(p+g)x+p四 所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) (x+1)(x+2)=x2+3x+2.x2+3x+2=(x+1)(x+2) 例如： 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下 角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项 的系数，如图： x2+3x+2=(x+1)(x+2) 这样，我们可以得到： 2 1×2+1×1=3 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将x2+5x+6分解因式的结果为_： (②)若+x-1 5利用十字相乘法可分解为x+@+5)（a,p均为整数)，求a和P的值 变式42(25-26八年级下·山西运城期末)利用整式的乘法运算法则推导得出： (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd .我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系 可得ar+(ad+bc)x+bd=(c+b)(cr+d) 通过观察可把ar+(ad+bc)r+bd 作以x为未知数，a、 b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当 的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解 的方法称为十字相乘法.例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分 x2+11x+12=(x+4)(2x+3) 解，如图2，则 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 X axd+cXb=ad+bc 1×3+2×4=11 图1 图2 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：x2+6x-27； (2)用十字相乘法分解因式：6x2-7x-3: (3)结合本题知识，分解因式：(x+少-7(x+)+6 变式4-3(25-26八年级下·陕西西安阶段检测)根据多项式乘法法则， +pK+g)=++r+网=R+p++网.反过来.电有(p+9+P四=(+p+).这 就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式. 例如，因式分解x+3x+2这个式子的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，符合 x2+(p+q)x+pq 类型，于是有 2+3x+2=(x+1)x+2) 这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示： 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角：再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上 角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.如图： 1×2+1×1=3 2+3x+2=(x+1)(x+2) 这样，我们也可以得到 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式. 【知识应用】 ()直接写出分解因式的结果： 02-5x-24=② x2+8xy+12y2= 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②因式分解+刘-(x+x-2 2y+9x2-16xy-2xy2-4y2 (3)【拓展提升】因式分解 题型五、分组分解法因式分解 典例5(26-27八年级上甘肃天水·阶段检测)在学习完因式分解的内容后，为了开拓学生的思维，张 老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：(1)mn2-2mn+2n-4;(2)25-x2-9-6x; 下面是小明和小芳的解法： 小芳： 小明： 25-x2-9-6x mn2-2mn+2n-4 =52-(x2+6x+32） =(mn2-2mn+(2n-4) (分成两组) (分成两组) =52-(x+3)2( =mn(n-2)+2(n-2） 直接运用公式) (直接提公因式) =(5+x+3)(5-x-3) =(n-2)(mn+2) =(8+x)(2-x) 请在她们的解法启发下解答下面各题： x2-y2-4x+4 (1)因式分解： (2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2-b2-ac+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由. 题型模版 1特征：多项式项数较多（四项及以上），分组后可提公因式或套公式，实现整体分解。 2方法：合理分组（如两两分组或三一分组），各组分别提公因式或套公式，使组间产生新的公因式再提 取。 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式5-1(25-26八年级下·贵州毕节期末)【阅读材料】要将多项式am+am+bm+bn分解因式，可以先把 它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得m+am+bm+bm=(am+am)+(bm+bm) =a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 这种分解因式的方法称为分组分解法. 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】3x-18+y-6y= (2)【解决问题】因式分解：ab-bc+a2-c2； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为a,b，,c,且满足a2-2ac+b2-2bc+2c2=0,试判断这个三 角形的形状，并说明理由， 变式5-2(25-26八年级下·江西鹰潭·期末)阅读下列分解因式的过程： D+@y+bx+by=(@x+@v)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y) ②2y+x-1+y=x+2y+y2-1=(x+y2-1=(x+y+1）(x+y-） 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解答下列问题： (1)分解因式：m2-n2-4m+4: (2)已知：a-b=3,a+c=-5,求代数式ac-bc+a-ab的值； (3)已知△ABC的三边a,b,c满足a2-b2-ac+bc=0,判断△ABC的形状，并说明理由 变式5-3(25-26八年级下·宁夏银川期末)“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决 数学问题的重要思想方法.在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解， 请阅读下面材料完成相应问题， 从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式 的方法还有分组分解法、拆项法等等】 分组分解法：例如：-2g+y-4=(x-2gy+y）-4=(x--2=(x-y-2(x-y+2) 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拆项法：例如： x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3) b b b 图1 图2 (1)利用分组分解法，因式分解a-ab+1-b； (2)利用拆项法，因式分解x2-6x-16: 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等 式 (3)根据图1，多项式a+2b2+3ab可以因式分解为 (4根据图2，若a2+b2+c2=60,ab+bc+ac=42,求a+b+c的值. 题型六、因式分解的应用 典例6(2627八年级上·山东淄博阶段检测)问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方 法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题.例 如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式a2+2b+b进行因式分解. 如图(1)所示的边长为(a+b)的大正方形是由1张边长为a的正方形卡片A,1张边长为b的正方形卡片 B,2张邻边长分别为ab的长方形卡片C组破的，这个图形的面积可以表示成+2+》或a+b,从 a,b 或 2+2ab+b2=(a+b)2 而验证 10/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b b a a b h b a 图(1) 图(2) 图(3) (1)如图(2)，用1张正方形卡片A、2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为 (②)某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C、开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图(3)中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为 ②请你类比上述方法对多项式3a+4b+b进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度， 题型模版 1.特征：利用因式分解简化计算、求代数式值或判断整除性，将和差化为积的形式。 2方法：先对式子因式分解，再整体代入数值或约分，利用积的性质简化运算、求值或证明整除。 变式6-1(25-26八年级上·云南德宏·期末)把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关 运算和解题，这种解题方法叫做配方法. 如：①用配方法分解因式：a2+6a+8 原式=a+6a+8+1-1=a2+6a+9-1 =(a+3)}2-12=[(a+3)+1][(a+3)-1]=(a+4)(a+2) ②M=a2-2a-1,利用配方法求M的最小值. 解：-2a-1=d-2a+1-2=(a-l-2 (a-l≥0，当a=1时，M有最小值-2； 请根据以上材料解决下列问题： 11/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2a+4 a+3 图1 图2 (1)若M=x2+8x+14,求M的最小值； (②如图1矩形面积为氵，如图2正方形面积为 2(a>0) 根据图中数据比较9，S大小、 变式6-2(26-27八年级上山东淄博阶段检测)配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全 平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一 些问题.例如，把二次三项式x2-2x+3进行配方 解：×-2x+3=-2x+1+2=(x2-2x+）+2=(x-+2 我们定义：一个整数能表示成a+b2(a,b是整数)的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美 数”，理由：因为5=2+1，再如，M=+2+2y=(++y (x,y是整数)所以M也是“雅 美数”. 解决问题： (1)下列各数中，“雅美数”有」 ①10②28③45④39 (②若二次三项式-6x+12(x是整数)是“雅美数”，可配方成区-m+n(m,n为常数)，则mn的 值为 S=x2+4y2+4x-12y+k (3)探究问题：已 (x,y是整数，k是常数)，要使S为“雅美数”，试求出符 合条件的k值： (④问题拓展：已知整数M,N是“雅美数”，求证：M·W是“雅美数”. -x2+3x+y-4=0 (⑤)应用拓展：已知实数x,y满足 0,直接写出+的最小值 12/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式6-3(26-27八年级上山东淄博阶段检测)【问题探究】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想 方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题， 初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释。 b 图1 图2 图3 图4 图5 【知识生成】我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解.例如：由图1可以 2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b) 得到 请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的多项式的因式分解为一· (②)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：己知a+b+c=10,ab+bc+ac=32,求a2+b2+c2的值， (3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为4、b的长方形纸 片拼出一个面积为 2a+b)(a+3b) 长方形，则+y+2= 【知识迁移】 (4)图4中某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a、b均为整数，请分别求出a、b的长. (⑤)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式.图5表示的是一个棱长为x的正方体挖 去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请根据图5中图形的变化关系，写出一个数学公式 ◆◆ 同压轴挑战一支克高障压轴，突骏思维上保 一、单选题 1.(25-26八年级上湖北襄阳期末)下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为() 4,（a+10(a-l)=a2-1 B.-18ry=-6x2-3xy C.r+2x+1=x(x+2)+1 D a2-6a+9=(a-3)2 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级上山东淄博阶段练习)下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有() ()4r2-12)90-3ab+13)2-x+4 (4)-x2-y2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3。(25-26八年级上：山东淄博阶段练习)把多项式m(0-2)m(2-m 分解因式得() m(n-2)(m+1) B.(n-2)(m-m) c.(m-2m+m) D.m(n-2(m-1) 4.(2025浙江杭州校拟预测)若”=3，x-3y=-5,则2y-60 的值为() A.-15 B.-1 C.2 D.-30 （x+2)(2x-1)-2(x+2) 5.(25-26八年级上·全国课后作业)多项式 可以因式分解成 x+m)(2x+n）m n为整数，则m-n的值是() A.3 B.-1 c.5 D.-3 6.(2025八年级上全国·专题练习)已知△ABC的三边长分别是a,b,C,且满足 a2+2b2-2b(a+c）+c2=0 ,判断此三角形的形状为() A.直角三角形B.等边三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 二、填空题 7.(2025·吉林四平模拟预测)分解因式a2b-4ab+4b= 8.(24-25七年级下·全国·单元测试)若m2=n+2025,n2=m+2025,且m≠n,则代数式m3-2mn+n3 的值为一 9.(25-26八年级上·全国单元测试)若n为正整数，则m+5》--一定能被最大的正整数_整 除. 10.(25-26七年级下·浙江金华期末)在对多项式a2-4b+4b-1进行因式分解时，我们可以把它先分组 14/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再分解：原式（女-4b+46)-1=(a-2-1=(a-2b+1a-26-),这种方法叫做分组分解法.请你 4x2+4x-y2+1 用以上方法，写出多项式 因式分解的结果为 11.(25-26七年级下河北唐山期末)在学了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动： 如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为 甲和，当 S子之时，可得与n的关系式为：则a的值为 n n n m ni m n 甲 乙 12.(2025四川成都模拟预测)定义：若a,b,c不全为0，且满足a+b+c=0,a3+b3+c3=0,如果 正整数n使得a”+b”+c=0恒成立，那么正整数n称为“好数”，例如，当n=1时，a+b+c=0恒成立， 所以1是“好数”·把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是一：大于100且不 超过2025的正整数中所有“好数”的和为一 三、解答题 13.(25-26八年级上山东淄博阶段练习)因式分解： a)a(a-b+46(b-a） (264a-4a(a2+4 14.(25-26八年级上·山东淄博阶段练习)分解因式： 02462 24-6a2+90 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6)r(6x-3)+46- ④(a2-6°-6(a2-6)+9 15.(2025八年级上全国专题练习)分解因式： (①r+2-6yx+)+9y2 216-72ry2+81y 6)20x-少-6x+X0-) ④(a+1-4a 16.(25-26八年级上山东德州期末)阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分 解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的 方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式：-：++25 行因式分解的过程. 2=y 解：设 原式(0-90+1)+25 (第一步) =y2-8y+16 (第二步) =(0-4(第三步) =(2-4(第四步) 请根据上述材料回答下列问题： ()小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的： A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： 16/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)请你用换元法对多项式 K2+2x)x2+2x+2+1进行因式分解。 17。(2025八年级上全图专题练习)【阅读理解】由多项武乘法，(K+Px+g）=+(P+g)r+p四，将 该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式： +(p+g)x+p9=(+px+q）,示 x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3) 例：分解因式： 【问题解决】分解因式： (1)x2+5x+4= (2)x2-6x+8=-; (3)x2+2x-3= (4)x2-6x-27= 18.(25-26七年级下·甘肃兰州期末)阅读理解： 已知m2+n2-10m+4n+29=0,求m,n的值. 解：m2+n2-10m+4n+29=0, ∴.(m2-10m+25)+(n2+4n+4)=0 ∴.(m-5)2+(n+2)2=0 (m-5)2≥0(n+2)2≥0 ∴(m-5)2=0(n+2)2=0 ∴m=5,n=-2 学以致用： (1)若t2-2t+1=0,求t的值； 17/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②己知x、y、2是△4BC的三边，且满足 2-2xy+2y2-8y+16+2-4= ,试判断△ABC的形状。 19.(25-26八年级上·全国课后作业)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然 后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）· 图① 图② (1)上述操作能验证的等式是； (请选择正确的一个) A a2-b2=(a+b)(a-b) a2-2ab+b2=(a-b)2 a'+ab=a(a+b) (②若-=16x+y=8 求-y的值： 3)计算： --2e)2s) 20。(2025八年级上全国专题练习)向愿：已知多项式+m+-16含有因式任-)和任-2），求m n的值. 解：设 +mr+x-16=A(x-0x-2)(其中A为整式)， 取x=1,得1+m+n-16=0,① 取x=2,得16+8m+2n-16=0,② 由①，②解得m=-5,n=20 根据以上阅读材料，解决下列问题： ①若多项式3r+ar-2含有因式任-)，求实数”的值： 18/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若多项 2+m+-4红+2y含有因式低+y-2列 求实数m,”的值： (3)如果一个多项式与某正数的差含有某个一次因式，则称这个正数是这个多项式除以该一次因式的余数. 请求出多项式+2x+3除以一次因式任+1) 的余数 19/19