专题02 不等式性质、二次不等式与复数（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学二轮复习讲练测

专题02 不等式性质、二次不等式与复数 目 录 · 考情分析·二轮定向 深挖命题规律，找准二轮备考落点 · 思维导图·体系构建 打破章节边界，搭建知识体系框架 · 题型精讲·知能进阶 跟踪真题动向，夯实知识思维迁移 考点一 不等式性质与二次不等式 真题动向 知识整合 知识点01不等式的性质 知识点02一元二次不等式 知识点03分式不等式和绝对值不等式 题型精讲 题型01不等式的性质及其应用 题型02 解常见不等式 题型03二次不等式恒成立、有解问题 考点二 复数 真题动向 知识整合 知识点01复数概念与代数运算 知识点02复平面与几何意义 题型精讲 题型01复数的四则运算 题型02复数的几何意义 题型03与复数有关的最值问题 知识单元 高考解读 命题预测 不等式性质、二次不等式 等式与不等式三年未作为独立一级模块设题，但以工具性思维渗透在各模块：2024年体现在函数递推不等式（8题）、导数恒成立（18题）；2025年延伸到对数比较（8题）、压轴恒成立（19题）；2026年集中在含参最值（6题）、数列范围（14题）、新定义函数不等式证明（19题）。 预计在2027年高考中，不等式性质、一元二次不等式多为工具性渗透考查，单独命题频次不高；常依托不等式比较大小、不等式性质判断命题正误，一元二次不等式求解常和集合、函数定义域、参数范围问题交汇。复数为必考基础考点，大概率以5分单选题形式出现，侧重复数四则运算、共轭复数、模与复平面内点的对应关系，偶涉简单几何意义，难度偏低。 复数 复数以小题高频出现，承担基础保分功能，考查形式为24-2单选、25-1单选、26-9多选，难度覆盖容易（0.94）、较易（0.82）。2024年在2题出现；2025年在1题出现；2026年在9题出现。三年从单一乘除求值，转向乘方、除法、模、共轭的多选综合判断，题位后移但运算量保持极小。 考点一 不等式性质与二次不等式 真·题·动·向 1．（2026·北京·高考真题）为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 【答案】B 【分析】设出高一、高二选择甲、乙基地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， 高二学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数：，选择甲基地的学生人数：，选择乙基地的学生人数：， ∵高一学生人数多于高二学生人数，选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断. 2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 3．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 知·识·整·合 知识点01 不等式的性质 （1）双向性质（等价变形，可逆） 对称性： 可加性： （2）单向性质（只能由条件推结论，不能逆推） 传递性： 同向可加性： 可乘性：； 同向同正可乘： 可乘方： 可开方： ③倒数性质（前提是同号） 易错提醒： ①不等式两边同乘含字母的代数式，必须先讨论该式的正负，不能直接移项变号。 ②单向性质反过来用就是错的：由结论推条件是常见失分点。 ③同向可加、可乘都要看方向与正负，多个条件同时使用时逐条核对。 知识点02 一元二次不等式 抓牢三个二次的联动：二次函数图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集。所有问题最终回归图像分析，减少死记解集；求解前优先把二次项系数化为。 （1）标准式与判别式 设（），记，对应方程的两根记为。 判别式 图象 的解集 的解集 （2）含参二次不等式 ①上恒成立的公式：对恒成立，等价于且；对恒成立，等价于且。 ②给定区间上恒成立：不能套用上的判别式结论，要结合端点值、对称轴位置与单调性处理。 知识点03 分式不等式和绝对值不等式 （1）解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． （2）解和型不等式的一般步骤 ①；② 易错提醒： ①解含参不等式，最容易漏掉二次项系数等于0、退化为一次不等式的分支。 ②恒成立不等于判别式小于0；限定区间时判别式失效，必须回到图像与区间端点。 题·型·精·讲 题型01 不等式的性质及其应用 1．（2026·四川眉山·三模）下列四个命题中为真命题的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】根据不等式的性质可求解A，举反例即可求解BCD. 【详解】对于A, 若,则，又，则，A正确， 对于B,取，满足，但不满足，B错误， 对于C,取，满足，但不满足，C错误， 对于D,取，满足，，但不满足，D错误. 2．（2025·河北承德·一模）下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】选项A：由可得，结合， 根据同向不等式的可加性，得，故A为真命题. 选项B：当时，，此时，不满足，故B为假命题. 选项C：由得，又，因此，即，得，故C为假命题. 选项D：举反例，取，，，，满足，但，故D为假命题. 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，实数的性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【详解】因为且，所以，，． 对于A，因为，，所以，即一定成立． 对于B，因为，所以，所以一定成立． 对于C，当时，不成立，故不一定成立． 对于D，因为，，，所以，一定成立． 4．（2025·吉林长春·三模）一轮复习小题必刷）已知满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为且，所以，，． 对于A，因为，，所以，即一定成立． 对于B，因为，所以，所以一定成立． 对于C，当时，不成立，故不一定成立． 对于D，因为，，，所以，一定成立． 5．（2026·福建宁德·一模）（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，， 所以， 所以，故A正确. 对于B，， 所以，，故B错误. 对于C，， 所以，故C正确. 对于D，由，得， 所以， 所以，故D正确. 6．（2025·山东枣庄·二模）已知，，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】由可得：， 由可得：， 根据不等式的同向可加性可得：. 故的取值范围为. 题型02 解常见不等式 7．（2025·福建龙岩·一模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 故. 8．（2025·山东聊城·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把右边移项,通分化为一元二次不等式,再结合分母不为零写出解集. 【详解】原不等式等价于,即. 整理得,等价于且. 解得. 9．（2026·黑龙江鸡西·一模）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出不等式，利用充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得． 由，得，解得； 因为，推不出， 所以“”是“”成立的充分不必要条件． 10．（2025·江苏苏州·一模）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，原不等式可化为，解得， 即，解得，解集为. 11．（2025·陕西宝鸡·三模）已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于的不等式的解集为 则且关于的方程的根为，， 则，解之得， 故等价于， 等价于，等价于， 解得， 故的解集为. 12．（2026·湖北鄂州·一模）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由关于的不等式的解集为， 得，且是方程的两个根， 则，即， 不等式为，即， 解得，所以所求的解集为. 13．（2025·山东淄博·模拟预测）（多选）如图，二次函数（，，为常数）的图象经过点，，则（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】由二次函数的两个零点求出对称轴，写出交点式，用表示和；逐个代入选项判断符号、求解不等式. 【详解】A选项：因为二次函数（，，为常数）的图象经过点，，所以关于的一元二次方程的两根为和，由根与系数的关系得，，即，由图可知，二次函数的图象开口向上，所以，则，，故选项A正确； B选项：由图可知，当时，，即，故选项B错误； C选项：由得，，因为，所以，解得，所以不等式的解集为，故选项C正确； D选项：由得，，因为，所以，即，解得，则不等式的解集为，故选项D错误. 题型03 二次不等式恒成立、有解问题 14．（2025·陕西安康·三模）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解集为，分两种情况讨论， ①当时，即或， 若，不等式化为，对任意恒成立，符合题意， 若，不等式化为，解集为，不是全体实数，舍去， ②当时，不等式为一元二次不等式，要使其解集为， 需满足 ， ，解得， 结合①②，取并集得，即实数的取值范围是. 15．（2025·黑龙江鹤岗·二模）若关于 的不等式 的解集不为，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按 、、 讨论；“解集不为空集”意味着存在使不等式成立． 【详解】①当时， 不成立，解集为，不合题意； ②当时，抛物线开口向上，要使 有解， 需 ，； ③当时，抛物线开口向下，充分大时函数值为负，解集必不为空集，符合． 综上所述，或． 16．（2025·广西崇左·二模）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】先将原命题条件转化为全称命题的恒成立问题，再通过分类讨论结合一次函数和二次函数的图象性质，即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意，原命题“，使得”是假命题， 则其否命题“，使得恒成立”是真命题， 当时，不等式为，对任意恒成立，符合题意， 当时，要使不等式对任意恒成立， 则需满足，解不等式组可得， 综上所述，实数的取值范围为. 17．（2025·江西宜春·一模）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】先讨论不等式的二次项系数是否为0，若不为0，利用一元二次不等式恒成立即可求解. 【详解】时，即，满足条件； 时，需满足，解得； 综上所述：的取值范围是. 18．（2025·陕西榆林·二模）已知命题“，”是假命题，则实数的最小值为_____． 【答案】 【分析】存在命题是假命题，则其否定全称命题是真命题，然后结合二次函数性质求解． 【详解】命题“，”是假命题， 则命题“，”是真命题， 由二次函数性质得，解得，所以的最小值是． 19．（2025·湖北荆门·模拟预测）若，不等式恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】分离参数后，结合函数单调性得参数范围． 【详解】，因此由得， 由对勾函数性质知函数在上递减，在上递增， 时，，时，，因此时，的最大值是， 所以，即的范围是． 故答案为： 20．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知，命题：不等式成立；命题：，使得成立.若和一真一假，则实数的取值范围为________________________ 【答案】 【分析】解一元二次不等式，正确理解命题的含义，将其转化为关于的不等式，并根据“一真一假”的条件进行分类讨论求解. 【详解】，解得， 若为真命题，为假命题时：，解得； 若为假命题，为真命题时：且，使得成立， 则. 综上：. 考点二 复数 真·题·动·向 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 3．（2026·北京·高考真题）已知复数，，则（     ） A． B．2 C． D．8 【答案】C 【详解】由题意， 则. 知·识·整·合 知识点01 复数概念与代数运算 （1）分类：为实数；为虚数；为纯虚数且。 （2）复数相等：且（），常用于求参数。 （3）共轭复数：；性质。 （4）复数的模：；常用性质，，。优先用这些性质简化计算，不必全部展开。 ⑤四则运算：； ； 。 知识点02 复平面与几何意义 （1）对应关系：复数对应复平面内的点，也对应向量；实轴上的点代表实数，虚轴上除原点外的点代表纯虚数。 （2）模的几何意义：是点到原点的距离；是点与点之间的距离，可转化为圆、线段等轨迹问题，是新高考潜在的综考法。 易错提醒 ①虚部是实数，不含；复数一般不比较大小，只有两个复数都是实数时才可以比大小。 ②纯虚数必须同时满足与，只写实部为0是常见错误。 题·型·精·讲 题型01 复数的四则运算 1．（2026·安徽淮南·一模）已知为虚数单位，复数，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数的除法可得，进而可得的共轭复数. 【详解】根据复数的除法，复数， 所以，因此的共轭复数是. 2．（2026·江西萍乡·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 即．故，解得，， 所以． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）已知复数满足，则 的虚部为（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】先化简，求出复数，得到其共轭复数即得虚部. 【详解】由可得， 则，故，其虚部为. 4．（2026·黑龙江黑河·模拟预测）是虚数单位，则复数________________________． 【答案】 【详解】. 5．（2025·广东肇庆·一模）已知复数，则__________． 【答案】5 【详解】由复数，可得，所以． 6．（2025·山西长治·一模）若复数为实数，则________． 【答案】 【详解】， 由题意可知，即. 7．（2026·辽宁阜新·模拟预测）（多选）设i为虚数单位，，为复数，则（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】根据虚数的概念及性质、复数的概念、复数的四则运算、复数模的计算公式进行相关分析. 【详解】，则，则A选项正确； 不全为实数的复数无法比较大小，则B选项错误； 若，，满足，但，则C选项错误； 设，， ， ， ，， ， ，所以，则D选项正确. 题型02 复数的几何意义 8．（2025·湖北十堰·三模）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以， 复数在复平面内所对应的点为， 所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限. 9．（2025·贵州铜仁·模拟预测）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由得， 故在复平面内对应的点为，位于第三象限． 10．（2025·四川泸州·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由的周期性，得，， 所以，所以， 所以在复平面内对应的点为， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 11．（2025·浙江湖州·二模）（多选）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C．为纯虚数 D． 【答案】AC 【详解】由复数z在复平面内对应的点为，可得，故A正确； ，故B错误； 由可知，，故C正确； ，，而，故D错误； 12．（2026·广东广州·模拟预测）（多选）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C． D． 【答案】AC 【详解】由题意知，，其共轭复数为，故A正确，B错误； ，故C正确； ，故D错误． 13．（2025·广东潮州·一模）（多选）设为虚数，为复平面的原点，且，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据复数的乘法及复数的相关概念，结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】设虚数， 则， 所以， ，故A错误，B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确. 题型03 与复数有关的最值问题 14．（2025·广东汕头·一模）已知复数满足，则在复平面内的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据复数的几何意义即可得解. 【详解】设，由， 得在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则表示点到原点的距离， 又圆心到原点的距离为， 所以圆上的点到原点的距离的最小值为. 15．（2025·四川遂宁·一模）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，则复平面内复数所对应的点到定点的距离为2， 则点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 而表示点到原点的距离，则的最小值为. 16．（2025·海南海口·三模）已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【答案】1 【详解】已知复数满足，表示复平面上以原点为圆心，半径的圆， 复数表示复平面上点， 表示圆上动点到点的距离， 定点到圆心的距离为， 则圆上点到圆外定点的距离， 故． 17．（2026·江西抚州·二模）已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 【答案】/ 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求最大值． 【详解】， 设，则，整理得， 所以复数对应的点在复平面上是以为圆心，半径的圆及内部， 的最大值为， 所以的最大值为． 18．（2025·云南临沧·二模）已知复数满足，，则的最小值是________． 【答案】 【详解】设，其中，则其共轭复数，，， 两式相等，可得，即，因此或. 由复数模的定义，，两边平方得， 表示复平面上以原点为圆心，半径为的圆及其内部， ，表示复平面上点到定点的距离，， 当时，点在虚轴上，满足的点到的最小距离为， 当时，点在实轴上，满足的点到的最小距离为， 比较，因此的最小值为. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式性质、二次不等式与复数 目 录 · 考情分析·二轮定向 深挖命题规律，找准二轮备考落点 · 思维导图·体系构建 打破章节边界，搭建知识体系框架 · 题型精讲·知能进阶 跟踪真题动向，夯实知识思维迁移 考点一 不等式性质与二次不等式 真题动向 知识整合 知识点01不等式的性质 知识点02一元二次不等式 知识点03分式不等式和绝对值不等式 题型精讲 题型01不等式的性质及其应用 题型02 解常见不等式 题型03二次不等式恒成立、有解问题 考点二 复数 真题动向 知识整合 知识点01复数概念与代数运算 知识点02复平面与几何意义 题型精讲 题型01复数的四则运算 题型02复数的几何意义 题型03与复数有关的最值问题 知识单元 高考解读 命题预测 不等式性质、二次不等式 等式与不等式三年未作为独立一级模块设题，但以工具性思维渗透在各模块：2024年体现在函数递推不等式（8题）、导数恒成立（18题）；2025年延伸到对数比较（8题）、压轴恒成立（19题）；2026年集中在含参最值（6题）、数列范围（14题）、新定义函数不等式证明（19题）。 预计在2027年高考中，不等式性质、一元二次不等式多为工具性渗透考查，单独命题频次不高；常依托不等式比较大小、不等式性质判断命题正误，一元二次不等式求解常和集合、函数定义域、参数范围问题交汇。复数为必考基础考点，大概率以5分单选题形式出现，侧重复数四则运算、共轭复数、模与复平面内点的对应关系，偶涉简单几何意义，难度偏低。 复数 复数以小题高频出现，承担基础保分功能，考查形式为24-2单选、25-1单选、26-9多选，难度覆盖容易（0.94）、较易（0.82）。2024年在2题出现；2025年在1题出现；2026年在9题出现。三年从单一乘除求值，转向乘方、除法、模、共轭的多选综合判断，题位后移但运算量保持极小。 考点一 不等式性质与二次不等式 真·题·动·向 1．（2026·北京·高考真题）为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 知·识·整·合 知识点01 不等式的性质 （1）双向性质（等价变形，可逆） 对称性： 可加性： （2）单向性质（只能由条件推结论，不能逆推） 传递性： 同向可加性： 可乘性：； 同向同正可乘： 可乘方： 可开方： ③倒数性质（前提是同号） 易错提醒： ①不等式两边同乘含字母的代数式，必须先讨论该式的正负，不能直接移项变号。 ②单向性质反过来用就是错的：由结论推条件是常见失分点。 ③同向可加、可乘都要看方向与正负，多个条件同时使用时逐条核对。 知识点02 一元二次不等式 抓牢三个二次的联动：二次函数图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集。所有问题最终回归图像分析，减少死记解集；求解前优先把二次项系数化为。 （1）标准式与判别式 设（），记，对应方程的两根记为。 判别式 图象 的解集 的解集 （2）含参二次不等式 ①上恒成立的公式：对恒成立，等价于且；对恒成立，等价于且。 ②给定区间上恒成立：不能套用上的判别式结论，要结合端点值、对称轴位置与单调性处理。 知识点03 分式不等式和绝对值不等式 （1）解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． （2）解和型不等式的一般步骤 ①；② 易错提醒： ①解含参不等式，最容易漏掉二次项系数等于0、退化为一次不等式的分支。 ②恒成立不等于判别式小于0；限定区间时判别式失效，必须回到图像与区间端点。 题·型·精·讲 题型01 不等式的性质及其应用 1．（2026·四川眉山·三模）下列四个命题中为真命题的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 2．（2025·河北承德·一模）下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林长春·三模）一轮复习小题必刷）已知满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·福建宁德·一模）（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东枣庄·二模）已知，，则的取值范围为______． 题型02 解常见不等式 7．（2025·福建龙岩·一模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 8．（2025·山东聊城·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·黑龙江鸡西·一模）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·江苏苏州·一模）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 11．（2025·陕西宝鸡·三模）已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·湖北鄂州·一模）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（     ） A． B． C． D． 13．（2025·山东淄博·模拟预测）（多选）如图，二次函数（，，为常数）的图象经过点，，则（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 题型03 二次不等式恒成立、有解问题 14．（2025·陕西安康·三模）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·黑龙江鹤岗·二模）若关于 的不等式 的解集不为，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16．（2025·广西崇左·二模）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为____________. 17．（2025·江西宜春·一模）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________. 18．（2025·陕西榆林·二模）已知命题“，”是假命题，则实数的最小值为_____． 19．（2025·湖北荆门·模拟预测）若，不等式恒成立，则的取值范围为________． 20．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知，命题：不等式成立；命题：，使得成立.若和一真一假，则实数的取值范围为________________________ 考点二 复数 真·题·动·向 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 2．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 3．（2026·北京·高考真题）已知复数，，则（     ） A． B．2 C． D．8 知·识·整·合 知识点01 复数概念与代数运算 （1）分类：为实数；为虚数；为纯虚数且。 （2）复数相等：且（），常用于求参数。 （3）共轭复数：；性质。 （4）复数的模：；常用性质，，。优先用这些性质简化计算，不必全部展开。 ⑤四则运算：； ； 。 知识点02 复平面与几何意义 （1）对应关系：复数对应复平面内的点，也对应向量；实轴上的点代表实数，虚轴上除原点外的点代表纯虚数。 （2）模的几何意义：是点到原点的距离；是点与点之间的距离，可转化为圆、线段等轨迹问题，是新高考潜在的综考法。 易错提醒 ①虚部是实数，不含；复数一般不比较大小，只有两个复数都是实数时才可以比大小。 ②纯虚数必须同时满足与，只写实部为0是常见错误。 题·型·精·讲 题型01 复数的四则运算 1．（2026·安徽淮南·一模）已知为虚数单位，复数，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·江西萍乡·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）已知复数满足，则 的虚部为（   ） A． B．2 C． D．5 4．（2026·黑龙江黑河·模拟预测）是虚数单位，则复数________________________． 5．（2025·广东肇庆·一模）已知复数，则__________． 6．（2025·山西长治·一模）若复数为实数，则________． 7．（2026·辽宁阜新·模拟预测）（多选）设i为虚数单位，，为复数，则（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 题型02 复数的几何意义 8．（2025·湖北十堰·三模）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2025·贵州铜仁·模拟预测）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2025·四川泸州·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2025·浙江湖州·二模）（多选）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C．为纯虚数 D． 12．（2026·广东广州·模拟预测）（多选）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C． D． 13．（2025·广东潮州·一模）（多选）设为虚数，为复平面的原点，且，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 与复数有关的最值问题 14．（2025·广东汕头·一模）已知复数满足，则在复平面内的最小值为（     ） A． B． C． D． 15．（2025·四川遂宁·一模）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 16．（2025·海南海口·三模）已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 17．（2026·江西抚州·二模）已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 18．（2025·云南临沧·二模）已知复数满足，，则的最小值是________． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $