专题13 数学广角 鸽巢问题（3种类型30道）（易错专项训练）数学人教版六年级上册（新教材）

专题13 数学广角 鸽巢问题 （3种类型30道） 目录 易错点一：鸽巢问题初步 1 易错点二：鸽巢问题进阶 4 易错点三：最不利原则 6 易错点一：鸽巢问题初步 1．把33个乒乓球分装进盒子里，不管怎么放，总有1个盒子里至少有5个乒乓球。最多有几个盒子？ 2．下面解答正确吗？如果错误，请改正。 把15个桃放入6个果盘，一定有一个果盘至少放了多少个桃？ 15÷6＝2（个）……3（个）         2＋3＝5（个） 答：一定有一个果盘至少放了5个桃。 3．给1个正方体木块的6个面分别涂上蓝、黄两种颜色，不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。为什么？ 4．5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？ 5．把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。你知道这是为什么吗？ 6．随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？ 7．一副扑克牌54张，无论怎么抽，问至少抽多少张，一定会有4张牌点数相同？（不考虑大、小王） 8．某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 9．按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 10．7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同？ 易错点二：鸽巢问题进阶 11．六年级1班有45名同学，他们每人都报名参加了至少一项学校社团活动，学校社团包括：书法社、围棋社、科技社。问：至少有多少名同学参加的社团是完全相同的？ 12．六年级有22名同学进行投篮训练，每人投3次。投中一次得1分，未投中得0分。至少有几名同学的成绩相同？ 13．一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆。其中有一个孩子发现从石子堆中任意选出六堆，其中至少有两堆石子数之差是5的倍数。你能说一说他的结论对吗？为什么？（每堆石子数量不相等） 14．如图是一个2行5列共10个小方格的长方形；将每个小方格涂上红色或蓝色，其中必定至少有两列，它们的涂色方式相同，为什么？ 15．将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球？ 16．请你证明：任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和是3的倍数。 17．任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数，请说明理由。 18．38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 19．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 20．学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？ 易错点三：最不利原则 21．箱子里有5种不同品牌的果冻各20个，要保证摸到的果冻有4个是同种品牌的，至少要摸出多少个果冻？ 22．一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？ 23．“六一”儿童节，学校布置会场，小芳帮忙往6个花瓶里插花，无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花。学校至少准备了多少枝鲜花？ 24．某小学篮球兴趣小组的同学中，最大的12岁，最小的6岁。最少从中挑选几名学生，就能保证找到2名年龄相同的？（先填一填，再解答） 在解决这个问题时，把（    ）看作抽屉，一共有（    ）个抽屉。 25．一副扑克牌（取出大、小王）共52张。 （1）一次至少要拿出几张牌，才能保证有2张牌是同花色的？ （2）一次至少要拿出多少张牌，才能保证4种花色的牌都有？ 26．箱子里有黑、白两种颜色的袜子各10只。 （1）至少摸出多少只，才能保证可以配2双袜子？ （2）至少摸出多少只，一定有1双白色袜子？ 27．把37名志愿者最多安排到几个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者？ 28．Emma购买了15颗蓝色、9颗绿色和21颗紫色软糖豆的一袋糖果。她从袋子里随机抓了一把软糖豆。Emma至少要拿多少颗软糖豆才能保证她至少有12颗同色的软糖豆？ 29．6个人进行射击训练，共射中121环，必定有1个人至少射中21环，为什么？ 30．有5050张数字卡片，其中一张上写着1，2张上写着2，3张上写着3，…，100张上写着100。现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同，至少要抽取多少张卡片？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 数学广角 鸽巢问题 （3种类型30道） 目录 易错点一：鸽巢问题初步 1 易错点二：鸽巢问题进阶 7 易错点三：最不利原则 13 易错点一：鸽巢问题初步 1．把33个乒乓球分装进盒子里，不管怎么放，总有1个盒子里至少有5个乒乓球。最多有几个盒子？ 【答案】 8个 【分析】利用抽屉原理反向求最多盒子数，先把每个盒子先放4个，余下的1个任意放就满足至少有1盒有5个，用总数减1再除以4即可算出最多盒子数。 【详解】 答：最多有8个盒子。 2．下面解答正确吗？如果错误，请改正。 把15个桃放入6个果盘，一定有一个果盘至少放了多少个桃？ 15÷6＝2（个）……3（个）         2＋3＝5（个） 答：一定有一个果盘至少放了5个桃。 【答案】解答错误。 【分析】题中把6个果盘看作6个抽屉，用苹果的总数除以6，计算出商；根据抽屉原理中不能整除时至少数＝商＋1、能整除时至少数＝商，即可使问题得解。 【详解】解答错误。 15÷6＝2（个）……3（个） 2＋1＝3（个） 答：一定有一个果盘至少放了3个桃。 3．给1个正方体木块的6个面分别涂上蓝、黄两种颜色，不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。为什么？ 【答案】见详解 【分析】将6个面看作6个物体，蓝、黄两种颜色看作2个抽屉，根据抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体 【详解】6÷2＝3（个） 答：不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。 4．5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？ 【答案】见详解 【分析】5只鸽子飞进了3个鸽笼，可以通过把5分解成3个数来说明理由。 【详解】分解法： 把5分解成3个数，共有4种情况，在任何一种情况中，总有一个数大于等于2，所以5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。 5．把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。你知道这是为什么吗？ 【答案】见详解 【分析】总有1个笔筒里至少有2支铅笔，总有表示一定发生，至少有2支铅笔表示铅笔的数量大于或等于2。①采用枚举法列举所有可能发生的情况；②采用假设法，尽可能平均分，则每个笔筒里铅笔的数量最少，据此解答。 【详解】总有1个笔筒里至少有2支铅笔，总有表示一定发生，至少有2支铅笔表示铅笔的数量大于或等于2，即一定有1个笔筒里铅笔的数量大于或等于2支。 ①枚举法：把4支铅笔放进3个笔筒中，一共有四种放法，每种放法中，一定有1个笔筒中至少有2支铅笔。 ②假设法：把4支铅笔放进3个笔筒中，如果每个笔筒中放1支铅笔，那么3个笔筒放了3支铅笔，还剩下1支，放入任意1个笔筒中，那么这个笔筒中至少有2支铅笔。 综上所述，把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。 6．随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？ 【答案】见详解 【分析】根据鸽巢原理：把（n＋1）个物体任意放进n个抽屉中，（n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了2个物体，就可以解答此题。 【详解】因为老师的人数是13，而属相的种数是12，人数比属相的种数多1，根据鸽巢原理，则他们中至少有2个人的属相相同。 7．一副扑克牌54张，无论怎么抽，问至少抽多少张，一定会有4张牌点数相同？（不考虑大、小王） 【答案】40张 【分析】“一定”是关键词，考虑运气最差的情况，54张牌中有四种花色的A到K，每种花色有13张，在运气最差的情况下，先将一种花色的牌全部摸完，再将一种花色的牌全部抽完，只有2张牌的点数是相同的，继续运气差，又摸了13张剩下的花色，又3张牌的点数是一样的，最后无论在剩下的花色种随意抽一张牌，正好可以保证4张牌的点数是相同的。 【详解】13＋13＋13＋1＝40（张） 答：至少抽40张，一定会有4张牌点数相同。 【点睛】这题最重要的是考虑最差的情况，最好的情况就是一下子4张正好是点数相同的牌，最差的情况是怎么样都摸不到相同的点数的牌。 8．某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 【答案】8名 【分析】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二本、三本共有7种类型： 买一本的：有语文、数学、外语3种。 买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。 买三本的：有语文、数学和外语1种。 把这7种类型看成7个抽屉，去的人数看作物品。要保证有抽屉里有2人，那么去的人数至少是抽屉数加1。 【详解】抽屉：3＋3＋1＝7（个） 学生：7＋1＝8（名） 答：至少要去8名学生。 9．按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 【答案】37个 【分析】把同学看作物品，星座看作抽屉，要保证至少有4个人在同一个抽屉，那么可以每个抽屉先放3个人，再在某一个抽屉中多放一个人。 【详解】（4－1）×12＋1 ＝3×12＋1 ＝36＋1 ＝37（个） 答：至少找37个同学，才能保证有四个人是同一个星座。 10．7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同？ 【答案】2名 【分析】根据题意可知，有6种不同的借书方式，用7除以6可知商为1，余数也为1，用1＋1即可知道至少有2名学生所借书的种类完全相同。 【详解】7÷6＝1（组）……1（名） 1＋1＝2（名） 答：至少有2名学生所借书的种类完全相同。 易错点二：鸽巢问题进阶 11．六年级1班有45名同学，他们每人都报名参加了至少一项学校社团活动，学校社团包括：书法社、围棋社、科技社。问：至少有多少名同学参加的社团是完全相同的？ 【答案】 7名 【分析】先确定不同的社团报名组合种类，因为每人至少报1项，所以需要分类枚举报1项、报2项、报3项的所有情况，得到总共有多少种不同的报名类型。 把不同的报名类型看作抽屉，45名同学看作元素，因为要让参加社团完全相同的人数最少，所以需要将元素尽可能平均分配到各个抽屉中，用到抽屉原理求解。 用总人数除以抽屉数，如果能整除，商就是所求的最小值；如果有余数，商加1就是所求的最小值。 【详解】只参加1个社团的选法有3种； 参加2个社团的选法有3种； 参加3个社团的选法有1种； 不同的报名组合共有：（种） （名）（名） （名） 答：至少有7名同学参加的社团是完全相同的。 12．六年级有22名同学进行投篮训练，每人投3次。投中一次得1分，未投中得0分。至少有几名同学的成绩相同？ 【答案】 6名 【分析】每人投3次，投中一次得1分，未投中得0分，可能得分有四种情况：①三次都投中，计1＋1＋1＝3分；②两次投中，一次不投中：计1＋1＋0＝2分；③一次投中，两次不投中：计1＋0＋0＝1分；④三次都不投中，计0分；现在有22名同学，相当于22个“元素”要放进这4个“抽屉”里，用22除以4，得到22÷4＝5……2，这意味着平均每个“抽屉”放5个“元素”后，还剩下2个“元素”。根据抽屉原理，剩下的这2个“元素”无论放到哪个“抽屉”里，都会使得至少有一个“抽屉”里有5＋1＝6个“元素”，也就是至少有6名同学的成绩相同。 【详解】得分可能为3分、2分、1分、0分，共4种情况。 22÷4＝5（名）……2（名） 5＋1＝6（名） 答：至少有6名同学的成绩相同。 13．一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆。其中有一个孩子发现从石子堆中任意选出六堆，其中至少有两堆石子数之差是5的倍数。你能说一说他的结论对吗？为什么？（每堆石子数量不相等） 【答案】对；理由见详解 【分析】根据鸽巢原理，当石子数除以5时，余数只有0、1、2、3、4这五种可能。如果从石子堆中任意选出六堆，相当于将六个物体（六堆石子）放入五个鸽巢（五个余数），那其中至少有一个鸽巢中会有至少两堆石子，这两堆石子数除以5的余数相同，因此它们的差一定是5的倍数。据此作答。 【详解】他的结论对。任意选出的六堆石子中，石子数量的个位数可能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，那么它们除以5的余数只有0、1、2、3、4这五种可能，所以至少有两堆石子数除以5的余数相同，因此它们的差一定是5的倍数。 【点睛】本题考查鸽巢原理的应用，把实际问题转化成“鸽巢问题”关键要弄清“鸽巢”（鸽巢是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。 14．如图是一个2行5列共10个小方格的长方形；将每个小方格涂上红色或蓝色，其中必定至少有两列，它们的涂色方式相同，为什么？ 【答案】见详解 【分析】先确定每一列中两种颜色的排列情况，根据抽屉原理，至少在同一抽屉里相同物体的个数＝物体总个数÷抽屉的个数＋1。 【详解】5÷4＝1（列）……1（列） 1＋1＝2（列） 每一列中两种颜色的排列共有四种情况：红红、红蓝、蓝红、蓝蓝，相当于4个抽屉，这里有5列相当于5个“物品”，根据抽屉原理；必定至少有两列的涂色方式相同。 15．将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球？ 【答案】11个 【分析】把9个盒子中分别放入1、2、3、…、9个乒乓球，共用去（1＋9）×9÷2＝45（个）乒乓球，还剩下60－45＝15（个）乒乓球，再每个盒子里放入1个球，15－9＝6（个）乒乓球，再把剩下的6个乒乓球放入较多的6个盒子中，放球最多的盒子里最少放9＋1＋1＝11（个）乒乓球，据此即可解答。 【详解】（1＋9）×9÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（个） 15－9＝6（个） 9＋1＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 答：放球最多的盒子里最少放了11个乒乓球。 【点睛】解答本题的关键是应使每个盒子的球数尽可能接近，再根据条件进行调整。 16．请你证明：任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和是3的倍数。 【答案】证明见详解 【分析】根据3的倍数的特征，如果这三个数被3除，余数的和是3的倍数，那这三个数的和就是3的倍数。自然数被3除所得的余数有0、1、2三种情况，据此把全体自然数分成3类，即构成3个抽屉，然后根据抽屉原理分情况讨论。 【详解】证明：自然数被3除所得的余数有0、1、2三种情况，据此把全体自然数分成3类，即构成3个抽屉。如果任选的5个自然数中： （1）如果3个抽屉都有数，根据抽屉原理，，那么5个数在3个抽屉中的分配方案必为2个，2个，1个；每个抽屉中各取1个数，余数的和为，因此，它们的和一定是3的倍数。 （2）如果至少有一个抽屉没有数，即将5个数放进2个抽屉或者1个抽屉，根据抽屉原理，，那么至少必有3个数在同一个抽屉，在同一个抽屉里的三个数的和一定是3的倍数。 所以，任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和是3的倍数。 【点睛】结合3的倍数特征和抽屉原理进行分析，在有些抽屉问题中，“抽屉”和“物品”不是很明显，需要精心构造“抽屉”和“物品”。 17．任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数，请说明理由。 【答案】（1）由3个奇数组成，任意取2个数都是奇数，奇数＋奇数＝偶数； （2）由2个奇数和一个偶数组成，其中2个奇数的和：奇数＋奇数＝偶数； （3）由2个偶数和一个奇数组成，其中2个偶数的和：偶数＋偶数＝偶数； （4）由3个偶数组成，任意取2个数都是偶数，偶数＋偶数＝偶数； 所以任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数。 【分析】把任意给出3个不同的自然数中，是由偶数还是奇数组成的情况罗列出来，再根据：偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，解答即可。 【详解】略 18．38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】7名 【分析】抽屉原理：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。2道题全答对可得2×2＝4（分）；1道题答对，另1道题不答，可得2×1＝2（分）；1道题答对，另1道题答错，可得2×1－1×1＝1（分）；2道题全不答可得0分；1道题不答，另1道题答错可得﹣1分；2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38，抽屉数为6。 【详解】38÷6＝6（名）……2（名） 6＋1＝7（名） 答：至少有7名学生的成绩相同。 【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。 19．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【答案】5人 【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。 【详解】52÷11＝4（人）……8（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 【点睛】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。 20．学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？ 【答案】14个 【分析】学生的报班情况可能有：画画和书法、画画和写作、写作和书法，共3种，看成3个抽屉，把40个学生看成40个苹果，根据抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体；（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【详解】40÷3＝13……1 13＋1＝14（个） 答：这个班至少有14个学生报的兴趣班完全—样。 【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 易错点三：最不利原则 21．箱子里有5种不同品牌的果冻各20个，要保证摸到的果冻有4个是同种品牌的，至少要摸出多少个果冻？ 【答案】16个 【分析】要保证摸到的果冻有4个是同种品牌，先考虑最不利的情况，也就是每种品牌都只摸到了3个，此时一共摸了5×3＝15个果冻，还没有任何一个品牌达到4个；接下来再摸1个，无论这个果冻是哪个品牌，都会让这个品牌的果冻数量变成4个，所以至少要摸出15＋1＝16个果冻。 【详解】3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 答：至少要摸出16个果冻。 22．一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？ 【答案】7顶 【分析】这是典型的 “抽屉原理” 问题，我们用最不利原则来分析： 最倒霉的情况，先把一种颜色的帽子全部摸完。 袋子里每种颜色各有6顶，假设先摸出的全是红色（或全是黑色），共6顶。 保证有两种颜色：此时再摸1顶，必然是另一种颜色。 因此，至少需要摸顶，才能保证有2种颜色的帽子。 【详解】（顶） 答：至少摸出7顶帽子才能保证有2种颜色的帽子。 23．“六一”儿童节，学校布置会场，小芳帮忙往6个花瓶里插花，无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花。学校至少准备了多少枝鲜花？ 【答案】49枝 【分析】根据题意，要保证至少有一个花瓶里有9枝鲜花，最不利的情况是6个花瓶里都插了8枝鲜花，此时再向任意一个花瓶里插入1枝花， 就可以保证无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花，据此解答。 【详解】（枝） 答：学校至少准备了49枝鲜花。 24．某小学篮球兴趣小组的同学中，最大的12岁，最小的6岁。最少从中挑选几名学生，就能保证找到2名年龄相同的？（先填一填，再解答） 在解决这个问题时，把（    ）看作抽屉，一共有（    ）个抽屉。 【答案】年龄；7；8名 【分析】年龄最小的是6岁，最大的是12岁，因此年龄的种类有6、7、8、9、10、11、12这7种， 把年龄看作抽屉即一共有7个抽屉。分析最不利的情况，即每种年龄都有1名同学。 最不利的情况是每一种年龄都有1名同学，这样就有1名6岁、1名7岁、1名8岁、1名9岁、1名10岁、1名11岁、1名12岁的同学，总共7名同学。在最不利的情况下，再增加1名同学，无论这名同学是多少岁，就一定能保证有2名同学年龄相同。据此解答。 【详解】根据分析得：在解决这个问题时，把年龄看作抽屉，一共有7个抽屉。 （名） 答：最少从中挑选8名学生，就能保证找到2名年龄相同的。 25．一副扑克牌（取出大、小王）共52张。 （1）一次至少要拿出几张牌，才能保证有2张牌是同花色的？ （2）一次至少要拿出多少张牌，才能保证4种花色的牌都有？ 【答案】（1）5张； （2）40张 【分析】（1）由于有4种花色，所以至少要拿出（张）牌，才能保证有2张牌是同花色的； （2）由于每种花色有13张牌，所以至少要拿出（张）牌，才能保证4种花色的牌都有。据此解答。 【详解】（1）（张） 答：一次至少要拿出5张牌，才能保证有2张牌是同花色的。 （2）（张） 答：一次至少要拿出40张牌，才能保证4种花色的牌都有。 26．箱子里有黑、白两种颜色的袜子各10只。 （1）至少摸出多少只，才能保证可以配2双袜子？ （2）至少摸出多少只，一定有1双白色袜子？ 【答案】（1）5只 （2）12只 【分析】从最不利的情况考虑：黑、白两种颜色的袜子，第一次摸出的是黑色的袜子、第二次摸出的是白色的袜子，第三次无论摸出的是什么颜色，都可以和前两次中的一只配成一双，假设第三次摸出一只白色袜子，那么还剩一只黑色袜子，最不利情况下，第四次摸出后可能有一只黑色袜子和三只白色袜子，第五次摸出任意颜色都能配成第二双袜子，所以至少要摸出5只，才能保证可以配2双袜子。 从最不利的情况考虑：前10次都摸出了黑色的袜子，第11次，第12次只能摸出白色袜子，所以至少摸出12只，一定有1双白色袜子。 【详解】（只） 答：至少摸出5只，才能保证可以配2双袜子。 （只） 答：至少摸出12只，一定有1双白色袜子。 【点睛】从最不利的情况进行考虑。 27．把37名志愿者最多安排到几个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者？ 【答案】9个 【分析】根据题意可知，如果每个社区都安排4名志愿者，则有，则最多安排9个社区，必有一个社区里安排了5名志愿者，据此解答即可。 【详解】 答：把37名志愿者最多安排到9个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者。 28．Emma购买了15颗蓝色、9颗绿色和21颗紫色软糖豆的一袋糖果。她从袋子里随机抓了一把软糖豆。Emma至少要拿多少颗软糖豆才能保证她至少有12颗同色的软糖豆？ 【答案】32颗 【分析】考虑最差情况9颗绿色全部取出、11颗蓝色、11颗紫色软糖豆，再任意取1颗，即可保证她至少有12颗同色的软糖豆。 【详解】9＋11＋11＋1＝32（颗） 答：Emma至少要拿32颗软糖豆才能保证她至少有12颗同色的软糖豆。 29．6个人进行射击训练，共射中121环，必定有1个人至少射中21环，为什么？ 【答案】见详解 【分析】把6个人看作6个抽屉，把121环看作121个元素，从最不利情况考虑，每人射击20环，共射击20×6＝120（环），剩下1环无论放在哪个抽屉，总有一个抽屉是20＋1＝21（环），据此解答。 【详解】121÷6＝20（环）……1（环） 20＋1＝21（环） 答：因为如果每个人都射中不超过20环，那么6个人最多只能射中120环，但题目给出的总环数是121环，超过了120环，所以必定有1人至少射中21环。 30．有5050张数字卡片，其中一张上写着1，2张上写着2，3张上写着3，…，100张上写着100。现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同，至少要抽取多少张卡片？ 【答案】865张 【分析】从最不利的情况考虑，先把数量不足10张的1－9全部取完，再把剩下的数字都分别取了9张，最后再取1张就能确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同。 【详解】（1＋2＋3＋4＋…＋9）＋（100－10＋1）×9＋1 ＝（1＋9）×9÷2＋（100－10＋1）×9＋1 ＝10×9÷2＋91×9＋1 ＝45＋819＋1 ＝865（张） 答：至少要抽取865张卡片。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $