第13讲 函数与方程 讲义-2027届高三数学一轮复习（中等难题突破）

1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，通过判断函数零点所在的区间，培养直观想象和数学运算素养． 2．判断一元二次方程根的存在性及根的个数，通过一元二次方程实根问题的探究，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养． 3．掌握零点存在性定理及其应用，通过函数零点个数的判断和函数零点的综合应用，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养． 1．函数的零点与方程的解 （1）零点：使f(x)＝0的实数x，就是函数f(x)的零点．特别强调，零点不是点，是数． （2）方程的解与函数零点间的关系：方程f(x)＝0的解函数y＝f(x)的零点函数y＝f(x)图象与x轴公共点的横坐标． （3）零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在(a，b)，使得f()＝0，这个也就是方程f(x)＝0的解． 注意： ①零点存在性定理只能判断有无零点，不能判断有几个零点； ②若f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点； ③定理不可逆，即函数f(x)在区间(a，b)内有零点时，不一定有f(a)f(b)＜0． （4）二分法：利用二分法求给定区间上的方程的近似解． 2．二次函数零点分布 设二次函数，零点分布情况如下： 根的分布 图象 条件 m＜＜＜n ，有一个根在区 间(m，n)内，另一根 在区间(m，n)外 3．函数零点个数的判断方法 （1）直接法：令f(x)＝0，该方程解的个数，就是函数f(x)的零点个数． （2）定理法：利用零点存在性定理，还要结合函数的奇偶性和单调性． （3）图象交点法：一般是将函数拆分为两个简单函数，依据两个函数图象的交点个数，得出函数的零点个数． 4．已知函数零点个数求参数 （1）直接法：直接解方程f(x)＝0，得到含参的根，再根据零点个数构建关于参数的不等式（组）求解． （2）参变分离法：将原方程转化为a＝g(x)的形式，转化为函数y＝g(x)与直线y＝a的交点个数，确定参数a的取值范围． （3）数形结合法：将原式变为两个函数y＝h(x)和y＝p(x)，在同一坐标系中画出图像，根据交点个数与零点个数对应，观察临界位置（相切、过端点等）列出不等式求解． 一般建议优先考虑参变分离，若分离后函数形式复杂或者在解答题中，则直接利用导数讨论原函数的单调性与极值，结合零点存在性定理确定参数范围． 题型一：函数零点存在定理与二分法 例1．（1）已知函数在区间[n，n＋1](nZ)内存在零点，则n＝ ． （2）若是方程的解，则属于区间 A．(，1) B．(，) C．(，) D．(0，) 变式训练： 1．已知函数，，的零点分别为a、b、c，则a、b、c的大小顺序为 A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 2．已知函数（a＞0，且a≠1），当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点(n，n＋1)，，则n＝ ． 题型二：零点个数问题 例2．（1）函数的零点个数为 ． （2）已知函数，则方程的实根个数为 ． （3）若函数(xR)满足，且[﹣1，1]时，，已知函数＝，则函数在区间[﹣6，6]内的零点个数为 ． 变式训练： 1．已知定义域为[﹣4，0]的函数的图象如图所示，则函数 的零点个数为 ． 2．已知函数的定义域为R，，是奇函数，且当0≤x≤1时，，则函数的零点个数为 A．10 B．9 C．8 D．6 题型三：已知零点个数求参数的取值范围 例3．（1）若函数(a＞0)有两个零点，则实数a的取值范围是 ． （2）设函数，其中mR，若函数在区间[﹣2，4]上有三个零点，则m的取值范围是 ． 变式训练： 1．已知，若方程有三个不相等的实根，则实数a的取值范围是 ． 2．已知函数（e为自然对数的底数）在(0，)恰好有两个不同的零点，则实数a的取值范围为 ． 题型四：一元二次方程实根分布 例4．（1）已知一元二次方程在区间(﹣1，2)内、外各有一个实数根，则实数k的取值范围是 ． （2）已知函数在[0，)上有2个不同的零点，则实数m的取值范围是 ． 变式训练： 1．已知函数在区间[﹣1，1]内无零点，则实数m的取值范围为 ． 2．若函数的两个零点分别在区间(﹣1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围为 ． 3．已知函数是偶函数． （1）求实数a的值； （2）若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围． 题型五：嵌套函数 例5．（1）已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是 ． （2）已知函数（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程﹣恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是 ． 变式训练： 1．函数f(x)＝，若g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则a的取值范围是 ． 2．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为 ． 1．若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是 A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则有可能不存在实数使得 2．方程的实数解的个数为 A．0 B．1 C．2 D．无数多 3．用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为） A． B． C． D． 4．已知，则的大小关系不可能为 A． B． C． D． 5．定义是a，b中的较大者．已知函数，．若，且方程有个不同的解，则实数m的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为 A． B． C． D． 7．（多选）已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是 A．0 B．1 C．2 D．5 8．（多选）已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是 A．函数的图象关于直线对称 B．当时， C．当时，单调递减 D．实数的取值范围是 9．若函数的零点为，满足且，则k=_______． 10．函数的零点个数为_______． 11．已知函数，若f(x)有两个零点，则m的取值范围是 ． 12．设且，函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上有零点，求的取值范围． 13．已知函数，且函数与的图象关于点(，1)对称． （1）求函数的解析式； （2）当x[0，]时，，求实数m的取值范围； （3）证明：函数在(，)上存在唯一零点． 14．已知函数是偶函数，是奇函数，且． （1）求的值； （2）设函数，证明：曲线是轴对称图形； （3）当，若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，通过判断函数零点所在的区间，培养直观想象和数学运算素养． 2．判断一元二次方程根的存在性及根的个数，通过一元二次方程实根问题的探究，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养． 3．掌握零点存在性定理及其应用，通过函数零点个数的判断和函数零点的综合应用，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养． 1．函数的零点与方程的解 （1）零点：使f(x)＝0的实数x，就是函数f(x)的零点．特别强调，零点不是点，是数． （2）方程的解与函数零点间的关系：方程f(x)＝0的解函数y＝f(x)的零点函数y＝f(x)图象与x轴公共点的横坐标． （3）零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在(a，b)，使得f()＝0，这个也就是方程f(x)＝0的解． 注意： ①零点存在性定理只能判断有无零点，不能判断有几个零点； ②若f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点； ③定理不可逆，即函数f(x)在区间(a，b)内有零点时，不一定有f(a)f(b)＜0． （4）二分法：利用二分法求给定区间上的方程的近似解． 2．二次函数零点分布 设二次函数，零点分布情况如下： 根的分布 图象 条件 m＜＜＜n ，有一个根在区 间(m，n)内，另一根 在区间(m，n)外 3．函数零点个数的判断方法 （1）直接法：令f(x)＝0，该方程解的个数，就是函数f(x)的零点个数． （2）定理法：利用零点存在性定理，还要结合函数的奇偶性和单调性． （3）图象交点法：一般是将函数拆分为两个简单函数，依据两个函数图象的交点个数，得出函数的零点个数． 4．已知函数零点个数求参数 （1）直接法：直接解方程f(x)＝0，得到含参的根，再根据零点个数构建关于参数的不等式（组）求解． （2）参变分离法：将原方程转化为a＝g(x)的形式，转化为函数y＝g(x)与直线y＝a的交点个数，确定参数a的取值范围． （3）数形结合法：将原式变为两个函数y＝h(x)和y＝p(x)，在同一坐标系中画出图像，根据交点个数与零点个数对应，观察临界位置（相切、过端点等）列出不等式求解． 一般建议优先考虑参变分离，若分离后函数形式复杂或者在解答题中，则直接利用导数讨论原函数的单调性与极值，结合零点存在性定理确定参数范围． 题型一：函数零点存在定理与二分法 例1．（1）已知函数在区间[n，n＋1](nZ)内存在零点，则n＝ ． （2）若是方程的解，则属于区间 A．(，1) B．(，) C．(，) D．(0，) 【解析】（1），，所以函数f(x)在区间(2，3)存在零点，故n＝2； （2）因为，所以，令，，＞0，所以函数f(x)在区间(，)存在零点，选C． 变式训练： 1．已知函数，，的零点分别为a、b、c，则a、b、c的大小顺序为 A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【解析】首先注意到函数f(x)，g(x)，h(x)在各自定义域上都是单调增函数，求得f(0)＝﹣2＜0，f(1)＝e﹣1＞0，故函数f(x)的零点a(0，1)；求得g(1)＝﹣1＜0，g(2)＝ln2＋1＞0，故函数g(x)的零点b(1，2)；因为h(1)＝0，故c＝1，综上，b＞c＞a，选D． 2．已知函数（a＞0，且a≠1），当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点(n，n＋1)，，则n＝ ． 【解析】，＞0，所以函数f(x)在区间(2，3)存在零点，故n＝2． 题型二：零点个数问题 例2．（1）函数的零点个数为 ． （2）已知函数，则方程的实根个数为 ． （3）若函数(xR)满足，且[﹣1，1]时，，已知函数＝，则函数在区间[﹣6，6]内的零点个数为 ． 【解析】（1）当x≤0时，令f(x)＝0，解得x＝﹣1（正值已舍）；当x＞0时，单调递增，f(1)＜0，f(2)＞0，故f(x)在(0，)存在唯一零点(1，2)．综上，f(x)的零点个数为2． （2）由，解得f(x)＝4或﹣2，那么函数y＝f(x)的图像与直线y＝4、y＝﹣2的交点个数，就是原方程的根的个数，如图： 由图可知，函数y＝f(x)的图像与直线y＝4、y＝﹣2共有3个公共点，即原方程的实根个数为3． （3）因为，所以是周期为2的周期函数，因为当0＜x＜1时，lgx＜0；当x≥1时，lgx≥0，所以，又，，f(6)＝f(0)＝1＞g(6)＝lg6，可作出与在[﹣6，6]上的图象如下图所示： 可知与在[﹣6，6]上有12个交点，所以函数在区间[﹣6，6]内的零点个数为12． 变式训练： 1．已知定义域为[﹣4，0]的函数的图象如图所示，则函数 的零点个数为 ． 【解析】令＝0，则，即的零点就是函数 的图像与函数y＝的交点的横坐标，其中的图像与函数的图象关于原点对称，作出图像如图所示： 所以的零点个数为3． 2．已知函数的定义域为R，，是奇函数，且当0≤x≤1时，，则函数的零点个数为 A．10 B．9 C．8 D．6 【解析】因为，所以函数关于直线x＝1对称，因为是奇函数，所以函数关于点(2，0)中心对称，故该函数的周期为4，令＝0，则＝，则的零点就是函数的图像与函数y＝的交点的横坐标，作出图像如图所示： 由图可知函数的零点个数为10． 题型三：已知零点个数求参数的取值范围 例3．（1）若函数(a＞0)有两个零点，则实数a的取值范围是 ． （2）设函数，其中mR，若函数在区间[﹣2，4]上有三个零点，则m的取值范围是 ． 【解析】（1）首先注意到函数的定义域为，且对称轴为x＝1，那么函数有两个零点就可以转化为在(1，)恰有1个零点，且当x＞1时，，因为a＞0，所以在(1，)单调递增，要使在(1，)恰有1个零点，只要，即，整理得，解得0＜a＜，即a的取值范围是(0，)． （2）令＝0，得，则原函数有三个零点，转化为直线与函数的图像在[﹣2，4]有三个交点，求得，列表如下： x (﹣2，﹣1) (﹣1，3) (3，4) ﹣ ﹢ ﹣ 单调递减 单调递增 单调递减 则的极小值为，的极大值为，，画出在[﹣2，4] 的图像： 可得当≤m＜时，与在[﹣2，4]有三个交点，故m的取值范围是[，)． 变式训练： 1．已知，若方程有三个不相等的实根，则实数a的取值范围是 ． 【解析】当x＝﹣1时，，则x＝﹣1不是原方程的根，原方程可转化为﹣a＝＝，令x＋1＝t，则a＝，即直线y＝a与函数的图像有三个交点，则通过作图可得当≤a＜时，直线y＝a与函数的图像有三个交点，故原方程有三个实根时实数a的取值范围是[，)． 2．已知函数（e为自然对数的底数）在(0，)恰好有两个不同的零点，则实数a的取值范围为 ． 【解析】令，则，，则，两边同时乘x，得，令，则，易知g(x)在(0，)单调递增，故，即x＝lnx＋a，则a＝x﹣lnx，原函数有两个不同的零点，就是直线y＝a与函数h(x)＝x﹣lnx的图像有两个交点，，当0＜x＜1时，，当x＞1时，，故h(x)在(0，1)单调递减，在(1，)单调递增，求得h(x)的极小值h(1)＝1，故当a＞1时，直线y＝a与函数h(x)＝x﹣lnx的图像有两个交点，所以原函数有两个不同的零点时，a的取值范围为(1，)． 题型四：一元二次方程实根分布 例4．（1）已知一元二次方程在区间(﹣1，2)内、外各有一个实数根，则实数k的取值范围是 ． （2）已知函数在[0，)上有2个不同的零点，则实数m的取值范围是 ． 【解析】（1）令函数，两个零点分别记为，，若(﹣1，2)，当≠﹣1且 ≠2时，则，即，解得．当＝﹣1，得k＝0，求得＝1符合题意；当＝2，得k＝，求得＝不符合题意．综上，实数k的取值范围是(，0]． （2），令≥0，则f(x)＝F(t)＝t2＋2mt＋2，f(x)在[0，)上有2个不同的零点，就转化为F(t)在[0，)上有2个不同的零点，则，即，解得m＜，即实数m的取值范围是(，)． 变式训练： 1．已知函数在区间[﹣1，1]内无零点，则实数m的取值范围为 ． 【解析】①当m＝0时，f(x)＝﹣3，在[﹣1，1]内无零点，符合题意；②当m≠0时，f(x)是二次函数，对称轴为x＝1，在区间[﹣1，1]单调，要使f(x)在区间[﹣1，1]内无零点，只要f(﹣1)f(1)＞0，则(3m﹣3)(﹣m﹣3)＞0，即(m﹣1)(m＋3)＜0，解得﹣3＜m＜1且m≠0．综上，实数m的取值范围为(﹣3，1)． 2．若函数的两个零点分别在区间(﹣1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围为 ． 【解析】由题意得，，则，解得＜m＜，则m的取值范围为(，)． 3．已知函数是偶函数． （1）求实数a的值； （2）若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围． 【解析】解：（1）定义域为R，因为函数是偶函数，所以， 则，则，整理得x(a＋1)＝0，故a＝﹣1； （2），令f(x)﹣1＝t， 则原方程可转化为(t＋k)(t﹣4k)＋2k2＋k＝0，即t2﹣3kt﹣2k2＋k＝0，其中t＝， 易知在[0，)单调递增，结合偶函数，得在(，0]单调递减，tmin＝0， ， ①当k＝0，得t＝0，此时有且仅有一个根，不符题意，舍； ②当k＝，得t＝，此时有两个根，符合题意； ③当k＜0或k＞时，t2﹣3kt﹣2k2＋k＝0的两根记为，，则，， 原方程的根就是和的根， 这两个方程一个无解，一个有两个根时符合题意， 不妨让无解，有两个根，即，， 则＝﹣2k2＋k＜0，解得k＜0或k＞． 综上所述，实数k的取值范围(，0)(，){}． 题型五：嵌套函数 例5．（1）已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是 ． （2）已知函数（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程﹣恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是 ． 【解析】（1）令＝0，得，解得，，作出图像，发现直线y＝2与图像有2个交点，为了保证原函数有5个零点，则直线y＝m与图像有3个交点，则0＜m≤1，即实数m的取值范围是(0，1]． （2）根据可得的图像如图所示，且；要使﹣＋m﹣3＝0恰好有4个不相等的实根，则需满足，0＜＜1；故关于的二次方程需满足：，可解得3＜m＜4，故m的取值范围是(3，4)． 变式训练： 1．函数f(x)＝，若g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则a的取值范围是 ． 【解析】设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图像： ①当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图像有两个交点，设交点的横坐标为，(不妨设＞)，则＜－1，≥－1．当＜－1时，＝f(x)有一解；当≥－1时，＝f(x)有两解，∴此时g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，满足题意； ②当a＜－1时，y＝a与y＝f(t)的图像有一个交点．设交点的横坐标为，令得t＝，∴，此时＝f(x)有一个解，不满足题意；综上所述，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点． 2．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为 ． 【解析】，因式分解得，因此的零点对应方程和，有三个不同零点，等价于这两个方程共有三个不同实根， 已知，则，当时，单调递增，，当时，单调递减，，当时，单调递减，，，当时，单调递增，，函数图像大体趋势如下：，根据图像知，只有一个根，因此需要有2个不同根，所以或，解得． 1．若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是 A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则有可能不存在实数使得 【解析】当零点在区间内时，也可能成立，因此A不正确，C正确；若满足函数零点存在定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确．选C． 2．方程的实数解的个数为 A．0 B．1 C．2 D．无数多 【解析】由方程，得，设函数与，画出与的图象有两个交点，故方程的实数解的个数为2个，选C． 3．用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为） A． B． C． D． 【解析】设函数的零点为，因为，，则，所以，区间长度为，取区间中点，，则，所以，区间长度为，取区间的中点，，则，所以，区间长度为，取区间的中点，则或，此时区间长度为，故方程的一个近似解为，故选：B． 4．已知，则的大小关系不可能为 A． B． C． D． 【解析】，，，，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题，分别画出，，，，，的图象，如图所示： 由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时． 对于A，时，满足，故A正确；对于B，，不满足，故B错误；对于C，，满足，故C正确；对于D，，满足，故D正确．选B． 5．定义是a，b中的较大者．已知函数，．若，且方程有个不同的解，则实数m的取值范围是 A． B． C． D． 【解析】因为，由方程有个不同的解，所以在内有两个零点，则，得，得，得．选A． 6．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为 A． B． C． D． 【解析】由，得函数的图象关于点对称，又，得函数的图象关于直线对称，从而函数是周期为4的周期函数；又当时，，则，即是的单调递增函数，，，可画出的部分图象，又方程的根即与的交点横坐标，如图： 两函数的图象共有17个交点，并且关于点对称，故所有根之和为17． 7．（多选）已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是 A．0 B．1 C．2 D．5 【解析】当时，的图象如下所示：由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，A正确； 当时，的图象如下所示：由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，B正确； 当时，图像如下所示：由图可知，不存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，C错误； 当时，图像如下所示：由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，D正确．选ABD． 8．（多选）已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是 A．函数的图象关于直线对称 B．当时， C．当时，单调递减 D．实数的取值范围是 【解析】根据题意得：由知是偶函数，由知是周期为2的周期函数，因为当时，，所以函数图象如图所示， 对于A：由图可知图象关于对称，所以A正确； 对于B：当时，，所以，所以B正确； 对于C：当时，由图象可知单调递增，所以C错误； 对于D：设，则函数在上至少有三个不同的零点，等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点，若，则函数与图象在上无交点，所以，如图所示，结合图象可知，有，即，解得，所以D正确．选ABD． 9．若函数的零点为，满足且，则k=_______． 【解析】函数可以看成函数和函数组成，两函数均在区间单调递增，所以函数在定义域上是增函数，又，，所以，即． 10．函数的零点个数为_______． 【解析】设，则，所以在上单调递增，，所以在上单调递减，则在上单调递增，因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，因为，，根据零点存在定理，可得函数在上的零点只有1个． 11．已知函数，若f(x)有两个零点，则m的取值范围是 ． 【解析】令＝0，则，，显然x≠0，参变分离得，令，f(x)有两个零点转化为函数g(x)的图象与直线y＝m有两个交点，，令，显然当x＜1时，，即，当x＞1时，，故h(x)在(1，)单调递增，又，所以当1＜x＜2时，，即，当x＞2时，，即，所以g(x)在(，0)，(0，2)单调递减，在(2，)单调递增，且x小于0时，g(x)图象位于第三象限，x＞0时，图象位于第一象限，且x→0和x→时，g(x)→，当x＝2时，g(x)取极小值1，当m＞1时，函数g(x)的图象与直线y＝m有两个交点，即m＞1时，f(x)有两个零点，故答案为(1，)． 12．设且，函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上有零点，求的取值范围． 【解析】解：（1）当时，不等式可化为， 若，则，解得，所以不等式的解集为； 若，则，解得，所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）由题意可知， 令，即，因为，所以， 所以，所以，设，则， 因为函数在上单调递减，所以，所以． 13．已知函数，且函数与的图象关于点(，1)对称． （1）求函数的解析式； （2）当x[0，]时，，求实数m的取值范围； （3）证明：函数在(，)上存在唯一零点． 【解析】解：（1）因为函数与的图象关于点(，1)对称， 所以＝2sinx﹣x； （2）因为x[0，]时，，所以m≥f(x)max， ，令，则cosx＝，因为x[0，]，所以x＝， x (0，) (，) ﹢ 0 ﹣ 单调递增 极大值 单调递减 所以f(x)max＝f()＝，故m≥； （3），令g(x)＝0，则，即，函数g(x)在(，)上存在唯一零点，就是方程在(，)上有唯一的根， 令，则，因为＜x＜，所以cosx＜0，则＞0， 所以h(x)在(，)上单调递增，，， 所以h(x)在(，)上存在唯一零点，即g(x)在(，)上存在唯一零点． 14．已知函数是偶函数，是奇函数，且． （1）求的值； （2）设函数，证明：曲线是轴对称图形； （3）当，若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 【解析】解：（1）由，得①，因为函数是偶函数，是奇函数， 则②，联立①②，解得，． ． （2），即． 设，则其定义域为． 由，所以是偶函数． 因为是偶函数，所以是偶函数，所以函数的图象关于轴对称， 所以函数的图象关于直线对称，所以曲线是轴对称图形． （3）由（1）知，，， 因为函数有且只有一个零点， 所以方程在上有且只有一个实数根． 即方程在上有且只有一个实数根． 令，则， 因为单调递增， 所以当时，， 所以问题转化为方程有且只有一个实数根， 即在上有且只有一个实数根． 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，且， 所以或，所以或，所以实数的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $