数学广角：鸽巢问题 母子:（专项训练）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

六年级数学“鸽巢问题”母子题专项训练（数学广角）

人教版六年级上册　数学广角：鸽巢问题（2026年秋季新修订教材）

12 组母子题（36 题）＋ 综合闯关 8 题 ＋ 拓展挑战 3 题

难度分三档：★基础　★★提升　★★★拓展｜建议用时 90 分钟｜参考答案另附

一、训练说明与难度梯度

本训练对应人教版六年级上册数学广角《鸽巢问题》（2026年秋季新修订教材，替换旧版的“数与形”）。这一内容不讲计算技巧，讲一种“一定能成立”的推理：把若干个物体放进若干个抽屉，只要物体比抽屉多，就总有一个抽屉里至少放了2个。学生要学的不是“算”，而是“保证”这两个字——不管怎么放，结论都躲不掉。

本活动的核心是一个除法式：物体数÷抽屉数，如果没有余数，至少数就是商；如果有余数，至少数就是“商＋1”。所有题目都是它的变形：变的是“什么算抽屉”（花色、月份、余数类、颜色），“什么算物体”（扑克牌、学生、自然数、小球）。

学生的典型错误有三类：一是把“至少”当成“恰好”，得出“正好2个”的错误结论；二是求“至少数”时直接取商，忘了加1；三是遇到“保证”类抽取问题不会用“最不利原则”——先想“最倒霉能抽到几个还不满足”，再加1。本卷每道题都指向这些错误。

难度分三档并逐板块递进：★为基础题，直接套公式；★★为提升题，需要先判断“谁是抽屉”、或做两步除法；★★★为拓展题，需要逆向求物体数、跨情境迁移或完整说理。每组末尾的【变式指要】点明变式方向。

“母子题”是“一道母题带两道子题”：母题解决“这一类题该怎么想”，子题只改条件、情境或提问角度。

建议用法：做每道题前先写两行——“抽屉是什么？物体是什么？”再列除法式。凡做错的题，请用“最不利情况”把答案再验证一遍，这是本单元最好的自查方法。

考点与难度地图

 

二、鸽巢原理的基本模型

母题1　★　五只鸽子，四个笼子

数学广角的第一课，老师拿来5只鸽子模型和4个笼子，请同学把鸽子放进笼子，要求每只鸽子都进笼。同学们试了好几种放法：4只挤在一个笼里，或者2、2、1分开……老师问：不管怎么放，是不是总有一个笼子里至少进了2只鸽子？为什么？

（1）请举出两种不同的放法，并指出每种放法里“至少进2只”的那个笼子。

（2）“总有一个笼子里至少进2只”这句话中，“总有”和“至少”分别是什么意思？

（3）如果每只笼子最多只放1只鸽子，4个笼子最多能放几只鸽子？这与“5只鸽子”矛盾吗？

子题①

把6个苹果放进5个盘子，总有一个盘子至少放几个苹果？为什么？

子题②

把3支铅笔放进2个笔筒，有几种放法？（按“每个笔筒放几支”列出）每种放法里是否都有一个笔筒至少有2支？

【变式指要】鸽巢原理的证明用的是“反证”：如果每个笼子最多1只，4个笼子最多装4只，装不下5只，所以一定有一个笼子至少2只。“总有”指任何一种放法都成立，“至少”指数量不少于。

母题2　★★　至少数怎么算：商还是商＋1

老师把题目升级了：25本书放进4个抽屉，总有一个抽屉至少放几本？同学们用除法算：25÷4＝6……1，有人说“至少6本”，有人说“至少7本”。老师提醒：剩下那1本也得放进某个抽屉，所以那个抽屉就变成7本了。

（1）25本书放进4个抽屉，总有一个抽屉至少放几本？

（2）24本书放进4个抽屉，总有一个抽屉至少放几本？

（3）比较上面两题，说说“有余数”和“没有余数”时，至少数分别怎么取。

子题①

38支铅笔放进5个笔筒，总有一个笔筒至少放几支？

子题②

40个乒乓球放进8个盒子，总有一个盒子至少放几个？如果放进7个盒子呢？

【变式指要】公式：物体数÷抽屉数＝商……余数。余数为0，至少数＝商；余数不为0，至少数＝商＋1。第（1）问25÷4＝6……1，至少7本；第（2）问24÷4＝6，至少6本。为什么加1？因为余下的物体必须放进某个抽屉，那个抽屉就多了一个。

母题3　★★　反过来问：至少要几个

老师又反过来问：把一些书放进5个抽屉，要保证总有一个抽屉至少放3本，至少需要多少本书？有同学说“15本”，有同学说“11本”。老师说，这类题要用“最不利情况”：先让每个抽屉都只放2本（这是“还不满足”的最多情况），再多放1本，就一定有一个抽屉变成3本。

（1）5个抽屉，保证总有一个抽屉至少放3本，至少需要多少本书？

（2）4个抽屉，保证总有一个抽屉至少放4本，至少需要多少本书？

（3）请说明“先让每个抽屉尽量多放、但还是不满足，再加1”的道理。

子题①

6个盒子，保证总有一个盒子至少放5个球，至少需要多少个球？

子题②

3个抽屉，保证总有一个抽屉至少放6本书，至少需要多少本书？

【变式指要】逆向题的公式：物体数最少＝抽屉数×(至少数－1)＋1。第（1）问5×(3－1)＋1＝11本；第（2）问4×3＋1＝13本。这个式子的来历就是“最不利”：每个抽屉先放（至少数－1）个，仍不满足，再加1。

三、把生活装进抽屉

母题4　★★　四百个人，两个同生日

班会上老师提出一个“神奇”的结论：任意400个人中，一定有两个人的生日是同一天。同学们不信，觉得一年365天，400个人怎么保证？老师让大家算一算：把365天当作365个抽屉，把400个人当作400个物体，会得到什么？

（1）400÷365的商和余数各是多少？

（2）为什么一定有两个人生日相同？