培优专题01 幂的运算4考点16题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题01 幂的运算 常考题型·精准突破 考点一 同底数幂的乘法 题型1 同底数幂的乘法运算 题型2 同底数幂乘法的逆运算 题型3 同底数幂乘法的新定义运算（高频） 题型4 科学记数法 考点二 幂的乘方与积的乘方 题型1 幂的乘方及其逆运算 题型2 积的乘方及其逆运算 题型3 幂的乘方与积的乘方新定义运算（高频） 考点三 同底数幂的除法 题型1 同底数幂的除法 题型2 同底数幂的除法逆运算（高频） 题型3 零指数幂 题型4 同底数幂除法的新定义运算（高频） 考点四 幂的运算综合 题型1 幂的混合运算（难） 题型2 利用幂的运算比较大小（难） 题型3 幂的新定义运算（难） 题型4 幂的抽象函数型运算（难） 题型5 劳格数运算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 同底数幂的乘法 ◆题型1 同底数幂的乘法运算 1．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算：___________．（结果用幂的形式表示） 2．（2026七年级上·全国·专题练习）______． 3．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：．（为正整数） 4．（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知，则的值为_____________． ◆题型2 同底数幂乘法的逆运算 5．（25-26六年级下·山东烟台·阶段检测）化简的结果是______________． 6．（26-27七年级上·甘肃武威·期中）我们规定：例如：． (1)根据上述规定，填空：______；； (2)求的值（结果保留幂的形式即可）； (3)已知；，且，求的值． 7．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于________． 8．（25-26八年级上·天津和平·期末）已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） ◆题型3 同底数幂乘法的新定义运算 9．（26-27八年级上·北京东城·期中）定义新运算：． (1)计算：__________； (2)若，求的值． 10．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____________； (2)若，则_____________； (3)当，，时，试说明：． 11．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）规定：若实数，，满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则的值是__________． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①_______，_______； ②若，则_______； (2)若，，，，，之间有怎样的数量关系？证明你的结论． ◆题型4 科学记数法 13．（2024·河北邯郸·模拟预测）迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）计算式子的结果用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）计算式子的结果用科学记数法表示为________. 16．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，完成任务． 主题 用科学记数法表示的两个正数与积的指数的关系 材料1 科学记数法：， 材料2 单项式相乘：． 材料3 定义：一个正数的科学记数法表示为，称这个数的位数是，数字为．例如：，数的位数是，数字是． 问题解决 任务一 填空：___________； 任务二 命题：两个一位数的正整数相乘，一定是一个两位数的正整数． 该命题是___________命题；（填“真”或“假”） 任务三 【命题】设正整数的位数是，数字．若，则或． 【证明】由题意得：． ， ． ， ． ①若，则的整数部分是个位数，， ； ②当， …（请补充） 综上所述，命题成立． 请将“任务三”未完成的部分补充完整． 考点二 积的乘方与幂的乘方 ◆题型1 幂的乘方及其逆运算 17．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（26-27八年级上·北京·期中）若，，则的值是__________． 19．（26-27七年级上·上海闵行·期中）在幂的运算中规定：若（是实数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求y的值； (3)若，，，求t的值． 20．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若（且，，为正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，，用含，的式子表示． ◆题型2 积的乘方及其逆运算 21．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算： 22．（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）回答下列问题： (1)填空：①______，______； ②______，______． (2)观察（1）结果可得，当为正整数时，______； (3)计算：． 23．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读下列各式：，，．回答下列三个问题： (1)验证：________，________； (2)通过上述验证，归纳得出：________，________； (3)请应用上述性质计算：． 24．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）下表是小李同学完成的一道作业题． 计算： 解：原式． 请你参考小李的方法解答下列问题． (1)计算：①；    ②； (2)若，直接写出n的值． ◆题型3 幂的乘方与积的乘方新定义运算 25．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）数学世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“梅石记号”的新定义：若、、是整数，且，则我们规定其梅石记号为，例如，那么记作．现已知、是正整数，且满足，，，利用定义可以得到________．（用含、的代数式表示） 26．（26-27八年级上·吉林长春·期中）规定一种运算：若，则．例如：若，则． (1)根据上述规定填空： ，（， ）； (2)小语在研究这种运算时发现一种现象：．下面是她的证明过程． 证明：设，则，即． ∴．∴．∴． 请用这种方法证明：． 27．（26-27八年级上·吉林长春·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，；，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________②若，则________；③________； (2)记，，．求证：． 28．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式． 请阅读下列材料：若，，则a，b的大小关系是． 解：，，且，，． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)【知识生成】上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质________． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方． (2)【结论运用】已知，试比较与的大小． (3)【思维拓展】定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，请直接写出________． 考点三 同底数幂的除法 ◆题型1 同底数幂的除法 29．（26-27八年级上·江西南昌·期中）南昌二中初中数学组办公室的的密码被设计成如表所示的数学问题．外校吴老师在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是________． 账号：初中数学组 30．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）已知，则的值为________． 31．（25-26八年级上·广西桂林·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 32．（26-27八年级上·全国·期中）计算： (1) (2)； (3)． ◆题型2 同底数幂的除法逆运算 33．（26-27七年级上·上海虹口·期中）已知，，那么的值为______． 34．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）阅读材料，回答问题． 例：，求的值． 解： ，∴． (1)若，则_______ (2)如果，，那么的值为多少？ 35．（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 36．（25-26七年级下·四川巴中·期末）某数学学习小组在学习完幂的相关运算后，遇到下面几个问题，请你尝试帮助他们解决： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，试将用含、、的代数式表示出来． ◆题型3 零指数幂 37．（2025·安徽滁州·模拟预测）小华在学习了“任何非零数的零次幂的值为1”后，遇到这样一道题：“如果，求x的值”，她解答出来的结果为．老师说她考虑的问题不够全面，你认为x的可能值有哪些？______ 38．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）计算：． 39．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）已知 ． (1)求 的值； (2)求的值． 40．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们规定：．完成下列问题： (1)已知，则x的取值范围是 ； (2)已知，求x的值． ◆题型4 同底数幂除法的新定义运算 41．（26-27八年级上·北京东城·期中）规定两正数，之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论： 小明给出了如下的证明：设，，由规定，得，， ，， ． 请你解决下列问题： (1)填空：__________； (2)证明：； (3)如果正数，，（）满足，，，求的值． 42．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义： 一般地，若（，），那么叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，）； 理由如下：，，则， ，由对数的定义得 又 解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式为________；将对数式转化为指数式为________； (2)________，________．（直接写出结果） (3)计算________．（直接写出结果） 43．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）对于两个正数，，其中，如果，那么可将指数记作， 即．例如：，则． (1)填空：_______；_______； (2)，，且，求的值； (3)，，求的值． 44．（25-26七年级下·江西吉安·期末）规定：两数，之间的一种运算，记作，如果，那么，我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立． 证明如下：设，，则，，， ，即． (1)根据上述规定，填空：_________；________； (2)计算：，结果用的形式表示． (3)若，，．求证：． 考点四 幂的运算综合 ◆题型1 幂的混合运算 45．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 46．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 47．（2026七年级下·河北·专题练习）计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 48．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) ◆题型2 利用幂的运算比较大小 49．（25-26七年级下·甘肃张掖·期中）某同学在比较的大小时，发现44，33都是11的倍数，于是他将这两个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这两个数的大小． 解：因为， 所以 即 请根据上述解题思路完成下题：若，试比较a，b的大小． 50．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 51．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 52．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． ◆题型3 幂的新定义运算 53．（25-26七年级下·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ，即． (1)根据上述规定，填空：① ，② ； (2)记，，．求证：． 54．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 55．（25-26七年级下·山东济南·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 56．（25-26七年级下·山东青岛·期末）对于两个正数，（其中），定义一种新的运算，记作，即：如果，那么，例如：，；，； (1)_____，_____；（填“”或“”） (2)猜想：______； (3)请验证你的猜想． ◆题型4 幂的抽象函数型运算 57．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）规定关于任意正整数，的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求，的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含的代数式表示） 58．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ① ______； ② ______； (2)观察下列式子：． 请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，求的值． 59．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，比如：若，则． （1）若则＝______． （2）若，，则________（结果用含a的代数式表示） 60．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：（其中m、n为正整数）；例如，若，则． (1)（理解）根据上述规定，若，则计算______； (2)（拓展）若，化简：． (3)（应用）若，求的值． ◆题型5 劳格数运算 61．（25-26七年级下·福建三明·期中）阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（，年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则x叫做以a为底N的对数，记作．如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ， 理由如下：设，，则，． ． 由对数的定义，得． 又， ． 解答下列问题： (1)将指数式转化为对数式：______． (2)求证：； (3)拓展运用：计算：． 62．（25-26八年级上·北京·阶段检测）对于正数和，如果数满足，定义一种能求出的新运算：． 例如：因为，所以； (1)填空：___________，___________； (2)若，求的值； (3)这个新运算的性质与我们所学的幂运算有联系，探究它的性质． ①举一个反例说明“若，则”是假命题：___________，___________，___________． ②，该性质的证明过程如下： 设， 则． 由此新运算的定义可得：． 请参考以上方法，证明性质：． 63．（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 64．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____． (2)写出（1）、、之间满足的关系式______． (3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）． (4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 综合攻坚·知能拔高 65．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）计算结果是（     ） A． B． C． D． 66．（26-27八年级上·河南周口·期中）若a、b是正整数，且满足，则a与b的数量关系是（     ） A． B． C． D． 67．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 68．（25-26七年级下·北京通州·期末）已知，，，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 69．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 70．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如果等式，则等式成立的x的值为_____ ． 71．（26-27八年级上·北京海淀·期中）若，则的值为________． 72．（2026·广东湛江·二模）对于任意正整数，定义一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则__________． 73．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）规定．若，则x的值为______． 74．（25-26九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋子中球的个数都相同，则的值为__________． 75．（26-27七年级上·全国·期中）计算：． 76．（26-27八年级上·四川内江·阶段检测）完成以下问题 (1)已知，求的值． (2)已知为正整数，且，求的值． 77．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）阅读下列材料： 若，，其中、为正数，则________（填．“”或“”）． 解：因为， ，且， 所以． 因为、为正数， 所以． 小结：当指数相同时，通过比较两个幂的大小，来确定底数的大小． 依据以上材料，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________（填写正确的选项）． A．同底数幂的乘法　B．幂的乘方　C．积的乘方 (2)若，，试比较与的大小； (3)比较__________的大小（填“”或者“”）． 78．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 79．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 求的值． 解：令①． 将等式①两边同时乘2，得 ②． ②①，得，即， 所以 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：． (2)已知数列：，9，，，，…． ①它的第100个数是_____； ②求该数列中前100个数的和． 80．（25-26八年级上·全国·周测）规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值． (2)若，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算 常考题型·精准突破 考点一 同底数幂的乘法 题型1 同底数幂的乘法运算 题型2 同底数幂乘法的逆运算 题型3 同底数幂乘法的新定义运算（高频） 题型4 科学记数法 考点二 幂的乘方与积的乘方 题型1 幂的乘方及其逆运算 题型2 积的乘方及其逆运算 题型3 幂的乘方与积的乘方新定义运算（高频） 考点三 同底数幂的除法 题型1 同底数幂的除法 题型2 同底数幂的除法逆运算（高频） 题型3 零指数幂 题型4 同底数幂除法的新定义运算（高频） 考点四 幂的运算综合 题型1 幂的混合运算（难） 题型2 利用幂的运算比较大小（难） 题型3 幂的新定义运算（难） 题型4 幂的抽象函数型运算（难） 题型5 劳格数运算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 同底数幂的乘法 ◆题型1 同底数幂的乘法运算 1．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算：___________．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【分析】先利用偶次幂的符号性质将两个幂的底数统一，再结合同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 2．（2026七年级上·全国·专题练习）______． 【答案】 【分析】先分别计算各部分的符号和指数，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 3．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：．（为正整数） 【答案】 【分析】先将不同底数的幂化为同底数幂，再利用同底数幂的乘法法则计算，用到的性质是：互为相反数的两个数，奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：，为正整数，是奇数， ， ∴ ． 4．（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知，则的值为_____________． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法法则，将已知两式相乘，得到的值，将结果化为同底数幂后，根据指数相等求出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． ◆题型2 同底数幂乘法的逆运算 5．（25-26六年级下·山东烟台·阶段检测）化简的结果是______________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 6．（26-27七年级上·甘肃武威·期中）我们规定：例如：． (1)根据上述规定，填空：______；； (2)求的值（结果保留幂的形式即可）； (3)已知；，且，求的值． 【答案】(1)；4 (2) (3)的值为30 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）根据题目中给出的信息进行运算即可； （3）根据规定得，进行求解即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；4； （2）解：； （3）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 7．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于________． 【答案】128 【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】由题意知，调整后，甲袋中有个球，乙袋有个球，丙袋有个球， 因为一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， 所以调整后每只袋中有（个）球， 所以，， 则，， 因此． 8．（25-26八年级上·天津和平·期末）已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法进行变形，进而解决问题．利用指数运算性质，将分解为，再分别用和表示各部分． 【详解】由已知 ，得 ； 由 ，且 ，得 ， 所以 ； 因此 ． 故答案为：． ◆题型3 同底数幂乘法的新定义运算 9．（26-27八年级上·北京东城·期中）定义新运算：． (1)计算：__________； (2)若，求的值． 【答案】(1)32 (2)1 【分析】（1）根据所给的定义求解即可； （2）根据定义可求出，则可得到方程，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____________； (2)若，则_____________； (3)当，，时，试说明：． 【答案】(1)3 (2)7 (3)证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题目所给新定义的运算法则，即可进行解答； （2）根据题目所给新定义直接解答即可； （3）根据题意可得，结合同底数幂的乘法运算法则，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）略 11．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）规定：若实数，，满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则的值是__________． 【答案】20 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，正确理解题目给出的新定义是解题关键，先根据新定义得到对应幂的关系，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， 故． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①_______，_______； ②若，则_______； (2)若，，，，，之间有怎样的数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)①2；4② (2)，理由： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题目所给新定义的运算法则，即可进行解答； （2）根据题意可得，结合同底数幂的乘法运算法则，即可求证． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 ◆题型4 科学记数法 13．（2024·河北邯郸·模拟预测）迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握是解题的关键．根据路程速度时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成科学记数法的形式即可． 【详解】解： （米）． 故选：D． 14．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）计算式子的结果用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂相乘，科学记数法的表示方法．先根据他同底数幂相乘得出结果，再运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解： 故选：A 15．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）计算式子的结果用科学记数法表示为________. 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法-表示较小的数，利用单项式乘单项式的法则，进行计算即可解答； 【详解】解： ， 故答案为： 16．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，完成任务． 主题 用科学记数法表示的两个正数与积的指数的关系 材料1 科学记数法：， 材料2 单项式相乘：． 材料3 定义：一个正数的科学记数法表示为，称这个数的位数是，数字为．例如：，数的位数是，数字是． 问题解决 任务一 填空：___________； 任务二 命题：两个一位数的正整数相乘，一定是一个两位数的正整数． 该命题是___________命题；（填“真”或“假”） 任务三 【命题】设正整数的位数是，数字．若，则或． 【证明】由题意得：． ， ． ， ． ①若，则的整数部分是个位数，， ； ②当， …（请补充） 综上所述，命题成立． 请将“任务三”未完成的部分补充完整． 【答案】任务一：；任务二：假； 任务三：证明：由题意得：． ， ． ， ． ①若，则的整数部分是个位数， ， ， ； ②当， ， 即， ． 【分析】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 任务一：根据有理数的乘方运算即可； 任务二：根据题意列举反例即可； 任务三：根据题意及有理数的乘方运算证明即可． 【详解】解：任务一：， 故答案为：； 任务二：命题：两个一位数的正整数相乘，一定是一个两位数的正整数． 该命题是假命题， 例如：，不是两位数的正整数； 任务三： 略 考点二 积的乘方与幂的乘方 ◆题型1 幂的乘方及其逆运算 17．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 18．（26-27八年级上·北京·期中）若，，则的值是__________． 【答案】 25 【分析】利用同底数幂的乘法法则求出的值，再结合幂的乘方法则计算目标式的值． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，. ∵ ，. ∴ 代入等式得 . 计算得 . 根据幂的乘方法则，. 将代入上式， 得． 19．（26-27七年级上·上海闵行·期中）在幂的运算中规定：若（是实数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求y的值； (3)若，，，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方的逆运算计算法则得到， 据此根据题意求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形，据此根据题意求解即可； （3）将m转化为，进而根据同底数幂乘法的逆运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 解得．   （2）解：， ，   ， ，   ．   （3）解：，， ∴， ∴，   ∴， ， ，   ． 20．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若（且，，为正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把转化为以2为底的幂，再利用同底数幂相乘法则合并，根据题目给出结论，底数相同则指数相等列方程求． （2）逆用同底数幂乘法，提取公因式化简等式左边，算出结果后写成2的幂，再由底数相同指数相等求． （3）先把拆成，再变形为，结合已知，，把、转化为、的乘方形式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴，， ， ，即， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴ ． ◆题型2 积的乘方及其逆运算 21．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解： ． 22．（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）回答下列问题： (1)填空：①______，______； ②______，______． (2)观察（1）结果可得，当为正整数时，______； (3)计算：． 【答案】(1)，；， (2) (3) 【详解】（1）解：①，； ②，． （2）解：观察可得，当为正整数时，； （3）解： ． 23．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读下列各式：，，．回答下列三个问题： (1)验证：________，________； (2)通过上述验证，归纳得出：________，________； (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)； (3) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题． （2）通过猜想归纳解决此题． （3）根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题． 【详解】（1）解：； ； （2）解：；； （3）解： ． 24．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）下表是小李同学完成的一道作业题． 计算： 解：原式． 请你参考小李的方法解答下列问题． (1)计算：①；    ②； (2)若，直接写出n的值． 【答案】(1)①1；② (2)2 【分析】（1）①根据积的乘方运算求解即可；②根据积的乘方运算及有理数的乘方运算求解即可； （2）根据幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法的运算建立方程求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． ◆题型3 幂的乘方与积的乘方新定义运算 25．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）数学世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“梅石记号”的新定义：若、、是整数，且，则我们规定其梅石记号为，例如，那么记作．现已知、是正整数，且满足，，，利用定义可以得到________．（用含、的代数式表示） 【答案】/ 【分析】将梅石记号的定义转化为对应的幂等式，结合幂的乘方、同底数幂的乘法法则化简目标式，对比指数关系即可得到z的表达式 【详解】解：根据梅石记号的定义， 由，得 ． 由，得 ． ∵，， ∴． ∴， ∴． 26．（26-27八年级上·吉林长春·期中）规定一种运算：若，则．例如：若，则． (1)根据上述规定填空： ，（， ）； (2)小语在研究这种运算时发现一种现象：．下面是她的证明过程． 证明：设，则，即． ∴．∴．∴． 请用这种方法证明：． 【答案】(1)2； (2)证明：设， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据所给的定义求解即可； （2）设，根据定义得到，根据同底数幂乘法的运算法则推出，则，据此证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）略 27．（26-27八年级上·吉林长春·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，；，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________②若，则________；③________； (2)记，，．求证：． 【答案】(1)①3；②；③14 (2)证明：∵，，， ∴，，， ， ， ∵， ∴， ∴， ． 【分析】（1）①根据“雅对”的定义计算即可；②根据“雅对”的定义可得，解方程即可；③设，仿照示例求解即可； （2）根据题意可得，，，则可证明，根据推出，据此证明即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； ③设， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）略 28．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式． 请阅读下列材料：若，，则a，b的大小关系是． 解：，，且，，． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)【知识生成】上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质________． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方． (2)【结论运用】已知，试比较与的大小． (3)【思维拓展】定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，请直接写出________． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）材料中把 写成 、把 写成 ，底数与指数同时变化，运用的是幂的乘方性质； （2）先由绝对值与平方的非负性求出 ， 的值，再把 化为 、 化为 ，化同指数后比较底数即可； （3）把新运算还原为幂的形式：设 ，，，则 ，，，由 逆用同底数幂的乘法得 ，从而求出 ． 【详解】（1）解：材料中 ，，都是把幂化为指数相同的形式，运用了幂的乘方性质， 故选： C． （2）解：，且 ，， ，， ，， ，， ， ， ． （3）解：设 ，，， 由新运算的定义，得 ，，， ， ， ， ， 即 ． 考点三 同底数幂的除法 ◆题型1 同底数幂的除法 29．（26-27八年级上·江西南昌·期中）南昌二中初中数学组办公室的的密码被设计成如表所示的数学问题．外校吴老师在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是________． 账号：初中数学组 【答案】 925 【分析】从已知的两个等式归纳出方括号的运算规则，将待求代数式按同底数幂运算法则化简，提取各字母的指数按规则拼接即可得到密码． 【详解】解：∵ 已知，该式中的指数为3，的指数为1，的指数为8，按顺序拼接三个指数恰好得到318， 又∵ 已知，先化简括号内的代数式， 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加： ， 三个字母的指数依次为6、6、6，按顺序拼接得到666，与已知结果一致 ∴ 所以，密码为925． 30．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）已知，则的值为________． 【答案】 8 【分析】先求出，再将所求式中不同底数的幂统一为以2为底的同底数幂，利用幂的运算法则化简后，代入指数值，计算即可． 【详解】解：， ， ，， ． 31．（25-26八年级上·广西桂林·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据单项式除法法则化简左边，得， ∵等式右边为， ∴对应字母的指数相等， ∴，， 由解得，将代入，得， 解得． 32．（26-27八年级上·全国·期中）计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． ◆题型2 同底数幂的除法逆运算 33．（26-27七年级上·上海虹口·期中）已知，，那么的值为______． 【答案】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的除法法则，将所求代数式转化为已知、的组合形式，代入对应数值计算即可． 【详解】解： ． 34．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）阅读材料，回答问题． 例：，求的值． 解： ，∴． (1)若，则_______ (2)如果，，那么的值为多少？ 【答案】(1)243 (2)27 【分析】（1）逆用同底数幂除法法则可得，再逆用幂的乘方运算法则可得，即；然后将代入求值即可； （2）由题意可得，再逆用同底数幂除法法则可得，即；然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 35．（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用逆用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方法则，结合题干给出的结论：若（且）则，对所求式子进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴ ， ∴，解得． （3）解：∵， ∴． 36．（25-26七年级下·四川巴中·期末）某数学学习小组在学习完幂的相关运算后，遇到下面几个问题，请你尝试帮助他们解决： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，试将用含、、的代数式表示出来． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，进一步可变形为，则，进而得到，求出的值即可得到答案； （3）根据推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴ ． ◆题型3 零指数幂 37．（2025·安徽滁州·模拟预测）小华在学习了“任何非零数的零次幂的值为1”后，遇到这样一道题：“如果，求x的值”，她解答出来的结果为．老师说她考虑的问题不够全面，你认为x的可能值有哪些？______ 【答案】，1，3 【分析】幂运算结果为分三种情况讨论，分别为非零数的零次幂、底数为的任意次幂、底数为的偶次幂，分别计算验证即可． 【详解】解：分三种情况讨论： 1. 指数为，底数不为时，结果为， 令，解得， ∵ 此时底数， ∴ 符合条件； 2. 底数为时，的任意次幂结果为， 令，解得， 代入得，等式成立， ∴ 符合条件； 3. 底数为，指数为偶数时，结果为， 令，解得， 此时指数，为偶数，代入得，等式成立， ∴ 符合条件； 综上，的可能值为，，． 38．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）计算：． 【答案】 【分析】分别运用有理数乘方、零指数幂、绝对值的运算法则逐项化简，再进行加减运算． 【详解】解：． 39．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）已知 ． (1)求 的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵． ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，且，即， ∴， ∴． 40．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们规定：．完成下列问题： (1)已知，则x的取值范围是 ； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据题意可得，据此可得答案； （2）分三种情况：，，，分别求出对应情况下x的值，结合进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 综上所述，x的值为或或． ◆题型4 同底数幂除法的新定义运算 41．（26-27八年级上·北京东城·期中）规定两正数，之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论： 小明给出了如下的证明：设，，由规定，得，， ，， ． 请你解决下列问题： (1)填空：__________； (2)证明：； (3)如果正数，，（）满足，，，求的值． 【答案】(1) (2)证明：设，，由规定得，. ，即. . . (3) 【分析】（1）根据新定义对应，找出满足的的值． （2）仿照题目给出的证明方法，设，，根据定义写出幂的形式，再利用同底数幂乘法法则推出，完成证明． （3）先推导得到，再代入已知代数式列出方程，解方程求出． 【详解】（1）解：， ； （2）略 （3）解：，， ，， ， ， ， ， 解得． 42．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义： 一般地，若（，），那么叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，）； 理由如下：，，则， ，由对数的定义得 又 解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式为________；将对数式转化为指数式为________； (2)________，________．（直接写出结果） (3)计算________．（直接写出结果） 【答案】(1)， (2)，． (3) 【分析】（1）根据题意进行解答即可； （2）根据定义进行解答即可； （3）先根据题意推导出，再利用两个结论进行解答即可． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为，将对数式转化为指数式为； （2）解：∵，， ，． （3）解：（，，，）； 理由如下：，，则，， ，由对数的定义得， 又， ∴， 又∵， ∴ ． 43．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）对于两个正数，，其中，如果，那么可将指数记作， 即．例如：，则． (1)填空：_______；_______； (2)，，且，求的值； (3)，，求的值． 【答案】(1)3；1 (2)125 (3)2026 【分析】（1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义，结合同底数幂的乘法法则进行计算即可； （3）根据新定义得到，，进而得到，得到，代入，推出，整体代入法求出代数式的值即可. 【详解】（1）解：∵， ∴；； （2）解：由题意，， ∵， ∴； （3）解：由题意，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 44．（25-26七年级下·江西吉安·期末）规定：两数，之间的一种运算，记作，如果，那么，我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立． 证明如下：设，，则，，， ，即． (1)根据上述规定，填空：_________；________； (2)计算：，结果用的形式表示． (3)若，，．求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明：，，， ，，， ． ， ， ． 【分析】（1）直接对照“雅对”的定义，算出底数多少次方等于后数，该指数即为答案； （2）套用题干推导的同底数“雅对”规律，利用同底数幂相乘的知识点即可得到结果； （3）先根据“雅对”写出三组幂等式，利用同底数幂除法算出，结合推出指数相等． 【详解】（1）解：由定义得，即， 同理可得，． （2）解：设，，则，， ． ． （3）略． 考点四 幂的运算综合 ◆题型1 幂的混合运算 45．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 46．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了幂的运算法则和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过同底数幂相乘和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）把看作整体，再用幂的乘方和合并同类项进行解答； （3）变形后逆用积的乘方进行计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘法最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 47．（2026七年级下·河北·专题练习）计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的化简求值： （1）先算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可求解； （2）把 作为一个整体，根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （3）先算括号内的同底数幂乘除法，幂的乘方和积的乘方，再计算除法，最后再代入求值，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时，原式 48．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方以及同底数幂的乘法，再算减法即可； （2）先计算幂的乘方再算减法即可； （3）先计算幂的乘方再算加、减法即可； （4）观察底数的特征，利用幂的运算法则将底数转化进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． ◆题型2 利用幂的运算比较大小 49．（25-26七年级下·甘肃张掖·期中）某同学在比较的大小时，发现44，33都是11的倍数，于是他将这两个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这两个数的大小． 解：因为， 所以 即 请根据上述解题思路完成下题：若，试比较a，b的大小． 【答案】 【分析】根据题干给出的解题思路，将两个数转化为指数相同的幂，通过比较底数的大小即可得到结果． 【详解】解： 已知 ， ，观察指数可知，． 所以 ，． 因为 ， 所以 ， 即 . 50．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 51．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 52．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较指数的大小即可； （3）根据，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），， ， ． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． ◆题型3 幂的新定义运算 53．（25-26七年级下·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ，即． (1)根据上述规定，填空：① ，② ； (2)记，，．求证：． 【答案】(1)①；②； (2) 证明：∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）①根据“雅对”的定义，直接找到满足的指数； ②仿照题干，设两个“雅对”为未知数，利用同底数幂乘法法则，将和转化为新的“雅对”； （2）将“雅对”转化为幂的形式，通过幂的运算建立等式，由同底数幂相等推出指数相等，完成证明． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②设，， 则，， 可得， 故， 即； （2）略． 54．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0， (2)2， 理由如下： 设，则， ∴， ∴ (3) 证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数． （1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到 （3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）略 （3）略 55．（25-26七年级下·山东济南·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 56．（25-26七年级下·山东青岛·期末）对于两个正数，（其中），定义一种新的运算，记作，即：如果，那么，例如：，；，； (1)_____，_____；（填“”或“”） (2)猜想：______； (3)请验证你的猜想． 【答案】(1)5， (2) (3)， 证明：设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴成立． 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据材料提示猜想即可； （3）设，根据材料提示计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据（1）中的计算得到，； （3）略． ◆题型4 幂的抽象函数型运算 57．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）规定关于任意正整数，的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求，的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，根据新运算的规则，结合已知条件进行有关计算是解题的关键． （1）分别根据新运算的定义计算即可． （2）分别根据新运算的定义计算即可． （3）分别根据新运算的定义计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，． （2）解：， ，， 由题可知的值为正数， ． （3）解：， ， ． 58．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ① ______； ② ______； (2)观察下列式子：． 请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①2；②4 (2)猜想：． 理由：设． ． ． ． ． ． (3)8 【详解】（1）解：，． ，． （2）略． （3）解：， ， ． 又， 由（2）可知． 59．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，比如：若，则． （1）若则＝______． （2）若，，则________（结果用含a的代数式表示） 【答案】 4 / 【分析】（1）利用新运算的规定进行运算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出3的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】解∶（1）∵， ∴， 故答案为：4； （2）∵，， ∴， ， ， ， ， = 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键． 60．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：（其中m、n为正整数）；例如，若，则． (1)（理解）根据上述规定，若，则计算______； (2)（拓展）若，化简：． (3)（应用）若，求的值． 【答案】(1)125 (2) (3) 【分析】（1）将改写为，根据题目所给新定义运算法则进行计算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出3的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可； （3）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 故答案为：125． （2）解： ． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，本题是新定义型题目，理解并熟练应用新运算的规定是解题的关键． ◆题型5 劳格数运算 61．（25-26七年级下·福建三明·期中）阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（，年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则x叫做以a为底N的对数，记作．如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ， 理由如下：设，，则，． ． 由对数的定义，得． 又， ． 解答下列问题： (1)将指数式转化为对数式：______． (2)求证：； (3)拓展运用：计算：． 【答案】(1)； (2) 解：设，，则，， ． 由对数的定义，得． 又， ； (3)2 【分析】（1）根据题意中对数式的定义转化即可； （2）设，，类比材料中的证明过程，即可证明结论； （3）逆用题干中以及（2）求出的对数的性质进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：指数式转化为对数式为：， 故答案为：； （2）略 （3）解：． 【点睛】本题是新定义试题，主要考查幂的混合运算，有理数的混合运算，新定义对数与指数之间的关系，解题的关键是明确新定义，理解对数的运算法则，明白指数与对数之间的相互转化关系． 62．（25-26八年级上·北京·阶段检测）对于正数和，如果数满足，定义一种能求出的新运算：． 例如：因为，所以； (1)填空：___________，___________； (2)若，求的值； (3)这个新运算的性质与我们所学的幂运算有联系，探究它的性质． ①举一个反例说明“若，则”是假命题：___________，___________，___________． ②，该性质的证明过程如下： 设， 则． 由此新运算的定义可得：． 请参考以上方法，证明性质：． 【答案】(1)，． (2)的值为； (3) ，，（答案不唯一） 证明：设，，则，， ∴ ． ∴ ． 【分析】本题考查有理数乘方的逆运算，举反例说明命题为假命题，同底数幂相乘． （1）由新定义运算，结合有理数乘方的逆运算，即可求解； （2）由新定义运算，可得，结合，，即可得的值； （3）根据新定义运算，结合有理数乘方的逆运算，举反例即可；设，，则，，由新定义运算，结合同底数幂的乘法，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵． ∴，． 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴“若，则”是假命题． ∴，，． 故答案为：，，．（答案不唯一） 略 63．（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 【答案】(1)5，5 (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用． （1）根据对数与乘方之间的关系求解可得结论； （2）根据所得结论进行推导可得结论； （3）根据之前的探究，可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ， ， 故答案为：5，5； （2）解：， 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：； （3）解：根据之前的探究，可得． 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：． 64．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____． (2)写出（1）、、之间满足的关系式______． (3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）． (4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 【答案】(1)2，4，6 (2) (3) (4) 设，， 则， ∴ ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，即可找到规律：，； （3）由特殊到一般，得出结论：． （4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论． 【详解】（1）∵，， ∴， 故答案为：2，4，6； （2）∵，，，， ∴， 故答案为：； （3）由（2）的结果可得， 故答案为：． （4）略 【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质． 综合攻坚·知能拔高 65．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）计算结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式． 66．（26-27八年级上·河南周口·期中）若a、b是正整数，且满足，则a与b的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的运算得出，进而得到即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 67．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个幂的底数统一为3，通过比较指数大小判断数值大小关系． 【详解】解：，， ∵，， ∴． 68．（25-26七年级下·北京通州·期末）已知，，，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】利用同底数幂乘法与除法的逆用运算将幂的关系转化为指数的关系，再逐一验证各关系式即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即，，则③正确； ∴，则②正确； ∴， ∴，则④正确； ∵，， ∴，即，则①错误； 综上，正确的关系式是②③④． 69．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据已知得出，，进而得到，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 70．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如果等式，则等式成立的x的值为_____ ． 【答案】或2或1 【分析】需分三种情况讨论：①指数为且底数不为；②底数为；③底数为且指数为偶数，分别计算验证即可． 【详解】解：分三种情况讨论： （1）当且时， 由得， 此时，则，符合题意． （2）当时， 解得， 此时，则，符合题意． （3）当时， 解得， 此时，则，符合题意． 综上所述，等式成立的的值为或或． 71．（26-27八年级上·北京海淀·期中）若，则的值为________． 【答案】 【分析】将已知等式变形得到，通过幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法法则把所求代数式转化为含的幂的形式，整体代入求值即可． 【详解】解：， ， 原式， ， ， ． 72．（2026·广东湛江·二模）对于任意正整数，定义一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 则， ∴． 73．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）规定．若，则x的值为______． 【答案】1 【详解】解：由定义，可知， ∴， ∴． 74．（25-26九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋子中球的个数都相同，则的值为__________． 【答案】 【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，然后可得，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数， 甲袋：（个）， 乙袋：（个）， 丙袋：（个）， ∵此时三只袋中球的个数都相同， ∴， 整理得， 解得：，， ，则． 75．（26-27七年级上·全国·期中）计算：． 【答案】0 【分析】根据幂的乘方的运算法则：，同底数幂相乘的运算法则：，积的乘方的运算法则：，先乘方，再乘除，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 76．（26-27八年级上·四川内江·阶段检测）完成以下问题 (1)已知，求的值． (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴ ． 77．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）阅读下列材料： 若，，其中、为正数，则________（填．“”或“”）． 解：因为， ，且， 所以． 因为、为正数， 所以． 小结：当指数相同时，通过比较两个幂的大小，来确定底数的大小． 依据以上材料，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________（填写正确的选项）． A．同底数幂的乘法　B．幂的乘方　C．积的乘方 (2)若，，试比较与的大小； (3)比较__________的大小（填“”或者“”）． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）根据逆用的幂的运算形式判断对应性质即可； （2）将、的幂化为相同指数，通过比较幂的大小即可判断； （3）利用积的乘方逆运算将两式化为同指数的幂，比较底数的大小即可判断． 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用了幂的乘方运算性质； （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴、均为正数， ∴； （3）解：∵，，， ∴， 即． 78．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 解：，理由如下： 设， ， ， ， ∴． 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解题的关键． （1）根据乘方的定义求解即可； （2）根据乘方的定义求解即可； （3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解：， ∴；   ， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵， ， ∴， ． （3）略 79．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 求的值． 解：令①． 将等式①两边同时乘2，得 ②． ②①，得，即， 所以 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：． (2)已知数列：，9，，，，…． ①它的第100个数是_____； ②求该数列中前100个数的和． 【答案】(1) (2) 该数列中前个数的和是 【分析】（1）根据阅读材料即可解决问题； （2）①观察数列的特征，发现后一个数是前一个数的-9倍，即可解决问题； ②表示出前100个数的和，再依据规律即可解题． 【详解】（1）解：由题知：令 将等式①两边同时乘3，得： 得：， 即 ． （2）解：①观察所给数列的特征可知，后一个数是前一个数的倍，且第一个数是.所以第个数是； ②前100个数的和为： 令 两边同时乘以，得 两式相减去，得： ，即， 所以这列数中前个数的和为． 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给计算方式是解题的关键． 80．（25-26八年级上·全国·周测）规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2) 【分析】（1）①利用新运算的规定进行运算即可；②将变换为，再利用新运算的规定解答即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①， ． ②， ． （2）解：依题意，得， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，本题是新定义型题目，连接并熟练应用新运算的规定是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $