专题1-1 不等式（含基本不等式）的应用（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学二轮复习高效培优系列

专题1-1 不等式（含基本不等式）的应用 目录 第一部分 高考变化精研 第二部分 核心方法技巧 第三部分 高频题型突破 题型01 不等式、基本不等式的性质 题型02 配凑法求最值 题型03 “1”的代换 题型04 消元、换元法求最值 题型05 齐次化求最值 题型06 多元最值与“1”的代换综合 题型07 利用基本不等式证明不等式 题型08 基本不等式的含参恒成立与能成立问题 题型09 基本不等式的实际应用 题型10 基本不等式与函数、三角函数、解析几何综合性问题 题型11 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型12 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 题型13 一元二次不等式在某区间上能成立问题 题型14 一元二次方程的实根分布 第四部分 综合实战演练 考向聚焦 不等式板块的考查重心已从“解不等式”转向“用不等式”：基本不等式很少单独成题，多藏进最值、范围与恒成立的壳里，题位集中在中后段的选择、填空与多选题，赋分不高但区分度强。真正拉开层次的是两类：一是结构经过伪装的最值问题——条件以 a+b、ab、a²+b² 或几何量的形式给出，所求式含分式、根式或多个变量，须借常数代换、配凑系数、拆项、齐次化、换元或消元，才能化成“一正二定三相等”的标准形，命题人常在此埋“取等点落在约束之外”“两次取等不相容”的陷阱；二是不等式作为隐性工具出现在解三角形、数列、直线与圆锥曲线、立体几何及导数压轴中，承担最后一问的最大（小）值或参数范围估计，考的是把几何关系、递推关系、函数关系翻译成代数约束的眼光。恒成立与能成立问题则多以含参二次式或可分离参数的分式、指数对数结构呈现，靠分离参数后求最值、或直接对图象作位置分析收口。 关键能力 其一，结构识别与代数改造能力：读到条件与所求，能迅速判断次数是否齐次、分母能否配成定值、变量能否分离，据此选用代换、配凑、换元或消元，把陌生式改成可用不等式的形状；其二，取等与边界的检验能力：凡由不等式得出的结论都要追问等号成立条件是什么、该条件在约束内能否实现、两次使用时是否相容，同时守住定义域与端点开闭；其三，工具选择与函数化能力：能辨别一个问题该交给基本不等式、二次函数、单调性还是导数，并把多变量问题降为主元明确的一元函数；其四，转化与逻辑辨析能力：分清恒成立与存在、充分与必要、“任意”与“存在”的量词差异，会用分离参数、主元法、判别式法在不等式与函数、方程之间往返；其五，跨模块迁移能力：在几何与函数背景中主动找到“最值收尾”的位置并调用不等式，而不是把它锁在本章。 备考策略 复习不宜按题型铺开，宜按“结构—动作—工具”立纲：整理一张对照表，让学生按式子的形检索方法——定值条件配倒数和用常数代换，分式且分母为多项式用齐次化换元，含根式用平方或配方，几何背景先建模写约束再消元；训练以变式链推进，条件由 a+b=1 依次改为 ab=1、a²+b²=1、隐含条件，所求由两项扩到三项、由整式扩到根式，同一结构反复换壳；把“取等”与“定义域”做成硬性书写流程，每题必写取等条件并回验可行性，单设一节处理 t+2/t 型在受限区间上的最值，破解“把下界当最小值”的惯性错误；有意识地把不等式下沉到解三角形、数列、圆锥曲线、导数各专题，每处配两三道“最后一问用最值收口”的题训练工具选择；针对多选题强化特殊值、极端情形举反例的证伪意识，压缩单题用时；解答题则规范“由基本不等式得……，当且仅当……时取等号”的表述，避免因缺条件丢分。 方法技巧 01 基本不等式的解题方法与技巧 使用前提：牢记“一正、二定、三相等”。 一正，即不等式中的各项变量都取正值； 二定，即通过变形使和或积成为定值； 三相等，即等号成立的条件确实能够取到，用完后必须检验。 1、公式直用法 题目结构若与基本不等式或其变形形式一致，可直接套用公式求解。 2、配凑构造法 借助添减常数、拆项、乘1（常数代换）等手段凑出所需的和或积；也可通过分离、裂项、凑系数等方式，把式子整理成能用基本不等式的形状。 3、换元法 设置新变量以简化原式，例如把某个根式或整体式子设为新变量，或引入与题设条件相关的新量。 4、整体代换法 把式中某一部分视作一个整体变量来处理；当式子具有对称性时，也可先假定相关变量相等来求最值（此法在最值问题中往往奏效），最后再验证。 5、多次使用基本不等式法 面对结构较复杂的式子，可分阶段、多次运用基本不等式，但每次使用后都要核对各次等号成立的条件能否同时满足。 6、约束条件消元法 题目给出约束关系时，可利用条件消去其中一个变量：例如已知两变量的和为定值（或积为定值），便可把二元问题转化为一元问题，再借助基本不等式求解。 方法技巧 02 恒成立与能成立问题常用解题技巧 利用函数的最值进行分析求解目标函数的最值 恒成立问题：①，即求；②即求. 能成立问题：①，即求；②即求. 注意： “1”的代换：若，则，展开后可用基本不等式. 平方处理：有时对式子平方后再用不等式更易操作（注意保持等价）. 避免盲目放缩：放缩后若等号无法成立，则结果无效. 图形或函数辅助：结合函数单调性、图像判断最值位置，验证不等式合理性. 易·错·避·坑 使用基本不等式时，最容易出问题的地方集中在前提条件和取等验证上。首先要盯住“一正”：公式 要求 、 都是正数，题目中变量若可能取负值，就不能直接套用，必须先判断符号或分类讨论。其次要盯住“二定”：求和的最小值需要积为定值，求积的最大值需要和为定值，若定值没有现成出现，应先通过配凑、拆项、常数代换等变形把它造出来，不能想当然地直接套公式。更常见的失分点是“三相等”：等号成立条件必须确实能取到，比如 时等号成立，但受约束条件限制可能根本取不到，这时基本不等式给出的只是一个下界而不是最小值，必须改用单调性等方法求真正的最值。分段多次使用基本不等式时，还要注意各次等号成立的条件能否同时满足，若不能同时成立，最终结果同样取不到，这是典型错误。此外，常数代换要写准，如“1的代换”中 的前提是 ，代换后各项要配对使用，不能漏乘错配；换元后新变量的取值范围要同步写出，否则可能在错误区间上求最值；还要分清“”与“最小值”，不等式恒成立只说明是下界，是否取到必须单独验证，答题时务必写明取等条件。 题型 01 不等式、基本不等式的性质 典例精析 （26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于ABC由基本不等式逐项验证，对于D，利用代入消元，借助二次函数求解. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号，正确； 对于B：因为，所以当且仅当时取等号 所以，当且仅当时取等号，正确； 对于C:，当且仅当时取等号，错误； 对于D:因为，所以 又，所以成立，正确 故选：ABD 方·法·技·巧 处理本类题，先理清不等式的基本性质：同向可加、同向同正可乘、可乘方、可开方，以及取倒数时方向的变化。判断命题真假时，优先用特殊值法排除，再对保留项作严格证明。涉及基本不等式时，务必逐条核对“一正、二定、三相等”，尤其注意 成立的前提是 、，且等号当且仅当 时取到。若题目给出 而非 、，则 与 的大小关系不能直接套用，需分类讨论符号。比较两个代数式大小时，常用作差法或作商法，作商时要注意分母的符号。 变式巩固 变式1（2027·江西·模拟预测）已知正实数满足，则（ ） A． B． C． D． 变式2（26-27高三·全国·二轮复习）设，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式3（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知，，则下列不等关系中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 题型 02配凑法求最值 典例精析 （2026·天津卷·高考真题） 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把括号展开整理成 的形式，再对前两项用基本不等式。 【详解】由 知 ，展开得 。 因为 ，当且仅当 （即 ）时取等号， 所以原式的最小值为 。故选 B。 方·法·技·巧 配凑法的核心是把式子整理成“和定”或“积定”的形状。常见手段有：添项减项、拆项、乘1、提取系数、分离常数、裂项。操作时先观察目标式与基本不等式标准形式的差距，缺什么补什么，多什么就去掉，但每次变形都要保持式子恒等。配凑后还要检查变量为正、定值出现、等号能否取到这三个环节。若一次配凑后等号条件与题设冲突，可调整拆分方式或改用换元。特别注意形如 的结构，当 时最小值为 ，当 时需先提负号再处理，不能直接套用。 变式巩固 变式1（2026·上海卷·高考真题）若 ，，且 ，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 变式2（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式3（26-27高三上·山东·阶段检测）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式4（26-27高三上·山东·阶段检测）已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 变式5（26-27高三上·山东·阶段检测）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型 03 “1”的代换 典例精析 （2026·山东·济南·二模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 乘以 ，展开后配凑。 【详解】因为 ，所以 ， 当且仅当 即 ，结合 得 ， 时取等号。故选 C。 方·法·技·巧 “1”的代换适用于已知形如 （或可化为1）的条件，求含 、 的式子最值。做法是把目标式乘以1，再把1用条件整体替换，展开后配成能用基本不等式的形式。关键有三点：一是代换要整体进行，展开时各项要配对相乘，不能漏项错配；二是展开后要验证各项为正，否则需调整；三是最后必须回代检验等号成立时 、 的取值是否满足原条件。若条件是 ，可先两边除以 化为1再代换；若目标式系数不对称，可先提取系数再代换，避免机械套用。 变式巩固 变式1（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式2（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式3（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型 04 消元、换元法求最值 典例精析 1.（2026·河南·郑州·一模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由约束式得 ，把 用 表示，结合 消元。 【详解】设 ，则 。又 ， 所以 ，即 ，，解得 。 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 。故选 C。 2.（2026·山西·太原·二模）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元令 ，把函数化为 ，再结合 的范围用单调性求最小值。 【详解】令 ，则 ，且 ，所以 。 函数 在 上单调递增，故当 （即 ）时取最小值 。故选 B。 方·法·技·巧 当约束条件能解出一个变量时，可用消元法把二元问题化为一元，再对一元式子求最值，注意消元后新变量的取值范围要由原条件同步确定，不能扩大或缩小。换元法则是引入新变量简化结构，如令 、 等，换元后必须写出 的范围，否则可能在错误区间上求最值。两种方法常配合使用：先换元简化，再消元求解。使用基本不等式前仍要核对“一正、二定、三相等”，若等号取不到，应转而利用函数单调性求最值。 变式巩固 变式1（2027·湖南衡阳·一模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式2已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式3（2027高三·全国·专题练习）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型 05 齐次化求最值 典例精析 （2026·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可． 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 方·法·技·巧 齐次化的思路是把分子分母化为同次，或把式子整理成只含比值的形式，从而减少变量个数。常见做法是分子分母同除以某个变量或变量的幂，使式子变为关于比值 的一元函数，再结合基本不等式或单调性求最值。操作时要注意所除式子不为零且符号确定，若变量可能为负，需先讨论或加绝对值处理。齐次化后若出现 结构，可直接用基本不等式，但必须验证 及等号条件能否取到。若题目带有约束条件，可先把条件齐次化再联立，避免直接代入造成次数混乱。 变式巩固 变式1（2026·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2（2026·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3（2026·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 题型 06 多元最值与“1”的代换综合 典例精析 （2026·上海卷·高考真题）已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 建立关于 的不等式。 【详解】因为 ，即 ， 又 ，所以 ，即 。 当 ，即 ， 时取等号。故选 A。 方·法·技·巧 多元最值题往往条件与目标次数不一致，处理时先把条件化为1的形式（如两边同除以常数），再对目标式作“1”的代换，展开后分组配凑，使各组能分别使用基本不等式。分组时要注意各组等号成立条件能否同时满足，若不能，需调整分组或改用其他方法。变量多于两个时，可先固定其中一部分，逐步降元，最后化为一元问题。整个过程中要始终关注各变量的正负与范围，代换后及时检验，最后写明取等条件，确保结果确实能取到。 变式巩固 变式1（2026·湖北·武汉·二模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式2（2027高三·全国·专题练习）已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 变式3（2027高三·全国·专题练习）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型 07 利用基本不等式证明不等式 典例精析 （2025·北京卷·高考真题）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一分析四个选项：A 中 时取等号；B、D 用特值排除；C 由基本不等式证明。 【详解】对于 A，当 时，，故 A 错误； 对于 B，取 ，，则 ，而 ，故 B 错误； 对于 D，取 ，，则 ，而 ，故 D 错误； 对于 C，因为 ，，所以 ，故 C 正确。故选 C。 方·法·技·巧 证明题的关键是找到合适的放缩方向，把待证式子往基本不等式的标准形式上靠。常用手段有：添项减项、拆项、乘1、常数代换、分组配对。证明时每一步放缩都要有依据，且方向一致，不能中途反向。若需多次使用基本不等式，必须说明各次等号成立的条件能够同时满足，否则只能得到严格不等式或需另作处理。对于含多个变量的对称式，可先证二元情形再推广，或利用对称性假设变量相等探路，但假设不能直接作为证明依据，最终仍要给出严格推理。证明结束要写清等号成立的条件。 变式巩固 变式1（26-27高三上·山东·阶段检测）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 变式2（26-27高三上·山东·阶段检测）已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 变式3（26-27高三上·河南开封·阶段检测）已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 题型 08 基本不等式的含参恒成立与能成立问题 典例精析 （2026·山东·济南·二模）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】恒成立转化为 ，再用基本不等式求最小值。 【详解】由 得 ，当 时取等号，故 的最小值为 。 要使 对任意 恒成立，只需 ，故 的最大值为 。故选 B。 方·法·技·巧 恒成立问题通常转化为最值问题：若 恒成立，则 ；若 恒成立，则 。能成立（存在性）问题则相反： 能成立等价于 。处理时先用基本不等式或单调性求出最值，再解关于参数的不等式。要注意最值能否取到，若等号条件取不到，应改用函数单调性求真正的最值。含参时还要讨论参数对变量范围的影响，避免漏解。最后把参数范围与题设条件对照检验，确保逻辑方向没有弄反。 变式巩固 变式1[原创题]若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式2（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知 ，，，若 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式3（26-27高三上·浙江·阶段检测）设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（ ） A． B．2 C．1 D． 题型 09 基本不等式的实际应用 典例精析 （2026·河北·石家庄·二模）用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设长、宽为变量，由周长得和为定值，用"和定积最大"求面积最大。 【详解】设矩形的长为 ，宽为 ，则 ，即 。 面积 ， 当且仅当 时取等号，故面积的最大值为 。故选 B。 方·法·技·巧 实际应用题先读懂题意，把文字条件翻译为变量关系，明确要求的是最大值还是最小值，再建立函数或代数式模型。建模时注意各变量的实际意义与取值范围，如长度、人数必须为正。求解阶段用基本不等式或函数方法求最值，得到结果后要回到实际情境中检验是否合理，并写清取等条件对应的实际方案。若模型中含有多个变量，可借助约束条件消元降为一元。最后作答要带单位，结论要完整，不能只写数值而漏掉“当且仅当……时取得”的说明。 变式巩固 变式1（2026·江西·南昌·二模）某公司一年内购买某种货物共 吨，每次购买 吨，运费为 万元/次，一年的总存储费用为 万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买（　　） A． 吨 B． 吨 C． 吨 D． 吨 变式2（26-27高三·全国·二轮复习）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 变式3（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）某单位用 万元购得一块空地，计划建造一栋至少 层、每层 平方米的楼房。经测算，若将楼房建为 层（），则每平方米的平均建筑费用为 元。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建（　　）层 A． B． C． D． 题型 10 基本不等式与函数、三角函数、解析几何综合性问题 典例精析 已知 ， 是函数 图象上不同的两点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在图象上得 ，，用基本不等式比较 与 ，再由对数单调性判断。 【详解】因为 ， 在 上，所以 ，。 由基本不等式 ，因两点不同，，故取严格不等号： 。 又 在 上单调递增，所以 。故选 A。 方·法·技·巧 综合题的关键是先识别出可用基本不等式的结构，再结合各模块自身的方法。与函数结合时，常先求定义域、判断单调性，再用基本不等式求最值；与三角函数结合时，注意角的范围与正负，可用 型放缩，也可借助辅助角公式化为一元；与解析几何结合时，常出现在距离、面积、斜率等表达式中，先设点设线写出表达式，再配凑成能用基本不等式的形式。全过程要核对“一正、二定、三相等”，若等号取不到，改用函数单调性或导数求最值，最后写明取等条件。 变式巩固 变式1（2026·福建·厦门·二模）已知直线 过点 ，与 轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点， 为坐标原点，则 面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式2（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）在 中，，， 分别是角 ，， 的对边，若 ，则角 的最大值为（　　） A． B． C． D． 变式3（26-27高三上·重庆·阶段检测）函数 （）的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型 11 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 典例精析 （26-27高三上·天津武清·阶段检测）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时，则不等式成立， 当时，因为不等式对于恒成立，所以， ，即，， ，解得或（舍去），综上所述. 方·法·技·巧 设 。若 对一切实数 恒成立，则需 且判别式 ；若 恒成立，则需 且 ；若 恒成立，则需 且 。特别要注意 的情形不能遗漏：此时退化为一次式或常数，需单独检验是否恒成立。含参问题中，先按二次项系数是否为零分类，再在二次情形下用判别式列不等式组，最后取并集。解出的参数范围要回代验证边界情形，防止把“能取等”与“不能取等”弄混。 变式巩固 变式1（26-27高三上·河北邯郸·阶段检测）已知对任意实数，恒有，则实数的最小值是（　　） A． B． C． D． 变式2（26-27高三上·安徽宿州·阶段检测）若命题“对任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 变式3（26-27高三上·广东清远·阶段检测）已知函数． (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 变式4（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是 ______． 题型 12 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 典例精析 （26-27高三上·福建泉州·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，可得，符合题意； 当时，二次函数的对称轴为. 若，则抛物线开口向上，则，解得； 若，抛物线开口向下，则，解得； 综上所述：的取值范围是. 方·法·技·巧 区间上恒成立不能简单套判别式，通常有三条路径：一是分离参数，化为 或 在区间上恒成立，再求 在区间上的最值；二是利用二次函数的图象与单调性，考察对称轴与区间的相对位置，分情况求区间上的最值；三是端点代入加判别式辅助检验。分离参数时要注意所除式子在区间上的符号，必要时分类讨论。求区间最值时，对称轴在区间内、区间左侧、区间右侧三种情形要分别处理。最后把结果回代检验端点，确保边界不遗漏。 变式巩固 变式1（26-27高三上·广东江门·阶段检测）已知命题：当时，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2（26-27高三上·陕西宝鸡·阶段检测）当时，若恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式3（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 变式4（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）若命题P：“存在，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 13 一元二次不等式在某区间上能成立问题 典例精析 （26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知，则是不等式有解的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】A 【分析】由二次函数有解得到判别式大于0即可求得的值，再结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若不等式有解，则判别式，解得或， 充分性验证:若，则或必然成立，故充分性成立， 必要性验证:若或,取，则不成立，故必要性不成立， 综上，是不等式有解的充分不必要条件. 方·法·技·巧 能成立（存在性）问题与恒成立方向相反： 在区间上能成立，等价于 ； 能成立，等价于 。处理时同样可分离参数，化为 或 的形式，再求区间最值。若用图象法，需结合开口方向与对称轴位置判断区间内是否存在满足条件的点。注意“能成立”只要求存在一个 ，因此端点是否取到、最值能否达到都要仔细核对，避免把“存在”误当成“恒成立”处理。 变式巩固 变式1（25-26高三上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2（25-26高三上·江苏南京·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3（25-26高三上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型14 一元二次方程的实根分布 典例精析 （2027·江西·模拟预测）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（ ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【分析】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【详解】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 方·法·技·巧 根的范围问题通常指方程 的根落在某区间内，或根的分布满足某条件。处理时从三个方面入手：开口方向、判别式、对称轴位置，再结合区间端点处函数值的符号列出不等式组。若根分布在两个不同区间，需分别讨论端点函数值符号与判别式。含参时先按二次项系数是否为零分类，再画草图辅助判断，最后把各条件联立求解并检验边界。要注意“有根”“两根都在区间内”“仅一根在区间内”等表述的差别，列式时不能混用，边界情形要单独验证。 变式巩固 变式1（2027·湖南衡阳·一模）已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式2（2027·湖北黄冈·一模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式3（2027·浙江温州·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是__________________. 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知，，均为正数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高三·山东·学业考试模拟）对于实数，有下列说法，其中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2027高三·全国·专题练习）若，，，则下列不等式： ①；②；③；④．恒成立的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 6．（26-27高三·全国·二轮复习）已知，为非负实数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（2027·辽宁鞍山·一模）已知正实数和满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 8．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）若正实数，满足，则（   ） A． B．有序数对有4个 C．的最大值为 D．的最小值为24 9．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）若，则的最大值为______. 10．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为x米，平行于墙的一条边长为y米，且． (1)已知所用的篱笆长为60米． ①当菜地面积为400平方米时，求x的值． ②设菜地面积为S平方米，当y为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． (2)若要围成面积为128平方米的菜地，需要用的篱笆长最少是多少米？ 11．（26-27高三上·山东·阶段检测）设：实数满足，其中；：实数满足． (1)写出一个的取值范围，使之为的一个充分不必要条件； (2)是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 12．（2025高三上·安徽·竞赛）已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 13．（26-27高三·全国·二轮复习）已知正实数满足，证明：. 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1-1 不等式（含基本不等式）的应用 目录 第一部分 高考变化精研 第二部分 核心方法技巧 第三部分 高频题型突破 题型01 不等式、基本不等式的性质 题型02 配凑法求最值 题型03 “1”的代换 题型04 消元、换元法求最值 题型05 齐次化求最值 题型06 多元最值与“1”的代换综合 题型07 利用基本不等式证明不等式 题型08 基本不等式的含参恒成立与能成立问题 题型09 基本不等式的实际应用 题型10 基本不等式与函数、三角函数、解析几何综合性问题 题型11 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型12 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 题型13 一元二次不等式在某区间上能成立问题 题型14 一元二次方程的实根分布 第四部分 综合实战演练 考向聚焦 不等式板块的考查重心已从“解不等式”转向“用不等式”：基本不等式很少单独成题，多藏进最值、范围与恒成立的壳里，题位集中在中后段的选择、填空与多选题，赋分不高但区分度强。真正拉开层次的是两类：一是结构经过伪装的最值问题——条件以 a+b、ab、a²+b² 或几何量的形式给出，所求式含分式、根式或多个变量，须借常数代换、配凑系数、拆项、齐次化、换元或消元，才能化成“一正二定三相等”的标准形，命题人常在此埋“取等点落在约束之外”“两次取等不相容”的陷阱；二是不等式作为隐性工具出现在解三角形、数列、直线与圆锥曲线、立体几何及导数压轴中，承担最后一问的最大（小）值或参数范围估计，考的是把几何关系、递推关系、函数关系翻译成代数约束的眼光。恒成立与能成立问题则多以含参二次式或可分离参数的分式、指数对数结构呈现，靠分离参数后求最值、或直接对图象作位置分析收口。 关键能力 其一，结构识别与代数改造能力：读到条件与所求，能迅速判断次数是否齐次、分母能否配成定值、变量能否分离，据此选用代换、配凑、换元或消元，把陌生式改成可用不等式的形状；其二，取等与边界的检验能力：凡由不等式得出的结论都要追问等号成立条件是什么、该条件在约束内能否实现、两次使用时是否相容，同时守住定义域与端点开闭；其三，工具选择与函数化能力：能辨别一个问题该交给基本不等式、二次函数、单调性还是导数，并把多变量问题降为主元明确的一元函数；其四，转化与逻辑辨析能力：分清恒成立与存在、充分与必要、“任意”与“存在”的量词差异，会用分离参数、主元法、判别式法在不等式与函数、方程之间往返；其五，跨模块迁移能力：在几何与函数背景中主动找到“最值收尾”的位置并调用不等式，而不是把它锁在本章。 备考策略 复习不宜按题型铺开，宜按“结构—动作—工具”立纲：整理一张对照表，让学生按式子的形检索方法——定值条件配倒数和用常数代换，分式且分母为多项式用齐次化换元，含根式用平方或配方，几何背景先建模写约束再消元；训练以变式链推进，条件由 a+b=1 依次改为 ab=1、a²+b²=1、隐含条件，所求由两项扩到三项、由整式扩到根式，同一结构反复换壳；把“取等”与“定义域”做成硬性书写流程，每题必写取等条件并回验可行性，单设一节处理 t+2/t 型在受限区间上的最值，破解“把下界当最小值”的惯性错误；有意识地把不等式下沉到解三角形、数列、圆锥曲线、导数各专题，每处配两三道“最后一问用最值收口”的题训练工具选择；针对多选题强化特殊值、极端情形举反例的证伪意识，压缩单题用时；解答题则规范“由基本不等式得……，当且仅当……时取等号”的表述，避免因缺条件丢分。 方法技巧 01 基本不等式的解题方法与技巧 使用前提：牢记“一正、二定、三相等”。 一正，即不等式中的各项变量都取正值； 二定，即通过变形使和或积成为定值； 三相等，即等号成立的条件确实能够取到，用完后必须检验。 1、公式直用法 题目结构若与基本不等式或其变形形式一致，可直接套用公式求解。 2、配凑构造法 借助添减常数、拆项、乘1（常数代换）等手段凑出所需的和或积；也可通过分离、裂项、凑系数等方式，把式子整理成能用基本不等式的形状。 3、换元法 设置新变量以简化原式，例如把某个根式或整体式子设为新变量，或引入与题设条件相关的新量。 4、整体代换法 把式中某一部分视作一个整体变量来处理；当式子具有对称性时，也可先假定相关变量相等来求最值（此法在最值问题中往往奏效），最后再验证。 5、多次使用基本不等式法 面对结构较复杂的式子，可分阶段、多次运用基本不等式，但每次使用后都要核对各次等号成立的条件能否同时满足。 6、约束条件消元法 题目给出约束关系时，可利用条件消去其中一个变量：例如已知两变量的和为定值（或积为定值），便可把二元问题转化为一元问题，再借助基本不等式求解。 方法技巧 02 恒成立与能成立问题常用解题技巧 利用函数的最值进行分析求解目标函数的最值 恒成立问题：①，即求；②即求. 能成立问题：①，即求；②即求. 注意： “1”的代换：若，则，展开后可用基本不等式. 平方处理：有时对式子平方后再用不等式更易操作（注意保持等价）. 避免盲目放缩：放缩后若等号无法成立，则结果无效. 图形或函数辅助：结合函数单调性、图像判断最值位置，验证不等式合理性. 易·错·避·坑 使用基本不等式时，最容易出问题的地方集中在前提条件和取等验证上。首先要盯住“一正”：公式 要求 、 都是正数，题目中变量若可能取负值，就不能直接套用，必须先判断符号或分类讨论。其次要盯住“二定”：求和的最小值需要积为定值，求积的最大值需要和为定值，若定值没有现成出现，应先通过配凑、拆项、常数代换等变形把它造出来，不能想当然地直接套公式。更常见的失分点是“三相等”：等号成立条件必须确实能取到，比如 时等号成立，但受约束条件限制可能根本取不到，这时基本不等式给出的只是一个下界而不是最小值，必须改用单调性等方法求真正的最值。分段多次使用基本不等式时，还要注意各次等号成立的条件能否同时满足，若不能同时成立，最终结果同样取不到，这是典型错误。此外，常数代换要写准，如“1的代换”中 的前提是 ，代换后各项要配对使用，不能漏乘错配；换元后新变量的取值范围要同步写出，否则可能在错误区间上求最值；还要分清“”与“最小值”，不等式恒成立只说明是下界，是否取到必须单独验证，答题时务必写明取等条件。 题型 01 不等式、基本不等式的性质 典例精析 （26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于ABC由基本不等式逐项验证，对于D，利用代入消元，借助二次函数求解. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号，正确； 对于B：因为，所以当且仅当时取等号 所以，当且仅当时取等号，正确； 对于C:，当且仅当时取等号，错误； 对于D:因为，所以 又，所以成立，正确 故选：ABD 方·法·技·巧 处理本类题，先理清不等式的基本性质：同向可加、同向同正可乘、可乘方、可开方，以及取倒数时方向的变化。判断命题真假时，优先用特殊值法排除，再对保留项作严格证明。涉及基本不等式时，务必逐条核对“一正、二定、三相等”，尤其注意 成立的前提是 、，且等号当且仅当 时取到。若题目给出 而非 、，则 与 的大小关系不能直接套用，需分类讨论符号。比较两个代数式大小时，常用作差法或作商法，作商时要注意分母的符号。 变式巩固 变式1（2027·江西·模拟预测）已知正实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举出反例可得A、C，借助基本不等式可得B，借助指数运算及基本不等式可得D. 【详解】对A：取，，此时，但，故A错误； 对B：，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对C：取，，此时，但，故C错误； 对D：， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 变式2（26-27高三·全国·二轮复习）设，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合基本不等式、不等式的性质，根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，若， 则， 当且仅当时等号同时成立，充分性满足， 若，不一定成立，例如，时，， 但，必要性不满足， 故选：B． 变式3（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知，，则下列不等关系中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例排除ACD；利用基本不等式进行判断B即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因为，，所以， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：当时，，则，而， 显然，故D错误. 故选：B. 题型 02配凑法求最值 典例精析 （2026·天津卷·高考真题） 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把括号展开整理成 的形式，再对前两项用基本不等式。 【详解】由 知 ，展开得 。 因为 ，当且仅当 （即 ）时取等号， 所以原式的最小值为 。故选 B。 方·法·技·巧 配凑法的核心是把式子整理成“和定”或“积定”的形状。常见手段有：添项减项、拆项、乘1、提取系数、分离常数、裂项。操作时先观察目标式与基本不等式标准形式的差距，缺什么补什么，多什么就去掉，但每次变形都要保持式子恒等。配凑后还要检查变量为正、定值出现、等号能否取到这三个环节。若一次配凑后等号条件与题设冲突，可调整拆分方式或改用换元。特别注意形如 的结构，当 时最小值为 ，当 时需先提负号再处理，不能直接套用。 变式巩固 变式1（2026·上海卷·高考真题）若 ，，且 ，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】条件是和为定值，用"和定积最大"，注意把 写成 。 【详解】，所以 ，即 ，， 当且仅当 ，结合 得 ， 时取等号。故选 B。 变式2（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对 直接用"积定和最小"。 【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号。故选 C。 变式3（26-27高三上·山东·阶段检测）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 拆成 ，再对 用基本不等式。 【详解】。因为 ，所以 ， ，故原式 ，当 即 时取等号。故选 C。 变式4（26-27高三上·山东·阶段检测）已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】凑系数，把 写成 ，再用"和定积最大"。 【详解】因为 ，所以 ，，于是 ， 当且仅当 即 时取等号。故选 A。 变式5（26-27高三上·山东·阶段检测）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分离常数化为 ，再用基本不等式。 【详解】，当且仅当 时取等号。故选 C。 题型 03 “1”的代换 典例精析 （2026·山东·济南·二模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 乘以 ，展开后配凑。 【详解】因为 ，所以 ， 当且仅当 即 ，结合 得 ， 时取等号。故选 C。 方·法·技·巧 “1”的代换适用于已知形如 （或可化为1）的条件，求含 、 的式子最值。做法是把目标式乘以1，再把1用条件整体替换，展开后配成能用基本不等式的形式。关键有三点：一是代换要整体进行，展开时各项要配对相乘，不能漏项错配；二是展开后要验证各项为正，否则需调整；三是最后必须回代检验等号成立时 、 的取值是否满足原条件。若条件是 ，可先两边除以 化为1再代换；若目标式系数不对称，可先提取系数再代换，避免机械套用。 变式巩固 变式1（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把待求式乘以 ，展开后配凑。 【详解】，当 时取等号。故选 C。 变式2（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】条件为 ，把待求式乘以 。 【详解】， 当且仅当 即 时取等号。故选 A。 变式3（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】条件为倒数和，把待求式乘以 。 【详解】，当 时取等号。故选 C。 题型 04 消元、换元法求最值 典例精析 1.（2026·河南·郑州·一模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由约束式得 ，把 用 表示，结合 消元。 【详解】设 ，则 。又 ， 所以 ，即 ，，解得 。 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 。故选 C。 2.（2026·山西·太原·二模）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元令 ，把函数化为 ，再结合 的范围用单调性求最小值。 【详解】令 ，则 ，且 ，所以 。 函数 在 上单调递增，故当 （即 ）时取最小值 。故选 B。 方·法·技·巧 当约束条件能解出一个变量时，可用消元法把二元问题化为一元，再对一元式子求最值，注意消元后新变量的取值范围要由原条件同步确定，不能扩大或缩小。换元法则是引入新变量简化结构，如令 、 等，换元后必须写出 的范围，否则可能在错误区间上求最值。两种方法常配合使用：先换元简化，再消元求解。使用基本不等式前仍要核对“一正、二定、三相等”，若等号取不到，应转而利用函数单调性求最值。 变式巩固 变式1（2027·湖南衡阳·一模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同例 3-1，把 用 表示，用 消元。 【详解】设 ，则 ，由 得 ， 即 ，解得 （），当 时取等号。故选 A。 变式2已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元令 ，代入后整理成 。 【详解】令 ，则 ，， 所以 ， 当且仅当 即 时取等号。故选 B。 变式3（2027高三·全国·专题练习）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先算 是定值，再用乘 1 法。 【详解】因为 ，所以 。于是 ， 所以 ，当且仅当 时取等号。故选 B。 题型 05 齐次化求最值 典例精析 （2026·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可． 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 方·法·技·巧 齐次化的思路是把分子分母化为同次，或把式子整理成只含比值的形式，从而减少变量个数。常见做法是分子分母同除以某个变量或变量的幂，使式子变为关于比值 的一元函数，再结合基本不等式或单调性求最值。操作时要注意所除式子不为零且符号确定，若变量可能为负，需先讨论或加绝对值处理。齐次化后若出现 结构，可直接用基本不等式，但必须验证 及等号条件能否取到。若题目带有约束条件，可先把条件齐次化再联立，避免直接代入造成次数混乱。 变式巩固 变式1（2026·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 变式2（2026·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件可得，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 变式3（2026·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】/0.25 【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 题型 06 多元最值与“1”的代换综合 典例精析 （2026·上海卷·高考真题）已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 建立关于 的不等式。 【详解】因为 ，即 ， 又 ，所以 ，即 。 当 ，即 ， 时取等号。故选 A。 方·法·技·巧 多元最值题往往条件与目标次数不一致，处理时先把条件化为1的形式（如两边同除以常数），再对目标式作“1”的代换，展开后分组配凑，使各组能分别使用基本不等式。分组时要注意各组等号成立条件能否同时满足，若不能，需调整分组或改用其他方法。变量多于两个时，可先固定其中一部分，逐步降元，最后化为一元问题。整个过程中要始终关注各变量的正负与范围，代换后及时检验，最后写明取等条件，确保结果确实能取到。 变式巩固 变式1（2026·湖北·武汉·二模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 通分为 ，把目标式化为 ，再用 的最大值。 【详解】因为 ，所以 。 又 ，所以 。 于是 ，当 时取等号。故选 C。 变式2（2027高三·全国·专题练习）已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】和定求积最大。 【详解】，当 时取等号。故选 A。 变式3（2027高三·全国·专题练习）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把待求式乘以 ，注意还要除以定值 。 【解答过程】， 当 时取等号。故选 A。 题型 07 利用基本不等式证明不等式 典例精析 （2025·北京卷·高考真题）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一分析四个选项：A 中 时取等号；B、D 用特值排除；C 由基本不等式证明。 【详解】对于 A，当 时，，故 A 错误； 对于 B，取 ，，则 ，而 ，故 B 错误； 对于 D，取 ，，则 ，而 ，故 D 错误； 对于 C，因为 ，，所以 ，故 C 正确。故选 C。 方·法·技·巧 证明题的关键是找到合适的放缩方向，把待证式子往基本不等式的标准形式上靠。常用手段有：添项减项、拆项、乘1、常数代换、分组配对。证明时每一步放缩都要有依据，且方向一致，不能中途反向。若需多次使用基本不等式，必须说明各次等号成立的条件能够同时满足，否则只能得到严格不等式或需另作处理。对于含多个变量的对称式，可先证二元情形再推广，或利用对称性假设变量相等探路，但假设不能直接作为证明依据，最终仍要给出严格推理。证明结束要写清等号成立的条件。 变式巩固 变式1（26-27高三上·山东·阶段检测）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断各不等式成立所需的条件。 【详解】由 得 ，A 正确；当 时取等号，B 错误； C、D 都需要 ，，对任意实数不一定成立，故错误。故选 A。 变式2（26-27高三上·山东·阶段检测）已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 为调和平均数，比较其与几何平均数的大小。 【详解】（调和平均不超过几何平均）， 等号当且仅当 时成立。因 ，故 。故选 B。 变式3（26-27高三上·河南开封·阶段检测）已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】积定求和最小。 【详解】，当 时取等号，故 A 正确，B、C、D 均错误。故选 A。 题型 08 基本不等式的含参恒成立与能成立问题 典例精析 （2026·山东·济南·二模）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】恒成立转化为 ，再用基本不等式求最小值。 【详解】由 得 ，当 时取等号，故 的最小值为 。 要使 对任意 恒成立，只需 ，故 的最大值为 。故选 B。 方·法·技·巧 恒成立问题通常转化为最值问题：若 恒成立，则 ；若 恒成立，则 。能成立（存在性）问题则相反： 能成立等价于 。处理时先用基本不等式或单调性求出最值，再解关于参数的不等式。要注意最值能否取到，若等号条件取不到，应改用函数单调性求真正的最值。含参时还要讨论参数对变量范围的影响，避免漏解。最后把参数范围与题设条件对照检验，确保逻辑方向没有弄反。 变式巩固 变式1[原创题]若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】能成立转化为 。 【详解】存在 使 成立，只需 。 由 得 ，即最小值为 ，所以 。故选 A。 变式2（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知 ，，，若 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用乘 1 法求 的最小值（关于 的表达式），再令其 。 【详解】， 当且仅当 即 时取等号。 要使原不等式恒成立，只需 ，令 ，得 ， 即 ，解得 ，所以 ， 的最小值为 。故选 C。 变式3（26-27高三上·浙江·阶段检测）设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（ ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】将不等式恒成立转化为,利用基本不等式求得的最小值，即可得答案. 【详解】∵，，不等式恒成立， 即恒成立，∴只需, ∵，当且仅当时取等号. 所以， ∴，∴m的最小值为， 故选：D 题型 09 基本不等式的实际应用 典例精析 （2026·河北·石家庄·二模）用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设长、宽为变量，由周长得和为定值，用"和定积最大"求面积最大。 【详解】设矩形的长为 ，宽为 ，则 ，即 。 面积 ， 当且仅当 时取等号，故面积的最大值为 。故选 B。 方·法·技·巧 实际应用题先读懂题意，把文字条件翻译为变量关系，明确要求的是最大值还是最小值，再建立函数或代数式模型。建模时注意各变量的实际意义与取值范围，如长度、人数必须为正。求解阶段用基本不等式或函数方法求最值，得到结果后要回到实际情境中检验是否合理，并写清取等条件对应的实际方案。若模型中含有多个变量，可借助约束条件消元降为一元。最后作答要带单位，结论要完整，不能只写数值而漏掉“当且仅当……时取得”的说明。 变式巩固 变式1（2026·江西·南昌·二模）某公司一年内购买某种货物共 吨，每次购买 吨，运费为 万元/次，一年的总存储费用为 万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买（　　） A． 吨 B． 吨 C． 吨 D． 吨 【答案】B 【分析】建模得总费用的函数式，整理成 型后用基本不等式。 【详解】购买次数为 ，一年的总运费为 （万元）， 总存储费用为 （万元），故总费用 ， 当且仅当 即 ， 时取等号。 所以每次应购买 吨。故选 B。 变式2（26-27高三·全国·二轮复习）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将题中的数据代入公式，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，三角形的周长为12，则， ， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为16， 所以三角形面积的最大值. 故选：B 变式3（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）某单位用 万元购得一块空地，计划建造一栋至少 层、每层 平方米的楼房。经测算，若将楼房建为 层（），则每平方米的平均建筑费用为 元。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建（　　）层 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平均综合费用等于平均建筑费用加平均购地费用，其中平均购地费用为总购地费除以总面积，再对 用基本不等式。 【详解】总建筑面积为 平方米，故平均购地费用为 （元/平方米）。 所以每平方米的平均综合费用 ， 当且仅当 即 ， 时取等号。故选 C。 题型 10 基本不等式与函数、三角函数、解析几何综合性问题 典例精析 已知 ， 是函数 图象上不同的两点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在图象上得 ，，用基本不等式比较 与 ，再由对数单调性判断。 【详解】因为 ， 在 上，所以 ，。 由基本不等式 ，因两点不同，，故取严格不等号： 。 又 在 上单调递增，所以 。故选 A。 方·法·技·巧 综合题的关键是先识别出可用基本不等式的结构，再结合各模块自身的方法。与函数结合时，常先求定义域、判断单调性，再用基本不等式求最值；与三角函数结合时，注意角的范围与正负，可用 型放缩，也可借助辅助角公式化为一元；与解析几何结合时，常出现在距离、面积、斜率等表达式中，先设点设线写出表达式，再配凑成能用基本不等式的形式。全过程要核对“一正、二定、三相等”，若等号取不到，改用函数单调性或导数求最值，最后写明取等条件。 变式巩固 变式1（2026·福建·厦门·二模）已知直线 过点 ，与 轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点， 为坐标原点，则 面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截距式直线方程，由过 得 ，用基本不等式求 的最小值。 【详解】设 ，（，），则直线 的方程为 。 因为 过点 ，所以 。 由基本不等式 ，所以 ，即 。 于是 ，当且仅当 即 ， 时取等号。故选 C。 变式2（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）在 中，，， 分别是角 ，， 的对边，若 ，则角 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用余弦定理把 写成关于 ， 的式子，再用基本不等式求最大值。 【详解】由余弦定理 ，又 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号。因为 ，且 ，所以 ， 故角 的最大值为 。故选 C。 变式3（26-27高三上·重庆·阶段检测）函数 （）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离常数化为 ，再用基本不等式。 【详解】，当 时取等号。故选 B。 题型 11 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 典例精析 （26-27高三上·天津武清·阶段检测）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时，则不等式成立， 当时，因为不等式对于恒成立，所以， ，即，， ，解得或（舍去），综上所述. 方·法·技·巧 设 。若 对一切实数 恒成立，则需 且判别式 ；若 恒成立，则需 且 ；若 恒成立，则需 且 。特别要注意 的情形不能遗漏：此时退化为一次式或常数，需单独检验是否恒成立。含参问题中，先按二次项系数是否为零分类，再在二次情形下用判别式列不等式组，最后取并集。解出的参数范围要回代验证边界情形，防止把“能取等”与“不能取等”弄混。 变式巩固 变式1（26-27高三上·河北邯郸·阶段检测）已知对任意实数，恒有，则实数的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数后，求解的最大值，即可得到实数的最小值是. 【详解】当时，原不等式恒成立. 其余情况，则，则. 当或时，则. 当时，令，则可化为 . 当且仅当时取最大值， 当时，分式的取值小于1，不影响最大值求解. 综上所述，. 变式2（26-27高三上·安徽宿州·阶段检测）若命题“对任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】原命题为假，则其否定为真，即“存在使”，按的符号分类讨论． 【详解】命题“对任意实数，”为假命题，等价于“存在实数，使”为真命题． 当时，有解，符合； 当时，抛物线开口向下，当充分大时，符合； 当时，抛物线开口向上，需，即，则； 综上可得，即实数的取值范围是 ． 变式3（26-27高三上·广东清远·阶段检测）已知函数． (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）分情况讨论，与时，结合二次函数求解含参不等式恒成立问题； （2）将原不等式因式分解，求出对应方程的两根，根据两根大小关系分类讨论. 【详解】（1） ，恒成立等价于，， 当时，，对一切实数不恒成立， 则，此时必有，即，解得， 所以实数a的取值范围是. （2），，即，即， 令，解得， 当，即时，解得； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 变式4（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【详解】命题为假，即存在实数 使 ． 当 时， 不成立，此时原命题为真，不符合； 当 时，需 ，解得 ； 当 时，抛物线开口向下，必存在 使函数值不大于 ，符合． 综上， 或 ，即 ． 题型 12 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 典例精析 （26-27高三上·福建泉州·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，可得，符合题意； 当时，二次函数的对称轴为. 若，则抛物线开口向上，则，解得； 若，抛物线开口向下，则，解得； 综上所述：的取值范围是. 方·法·技·巧 区间上恒成立不能简单套判别式，通常有三条路径：一是分离参数，化为 或 在区间上恒成立，再求 在区间上的最值；二是利用二次函数的图象与单调性，考察对称轴与区间的相对位置，分情况求区间上的最值；三是端点代入加判别式辅助检验。分离参数时要注意所除式子在区间上的符号，必要时分类讨论。求区间最值时，对称轴在区间内、区间左侧、区间右侧三种情形要分别处理。最后把结果回代检验端点，确保边界不遗漏。 变式巩固 变式1（26-27高三上·广东江门·阶段检测）已知命题：当时，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为命题为真命题，故当时，恒成立， 故当时，恒成立， 设， 其对称轴为，且， 故其最小值为， 故的取值范围为. 变式2（26-27高三上·陕西宝鸡·阶段检测）当时，若恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解二次函数在区间上的最小值，再根据恒成立条件确定的取值范围. 【详解】构造函数，， 对函数配方得：，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为直线，且， 当时，取得最小值；当或时，取得最大值，因此在上的值域为， 若对任意恒成立，则需，即， 故实数的取值范围是. 变式3（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，恒成立，所以， 而在上单调递增，所以，即， 所以题目即变为选择的一个充分不必要条件， 从而选择的选项应该为的真子集，从而C正确. 变式4（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）若命题P：“存在，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为对任意，都有恒成立，参变分离可得，结合对勾函数的单调性求出最小值即可求解. 【详解】“存在，使得”为假命题， 则对任意，都有恒成立，整理可得， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故，即. 题型 13 一元二次不等式在某区间上能成立问题 典例精析 （26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知，则是不等式有解的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】A 【分析】由二次函数有解得到判别式大于0即可求得的值，再结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若不等式有解，则判别式，解得或， 充分性验证:若，则或必然成立，故充分性成立， 必要性验证:若或,取，则不成立，故必要性不成立， 综上，是不等式有解的充分不必要条件. 方·法·技·巧 能成立（存在性）问题与恒成立方向相反： 在区间上能成立，等价于 ； 能成立，等价于 。处理时同样可分离参数，化为 或 的形式，再求区间最值。若用图象法，需结合开口方向与对称轴位置判断区间内是否存在满足条件的点。注意“能成立”只要求存在一个 ，因此端点是否取到、最值能否达到都要仔细核对，避免把“存在”误当成“恒成立”处理。 变式巩固 变式1（25-26高三上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用基本不等式求得的最小值，存在使成立，即，解不等式即可. 【详解】正实数满足，得 . 当且仅当且，即时，等号成立. 存在使不等式有解，即 ，可解得或，即. 故选：B. 变式2（25-26高三上·江苏南京·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知在R上能成立，分类讨论参数，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，为真命题， 所以在R上能成立， 当，即时，在R上能成立，满足要求， 当，即时，的图象开口向上，满足要求， 当，即时，只需，则， 所以，即， 综上，. 故选：B 变式3（25-26高三上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 题型14 方程的实根分布 典例精析 （2027·江西·模拟预测）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（ ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【分析】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【详解】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 方·法·技·巧 根的范围问题通常指方程 的根落在某区间内，或根的分布满足某条件。处理时从三个方面入手：开口方向、判别式、对称轴位置，再结合区间端点处函数值的符号列出不等式组。若根分布在两个不同区间，需分别讨论端点函数值符号与判别式。含参时先按二次项系数是否为零分类，再画草图辅助判断，最后把各条件联立求解并检验边界。要注意“有根”“两根都在区间内”“仅一根在区间内”等表述的差别，列式时不能混用，边界情形要单独验证。 变式巩固 变式1（2027·湖南衡阳·一模）已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对不等式变形为，再根据不等式）的整数解恰有4个，对进行限制即可得出答案. 【详解】由，得，因为不等式）的整数解恰有4个，则或，所以或． 故选：． 变式2（2027·湖北黄冈·一模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 变式3（2027·浙江温州·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是__________________. 【答案】 【分析】根据的正负以及的正负分类讨论，结合图象确定的取值范围. 【详解】（1）当时，方程化为：，此时无解，舍去； （2）当时，考虑方程正实数根情况，只需研究当时方程解的情况， 即此时方程化为， 若此时方程有两个不相等的正实数根，则需 （3）当时，因为， 所以方程化为， 若此时方程有两个不相等的正实数根，则需 （4）当时，函数与轴有两个零点 函数与轴有两个零点 因为，所以即 作出函数与函数图象， 由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程有两个不相等的正实数根， 综上，满足条件的取值范围为或，即 故答案为： 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 2．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知，，均为正数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为， 当且时，，所以； 若，则， 因为，，均为正数，所以，即. 所以 当，，均为正数时，“”是“”的充要条件. 3．（26-27高三·山东·学业考试模拟）对于实数，有下列说法，其中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用不等式的性质依次判断即可. 【详解】对于A，的正、负或是否为未知，因而判断与的大小关系缺乏依据，故A错误； 对于B，由，知，故，所以成立，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，若，则，则，则，故D正确． 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 5．（2027高三·全国·专题练习）若，，，则下列不等式： ①；②；③；④．恒成立的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】由，及， 得；；，即①②③均正确； 取，得，④错误. 6．（26-27高三·全国·二轮复习）已知，为非负实数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分离常数法，构造积定的形式，利用基本不等式进行计算；或直接利用权方和不等式代入计算即可． 【详解】法一：因为，为非负实数，且，即， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 法二：考虑， 当且仅当时等号成立，此时，． 7．（多选）（2027·辽宁鞍山·一模）已知正实数和满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，由，当且仅当时等号成立，A选项正确， 对于B，，，， 即时，有最小值，B选项正确， 对于C，， 当且仅当时等号成立，C选项错误， 对于D，， 当且仅当时，等号成立，D选项正确. 8．（多选）（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）若正实数，满足，则（   ） A． B．有序数对有4个 C．的最大值为 D．的最小值为24 【答案】ABD 【分析】A选项，利用，即可；B选项，利用及即可写出全部有序数对；C选项，利用即可计算的最小值；D选项利用即可计算的最小值. 【详解】由正实数，满足，得. 对于选项A，由，得，则，所以，所以，故A正确； 对于选项B，由得，因为，所以是的正约数.因为的正约数为，所以的值对应为.所以有序数对为共4个，故B正确； 对于选项C，，当且仅当即时等号成立，故C错误； 对于选项D，因为，当且仅当即时等号成立，所以，得，故D正确. 9．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）若，则的最大值为______. 【答案】2 【分析】根据两个式子的平方和是一个定值，利用重要不等式计算最值即可． 【详解】，，． ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为2． 10．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为x米，平行于墙的一条边长为y米，且． (1)已知所用的篱笆长为60米． ①当菜地面积为400平方米时，求x的值． ②设菜地面积为S平方米，当y为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． (2)若要围成面积为128平方米的菜地，需要用的篱笆长最少是多少米？ 【答案】(1)①；②当时，取得最大值为450平方米 (2)32米． 【分析】（1）（2）根据题意列出相互间的等量关系，再利用基本不等式求其最值. 【详解】（1）因为所用的篱笆长为60米，所以． ①因为菜地面积为400平方米，所以． 联立，解得或， 依题意，，则； ②因， 当且仅当，即，时，取得最大值为450平方米； （2）因需要用的篱笆长为米．且， 则， 当且仅当时等号成立，即需要用的篱笆长最少是32米． 11．（26-27高三上·山东·阶段检测）设：实数满足，其中；：实数满足． (1)写出一个的取值范围，使之为的一个充分不必要条件； (2)是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，（注：答案不唯一，只需为的真子集即可） (2)． 【详解】（1）命题：，解得， 所以命题的一个充分不必要条件为：； （注：答案不唯一，只需为的真子集即可）； （2）命题：， 若，；若，； 命题：， 因为是的必要不充分条件， 当时，则，当时，则． 综上：实数的取值范围是． 12．（2025高三上·安徽·竞赛）已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据一次函数和二次函数的性质，分别求出两个函数在区间上的最值，进而结合条件即可求出a的取值范围． 【详解】（1）当时，，成立， 当时，有，解得． 故a的取值范围为． （2）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则， 综上所述，实数a的取值范围为． 13．（26-27高三·全国·二轮复习）已知正实数满足，证明：. 【答案】由于，所以，原不等式两边同乘，等价于． 因为． 由，知，，，从而 所以． 因此，原不等式成立，得证． 【分析】利用将原不等式两边同乘，转化为多项式不等式；再对两边之差因式分解，结合判断因式的符号． 【详解】略 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $