精品解析：贵州贵阳市清镇市2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

清镇市2027届九年级第一学期阶段性监测练习卷 数 学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 小星转动转盘，如果用表示沿逆时针方向转3圈，那么沿顺时针方向旋转2圈表示为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 2. 如图是中国天眼FAST的主动反射面大锅，其原型可以看成球面的一部分，从上面看，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，3，1 B. 2，3， C. 2，，1 D. 2，3，0 4. 已知是方程的一个根，则的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 小红在喝水时发现一个有趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与桌面平行．如图是某一静止状态下水杯的截面图，水面与地面平行，即．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将一元二次方程配方后，原方程可变为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点．图中与一定相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，点，是一次函数图象上的两点，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. ，，，是成比例的线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，点在轴上，点在轴上，若点的坐标为，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 在《九章算术》中有一道题，大意是：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．相遇时，甲、乙各走了多远？如果设甲、乙两人相遇时所走的时间为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，古建筑藻井图案是一个正方形内嵌套多个正八边形．小红想在正方形内作一个正八边形，其作法是：连接，相交于点，分别以，，，为圆心，以的长为半径作弧，弧与正方形的交点即为正八边形的顶点．若，则所作正八边形的边长的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 比较大小：－1________3（填“＞”“＜”或“＝”）． 14. 一元二次方程的解是 ________． 15. 2026年10月25日上午8时，2026多彩贵州半程马拉松超级联赛（第四站）暨贵阳清镇半程马拉松在“湖城清镇”鸣枪开跑，8000名选手参赛．假设这8000名选手全部完赛，组委会从这8000名完赛选手中随机抽取100个直通2027贵阳马拉松半程项目的参赛名额．则每名完赛选手获得直通名额的概率为________． 16. 如图，在矩形中，垂直平分交于点，交于点．点在上，交于点，若，，，则的长为________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解答 （1）计算：； （2）小红和小星分别求出了方程的根． 小红：； 小星：，． 他们的答案正确吗？请说明理由． 18. 如图，在菱形中，为对角线上的一点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 19. 为增强学生节水意识，某校数学老师组织学生观察未拧紧的水龙头，并在漏水的水龙头下方放一个量杯． （1）小红每隔记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表： 时间 1 2 3 4 5 6 7 8 … 漏水量 5.5 11 16.5 22 27.5 33 38.5 44 … 小红发现，漏水量是时间的一次函数，根据小红的实验数据，求出与之间的函数关系式； （2）小星在小红的基础上，每隔继续记录量杯中的水量，并将数据填入下表， 时间 9 10 11 12 13 … 漏水量 49.5 50 50 50 50 … 他发现，自己的实验数据是正确的，但漏水量与时间之间的函数关系与小红发现的规律不相符，请说明出现这种情况的原因． 20. 学校体育组想要了解七年级学生的跳绳整体水平，随机抽取该校七年级（1）班名学生跳绳次数记录如下： 跳绳次数 人数 跳绳次数 人数 根据以上信息，回答下列问题： （1）这个数据的众数是 次，中位数是 次； （2）小红将这个数据绘制成如图①所示的统计图，请根据图①提供的信息，直接写出这组数据的下四分位数是 次； （3）经过一段时间训练后，该班对这名学生进行第二次测试，并将两次数据制作成如图②所示的统计图．请根据图②提供的信息，判断该班学生第二次跳绳成绩是上升还是下降，并说明理由． 21. 如图是一架长为的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为． （1）求梯子底端到墙的距离的长； （2）如果梯子顶端向上滑动，则梯子底端会往左滑动，如果梯子底端向左滑动的距离恰好等于梯子顶端向上滑动距离的2倍，求梯子底端向左滑动的距离． 22. 位于清镇市红枫湖下游青龙山街道河堤村的梯青塔，民国年间被列为清镇八景之一．某数学兴趣小组想测量梯青塔的高度，制定了如下测量方案，其测量方案及相关数据如下： 主题 测量梯青塔的高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1 将一根长3米的标杆垂直立于地面上的点处，再后退4米到达点处（即米）．此时，塔顶、标杆顶端与点恰好在同一条直线上． 步骤2 将一根长3米的标杆垂直立于地面上的点处，使其与标杆相距12米（即米），再后退6米到达点处（即米）．此时，塔顶、标杆顶端与点恰好在同一条直线上． 备注 点，，，，在同一直线上． （1）若点到的距离可测，且测得米，请结合步骤1中的测量信息，求梯青塔的高度； （2）若点到的距离不可测，请结合步骤1和步骤2中的测量信息，求梯青塔的高度． 23. 如图，在四边形中，，且，点是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）设点是的中点，连接交于点．根据题意补全图形． ①若，判断的形状，并说明理由； ②猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 24. 项目课题：如何在减少库存的同时提高每天总利润． 项目背景：年月日是我市某商场五周年庆典日．该商场内某服装店有一款服装积压较多，为吸引顾客，并在保证每天总利润的前提下尽量多售出服装，店家决定在商场五周年庆典当天对该款服装开展降价促销． 市场调研：该款服装正常销售时，平均每天可售出件，每件赢利元．若每件降价元，平均每天可多售出件，设店家准备将该款服装每件降价元…… 分析问题： （1）若该服装每件降价元，则每件赢利 元，此时平均每天可售出 件； 解决问题： （2）若店家想实现平均每天赢利元，每件服装应降价多少元？ 深入研究： （3）店家通过降价促销，平均每天赢利能否达到元？若能，求出每件应降价多少元；若不能，请说明理由． 25. 小星在学习完特殊平行四边形一章后，想对特殊四边形作进一步探究． 已知，矩形中，，分别在边，上，连接，过点作交射线于点． （1）【问题解决】 如图①，若，延长交于点，则线段与线段之间的数量关系是 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，若点是的中点，，求证：； （3）【拓展延伸】 如图③，若，，，连接．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清镇市2027届九年级第一学期阶段性监测练习卷 数 学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 小星转动转盘，如果用表示沿逆时针方向转3圈，那么沿顺时针方向旋转2圈表示为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵沿逆时针方向转3圈表示为，即逆时针转动记为正． ∴顺时针转动记为负． ∴沿顺时针方向旋转2圈表示为． 2. 如图是中国天眼FAST的主动反射面大锅，其原型可以看成球面的一部分，从上面看，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从上面看即俯视图，该几何体边缘为圆形，正投影即为圆． 【详解】解：从上面看，该几何体的轮廓是一个圆，故其俯视图为圆，选项A符合题意． 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，3，1 B. 2，3， C. 2，，1 D. 2，3，0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，3，， 故选：B． 4. 已知是方程的一个根，则的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 因式分解得， 或， ， 是方程的根， 的取值为1或2， 对应选项为C． 5. 小红在喝水时发现一个有趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与桌面平行．如图是某一静止状态下水杯的截面图，水面与地面平行，即．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴ 6. 将一元二次方程配方后，原方程可变为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于原方程的二次项系数为1，所以先确定一次项系数，计算其一半的平方，这是配方的关键突破口．因为配方需要在方程两边同时加上相同的数，所以将计算得到的平方数加到原方程两边，再将左边整理为完全平方式．最后将整理后的式子与各个选项进行对比，匹配对应的变形结果． 【详解】解：， 方程两边加，得， 即. 7. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点．图中与一定相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，利用平行线的性质得出内错角相等，结合对顶角相等，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．也可以根据平行线直接判定相似． 【详解】∵， ∴，． ∴． 8. 已知，点，是一次函数图象上的两点，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：把代入，得； 把代入，得； ∵， ∴． 9. ，，，是成比例的线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】成比例线段按给定顺序对应成比例，据此列比例式求解. 【详解】解：∵，，，是成比例的线段， ∴. ∵，，， ∴. ∴. 解得. 10. 如图，菱形中，点在轴上，点在轴上，若点的坐标为，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由菱形的性质得到，根据勾股定理求两点间距离列方程并解方程即可． 【详解】解：设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ 解得 ∴． 11. 在《九章算术》中有一道题，大意是：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．相遇时，甲、乙各走了多远？如果设甲、乙两人相遇时所走的时间为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将甲乙的行走路径转化为直角三角形的三边，利用勾股定理列方程． 【详解】解：相遇时乙向东行走的路程为步，甲行走的总路程为步，甲先向南走10步，斜向北偏东方向的路程为步， ∵ 出发点、甲向南走10步的终点、相遇点构成直角三角形，两条直角边长分别为10步和步，斜边长为甲斜走的路程， ∴ ， 即． 12. 如图，古建筑藻井图案是一个正方形内嵌套多个正八边形．小红想在正方形内作一个正八边形，其作法是：连接，相交于点，分别以，，，为圆心，以的长为半径作弧，弧与正方形的交点即为正八边形的顶点．若，则所作正八边形的边长的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形性质求出对角线  的长，进而得到半径  的长，结合图形确定  和  的长，利用  求解． 【详解】 四边形  是正方形， ，  ．  ． 由作图可知，以  为圆心， 为半径的弧交  于点 ，以  为圆心， 为半径的弧交  于点  ， ， ． ， ． ． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 比较大小：－1________3（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 【解析】 【分析】利用有理数大小比较中“正数大于一切负数”的规则，可快速判断两数的大小关系． 【详解】解：负数小于0，正数大于0， 正数大于负数， ． 14. 一元二次方程的解是 ________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 可得或， 解得． 15. 2026年10月25日上午8时，2026多彩贵州半程马拉松超级联赛（第四站）暨贵阳清镇半程马拉松在“湖城清镇”鸣枪开跑，8000名选手参赛．假设这8000名选手全部完赛，组委会从这8000名完赛选手中随机抽取100个直通2027贵阳马拉松半程项目的参赛名额．则每名完赛选手获得直通名额的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知总共有8000名完赛选手，共设置100个随机抽取的直通名额，按照等可能事件的概率计算规则求解即可． 【详解】解：每名完赛选手获得直通名额的概率． 16. 如图，在矩形中，垂直平分交于点，交于点．点在上，交于点，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】在上取点N，连接，使，作于点M，根据勾股定理求出，证明，求出，，根据及，推出，设，求得，，根据等腰三角形三线合一的性质得到，由此列得，求出，即可得到． 【详解】解：如图，在上取点N，连接，使，作于点M， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解答 （1）计算：； （2）小红和小星分别求出了方程的根． 小红：； 小星：，． 他们的答案正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 小红和小星的答案都不正确． 理由如下： 对于方程， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根，故小红的答案错误． 由求根公式得 ． 即方程的根为，，故小星的答案错误． 因此两人答案都错误． 【解析】 【分析】（1）将原式拆分为绝对值、零指数幂、算术平方根三个独立运算模块，分别依据对应数学规则计算每个模块的结果，再按照实数加减运算法则合并结果． （2）先明确一元二次方程根的验证方法，可选择代入检验法或公式法，代入检验法是将两人给出的根分别代入原方程，观察等式是否成立；公式法是先计算判别式，再代入求根公式得到方程的正确根，与两人的答案对比判断正误． 【小问1详解】 解：负数的绝对值是它的相反数，因此； 任意非零实数的0次幂都等于1，因此； 表示4的算术平方根，结果为2； 合并计算： 原式． 【小问2详解】 略． 18. 如图，在菱形中，为对角线上的一点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，即可证明； （2）作，交于点F，根据菱形的性质得到，根据30度角的性质得到，可知，根据得到，即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，作，交于点F， ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 为增强学生节水意识，某校数学老师组织学生观察未拧紧的水龙头，并在漏水的水龙头下方放一个量杯． （1）小红每隔记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表： 时间 1 2 3 4 5 6 7 8 … 漏水量 5.5 11 16.5 22 27.5 33 38.5 44 … 小红发现，漏水量是时间的一次函数，根据小红的实验数据，求出与之间的函数关系式； （2）小星在小红的基础上，每隔继续记录量杯中的水量，并将数据填入下表， 时间 9 10 11 12 13 … 漏水量 49.5 50 50 50 50 … 他发现，自己的实验数据是正确的，但漏水量与时间之间的函数关系与小红发现的规律不相符，请说明出现这种情况的原因． 【答案】（1） （2） 当时，按小红得出的一次函数计算，漏水量为，与小星的记录一致． 当时，理论漏水量为，但实际记录为，且时漏水量保持不变， 又∵量杯的盛水量有上限， ∴出现该情况的原因是量杯的最大容量为，时水盛满溢出，漏水量不再随时间增加而增大， ∴函数关系与小红发现的规律不相符． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）把，分别代入（1）中表达式，通过计算理论值与实际记录量的差异，结合实际情境说明原因即可． 【小问1详解】 解：观察表格，可发现每分钟增加的水， ∴随着时间的增加，漏水量的变化是均匀的，即是的一次函数， ∴设漏水量关于时间的函数表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴． 【小问2详解】 略 20. 学校体育组想要了解七年级学生的跳绳整体水平，随机抽取该校七年级（1）班名学生跳绳次数记录如下： 跳绳次数 人数 跳绳次数 人数 根据以上信息，回答下列问题： （1）这个数据的众数是 次，中位数是 次； （2）小红将这个数据绘制成如图①所示的统计图，请根据图①提供的信息，直接写出这组数据的下四分位数是 次； （3）经过一段时间训练后，该班对这名学生进行第二次测试，并将两次数据制作成如图②所示的统计图．请根据图②提供的信息，判断该班学生第二次跳绳成绩是上升还是下降，并说明理由． 【答案】（1）次，次 （2） （3）上升 理由：由图②，第二次成绩的中位数是次，第一次的中位数是次， 第二次的下四分位数次、上四分位数次，也分别高于第一次的次、次， ∴该班学生第二次跳绳成绩上升． 【解析】 【分析】（1）众数看出现次数最多的数据，中位数看按大小排列后第、个数据； （2）统计图①中箱体的下边缘、中线、上边缘依次表示下四分位数、中位数、上四分位数，直接读图即可； （3）比较两次成绩的中位数与四分位数，判断整体水平是升还是降． 【小问1详解】 解：在个数据中，出现次，次数最多， ∴众数是次． 将个数据按从小到大排列，前个数据都不超过，第个至第个数据都是， ∴第个与第个数据都是， ∴中位数是次． 【小问2详解】 解：由图①，箱体的下边缘对应的数据是， ∴这组数据的下四分位数是次． 【小问3详解】 略 21. 如图是一架长为的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为． （1）求梯子底端到墙的距离的长； （2）如果梯子顶端向上滑动，则梯子底端会往左滑动，如果梯子底端向左滑动的距离恰好等于梯子顶端向上滑动距离的2倍，求梯子底端向左滑动的距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理解答； （2）梯子滑动后在新直角三角形中利用勾股定理解答． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， 根据勾股定理得， ， 即梯子底端到墙的距离的长为； 【小问2详解】 解：设梯子顶端向上滑动到点的位置，梯子底端向左滑动到点的位置，则， ，， 在中，根据勾股定理得， ， 解得或（舍去）， ， 即梯子底端向左滑动的距离为． 22. 位于清镇市红枫湖下游青龙山街道河堤村的梯青塔，民国年间被列为清镇八景之一．某数学兴趣小组想测量梯青塔的高度，制定了如下测量方案，其测量方案及相关数据如下： 主题 测量梯青塔的高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1 将一根长3米的标杆垂直立于地面上的点处，再后退4米到达点处（即米）．此时，塔顶、标杆顶端与点恰好在同一条直线上． 步骤2 将一根长3米的标杆垂直立于地面上的点处，使其与标杆相距12米（即米），再后退6米到达点处（即米）．此时，塔顶、标杆顶端与点恰好在同一条直线上． 备注 点，，，，在同一直线上． （1）若点到的距离可测，且测得米，请结合步骤1中的测量信息，求梯青塔的高度； （2）若点到的距离不可测，请结合步骤1和步骤2中的测量信息，求梯青塔的高度． 【答案】（1）21米 （2）21米 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，从而，根据相似三角形的性质即可求解； （2）设米，由题意得，得到，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，米，米，米， ∴，米， ∴， ∴，即， ∴（米）． 答：梯青塔的高度为21米． 【小问2详解】 设米，由题意，得，米，米，米，米， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴（米）， ∵， ∴，即， 解得， ∴米． 答：梯青塔的高度为21米． 23. 如图，在四边形中，，且，点是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）设点是的中点，连接交于点．根据题意补全图形． ①若，判断的形状，并说明理由； ②猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）根据题意补全图形，如下图所示： ①若，则为等腰三角形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为等腰三角形； ②与的数量关系为，证明如下： 如下图，取的中点，连接， ∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，，根据“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可证明结论； （2）首先根据题意补全图形．①结合平行四边形的性质易得，进而证明，进而可得，即可证明结论； ②取的中点，连接，易得为的中位线，进而可知，再证明，结合相似三角形的性质，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 项目课题：如何在减少库存的同时提高每天总利润． 项目背景：年月日是我市某商场五周年庆典日．该商场内某服装店有一款服装积压较多，为吸引顾客，并在保证每天总利润的前提下尽量多售出服装，店家决定在商场五周年庆典当天对该款服装开展降价促销． 市场调研：该款服装正常销售时，平均每天可售出件，每件赢利元．若每件降价元，平均每天可多售出件，设店家准备将该款服装每件降价元…… 分析问题： （1）若该服装每件降价元，则每件赢利 元，此时平均每天可售出 件； 解决问题： （2）若店家想实现平均每天赢利元，每件服装应降价多少元？ 深入研究： （3）店家通过降价促销，平均每天赢利能否达到元？若能，求出每件应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）每件服装应降价元 （3）平均每天赢利不能达到元，理由如下： 若每天赢利能达到元，根据题意可列方程：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴平均每天赢利不能达到元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据每件服装的利润销量总利润，列方程并解方程，并结合尽量多售出服装，即可得到答案； （3）假设赢利能达到元，根据题意列方程，根据判别式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：当每件降价元，每件赢利为：（元）， ∴每天售出的件数为：（件）； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵该款服装每件降价元， ∴根据题意可列方程：， 解得：， 当时，销量为（件）， 当时，销量为（件）， ∵要尽量多售出服装， ∴取； 答：每件服装应降价元； 【小问3详解】 略． 25. 小星在学习完特殊平行四边形一章后，想对特殊四边形作进一步探究． 已知，矩形中，，分别在边，上，连接，过点作交射线于点． （1）【问题解决】 如图①，若，延长交于点，则线段与线段之间的数量关系是 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，若点是的中点，，求证：； （3）【拓展延伸】 如图③，若，，，连接．求的最小值． 【答案】（1） （2）作于点， 同理四边形是矩形， ∴， 同理可得， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）作于点，构造，得到； （2）作于点，同理，得到，结合已知求得，据此计算即可得到； （3）连接交于点，取的中点，连接，连接并延长交于点，利用相似三角形的判定和性质结合勾股定理求得，，，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵矩形，且， ∴矩形是正方形， ∴，， 作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接交于点， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， 连接并延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $