江苏省扬州中学树人教育集团2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟卷

江苏省扬州中学树人教育集团2026-2027学年九年级上学期 期中数学模拟卷 考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新苏科版九年级上册第1-3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用配方法解方程，方程可变形为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解： ， 故选C． 2.在同一平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 3.如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，是的两条半径，点在上，，    故选：． 根据圆周角定理即可求解． 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题的关键． 4.中国古代数学家杨辉的田亩比类乘除捷法中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”其大意是：一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：利用矩形面积公式即可列出方程为： ， 故选：． 根据题意，设宽为步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程． 本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键． 5.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：反比例函数的，  反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，  点在第二象限，  ，  又，  ，    故选：． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 6.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设圆心为，连接，如图所示， 垂直平分，， ， ，， ， ， ， ， 解得， 即圆形工件的半径为， 故选：． 7.关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可． 【解答】 解：， ， ， 把代入得：， 解得：，此时，符合题意， 故选：． 8.如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，线段被的图象上一点分成两部分，且，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，设点，则点，由题意可知，、两点的纵坐标相同，故，解得，则． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.设，是方程的两个实数根，则的值为          ． 【答案】  【解析】直接运用根与系数的关系计算两根之积即可． 【详解】解：方程为，其中二次项系数，常数项， ． 10.已知反比例函数，则          ． 【答案】  【解析】略 11.如图，在中，，于点，，则的长度为          ． 【答案】  【解析】略 12.圆锥的侧面积为，母线长为，则这个圆锥的底面半径为          ． 【答案】  【解析】略 13.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 【答案】且  【解析】原方程为一元二次方程，因此二次项系数不为；方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于，联立两个条件求解即可． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， 二次项系数不为，即， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 14.如图，点在双曲线的图象上，轴，垂足为，若，则该反比例函数的解析式为       ． 【答案】  【解析】解：点在双曲线的图象上，轴， ，，． ， ． ． ， ． 该反比例函数的解析式为． 故答案为：． 利用待定系数法解答即可． 本题主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 15.如图，在的内接五边形中，，则          ． 【答案】  【解析】略 16.为预防流感，某校利用休息日对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧过程及燃烧完后空气中的含药量与时间之间的关系如图所示图象前一部分为正比例函数图象，后一部分为反比例函数图象，根据消毒要求，空气中的含药量不低于且持续时间不能低于请你帮助计算一下，当空气中的含药量不低于时，持续时间可以达到           【答案】  【解析】略 17.如图，等边三角形中，在射线上，连接若，的长为方程的两根，且为符合题意的最大的整数，则不同位置的点共有          个． 【答案】  【解析】【点拨】由题意，得，解得因为为符合题意的最大的整数，所以所以，所以，当时，，所以点在的延长线上，如图当时，，所以点在线段上，有两种情况，如图，在和的位置．综上所述，不同位置的点共有个． 18.如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是          ． 【答案】  【解析】延长交于点，连接，根据垂径定理及弧中点性质推得，求得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得出当，，三点共线时，最小，最小值为的长，再利用含角的直角三角形性质求出和的长，即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接，， ， ， 为弧的中点， ， ， ， ， ． ， ， 点关于的对称点为点，即， ， 两点之间线段最短， 当，，三点共线时，最小，最小值为的长． ， ， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ，解得， ． 在中，，， ， ， 即的最小值是． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.用适当的方法解下列一元二次方程． ； ； ． 【答案】(1)【详解】解：， ∴， ∴或， 解得；   (2)解：， ∴， 整理得，， ∴， ∴或， 解得；   【解析】  用因式分解法，把一元二次方程分解成，令每个因式等于求解；   先将一元二次方程整理成一般式，再利用因式分解法解方程即可；   利用配方法解方程即可． 四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． 求的值及反比例函数的表达式 观察图象，当时，直接写出使一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 【答案】(1)n=2,反比例函数的表达式为y=-  (2)0<x<2  【解析】 略  略 21.本小题分 如图，已知为的直径，是弦，且于点连接，，． 求证：； 若，，求的直径． 【答案】(1)证明：为的直径，是弦，且于点，，.  (2)解：设的半径为，则.，，，在中，由勾股定理可得，，解得，的直径为.  【解析】 略  略 22.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明：∵Δ＝[-(2m+1)]2-4(m-2)＝4m2+9＞0，∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．  (2)解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m-2．∴x1+x2+3x1x2＝2m+1+3(m-2)＝1．  解得．  【解析】 略  略 23.本小题分 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． 求反比例函数的解析式及点的坐标； 在轴上找一点，使的值最小，请求出点坐标； 在的条件下，求线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标． 【答案】(1)解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． 则， 解得， 故点，； ∴， 解得， 故反比例函数的解析式为．   (2)解：作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P， 此时的值最小， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，， 解得， ∴当的值最小时，点P的坐标为．   (3)解：根据题意，得， 整理，得， 解方程，得， ∵， 故另一个交点的横坐标为， 此时， 故另一个交点的坐标为．   【解析】  把，代入求，，确定点，的坐标，再利用待定系数法，确定反比例函数的解析式即可；   作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可求得直线与轴的交点的坐标．   根据题意，求线段的解析式与反比例函数解析式消元得到的一元二次方程，解方程即可． 24.本小题分 如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点． 试判断与的位置关系，并说明理由 过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)DE与O相切.理由如下: 如图,连接OD. ABC的平分线交O于点D, EBD=OBD. OD=OB,ODB=OBD, ODB=EBD,OD//EB. DEBC,DEOD. OD为O的半径, DE与O相切.   (2)ABC的平分线交O于点D,ABC=,DE=3, ABD=ODB=,DF=DE=3, AOD=,BD=2DF=6, BF==3. DFAB,FDO=,OD=2OF, -=9,解得OF=,OD=2, =-=-3=2-.   【解析】 略  略 25.本小题分 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，篱笆总长为，墙对面有一个宽的门，围成的长方形鸡场除门之外四周不能有空隙． 若墙长为，要围成鸡场的面积为，则鸡场的长和宽各为多少米？ 能围成面积为的鸡场吗？ 【答案】(1)解：设鸡场垂直于墙的一边的长为x m． 依题意，得  x(33-2x+2)＝150，  解得x1＝7.5，x2＝10．  当x＝7.5时，  33-2x+2＝20(m)， ∵20＞18， ∴不符合题意，舍去；  当x＝10时，  33-2x+2＝15(m)，符合题意．  ​​​​​​​答：鸡场的宽为10 m，长为15 m．  (2)设鸡场垂直于墙的一边的长为x m． 依题意，得  x(33-2x+2)＝200，  整理得2x2-35x+200＝0． ∵Δ＝(-35)2-4×2×200  ＝-375＜0， ∴方程没有实数根．  ​​​​​​​答：不能围成面积为200 m2的鸡场．  【解析】 略  略 26.本小题分 【问题背景】某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型来量化，其中表示居民每季度的平均购物次数单位：次，表示购物中心的占地面积单位：万；表示购物中心到居民区的距离单位：；为常数且已知当万，时，次． 【模型应用】          ； 【模型应用】甲、乙两个购物中心占地面积分别为万和万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离； 【模型修正】实际调研发现，当距离时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型与基础模型一致：【模型分析】有人提出：“分段模型下，距离从增至的购物中心吸引力的降低率大于从增至的购物中心吸引力的降低率．”请通过计算判断该说法是否正确． 【答案】(1)​​​​​​​  (2)解：设甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为，，由题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ，； 答：甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为；   (3)该说法正确； 设购物中心占地面积为，由（1）知， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 距离从增至的吸引力降低率为 ； 距离从增至的吸引力降低率为 ； ， ，故该说法正确   【解析】  将已知的、、代入基础模型公式，解方程求； 解：将，，代入，得 ，解得；  根据距离比设未知数，结合基础模型表示两个购物中心的，根据次数差列方程求解；  分别计算两个取值内的吸引力降低率，比较大小判断说法是否正确． 27.本小题分 【阅读材料】我们在圆这章学习中，遇到了许多尺规作图问题，如：“作一个圆的内接正三角形”“作圆的切线”等．在古希腊人看来，所有的几何图形都是“想象之物”，通过尺规作图把它们变成了“可作之事”，然后再通过逻辑推理研究图形之间的“可明之理”其中，圆规用来画圆圆弧、截取和转移线段长度．它可以把一段线段的长度“搬”到别的位置，也能利用到定点距离相等画出轨迹，是实现等长、等距的工具．无刻度直尺只能用来过两点画直线射线、线段，不能量长度．它的作用是连接交点、确定直线，实现两点定线．尺规作图，以最简单工具，仅仅依靠画直线、画圆弧，演绎严谨的几何逻辑． 【例题感悟】 如图，网格中每个小正方形的边长均为，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为          ． 根据以下作图过程，回答下列问题： 作法：如图，作直径；作半径的垂直平分线与交于点、；连接、问：是正三角形吗？请说明理由． 【实践操作】 在矩形中，，，为边上一点，将沿直线翻折至的位置点落在点处如图，当点落在边上时，利用尺规作图，在图中作出满足条件的图形保留作图痕迹，不写作法，并直接写出此时长为． 将中劣弧沿着折叠，使得折叠后的经过点，如图请在图中使用无刻度直尺和圆规在上用两种方法求作一点，使得． 【答案】(1)​​​​​​​  (2)是正三角形，理由如下：连接、，如图， ∵垂直平分， ∴，， ∵圆的半径相等，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴根据垂径定理的推论有垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形   (3) ​​​​​​​ 根据作图可知：， ∴在中，， ∴， ∵的垂直平分线交于点P， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：；   (4)方法一：， ​​​​​​​方法二：  【解析】  本题是一道综合压轴题，考查了圆周角定理，尺规作图，垂径定理，勾股定理，矩形的性质以及轴对称的性质等知识，灵活掌握尺规作图中角平分线的作法、垂直平分线的作法是解答本题的关键． 连接，在中，利用勾股定理求出，问题得解； 解：连接，如图， 根据作图可知，， 在中，， 则：；  连接、，先证明是等边三角形，即可得，再根据垂径定理有垂直平分，可得，即可证明；  作图方法：以点为圆心，为半径画弧交于点，连接，再作的垂直平分线交于点，连接，，即可作图；在中，利用勾股定理求出，进而得出，再在中，利用勾股定理求解；  方法一，连接，作的角平分线交于点，即可；方法二：过圆心作弦的垂线，即可得到垂直于弦的直径，再作直径的垂线，交圆于点，连接交于点，即可． 方法一：证明：作垂直平分，连接， 劣弧沿着折叠，使得折叠后的经过圆心， 的长度等于半径一半， ， 在中，， ， ， 平分， ； 方法二：连接， 根据劣弧沿着折叠，使得折叠后的经过圆心，可得垂直平分，即有， 即可证明是等边三角形， ， ， ， ， ． 28.本小题分 如果点，分别在正比例函数和反比例函数的图象上，且点，关于轴对称，则称点与点为“正反等值对称点”例如，在平面直角坐标系内，点在的图象上，点在的图象上，则点与点为“正反等值对称点”． 若点在的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上，则          ． 点在正比例函数的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上，点 如图，若，四边形为平行四边形，求的值 如图，过点作轴的垂线，与的图象交于点，点在轴的正半轴上，且，过点作轴的垂线，交的图象于点点在线段上方，交线段于点，连接，，设的面积为，求关于点横坐标的函数表达式 在的条件下，连接，，点在轴的正半轴上，以，为邻边构造矩形，使，的长是关于点横坐标的函数，直线与轴相交于点，与函数的图象相交于点，与函数的图象相交于点，当点是线段的中点时，请直接写出的值． 【答案】(1)2  (2)①C(-),CO=.四边形ABOC为平行四边形,AB=CO=. 点A在正比例函数的图象上,点A的“正反等值对称点”B在=的图象上, 点A与点B关于y轴对称,点A的横坐标为-,点B的横坐标为. y=-2(-)=3,点A的坐标为(-,3),点B的坐标为(,3),k=3=,k的值为. 点D(m,0)在x轴的正半轴上,且AC=2OD,OD=m(m>0),AC=2m. C(-),过点C作x轴的垂线,与的图象交于点A,A(-m). 点A在正比例函数的图象上,点A的“正反等值对称点”B在=的图象上, B(m),k=32m=6m,AB=3-(-3)=6,AB//x轴, 反比例函数的表达式为=. 点D(m,0)在x轴的正半轴上,过点D作x轴的垂线,交的图象于点E(点E在线段AB上方), 当x=m时,y==6,即DE=6,DEAB, EH=DE-DH=6-2m,且6>2m, =ABEH=6(6-2m)=18-6m,且0<m<3, ​​​​​​​关于m(点D横坐标)的函数表达式为=18-6m(0<m<3). t的值为9+3. 如图,由知,DE=6,AB=6,DEAB, =+=ABHE+ABHD=AB(HE+HD)=ABDE, =+=66=. =OFOD=mOF,=,mOF=18,即OF=,=(0<m<3). 直线y=t与y轴相交于点P,与函数=18-6m(0<m<3)的图象相交于点M,与函数=(0<m<3)的图象相交于点N, 如图,当m=3时,==6,6<t<18, 当=t时,t=18-6m,得m=,M(,t),PM=, 当=t时,t=,得m=,N(,t),PN=. 点M是线段PN的中点, ​​​​​​​PN=2PM,即=2,解得t=9+3或t=9-3(不符合题意,舍去), 经检验,t=9+3是原方程的解且符合题意.综上所述,t的值为9+3.   【解析】  点在的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上，设，则，，，，故答案为．  略 第9页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省扬州中学树人教育集团2026-2027学年九年级上学期 期中数学模拟卷 考试时间：120分钟，分值：150分) 【答案】 1.C 2.C 3.B 4.A5.D6.C 7.A 8.B 9.-3 10.-2 11.5 12.4 13.k>-1且k≠0 14y- 15.215 16.12 17.3 18.3 19.【小题1】 【详解】解：3x2+2x-5=0, ∴.3x+5x-1=0, .3x+5=0或x-1=0, 解得=号X1, 【小题2】 解：2x+6=x+32 .2x+6=x2+6x+9, 整理得，x2+4x+3=0, ∴.x+3x+1=0, 第1页，共18页 .x+3=0或x+1=0, 解得X1=-3,X2=-1; 20.【小题1】 2 n=2,反比例函数的表达式为y=- X 【小题2】 0<X<2 21.【小题1】 证明：AB为OO的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E,.BC=BD'.∠CAO=∠BCD 【小题2】 解：设O0的半径为R,则OE=0B-BE=R-3.:AB1CD.CD=8.CE=CD=×8=4,在 aCE0中，由勾股定理可得0C=0E2+CE,R-R-3+华，解得R-2石，“O0的直径为 61 25 3 22.【小题1】 证明：：4=[-(2m+1)P-4m-2=4m2+9>0':.不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. 【小题2】 解：由根与系数的关系，得1+x2=2m+1,x1X2=m-2..X1+x2+3X1X2=2m+1+3(m-2=1.解得 m=6 23.【小题1】 解：一次函数y=X+4的图象与反比例函数y=《k≠0的图象交于A-L,a,Blb,1两点. 则a=-1+4=3,1=b+4 解得a=3,b=-3, 第2页，共18页 故点B-3,1,A-1,3: 1= -3’ 解得k=-3, 故反比例函数的解析式为y=.3 【小题2】 解：作点B作关于X轴的对称点D,交X轴于点C,连接AD,交x轴于点P, D 此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小， ∴.D-3,-1, A-1,3, 设直线AD的解析式为y=kx+b, -k+b=3 则-3k+b=-1' k=2 解得b=5 故直线AD的解析式为：y=2x+5, 当y=0时，2x+5=0, 解得X=·立 PA+PB的值最小时，点p的坐标为-号 【小题3】 y=2x+5 解：根据题意， 得 y=.3, 第3页，共18页 整理，得2x+5x+3=0, 解方程，得x=-1,X=3 21 A-1,3, 故另一个交点的横坐标为 此时y=2×- 故另一个交点的坐标为 24.【小题1】 DE与⊙O相切.理由如下： E D 如图，连接OD ,∠ABC的平分线交⊙O于点D, ∴.∠EBD=∠OBD .OD=OB,.∠ODB=∠OBD, ∴.∠ODB=∠EBD,OD/IEB DE⊥BC,.DE⊥OD OD为⊙O的半径， ∴.DE与⊙O相切. 【小题2】 ,'∠ABC的平分线交⊙O于点D,∠ABC=60°，DE=3, ∴∠ABD=∠ODB=30°，DF=DE=3, 第4页，共18页 ∴.∠AOD=60°，BD=2DF=6, ∴.BF=VBD2-DF=33 .DF⊥AB,∠FD0=30,.OD=2OF, ∴.OD-0F2=9,解得OF=3,OD=23, ∴.S阴形=S扇形A0DS△DOF= 0×x25-×3×5-2m85. 360 2 25.【小题1】 解：设鸡场垂直于墙的一边的长为xm. 依题意，得x(33-2x+2)=150, 解得X1=7.5,x2=10. 当x=7.5时，33-2x+2=20(m), .20>18 :不符合题意，舍去： 当x=10时，33-2x+2=15(m),符合题意. 答：鸡场的宽为l0m,长为15m. 【小题2】 设鸡场垂直于墙的一边的长为m. 依题意，得x(33-2x+2)=200, 第5页，共18页 整理得2x2-35x+200=0. .△=(-35)2-4×2×200=-375<0 :.方程没有实数根。 答：不能围成面积为200m的鸡场. 26.【小题1】 80 【小题2】 解：设甲购物中心到此居民区的距离为2xkm,乙购物中心到此居民区的距离为3km,X>0,由题意得 80×4.5.80×2=20, 3x 2x 解得X=2, 经检验，X=2是原方程的解， .2x=4,3x=6: 答：甲购物中心到此居民区的距离为4km,乙购物中心到此居民区的距离为6km; 【小题3】 该说法正确： 设购物中心占地面积为S,由(1)知k=80, 当d=4m时，0<4≤5，F4=80S=20S, 4 当d=6km时，6>5，P6-80S=20S 629 当d=8km时，8>5，F。=80S=5S 824 距离从4km增至6km的吸引力降低率为 F,-F620S-8 r1= 9=8: F 20S9 第6页，共18页 距离从6km增至8km的吸引力降低率为 20S5S r2= 6F8=94 F 20S 16 9 .8-128、63-7 ·914414416 .r1>r2,故该说法正确 27.【小题1】 3-V5 【小题2】 △BCD是正三角形，理由如下：连接AC、CO,如图， D ,CD垂直平分AO: .AC=CO,CD⊥AO, 圆的半径相等，即AO=CO, ∴.AO=CO=AC, ∴.△ACO是等边三角形， .∠CAO=60☐°， .∴.∠CDB=∠CAO=60▣°， .AO⊥CD .根据垂径定理的推论有AO垂直平分CD, ∴.BC=BD, ,∠CDB=60▣°， ∴.△BCD是等边三角形 【小题3】 第7页，共18页 E D 根据作图可知：AE=AB=10, :.在Rt△AED中，DE=√AE-AD=-10-8=6 ∴.CE=CD-DE=4, BE的垂直平分线交BC于点P, ∴.BP=PE ∴.CP=BC-BP=8-BP, .在Rt△CEP中，EP=EC2+PC2, .BP2=42+8-BP2: 解得：BP=5: 【小题4】 第8页，共18页 A 方法一： B X X 方法二： M ⊙ 28.【小题1】 2 【小题2】 ①C(-3,0),∴.C0=3..‘四边形AB0C为平行四边形，∴.AB=CO=3. :点A在正比例函数y,的图象上，点A的“正反等值对称点”B在y,=K的图象上， X :点A与点B关于y销对称，点A的横坐标为2点B的黄坐标为 3 3 第9页，共18页 :y-2×》=3,点A的丝标为-房3引∴B的华标为号3.k-子×3-号k的省为号 2 ②.点Dm,0)在x轴的正半轴上，且AC=2OD,∴.OD=m(m>0),AC=2m. .C(-3,0),过点C作x轴的垂线，与y1的图象交于点A,∴.A(-3,2m). ?点A在正比刹函数的图象上，点A的“正反等值对称点”B在，交的图象上， ∴.B(3,2m),.∴.k=3×2m=6m,AB=3-(-3)=6,AB/x轴， 6m .反比例函数的表达式为y2= X .点D(m,0)在x轴的正半轴上，过点D作X轴的垂线，交y2的图象于点E(点E在线段AB上方)， ∴当x=m时，y=6m=6,即DE=6,DE1AB. m .∴.EH=DE-DH=6-2m,且6>2m, 5概A0:E-×6x刘6-2m=18-6m,且0<m3. ·y3关于m(点D横坐标)的函数表达式为y3=18-6m(0<m<3). ③t的值为9+3V3 如图①，由②知，DE=6,AB=6,DE⊥AB, SesE-5ae+5⅓m专AB-D+号AB~D-ABD+D-ABDE, S影u=SA+SaAm方X6×6=1B, :S知秀Doc=OF·OD=mOP,S卷Dorc=S得55A0BE,mOF=18,即OF-18 m “y4=80<m<3. m 第10页，共18页 18 y=l M N 8 y=m 6-- y3=18-6m 0 3 ① ② .·直线y=t与y轴相交于点P,与函数y3=18-6m(0<m<3)的图象相交于点M,与函数 y,=18(0<m<3)的图象相交于点N, m 18 如图②，当m=3时，y4=3=6,.6<t<18. 当y,t=18-6m,得m-18.Ml哈，.PM- 6 当=，t冷得m-是N9小，Pw-8 m 十 十 ,点M是线段PN的中点， ∴.PN=2PM,即 8=2×18-t, 6,解得t=9+33或t=9-33(不符合题意，舍去)， 经检验，t=9+33是原方程的解且符合题意，综上所述，t的值为9+33. 【解析】 1.先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可. 【详解】解：x2-2x-7=0 x2-2X=7 x2-2x+1=7+1 x-12=81 故选C. 2.略 第11页，共18页 3.解：，OA,OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，∠AOB=80°， ∠AOB=40°」 故选：B」 根据圆周角定理即可求解。 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半是解答本题的关键. 4.解：利用矩形面积公式即可列出方程为： x(60-x)=864' 故选：A. 根据题意，设宽为X步，则长为60-x步，利用矩形面积公式即可列出方程. 本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键。 5.解：反比例函数的k=-9<0, :反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， 点A-3,y,在第二象限， .y1>0 又1<3， .y2<y3<0 .y2<y3<y1 故选：D 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可. 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键 第12页，共18页 6.解：设圆心为O,连接OB,如图所示， C D .CD垂直平分AB,AB=40cm, ∴.BD=20cm, 'CD=10cm,OC=OB, ∴.OD=0B-10, .∠ODB=90°， ∴.OD2+BD=0B2, ∴.(0B-102+202=0B2, 解得OB=25, 即圆形工件的半径为25cm, 故选：C. 7.【分析】 第13页，共18页 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程aX+bx+c=0(a≠0的根与系数的关系 b 为：X1+X2=- 名为=是解题的关键，根据一元三次方程根与系数的关系得到X+x,4,代入 a 式计算即可. 【解答】 解：.X1+X2=4, .X1+3x2=X1+X2+2X2=4+2x2=5' X22 把x,代入x2-4x+m=0得：(2-4×+m=0, 解得：m=子 a此时△=(-4-4×1×子=9>0，符合题意， 故选：A. 8BD:Cm=1:2设点D2m,2m k, 则点B(3m, +1, 由题意可知，BD两点的纵坐标相同， 3m k-k+1 解得k=2,∴.y1 k+1-3 .则SABC= k+1,3 故2m3m 9.直接运用根与系数的关系计算两根之积即可. 【详解】解：方程为x+4x-3=0,其中二次项系数a=1,常数项c=-3, xX,=￡=3=-3 a 1 10.略 11.略 12.略 13.原方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0：方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于0， 联立两个条件求解即可. 【详解】解：·原方程是关于X的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， 第14页，共18页 .二次项系数不为0，即k≠0， △>0即4=-2P-4×-1k=4+4k>0:解得k>-1 综上，k的取值范围是k>-1且k≠0。 14.解：：点P(X,y在双曲线y=的图象上，PA1x轴， X .'xy=k'OA=-x'PA=y' SAAOP=2' 1×A0PA=2. 2 .∴.-Xy=4 .Xy=-4 .k=Xy=-4 小该反比例函数的解析式为y=4 -4 故答案为：y= X 利用待定系数法解答即可· 本题主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，利用点的坐标 表示出相应线段的长度是解题的关键. 15.略 16.略 17.【点拨】由愿意，得225-28m≥0，解得m≤2.因为m为符合思意的最大的整数，所以m=8.所以 28 x2-15x+56=0,所以X1=7,X2=8.当BC=7时，CD=8,所以点D在BA的延长线上，如图①.当 第15页，共18页 BC=8时，CD=7,所以点D在线段BA上，有两种情况，如图②，在D和D'的位置.综上所述，不同位 置的D点共有3个. D D B ① ② 18.延长DO交⊙O于点M,连接PM,根据垂径定理及弧中点性质推得 AC=CF=BP'求得 ∠AOC=∠BOF=60口°，进而得∠BOM=∠BOF,点F关于AB的对称点为点M,根据两点之间线 段最短得出当E,P,M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，再利用含30口°角的直角三角形 性质求出OA和OE的长，即可求解. 【详解】解：延长DO交⊙O于点M,连接PM,FM, D B AE⊥OD ∴AC=CF1 ,F为弧BC的中点， ∴.CF=BF1 .∴.AC=CF=BF1 ∴.∠AOC=∠COF=∠BOF, ,∠AOC+∠COF+∠BOF=180▣°， ∠AOC=∠COF=∠BOF=60▣°. .∠BOM=∠AOC, 第16页，共18页 ∴.∠BOM=60☐°=∠BOF, 点F关于AB的对称点为点M,即PF=PM, ∴.PE+PF=PE+PM, 两点之间线段最短， ∴当E,P,M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长. D F M .AD⊥AB, .∠OAD=90▣°， .∠AOD=∠AOC=60▣°， ∴.∠D=30▣°， ∴.OD=2OA, 设⊙O的半径为r,则OA=OC=r, CD=2, ∴.OD=r+2, ∴.r+2=2r,解得r=2, ∴.OA=OM=2, 在Rt△OAE中，∠AOE=60☐°，∠OAE=30☐°， 0E=0A=1, ∴.EM=OE+OM=1+2=3, 即PE+PF的最小值是3. 19.1. 用因式分解法，把一元二次方程分解成3x+5x-1=0,令每个因式等于0求解： 2. 第17页，共18页 先将一元二次方程整理成一般式，再利用因式分解法解方程即可： 3. 利用配方法解方程即可. 20.1.略 2.略 21.1.略 2.略 22.1.略 2略 23.1. 把A-1,a,Bb,1代入y=X+4求a,b,确定点A,B的坐标，再利用待定系数法，确定反比例函数的 解析式即可； 2. 作点B关于X轴的对称点D,连接AD,交X轴于点P,此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小，然后利用 待定系数法求出直线AD的解析式，即可求得直线AD与X轴的交点P的坐标. 3. 根据题意，求线段的解析式与反比例函数解析式消元得到的一元二次方程，解方程即可. 24.1.略 2.略 25.1.略 2.略 26.1. 将已知的F、S、d代入基础模型公式，解方程求k: 第18页，共18页 解：将S=3,d=4,F=60代入F=S, 60=3k 4 解得k=80: 2.根据距离比设未知数，结合基础模型表示两个购物中心的F,根据次数差列方程求解： 3.分别计算两个取值内的吸引力降低率，比较大小判断说法是否正确. 27.1. 本题是一道综合压轴题，考查了圆周角定理，尺规作图，垂径定理，勾股定理，矩形的性质以及轴对称的 性质等知识，灵活掌握尺规作图中角平分线的作法、垂直平分线的作法是解答本题的关键。 连接AD,在Rt△AED中，利用勾股定理求出DE,问题得解： 解：连接AD,如图， E 根据作图可知，AD=AB=3, 在Rt△AED中，DE=AD2-AE=32-2=51 则：CD=EC-DE=3-V5: 2.连接AC、CO,先证明△ACO是等边三角形，即可得∠CDB=∠CAO=60口°，再根据垂径定理有 AO垂直平分CD,可得BC=BD,即可证明： 3.作图方法：以点A为圆心，AB为半径画弧交CD于点E:连接BE'再作BE的垂直平分线交BC于点P 连接AP,EP,即可作图；在Rt△AED中，利用勾股定理求出DE,进而得出EC,再在Rt△ECP中， 利用勾股定理求解： 第19页，共18页 4.方法一，连接0A,作∠OAB的角平分线交OB于点Q:即可：方法二：过圆心0作弦AB的垂线，即可 得到垂直于弦AB的直径X灯，再作直径灯的垂线OM,交圆O于点N,连接AN交OB于点Q,即可. 方法一：证明：作OV垂直平分AB,连接OB, :劣弧AB沿着AB折叠，使得折叠后的AB经过圆心O: AB .OV的长度等于半径一半， 0v=20A :在RtA AOV中，sin∠OAV=OY AO sin∠OAy=OY=1 A02 ∴.∠OAV=30▣°， .AQ平分∠OAB, ∴.∠OAQ=15▣； 方法二：连接AY, 0 第20页，共18页 根据劣弧AB沿若AB折叠，使得折叠后的AB经过圆心0，可得AB垂直平分OY,即有AO=AY, 即可证明△AOY是等边三角形， ∴.∠OAY=60▣°， .ON⊥OY, ∴.∠NOY=90▣°， ·∠NAY=3NoY=45☐， ∴.∠OAQ=∠OAY-∠NAY=15▣°. 28.1. .点A在y1=-2x的图象上，点A的“正反等值对称点”B在y2=二的图象上，设A(a,-2a),则 B(-a,-2a),.-a×(-2a)=2,.a2=1,∴.a=1,.AB=-a-a=2|a=2.故答案为2. 2.略 第21页，共18页江苏省扬州中学树人教育集团2026-2027学年九年级上学期 期中数学模拟卷 考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新苏科版九年级上册第1-3章。 第卷 一、选择题本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用配方法解方程x2-2x-7=0,方程可变形为() A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=6C.(x-1)2=8 D.(x+1)2=8 2.在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=2x与反比例函数y=-的图象大致是() 朵水衣 3.如图，OA,OB是⊙0的两条半径，点C在⊙0上，若LA0B=80°，则∠C的度数为() A.30° B.40° C.50° D.60° 4.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问 长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多 多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为() A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2[x+(x+60)]=864 第1页，共10页 5.若点A(-3y,B(1,y2),C(3,y)都在反比例函数y=-的图象上，则1,2，y3的大小关系是() A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y1 6.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任 取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点C,测出AB=40cm,CD=10c,则 圆形工件的半径为() A.50cm B.35cm C.25cm D.20cm C D B . 7.关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5,则m的值为() A > B.5 c D.0 8如图，反比例函数1-中'e<0.为=cx<0的图象在平面直角坐标系中，点B为1-牛<0) 的图象上一点，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、C,线段BC被y2=(x<O)的图象上一点D分 成两部分，且BD:CD=1:2,则△ABC的面积为() A B k+] y,= A.2 B号 c号 D.1 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.设x1,x2是方程x2+4x一3=0的两个实数根，则x1x2的值为一。 10.已知反比例函数y=(k-2)xM-3,则k= 第2页，共10页 11.如图，在⊙0中，尼=24C,AD10C于点D,AB=10,则AD的长度为 B 12.圆锥的侧面积为20π，母线长为5，则这个圆锥的底面半径为 13.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 14.如图，点P(化)在双曲线y=的图象上，PA1x轴，垂足为A,若S64OP=2,则该反比例函数的解析式 为一· YA A 15.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则LB+∠E=一 B D 16.为预防流感，某校利用休息日对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧过程及燃烧完后空气中的含药量y(mg /m3)与时间x()之间的关系如图所示（图象前一部分为正比例函数图象，后一部分为反比例函数图象），根 据消毒要求，空气中的含药量不低于3mg/m3且持续时间不能低于10h.请你帮助计算一下，当空气中的含药 量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到h ↑/(mg/m3) 6 2 24 x/h 第3页，共10页 17.如图，等边三角形ABC中，D在射线BA上，连接CD.若BC,CD的长为方程x2-15x+7m=0的两根，且m 为符合题意的最大的整数，则不同位置的D点共有个. 18.如图，AB是⊙O的直径，AD L AB于点A,OD交⊙O于点C,AE1OD于点E,交⊙O于点F,F为弧BC 的中点，P为线段AB上一动点，若CD=2,则PE+PF的最小值是 D E B 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题8分)用适当的方法解下列一元二次方程. (1)3x2+2x-5=0: (2)2x+6=(x+3)2: 20.(本小题8分) 如图，一次函数y=一x+1的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(-1,m),B(2,-1)两点，与)y轴交 于点C. (1)求n的值及反比例函数的表达式， (2)观察图象，当x>0时，直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围. B 第4页，共10页 21.(本小题8分) 如图，己知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.连接AC,OC,BC. (1)求证：∠CA0=∠BCD: (2)若BE=3,CD=8,求⊙O的直径. 22.(本小题8分) 已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m-2=0. (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根分别为x1,x2,且x1+x2+3x1x2=1,求m的值. 23.(本小题12分) 如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(-1,a),B(b,1)两点. (1)求反比例函数的解析式及点B的坐标： 第5页，共10页 (2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，请求出点P坐标； (3)在(2)的条件下，求线段PA与反比例函数图象的另一个交点的坐标. 24.(本小题8分) 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，LABC的平分线交⊙O于点D,DE1BC于点E. (1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)过点D作DF1AB于点F,若LABC=60°，DE=3,求图中阴影部分的面积. 25.(本小题8分) 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，篱笆总长为33，墙对面有一 个2宽的门，围成的长方形鸡场除门之外四周不能有空隙. 18m 2m (1)若墙长为18m,要围成鸡场的面积为150m2,则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)能围成面积为200m2的鸡场吗？ 第6页，共10页 26.(本小题12分) 【问题背景】某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型F=k 来量化，其中F 表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万m)；d表示购物中心到 居民区的距离（单位：km);k为常数且k>0.已知当S=3万m2,d=4m时，F=60次. (1)【模型应用】k=一； (2)【模型应用】甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万m2和4.5万2，它们到同一居民区的距离之比为 23,每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离： (3)【模型修正】实际调研发现，当距离d>5k时，居民的购物意愿下降速度明显加快.因此，团队对模 a(0<d≤5) 型进行优化，提出分段模型(k与基础模型一致)：F= k (a2(d>5) 【模型分析】有人提出：“分段模型下， 距离从4km增至6km的购物中心吸引力的降低率大于从6km增至8km的购物中心吸引力的降低率.”请通过 计算判断该说法是否正确. 27.(本小题12分) 【阅读材料】我们在《圆》这章学习中，遇到了许多尺规作图问题，如“作一个圆的内接正三角形”“作 圆的切线”等.在古希腊人看来，所有的几何图形都是“想象之物”，通过尺规作图把它们变成了“可作 之事”，然后再通过逻辑推理研究图形之间的“可明之理”.其中，圆规用来画圆（圆弧）、截取和转移线段 长度.它可以把一段线段的长度“搬”到别的位置，也能利用到定点距离相等画出轨迹，是实现等长、等 第7页，共10页 距的工具.无刻度直尺只能用来过两点画直线（射线、线段），不能量长度.它的作用是连接交点、确定直线， 实现两点定线.尺规作图，以最简单工具，仅仅依靠画直线、画圆弧，演绎严谨的几何逻辑. 【例题感悟】 (1)如图1，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点D,则CD的长为 D 图】 (2)根据以下作图过程，回答下列问题： 作法：如图2，①作直径AB;②作半径OA的垂直平分线与⊙O交于点C、D:③连接BC、BD.问：△BCD是 正三角形吗？请说明理由 C B 0 D 图2 【实践操作】 (3)在矩形ABCD中，AD=8,AB=10,P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点 E处)如图3，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图4中作出满足条件的图形（保留作图痕迹，不写作法 ),并直接写出此时BP长为： D 图3 图4 第8页，共10页 (4)将⊙0中劣弧4B沿着AB折叠，使得折叠后的AB经过点0，如图5请在图中使用无刻度直尺和圆规在B0 上用两种方法求作一点Q,使得∠0AQ=15。. 方法一 方法二 图5 28.(本小题12分) k2 如果点A,B分别在正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象上，且点A,B关于y轴对称，则称点A与 点B为“正反等值对称点”例如，在平面直角坐标系内，点A(-1,1)在y1=一x的图象上，点B(1,1)在y2= 的图象上，则点A与点B为“正反等值对称点”· AY B A C OD 0 m ① ② 备用图 (①)若点A在y1=一2x的图象上，点A的“正反等值对称点”B在2=的图象上，则AB=一· 第9页，共10页 (2)点A在正比例函数y1的图象上，点A的“正反等值对称点”B在y2=的图象上，点C(-3,0) ①如图①，若y1=一2x,四边形AB0C为平行四边形，求k的值； ②如图②，过点C作x轴的垂线，与y1的图象交于点A,点D(m,0)在x轴的正半轴上，且AC=20D,过点D 作x轴的垂线，交y2的图象于点E(点E在线段AB上方)，交线段AB于点H,连接AE,BE,设△ABE的面积为 y3,求y3关于m(点D横坐标)的函数表达式； ③在②的条件下，连接AD,BD,点F在y轴的正半轴上，以OD,OF为邻边构造矩形DOFG,使S矩形DOG= S四边形ADBE,OF的长是关于m(点D横坐标)的函数y4,直线y=t与y轴相交于点P,与函数y3的图象相交于点 M,与函数y4的图象相交于点N,当点M是线段PN的中点时，请直接写出t的值 第10页，共10页 江苏省扬州中学树人教育集团2026-2027学年九年级上学期 期中数学模拟卷 考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新苏科版九年级上册第1-3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用配方法解方程，方程可变形为(    ) A. B. C. D. 2.在同一平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 3.如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.中国古代数学家杨辉的田亩比类乘除捷法中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”其大意是：一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 5.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 6.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为(    ) A. B. C. D. 7.关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，线段被的图象上一点分成两部分，且，则的面积为(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.设，是方程的两个实数根，则的值为          ． 10.已知反比例函数，则          ． 11.如图，在中，，于点，，则的长度为          ． 12.圆锥的侧面积为，母线长为，则这个圆锥的底面半径为          ． 13.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 14.如图，点在双曲线的图象上，轴，垂足为，若，则该反比例函数的解析式为       ． 15.如图，在的内接五边形中，，则          ． 16.为预防流感，某校利用休息日对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧过程及燃烧完后空气中的含药量与时间之间的关系如图所示图象前一部分为正比例函数图象，后一部分为反比例函数图象，根据消毒要求，空气中的含药量不低于且持续时间不能低于请你帮助计算一下，当空气中的含药量不低于时，持续时间可以达到           17.如图，等边三角形中，在射线上，连接若，的长为方程的两根，且为符合题意的最大的整数，则不同位置的点共有          个． 18.如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是          ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分用适当的方法解下列一元二次方程． ； ； 20.本小题分 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． 求的值及反比例函数的表达式 观察图象，当时，直接写出使一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 21.本小题分 如图，已知为的直径，是弦，且于点连接，，． 求证：； 若，，求的直径． 22.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 23.本小题分 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． 求反比例函数的解析式及点的坐标； 在轴上找一点，使的值最小，请求出点坐标； 在的条件下，求线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标． 24.本小题分 如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点． 试判断与的位置关系，并说明理由 过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积． 25.本小题分 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，篱笆总长为，墙对面有一个宽的门，围成的长方形鸡场除门之外四周不能有空隙． 若墙长为，要围成鸡场的面积为，则鸡场的长和宽各为多少米？ 能围成面积为的鸡场吗？ 26.本小题分 【问题背景】某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型来量化，其中表示居民每季度的平均购物次数单位：次，表示购物中心的占地面积单位：万；表示购物中心到居民区的距离单位：；为常数且已知当万，时，次． 【模型应用】          ； 【模型应用】甲、乙两个购物中心占地面积分别为万和万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离； 【模型修正】实际调研发现，当距离时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型与基础模型一致：【模型分析】有人提出：“分段模型下，距离从增至的购物中心吸引力的降低率大于从增至的购物中心吸引力的降低率．”请通过计算判断该说法是否正确． 27.本小题分 【阅读材料】我们在圆这章学习中，遇到了许多尺规作图问题，如：“作一个圆的内接正三角形”“作圆的切线”等．在古希腊人看来，所有的几何图形都是“想象之物”，通过尺规作图把它们变成了“可作之事”，然后再通过逻辑推理研究图形之间的“可明之理”其中，圆规用来画圆圆弧、截取和转移线段长度．它可以把一段线段的长度“搬”到别的位置，也能利用到定点距离相等画出轨迹，是实现等长、等距的工具．无刻度直尺只能用来过两点画直线射线、线段，不能量长度．它的作用是连接交点、确定直线，实现两点定线．尺规作图，以最简单工具，仅仅依靠画直线、画圆弧，演绎严谨的几何逻辑． 【例题感悟】 如图，网格中每个小正方形的边长均为，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为          ． 根据以下作图过程，回答下列问题： 作法：如图，作直径；作半径的垂直平分线与交于点、；连接、问：是正三角形吗？请说明理由． 【实践操作】 在矩形中，，，为边上一点，将沿直线翻折至的位置点落在点处如图，当点落在边上时，利用尺规作图，在图中作出满足条件的图形保留作图痕迹，不写作法，并直接写出此时长为． 将中劣弧沿着折叠，使得折叠后的经过点，如图请在图中使用无刻度直尺和圆规在上用两种方法求作一点，使得． 28.本小题分 如果点，分别在正比例函数和反比例函数的图象上，且点，关于轴对称，则称点与点为“正反等值对称点”例如，在平面直角坐标系内，点在的图象上，点在的图象上，则点与点为“正反等值对称点”． 若点在的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上，则          ． 点在正比例函数的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上，点 如图，若，四边形为平行四边形，求的值 如图，过点作轴的垂线，与的图象交于点，点在轴的正半轴上，且，过点作轴的垂线，交的图象于点点在线段上方，交线段于点，连接，，设的面积为，求关于点横坐标的函数表达式 在的条件下，连接，，点在轴的正半轴上，以，为邻边构造矩形，使，的长是关于点横坐标的函数，直线与轴相交于点，与函数的图象相交于点，与函数的图象相交于点，当点是线段的中点时，请直接写出的值． 第3页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $