精品解析：江苏泗阳县淮海路实验学校2026-2027学年度九年级第一学期期中考试数学试卷

泗阳县淮海路实验学校2026-2027学年度九年级第一学期期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新苏科版九年级数学上册第1-第3章第5节． 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 反比例函数的k的值是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列说法正确的是（ ） A. 圆中最长的弦只有一条 B. 半圆不是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 3. 如图，与相切于点，若，，则的半径长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 4 4. 如图，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是半圆O的直径，，D是半圆上任意一点，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 7. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”．大意为：如图，现有圆柱形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来（沿横截面）测得深度为1寸，锯长为1尺（1尺＝10寸），问木材的直径是多少？经计算，木材的直径为（ ）寸． A. B. 10 C. 13 D. 26 8. 小刚在解关于的方程（）时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的是原方程的的相反数，则原方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法中正确的是（ ）． A. 若方程的两个根是和3，则 B. 若方程有两个根互为相反数，则 C. 当时，方程有两个相等的实数根 D. 当时，方程一定有一个根为 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 12. 已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 13. 点，在函数的图象上，则_____（填“＞”或“＜”）． 14. 若是一元二次方程的根，则的值为_________． 15. 如图，四边形内接于，，连接、，则____． 16. 的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 17. 如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 18. 如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 三、解答题：本题共9小题，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2） 20. 已知，是x的正比例函数，是x的反比例函数．且当时，；当时，．求： （1）y关于x的函数关系式； （2）当时，y的值． 21. 如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法． （1）作圆心和的中点． （2）连接，交于点，若，，求的半径． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程必有两个不相等的实数根． （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 23. 如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 24. 某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 25. 如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上的任意一点，若，求点的坐标； （3）请直接写出不等式的解集__________________； 27. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以速度向点C移动，连接，点P的运动时间为． （1）当的面积等于时，求t的值； （2）以Q为圆心，为半径画： ①当与线段所在直线相切时，求t的值； ②当与线段有两个公共点时，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泗阳县淮海路实验学校2026-2027学年度九年级第一学期期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新苏科版九年级数学上册第1-第3章第5节． 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 反比例函数的k的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：反比例函数的k的值是． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 圆中最长的弦只有一条 B. 半圆不是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、圆中最长的弦为直径，而直径有无数条，原说法错误； B、半圆是弧，原说法错误； C、长度相等的两段弧不一定是等弧，原说法错误； D、圆上各点到圆心的距离相等，原说法正确． 3. 如图，与相切于点，若，，则的半径长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由切线的性质可得，在中，由勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴在中，． 4. 如图，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得． 5. 如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据在同圆中，同弧所对圆心角相等，得，根据直径所对圆周角是直角，得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， 是的直径， ， ，   故选：D ． 6. 如图，是半圆O的直径，，D是半圆上任意一点，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径所对圆周角等于，得到，进而得到，再根据圆周角定理得到． 【详解】解：连接， 是半圆O的直径， ， ， ， ， ． 7. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”．大意为：如图，现有圆柱形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来（沿横截面）测得深度为1寸，锯长为1尺（1尺＝10寸），问木材的直径是多少？经计算，木材的直径为（ ）寸． A. B. 10 C. 13 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱形木材的圆心为，连接，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设圆柱形木材的圆心为，连接， 如图所示：由题意知：， 则寸， 设圆柱形木材的半径为寸， 则寸，寸， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为13寸， 则圆柱形木材的直径为26寸． 8. 小刚在解关于的方程（）时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的是原方程的的相反数，则原方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程的根的定义求出抄错的值，再推导原方程并求解． 【详解】解：设小刚抄错的为，则抄错的方程为， ∵是该方程的根， ∴将代入方程得， 解得， ∵所抄的是原方程的相反数，即， ∴原方程的， 原方程为， 因式分解得， 解得，． 9. 如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形周长求出边长，利用面积公式求出高，结合勾股定理确定点B的横坐标绝对值，根据图象所在象限确定点B坐标，代入反比例函数解析式求解. 【详解】解：过点B作轴于点， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为20， ∴， 解得， 在中，， 由图可知，点B在第二象限，A在轴负半轴，且点B在点A的左侧， ∴， ∴， ∴反比例函数（）经过点， ∴. 10. 对于一元二次方程，下列说法中正确的是（ ）． A. 若方程的两个根是和3，则 B. 若方程有两个根互为相反数，则 C. 当时，方程有两个相等的实数根 D. 当时，方程一定有一个根为 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系、根的判别式以及方程的解逐项判断即可． 【详解】解：A．若两根为和，由根与系数的关系得，化简得，故A错误； B．设两根为，若两根互为相反数，则，由根与系数的关系得，又，故，B正确； C．方程判别式为，当时方程有两个相等的实数根，故C错误； D．将代入方程左边得，，D错误． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，代入待求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 12. 已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 【答案】内 【解析】 【分析】比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在内． 13. 点，在函数的图象上，则_____（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】将A,B两点的横坐标代入函数解析式求出,的值，再比较两个负数的大小即可得到结论． 【详解】解：∵点，在函数的图象上， ∴把代入解析式得 ， 把代入解析式得 ， ∵，，， ∴两个负数比较大小，绝对值大的数更小，可得， ∴． 14. 若是一元二次方程的根，则的值为_________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的求根公式得到，，，然后代入求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，，， ∴． 15. 如图，四边形内接于，，连接、，则____． 【答案】140 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 16. 的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 【答案】相交 【解析】 【详解】解：的直径为， 的半径， 圆心与直线的距离， ， 直线与的位置关系是相交． 17. 如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5， ∴不等式的解集是． 18. 如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 三、解答题：本题共9小题，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： ，， ∴ 解得，． 20. 已知，是x的正比例函数，是x的反比例函数．且当时，；当时，．求： （1）y关于x的函数关系式； （2）当时，y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的定义设，，表示出，然后利用待定系数法求解； （2）将代入求解即可． 【小问1详解】 解：设，， ∴ 根据题意得， 解得 ∴； 【小问2详解】 解：当时，． 21. 如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法． （1）作圆心和的中点． （2）连接，交于点，若，，求的半径． 【答案】（1）如图，点和点即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，的垂直平分线与的交点即为点； （2）连接，由垂径定理的逆定理可得，，使用勾股定理计算出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可知，点是的中点， ∴， ∴， 在中，． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程必有两个不相等的实数根． （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 23. 如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：连接． 是的两条切线， ，， ． ，四边形的内角和为， 在四边形中，． ， ， ． 24. 某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 【答案】修理工人应准备直径为的管道 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图，过点O作于D，连接，则．设半径为，则，．在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于D，连接， 则． 设半径为，则，． 在中，， 即， 解得：， ． 故修理工人应准备直径为的管道． 25. 如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）5 【解析】 【分析】（1）如图，连接，则，易证，从而得到，进而求得，再根据切线定义即可证明结论； （2）如图，连接，过点作于，易证四边形是矩形，则，利用垂径定理可得，在中，最后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ， 在中，， 的半径长为5． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上的任意一点，若，求点的坐标； （3）请直接写出不等式的解集__________________； 【答案】（1），； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入直线，把点代入，求出m，k的值，进而即可得到答案； （2）先求出的面积，再根据，列出方程，得到，进而即可求解； （3）观察函数图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方时或，进而即可得到答案 【小问1详解】 解：把点代入直线得：， ∴， ∴一次函数表达式为：， 把点代入得：，解得： ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得： ∴点的坐标为或 【小问3详解】 解：由函数图象可知：当一次函数图象在反比例函数图象上方时：或， ∴不等式的解集为：或 27. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以速度向点C移动，连接，点P的运动时间为． （1）当的面积等于时，求t的值； （2）以Q为圆心，为半径画： ①当与线段所在直线相切时，求t的值； ②当与线段有两个公共点时，求t的取值范围． 【答案】（1）t的值为1或5 （2）①t的值为0或；② 【解析】 【分析】（1）表示出，由面积解方程即可求解； （2）①由相切得，利用勾股定理建立方程即可求解； ②与线段有两个公共点，则点到线段的距离小于半径，且，由①及解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，则， ∵， ∴， 即， 解得， 即当的面积等于时，t的值为1或5； 【小问2详解】 解：①当与线段所在直线相切时，则点Q到直线的距离为6， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：，； 即t的值为0或时，与线段所在直线相切； ②连接，过点Q作于点E，如图， 当与线段有两个公共点时，则小于半径，且， 当小于半径时，由①得； 当时，则， 即， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 综上，当与线段在两个公共点时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $