培优专题05 整式的乘法压轴问题1考点12题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题05 整式的乘法压轴问题 常考题型·精准突破 考点一 整式的乘法压轴问题 题型1 幂的运算综合 题型2 幂的新定义运算 题型3 利用幂的运算比较大小 题型4 整式乘法综合 题型5 已知多项式乘积不含某项求字母的值（含几何类） 题型6 多项式乘法与几何图形 题型7 多项式乘法中的规律性问题 题型8 乘法公式中规律探索 题型9 乘法公式的变形求值 题型10 乘法公式与几何图形 题型11 乘法公式的新定义问题 题型12 乘法公式的配方法 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 整式的乘法压轴问题 ◆题型1 幂的运算综合 1．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知正整数满足，则___________． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． ◆题型2 幂的新定义运算 4．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 5．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定： (1)填空： ， ； (2)记，试说明：． 6．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读下列材料： 材料一：我们知道，个相同的因数相乘，记为．例如，此时，我们将指数3称作以2为底8的对数，记为（即当2为底数且乘方结果为8时的指数，显然，）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即，如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． 材料二：由材料一可知，若（且，），则，对等式两边同时乘方，有（正整数），即，故． (1)计算以下各对数的值：__________，___________； (2)证明：（且，，），并求． (3)若，求的值 ◆题型3 利用幂的运算比较大小 7．（22-23七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 8．（2022九年级上·湖北黄冈·竞赛）已知，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·贵州毕节·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） ◆题型4 整式乘法综合 10．（26-27八年级上·云南昆明·期中）类比是数学中常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．例： ① ② ③ ④ (1)【任务一】已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． (2)【任务二】请仿照上面竖式的方法计算：与的和． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 12．（21-22七年级下·浙江金华·期中）已知，，为有理数，且多项式能够被整除． （1）_______； （2）若，，为整数，且，则_______． ◆题型5 已知多项式乘积不含某项求字母的值（含几何类） 13．（21-22七年级下·湖南常德·期末）若关于的代数式的展开式中的系数为3，则的值为_______． 14．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把、看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为．故原式，∵代数式的值与的取值无关，∴，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 （3）将七张如图1的小长方形（长为，宽为）按图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个阴影部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出的值． ◆题型6 多项式乘法与几何图形 16．（26-27七年级上·上海虹口·期中）如图1，在长方形中，，，长方形的边长为，，它与边长为的正方形有重叠部分，重叠部分为长方形，其中，点、、、分别在边、、、上，点、在长方形内，与交于点，与交于点．如果长方形的面积减去长方形的面积，差等于以为一边的一个长方形面积，那么该长方形的另一条边长用含、的式子表示是________． 17．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 18．（25-26七年级下·湖南永州·期末）如图1，长方形的两边长分别为，；如图2的长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） (1)计算两个长方形的面积的差，即的值； (2)现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与该长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由． (3)在（1）的条件下，若某个图形的面积介于，之间（不包括，）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值． ◆题型7 多项式乘法中的规律性问题 19．（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）根据等式：， ， ， ……的规律， 则等于（     ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 21．（25-26七年级下·湖南常德·期中）观察下列等式： …… （1）由此归纳出一般性规律：_____； （2）计算：_____（结果保留幂的形式即可） ◆题型8 乘法公式中规律探索 22．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）已知是2026个由1或组成的数列，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）分解下列因式：，，，观察上述三个多项式的系数，有，，．若多项式是完全平方式，那么系数，，之间一定存在某种关系．若多项式和都是完全平方式，则利用观察得到的规律可得的值是________． 24．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则_____，_____． ◆题型9 乘法公式的变形求值 25．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知实数满足，则代数式的最小值为（     ） A．4 B．5 C．-12 D．-3 26．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）已知，则的值是（     ） A．17 B．15 C．13 D．11 27．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． (1)根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 (2)若实数x，y满足，且，求的值； (3)若， ，求的值； (4)若，，求的值． ◆题型10 乘法公式与几何图形 28．（25-26六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，，则，． ． 【类比探究】 解决下列问题： (1)若满足，则的值为 ； (2)若，求的值； 【拓展应用】 (3)已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 29．（25-26七年级下·四川成都·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，通过建立数与形的联系，探索解决问题的思路． [回归教材] (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，可以得到一个等式为 ； 【灵活运用】 (2)若k满足，求的值； 【探究迁移】 (3)在正方形中，将两张边长分别为10和的正方形纸片，按图2，图3方式放置，图2中阴影部分为长方形，面积为，图3中阴影部分为正方形面积为，图3中四边形为正方形面积为；若，图3中的长方形周长为30，求的值． 30．（25-26七年级下·四川达州·期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出，，之间的等量关系是________________； (2)若，求的值； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以为边在异侧作正方形和正方形，连接AF．若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，求的长度． ◆题型11 乘法公式的新定义问题 31．（25-26七年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为和谐数． ①如果将n个和谐数按从小到大的顺序依次排列，就会形成一组和谐数列：，，…，则一定是的倍数； ②若，则是和谐数； ③m，n为正整数，且，若和都是和谐数，则也是和谐数． 则上述结论正确的是______________． 32．（24-25七年级下·全国·周测）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）． (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①试说明：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证． 33．（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是______． ◆题型12 乘法公式的配方法 34．（2025八年级上·全国·专题练习）【提出问题】当时，如何求代数式的最大值或最小值？ 【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如，所以当时，此多项式有最小值1． 【解决问题】 (1)实践操作：填写下表． x … 1 2 3 … … … (2)观察猜想：当_______时，有最_____值（填“大”或“小”），是_____； (3)推理论证：利用配方法求的最大（或最小）值，以证明你的猜想； (4)综合应用：求代数式的最大（或最小）值，并求出此时x的值． 35．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）【阅读材料】 材料一：“配方法”是将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，是解决数学问题常用到的方法． 材料二：，，求的值． 解：∵，，∴． 材料三：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴当时，有最小值，即代数式的最小值是． 【问题解决】 (1)已知，，求的值； (2)代数式是否有最大值，或有最小值？若有，求出它的最大值或最小值，并写出此时x的取值；若没有，请说明理由 【问题拓展】 (3)若，求的值． 36．（21-22七年级下·重庆·期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等问题中都有着广泛的应用．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值； ， ∵，， ∴ ∴当时，代数式M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若代数式，求N的最大值； (3)已知，求以a，b为边长的等腰三角形的周长． 综合攻坚·知能拔高 37．（26-27八年级上·福建泉州·期中）若实数，，满足，，则的值是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 38．（26-27八年级上·四川眉山·期中）设，，．现给出实数，，三者之间的四个关系式： ①；②；③；④． 其中，正确的关系式的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．61 B．76 C．80 D．144 40．（25-26七年级下·浙江金华·期末）在课本124页“设计题”中，有3张边长为的正方形纸片，4张长为x，宽为1的长方形纸片，5张边长为1的正方形纸片．若从中取若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的纸片无空隙、无重叠地拼成一个正方形，则拼成的正方形的边长最大可以为（     ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如，，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17687 B．17688 C．17689 D．17670 42．（26-27八年级上·福建泉州·期中）把两张一样的正方形纸片按如图1所示分别裁剪成和两部分（为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张纸片的面积为，一张纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为_______． 43．（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 1   1    1   2   1    1   3   3   1    1   4   6   4   1    请依据上述规律，展开式中含项的系数是______． 44．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，则________． 45．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）已知个数，，…从，，中取值．若，且，则的值为________． 46．（25-26七年级下·湖南永州·期末）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字是________． 47．（2022八年级上·云南保山·竞赛）已知：，求的值 48．（25-26七年级下·四川成都·期末）华罗庚先生指出：“数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图2，若，，则图中阴影部分的面积为________． (2)观察图3， ①从图3中得到________． ②根据得到的结论，解决问题： 若，，，求代数式的值． 49．（25-26七年级下·山西运城·期末）综合与实践 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】 (1)若，， ． 【类比应用】 (2)①若，则 ． ②若x满足，求的值． 【知识迁移】 (3)两块全等的特制直角三角形板（）如图所示放置，其中A，O，D在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角形板的面积． 50．（25-26七年级下·四川巴中·期末）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个数对与．我们规定：．例如：． (1)求的值； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，且，求的值． 51．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）【文脉溯源】我国古代经典《周易》中的八卦，由阴(-)、阳(一)两种爻象组合推演而来，蕴含着深邃的哲学思想与数学规律．奇妙的是，八卦的组合规律与整式展开的系数分布高度契合．若将“阳”“阴”分别对应整式中的变量，我们能发现八卦生成与整式乘法之间的奇妙数学关联，感受传统智慧与代数知识的完美融合．让我们一起踏上这场探索之旅，揭开其中的奥秘吧！ 【概念立纲】定义：把整式（n为正整数）展开式中所有项的系数之和，叫做的八卦和合数，记作， 例如： 请结合上述定义、整式乘法知识及整体代换思想，完成下列任务： 【研学启智】 (1)运用多项式乘多项式法则，展开 ， 它的八卦和合数______． (2)运用多项式乘多项式法则，展开 ， 它的八卦和合数_______． 【拓维探律】 (3)观察上述的结果， 猜想的通用规律： 它的八卦和合数 ； 它的八卦和合数____．（用含n的代数式表示） 【精研推演】 (4)已知为的八卦和合数，利用上述规律计算的值为 ． 【深思解密】 (5)若令代入，计算结果 它的八卦和合数（填“大于”、“小于”或“等于”）． (6)若令代入，计算结果 它的八卦和合数（填“等于”或“不等于”） ． 【综合应用】 (7)请直接写出的展开式中所有项的系数之和 ． (8)已知的值为0，若对于特定的x，满足等式，利用整式乘法与等式性质，推理求出代数式的值为 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的乘法压轴问题 常考题型·精准突破 考点一 整式的乘法压轴问题 题型1 幂的运算综合 题型2 幂的新定义运算 题型3 利用幂的运算比较大小 题型4 整式乘法综合 题型5 已知多项式乘积不含某项求字母的值（含几何类） 题型6 多项式乘法与几何图形 题型7 多项式乘法中的规律性问题 题型8 乘法公式中规律探索 题型9 乘法公式的变形求值 题型10 乘法公式与几何图形 题型11 乘法公式的新定义问题 题型12 乘法公式的配方法 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 整式的乘法压轴问题 ◆题型1 幂的运算综合 1．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将拆为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算；②将化为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算； （2）先逆用积的乘方公式将左边化为，再根据同底数幂相等则指数相等列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知正整数满足，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆向应用，关键是熟练应用运算法则进行计算；将原方程中的指数统一为 ，简化底数后得到 ，从而求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【详解】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． ◆题型2 幂的新定义运算 4．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 解：，理由如下： 设， ， ， ， ∴． 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解题的关键． （1）根据乘方的定义求解即可； （2）根据乘方的定义求解即可； （3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解：， ∴；   ， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵， ， ∴， ． （3）略 5．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定： (1)填空： ， ； (2)记，试说明：． 【答案】(1)3,4 (2) 解：∵， ∴； ∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了新定义运算，乘方运算，同底数幂的乘法运算，解题的关键掌握各运算法则． （1）利用新定义运算法则进行计算即可； （2）利用新定义法则进行整理，然后利用同底数幂的乘法法则进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴； ， ∴； 故答案为：3,4； （2）略 6．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读下列材料： 材料一：我们知道，个相同的因数相乘，记为．例如，此时，我们将指数3称作以2为底8的对数，记为（即当2为底数且乘方结果为8时的指数，显然，）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即，如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． 材料二：由材料一可知，若（且，），则，对等式两边同时乘方，有（正整数），即，故． (1)计算以下各对数的值：__________，___________； (2)证明：（且，，），并求． (3)若，求的值 【答案】(1)3，6； (2) 设，， 根据对数定义，知，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； (3)15 【分析】本题考了整式的混合运算，有理数的乘方，利用阅读材料中的运算法则计算各式，得出关系式是解题的关键． （1）根据对数的定义计算即可； （2）设，，根据对数定义，知，，根据同底数幂的乘法法则得：，结合材料二可得，即可得证；然后利用求解即可； （3）利用（2）中和材料二中进行化简，可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：3，6； （2）略 （3）解：根据题意，得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． ◆题型3 利用幂的运算比较大小 7．（22-23七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 8．（2022九年级上·湖北黄冈·竞赛）已知，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先计算各数的最高次指数，化简各数后，利用幂的性质比较大小：同底数且底数大于1时，指数越大幂越大；同正指数时，底数越大幂越大． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，，， ① 比较和：底数，指数，∴ ； ② 比较和：，同指数，底数，∴ ，即； ③ 比较和：，， ∵ ，∴ ，即； 综上可得 ，故选C． 9．（25-26七年级下·贵州毕节·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积的乘方的逆运算法则，同底数幂的乘法的逆运算法则，即可解答； （2）根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，进行计算即可； （3）先将，，转化为同指数幂，再比较底数的大小，即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：，且， ， ， ． （3）解：，，，且， ， 即． ◆题型4 整式乘法综合 10．（26-27八年级上·云南昆明·期中）类比是数学中常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．例： ① ② ③ ④ (1)【任务一】已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． (2)【任务二】请仿照上面竖式的方法计算：与的和． 【答案】(1)另一个多项式为． (2)两个式子的和为． 【分析】（1）由“一个加数=和-另一个加数”，类比多位数减法竖式，对齐同类项计算； （2）分别类比多位数乘、除法竖式计算多项式乘法与除法，再求和． 【详解】（1）解：∵两个多项式的和为，其中一个多项式为， ∴另一个多项式为． 列竖式计算： ∴另一个多项式为． （2）解：①计算，列竖式： ∴． ②计算，列竖式： ∴． ③计算两者的和： 列竖式： ∴最终的和为． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【分析】令，，然后利用整式的乘法及加减运算化简求值即可 【详解】解：令，，则． 12．（21-22七年级下·浙江金华·期中）已知，，为有理数，且多项式能够被整除． （1）_______； （2）若，，为整数，且，则_______． 【答案】 【分析】（1）设商式为，根据系数关系用含的代数式表示出，，，再代入即可； （2）根据题意推出，得，确定符合题意的整数解即可． 【详解】解：（1）∵多项式能够被整除， 设商式为，其中为常数， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，，为整数，且， ∴， 解得：， ∴，，，，， 又∵，且为整数， ∴， ∴， ∴． ◆题型5 已知多项式乘积不含某项求字母的值（含几何类） 13．（21-22七年级下·湖南常德·期末）若关于的代数式的展开式中的系数为3，则的值为_______． 【答案】2 【分析】先化简代数式，根据的系数求出的值，再计算所求绝对值式子的值，得到最终的值． 【详解】解：设，则原代数式化为， 将代回，展开得， ∵展开式中的系数为， ∴，解得， 将代入，得， ∴所求的值为． 14．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的展开与系数比较，多项式乘法的系数计算，代数式求值等知识点．先根据多项式A的展开，求出a、b、c、d的值；然后分别验证三个说法：说法①直接计算；说法②通过中项系数为0推导f与e的关系；说法③利用，推导f与e的关系． 【详解】解：∵， 展开， 比较系数得：，，，且， ∴， 则，， ∴，故说法①正确； ∵，，， M中项系数来自： A的项的常数项：， A的项的x项：， A的项的项：， ∴项系数为， 令其为0：， ∴，故说法②正确； ∵，， 由于， 又∵N为整式， ∴余数，即，故说法③正确， 综上，三个说法均正确， 故选：D． 15．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把、看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为．故原式，∵代数式的值与的取值无关，∴，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 （3）将七张如图1的小长方形（长为，宽为）按图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个阴影部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，多项式乘法中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）把原式合并同类项，再令含x的项的系数为0，据此列式求解即可； （2）根据整式的相关计算法则求出的展开结果，，再令含x的项的系数为0，据此列式求解即可； （3）根据题意分别用a、b、的长表示出，进而表示出，再根据的值与的长无关列式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于的代数式的值与的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴； （2）由题意得，，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴， ∴． ◆题型6 多项式乘法与几何图形 16．（26-27七年级上·上海虹口·期中）如图1，在长方形中，，，长方形的边长为，，它与边长为的正方形有重叠部分，重叠部分为长方形，其中，点、、、分别在边、、、上，点、在长方形内，与交于点，与交于点．如果长方形的面积减去长方形的面积，差等于以为一边的一个长方形面积，那么该长方形的另一条边长用含、的式子表示是________． 【答案】 【分析】根据长方形和正方形的性质，用含a、b的式子表示出线段的长度；分别计算长方形 和 的面积；作差后写成与积的形式，从而确定另一条边长． 【详解】解：∵ 四边形是长方形，，， ∴，， ∵ 四边形 是长方形， ， ∴， ∴，， ∵ 四边形是正方形，边长为， ∴， ∴， ∴ 四边形 是长方形， ∴， ∵点P 在 上，点E在 上， ∴， ∴， ∴， ∵M 在上， ∴， ∵M 在 上， ∴， ∴， ∵ ， ∵ 差等于以为一边的一个长方形面积，且 ， ∴ 该长方形的另一条边长为． 17．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【答案】 36 【分析】设，，利用a，b表示出图中的阴影部分面积与长方形面积，然后根据可得a，b的关系式，然后可求周长． 【详解】解：设，， 由图可得，，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 18．（25-26七年级下·湖南永州·期末）如图1，长方形的两边长分别为，；如图2的长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） (1)计算两个长方形的面积的差，即的值； (2)现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与该长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由． (3)在（1）的条件下，若某个图形的面积介于，之间（不包括，）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值． 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】（1）表示出两面积，作差计算即可； （2）表示出两面积，作差计算即可； （3）m为正整数，则为整数，且，则之间不含端点的整数个数为：，已知这样的整数值有且只有19个，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； （2）解：∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， ∴， ∴该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数； （3）解：由（1）得，， ∵m为正整数， ∴为整数，且， 则之间不含端点的整数个数为：， ∴ ∴． ◆题型7 多项式乘法中的规律性问题 19．（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）根据等式：， ， ， ……的规律， 则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要先观察题干给出的等式，归纳出通用规律：．令，套用规律求出的值，再减去多余的，即可算出所求式子． 【详解】解：∵， ， ， …… ∴， 令，得 ， ∴， 20．（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 【答案】 【分析】根据题干得出规律，再结合规律计算即可得出结果． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴ ． 21．（25-26七年级下·湖南常德·期中）观察下列等式： …… （1）由此归纳出一般性规律：_____； （2）计算：_____（结果保留幂的形式即可） 【答案】 【分析】（1）观察已知等式，总结等式变化规律即可得到一般性结论； （2）利用（1）中归纳的规律，代入，，变形计算即可得到结果． 【详解】（1）解：观察给出的等式可知，等式右侧的指数比左侧第二个因式中的最高指数大，常数项为， 因此归纳得：； （2）解：将，代入（1）中所得规律得： ， 即 ， 等式两边同除以得：． ◆题型8 乘法公式中规律探索 22．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）已知是2026个由1或组成的数列，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把原式变形为，由得到平方和为. 又由即可求出答案． 【详解】解：将每个完全平方展开，得 分别合并同类项，个常数1相加得，故 原式． ∵ 的值为1或， ∴ ，即平方和为． ∵ ， ∴ 原式． 23．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）分解下列因式：，，，观察上述三个多项式的系数，有，，．若多项式是完全平方式，那么系数，，之间一定存在某种关系．若多项式和都是完全平方式，则利用观察得到的规律可得的值是________． 【答案】16 【分析】根据题中给出的三个式子，结合多项式，由，，的形式即可表示出，根据多项式是完全平方式，得到①；多项式是完全平方式，得到②，从而两式相乘即可得到的值． 【详解】解：，对比多项式有， 由可知； 同理，对于，，由，，均可得到； 当多项式是完全平方式，得到①； 当多项式是完全平方式，得到②， ， 和都是多项式，， ， ，两边同时除以得到 ． 24．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则_____，_____． 【答案】 2 3 【分析】先根据乘法公式和单项式乘以多项式的运算法则把“数值转换机”里面的多项式去括号，然后合并同类项化简，再根据依次输入数a，b，输出的新数是0，依次输入数b，a，输出的新数是，建立关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ∵依次输入数a，b，输出的新数是0，依次输入数b，a，输出的新数是， ∴， ∴． ◆题型9 乘法公式的变形求值 25．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知实数满足，则代数式的最小值为（     ） A．4 B．5 C．-12 D．-3 【答案】A 【分析】把变形为，然后代入所求代数式并根据完全平方公式进行变形，最后利用偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：由得． 将代入得： ． ∵ ， ∴ ，， ∴ 当时，代数式取得最小值，最小值为． 26．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）已知，则的值是（     ） A．17 B．15 C．13 D．11 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用已知式中两个常数与所求式常数的对称关系，换元简化计算即可． 【详解】解：设，则，． ∵已知， ∴， ， ， 得， ， 即． 27．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． (1)根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 (2)若实数x，y满足，且，求的值； (3)若， ，求的值； (4)若，，求的值． 【答案】(1)①; ② (2)49 (3)61 (4)19 【分析】（1）利用大正方形面积减去分割图形面积推导图2等式，整体正方形面积等于各小矩形面积和推导图3等式； （2）由整体代入计算； （3）套用直接代值；（4）先推出的值，再将原式变形为后代入求值． 【详解】（1）解：①大正方形边长，面积；中间小正方形面积，四周4个矩形总面积4ab，得图2中所表示的数学等式： . ②解：大正方形边长，整体面积；拆分9块面积和为，得图3中所表示的数学等式： . （2）解：． （3）解： ． （4）解：， ， ∴ ◆题型10 乘法公式与几何图形 28．（25-26六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，，则，． ． 【类比探究】 解决下列问题： (1)若满足，则的值为 ； (2)若，求的值； 【拓展应用】 (3)已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照文中给出的解题方法，解答即可； （2）设，则， 变形得，变形计算即可； （3）根据题意，得正方形边长为，且，，故，，令，，则，仿照前面的方法变形计算即可． 【详解】（1）解：设，， 则，． ． （2）解：设，则， 变形得， 故； （3）解：正方形边长为，且，， ，， 令，， 则， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ． 29．（25-26七年级下·四川成都·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，通过建立数与形的联系，探索解决问题的思路． [回归教材] (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，可以得到一个等式为 ； 【灵活运用】 (2)若k满足，求的值； 【探究迁移】 (3)在正方形中，将两张边长分别为10和的正方形纸片，按图2，图3方式放置，图2中阴影部分为长方形，面积为，图3中阴影部分为正方形面积为，图3中四边形为正方形面积为；若，图3中的长方形周长为30，求的值． 【答案】(1) (2)13 (3)59 【分析】（1）图1中阴影部分是一个边长为的正方形，图1中阴影部分的面积等于最大的正方形的面积减去1个边长为的正方形面积，再减去2个长为，宽为的长方形面积，据此分别表示出图1中阴影部分 的面积即可得到答案； （2）设，则，，再根据求解即可； （3）设，则，根据，得到；根据图3中的长方形周长为30，得到，则可得到，据此可得；可求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：图1中阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为， 图1中阴影部分的面积等于最大的正方形的面积减去1个边长为的正方形面积，再减去2个长为，宽为的长方形面积，即为， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得； ∴， ∴ ； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∵图3中的长方形周长为30， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 30．（25-26七年级下·四川达州·期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出，，之间的等量关系是________________； (2)若，求的值； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以为边在异侧作正方形和正方形，连接AF．若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，求的长度． 【答案】(1) (2)4 (3)6 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）设，，得到，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可； （3）设，由题意得，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， ; （2）解：设，， ， 由条件可得， ， ， ． （3）解：设，由题意得： 两个正方形面积和； ， 得, ， ∵边长和为正数， ∴， 即． ◆题型11 乘法公式的新定义问题 31．（25-26七年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为和谐数． ①如果将n个和谐数按从小到大的顺序依次排列，就会形成一组和谐数列：，，…，则一定是的倍数； ②若，则是和谐数； ③m，n为正整数，且，若和都是和谐数，则也是和谐数． 则上述结论正确的是______________． 【答案】①② 【分析】设两个连续正奇数为，（为正整数），可证明，则和谐数一定是8的正整数倍，可得都是8的正整数倍可判断①；先化简代数式，结合，对照和谐数定义可判断②；当时，可证明，，，可判断③． 【详解】解：①设两个连续正奇数为，（为正整数）， 则 ， ∵k为正整数， ∴是正整数， ∴和谐数一定是8的正整数倍， ∵都是和谐数， ∴都是8的正整数倍， ∴一定是的倍数，故①正确； ②∵， ∴ ， ， ∴代数式是和谐数，故②正确． ③当时，， ∵，即8是和谐数， ∴此时是和谐数， ∵，且， ∴此时也是和谐数， ∵，而12不是8的正整数倍， ∴此时不是和谐数，故③错误； 综上所述，正确的有①②． 32．（24-25七年级下·全国·周测）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）． (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①试说明：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证． 【答案】(1)② (2) ①证明： ． 因为为正整数， 所以“双奇差数”都能被整除． ②设任意两个连续的“双奇差数”为和，则差为， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，且恒为． 【分析】（1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解； （2）①利用平方差公式计算整理原式即可得证；②由①可知“双奇差数”可表示为 ，设任意两个连续的“双奇差数”为和，作差即可得解． 【详解】（1）解：（1）② 【提示】①不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意． 综上所述，在正整数①，②，③中，是“双奇差数”的是②． （2）①略 ②略 【点睛】本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键． 33．（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式、“差方数”，设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数，根据差方数的定义可知，其中为偶数，为整数，根据“差方数”的定义可知，当时，代入求出第个“差方数”即可． 【详解】解：设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数， 则平方差为 ，即 ， 两个连续奇数的和为 ，且必须为某个正整数的平方， 设 ，则 ， 为整数， 必须为偶数， 令，则 ， 代入得 ， “差方数”为 ，其中 为正整数， 第个“差方数”对应， 即 ． ◆题型12 乘法公式的配方法 34．（2025八年级上·全国·专题练习）【提出问题】当时，如何求代数式的最大值或最小值？ 【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如，所以当时，此多项式有最小值1． 【解决问题】 (1)实践操作：填写下表． x … 1 2 3 … … … (2)观察猜想：当_______时，有最_____值（填“大”或“小”），是_____； (3)推理论证：利用配方法求的最大（或最小）值，以证明你的猜想； (4)综合应用：求代数式的最大（或最小）值，并求出此时x的值． 【答案】(1)，，2，， (2)1，小，2 (3)有最小值，是2 (4)有最小值，是3，此时 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解决此题的关键是正确的计算； （1）把x的值代入得到答案即可； （2）根据表格数据观察可知当时，式子取得最大值； （3）根据完全平方公式配方即可； （4）把当作一个整体，再运用完全平方公式配方即可； 【详解】（1）解：填表如下： x … 1 2 3 … … 2 … （2）解：当时，有最小值，是2； 故答案为：1    小    2 （3）解∶． ， ∴当时，有最小值，是2． （4）解： ． ， 有最小值，是3，此时，即， 有最小值，是3，此时． 35．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）【阅读材料】 材料一：“配方法”是将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，是解决数学问题常用到的方法． 材料二：，，求的值． 解：∵，，∴． 材料三：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴当时，有最小值，即代数式的最小值是． 【问题解决】 (1)已知，，求的值； (2)代数式是否有最大值，或有最小值？若有，求出它的最大值或最小值，并写出此时x的取值；若没有，请说明理由 【问题拓展】 (3)若，求的值． 【答案】(1)18 (2)当时，代数式有最大值，最大值为23 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式的变形求解即可； （2）根据完全平方公式的变形求解即可； （3）根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴原式； （2）解：代数式有最大值，最大值为23，过程如下： ， ∵， ∴，即， ∴当时，代数式有最大值，最大值为23； （3）解：∵， ∴ ． 36．（21-22七年级下·重庆·期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等问题中都有着广泛的应用．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值； ， ∵，， ∴ ∴当时，代数式M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若代数式，求N的最大值； (3)已知，求以a，b为边长的等腰三角形的周长． 【答案】(1)9； (2)N的最大值为5； (3)等腰三角形的周长为40． 【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可； （2）先提出负号，再配成完全平方，即可得答案； （3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，的值，从而利用等腰三角的两腰相等即可求解． 【详解】（1）解：∵a2+6a+9=（a+3）2， 故答案为：9； （2）， ， ∴N的最大值为5； （3）解：， ， ， ， ，， ∴当以等腰三角形的腰长，因为，此时不能构成三角形，当以等腰三角形的腰长，以为底时，等腰三角形的周长为． 【点睛】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键． 综合攻坚·知能拔高 37．（26-27八年级上·福建泉州·期中）若实数，，满足，，则的值是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】观察两式中k的系数互为相反数，将两式相加消去k，配方后利用非负数的性质求解． 【详解】解：记为①，为②， ，得， 整理，得， 配方，得， ∵，， ∴，， 解得，， 将，代入①，得， 解得． 38．（26-27八年级上·四川眉山·期中）设，，．现给出实数，，三者之间的四个关系式： ①；②；③；④． 其中，正确的关系式的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵， ， ， ∴，．① ，故①正确． ②，故②正确． ③ ，故③正确． ④ ，即，故④正确． 39．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．61 B．76 C．80 D．144 【答案】C 【分析】根据图1和图2中阴影部分的面积得到，则可推出，，进而推出，据此构成方程组求出a、b的值，再计算图3中阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 联立①②可解得， ∴图3中的阴影部分的面积 ． 40．（25-26七年级下·浙江金华·期末）在课本124页“设计题”中，有3张边长为的正方形纸片，4张长为x，宽为1的长方形纸片，5张边长为1的正方形纸片．若从中取若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的纸片无空隙、无重叠地拼成一个正方形，则拼成的正方形的边长最大可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设拼成的正方形边长为（为正整数），则拼成的正方形面积为，题目中所给的三种纸片面积分别为，且数量分别为，据此确定的取值范围． 【详解】解：设拼成的正方形边长为（为正整数）， 则拼成的正方形面积为， ∵所给的三种纸片面积分别为，且数量分别为， ，故，代入可知时正方形边长最大且为． 41．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如，，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17687 B．17688 C．17689 D．17670 【答案】B 【分析】根据“美好数”的定义，设两个连续奇数分别为，，为正整数，利用平方差公式推导“美好数”的表达式，结合不超过530的条件确定n的范围，再求和计算即可． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，为正整数， 由平方差公式得：， 即“美好数”可表示为， 由题意得：， 解得， 为正整数， 的最大值为， 最大的对应奇数为， 所有“美好数”之和为． 42．（26-27八年级上·福建泉州·期中）把两张一样的正方形纸片按如图1所示分别裁剪成和两部分（为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张纸片的面积为，一张纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为_______． 【答案】28 【分析】设图1正方形纸片边长为，部分的宽为，长为，根据图2正方形的边长关系得出和，再利用得到，最后表示出阴影部分面积代入计算即可． 【详解】解：设图1正方形纸片边长为，部分的宽为，长为， 根据图2是正方形，竖直方向边长为， 水平方向边长为， ， ， 由图2两个的位置及的放置，可得， ， 图2正方形边长为， ， ， ， ， ， ． 43．（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 1   1    1   2   1    1   3   3   1    1   4   6   4   1    请依据上述规律，展开式中含项的系数是______． 【答案】 【分析】根据杨辉三角的规律确定目标项对应位置，再计算系数即可． 【详解】解：展开式按x的次数由大到小排列，x的指数从2026逐次递减1，的指数从0逐次递增1，根据杨辉三角系数规律可得： ∴， 其中含的项为， ∴展开式中含项的系数是． 44．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【分析】由已知等式得，将待求多项式的高次项逐步降次，化简后计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴， ． 将上述结果代入待求式： ． 45．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）已知个数，，…从，，中取值．若，且，则的值为________． 【答案】 【分析】求出，，…中，或的个数是个，，，…中，的个数是个，的个数是个，的个数是个，据此进行解答即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵个数，，…从，，中取值． ∴，，…中，或的个数是，，，…中，的个数是， ∵，或的个数是，，，…中，的个数是， ∴比多个， 即的个数是（个），的个数是（个）， ∴ 46．（25-26七年级下·湖南永州·期末）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字是________． 【答案】 【分析】根据规律可得，根据乘方的计算规律可得的个位数是，的个位数是． 【详解】解： ， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， 每次运算一个循环， ， 的个位数是， 的个位数是． 47．（2022八年级上·云南保山·竞赛）已知：，求的值 【答案】 【分析】先根据已知方程，两边同除以得到的值，再利用完全平方公式变形所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：已知 当时，方程左边为，因此 方程两边同时除以得 整理得 代入 得原式 48．（25-26七年级下·四川成都·期末）华罗庚先生指出：“数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图2，若，，则图中阴影部分的面积为________． (2)观察图3， ①从图3中得到________． ②根据得到的结论，解决问题： 若，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据乘法公式，将，代入计算即可； （2）①根据图中正方形面积的两种表示方法，即可求解； ②根据①中的结果，代入求出，根据多项式乘多项式的运算法则求出，将，，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将，代入，可得， 整理得， ． （2）解：①图是一个面积为的图形， 同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，个两边长分别为和的长方形，个两边长分别为和的长方形， 从而可以得到公式． ②∵， ∴， 将，代入，可得， 整理得； ∵， ， ， ， 故， 将，，代入，可得， 整理得． 49．（25-26七年级下·山西运城·期末）综合与实践 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】 (1)若，， ． 【类比应用】 (2)①若，则 ． ②若x满足，求的值． 【知识迁移】 (3)两块全等的特制直角三角形板（）如图所示放置，其中A，O，D在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角形板的面积． 【答案】(1)2 (2)①3；② (3)20 【分析】（1）利用完全平方公式求值即可； （2）利用完全平方公式变形求值即可； （3）先得出，，三点共线，进一步得出，利用全等三角形的性质，得出，，再结合已知条件可得，，最后利用完全平方公式求值即可． 【详解】（1）解：，且，， ， 解得，． （2）解：①，且， ； ②， 又， 且， ， 解得，． （3）解：，且 A，O，D在同一直线上， ， ，即，，三点共线， ． ， ，． ，， ，，即， ， ． ，且， ， ， ， 即一块直角三角形板的面积为． 50．（25-26七年级下·四川巴中·期末）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个数对与．我们规定：．例如：． (1)求的值； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义计算即可； （2）根据所给定义可得，再根据完全平方式的特点即可得到答案； （3）根据定义得到，进一步可求出，再根据完全平方公式得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 51．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）【文脉溯源】我国古代经典《周易》中的八卦，由阴(-)、阳(一)两种爻象组合推演而来，蕴含着深邃的哲学思想与数学规律．奇妙的是，八卦的组合规律与整式展开的系数分布高度契合．若将“阳”“阴”分别对应整式中的变量，我们能发现八卦生成与整式乘法之间的奇妙数学关联，感受传统智慧与代数知识的完美融合．让我们一起踏上这场探索之旅，揭开其中的奥秘吧！ 【概念立纲】定义：把整式（n为正整数）展开式中所有项的系数之和，叫做的八卦和合数，记作， 例如： 请结合上述定义、整式乘法知识及整体代换思想，完成下列任务： 【研学启智】 (1)运用多项式乘多项式法则，展开 ， 它的八卦和合数______． (2)运用多项式乘多项式法则，展开 ， 它的八卦和合数_______． 【拓维探律】 (3)观察上述的结果， 猜想的通用规律： 它的八卦和合数 ； 它的八卦和合数____．（用含n的代数式表示） 【精研推演】 (4)已知为的八卦和合数，利用上述规律计算的值为 ． 【深思解密】 (5)若令代入，计算结果 它的八卦和合数（填“大于”、“小于”或“等于”）． (6)若令代入，计算结果 它的八卦和合数（填“等于”或“不等于”） ． 【综合应用】 (7)请直接写出的展开式中所有项的系数之和 ． (8)已知的值为0，若对于特定的x，满足等式，利用整式乘法与等式性质，推理求出代数式的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)；0 (4) (5)等于 (6)等于 (7) (8) 【分析】（1）先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再根据八卦和合数的定义计算； （2）先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再根据八卦和合数的定义计算； （3）通过观察的结果，即可得出规律； （4）根据（3）所得规律计算出和，再求和即可； （5）将代入得，根据（3）所得规律得出，即可得解； （6）将代入得，根据（3）所得规律得出，即可得解； （7）由（5）的规律可知，一个多项式展开式中所有项的系数之和等于多项式中的变量全部取值为1时所得到的数值，令，，代入计算即可； （8）的值为0，则，从而得出，求出，，即可得解． 【详解】（1）解： ， 则； （2）解： ， 则； （3）解：由题意可知，的八卦和合数，的八卦和合数，的八卦和合数， 则它的八卦和合数； 由题意可知，的八卦和合数，的八卦和合数，的八卦和合数， 则它的八卦和合数； （4）解：由（3）可知，，， 则； （5）解：令，则， 由（3）可知，的八卦和合数， 因为， 所以计算结果等于它的八卦和合数； （6）解：令，则， 由（3）可知，的八卦和合数， 因为， 所以计算结果等于它的八卦和合数； （7）解：由（5）的规律可知，一个多项式展开式中所有项的系数之和等于多项式中的变量全部取值为1时所得到的数值， 令，， 则， 即的展开式中所有项的系数之和为； （8）解：的值为0， 则，即， 所以， 展开得：， 因为满足等式， 所以，， 所以． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $