贵州遵义市第十二中学2026-2027学年度第一学期半期考试九年级数学试题卷

遵义市第十二中学2026一2027学年度第一学期半期考试 九年级数学试题卷 (满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分·在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满) 1.方程x2-4=0的解是() A.x=2 B.5=-2,x2=2 C.x1=4,x2=4 D.x=-2 2.已知x=2是关于x的方程x2-x=6的一个根，则m的值为( A.5 B.-5 C.-1 D.1 3.抛物线y=-3(x-1+2的项点坐标是() A.12) B.（-1,2) C.（-1,-2 D.1,-2) 4.如右图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是( A.（-2,1) B.,-2 c（2别 5.甲、乙两地相距约75am，一辆汽车由甲地向乙地匀速行驶，所用时间y(h)与行驶速度x(m/) 之间的函数图象大致是( A. B. 6.将二次函数y=2(x-1)2+1的图象向左平移5个单位，再向下平移4个单位后，所得的新图象相应的 函数解析式为() A.y=2(x+4)2-3 B.y=2(x-6)2-3 C.y=2(x+4)245 D.y=2(x-6)2+5 7.己知点A（-3,y,),B(2,y2)均在抛物线y=-2(x-1)243上，则下列结论正确的是() A.3<y1<y2 B.3<y2<y C.y2<y<3 D.y<y2<3 8.我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批橡的价钱为 6210文.如果每株椽的运费是3义，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.根据题 意可列方程3x(x-1)=6210,其中x表示() A.剩余椽的数量B.这批椽的数量C.剩余椽的运费 D.每株椽的价钱 9.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=a+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( 0 第1页，共4页 10.如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水而宽AB为8m,拱桥最高点到水而AB的距 离为4m,当水位上升1m时，水面CD的宽为() A.4m B.4v2m C.6m D.4V3m 11.已知关于x的一元二次方程nx2-x=p(m≠0)的两个根为x1=3,x2=5,则方程 m(2x+5)2-n(2x+5)-p=0的根为（) A.x1=3,x2=5 B.x1=-1,x2=0 C.x=-2,x2=0D.x=11,x2=15 12.二次函数y=a2+bx+c（a,b,c是常数，且a≠0)的白变量x与函数值y的部分对应值如下表： … -1 0 y 1n2 2 2 二)时，对应的函数值y<0,有D ①abc<0; ②关于x的方程m2+bx+c=0的正实数根在1和2之间； ©点，(t-1,片)和户，(t+1,)在该二次函数的图象上，则当实数1>}时，为>2 其中正确的结论是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.答题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔 或钢笔直接答在答题卡上的相应位置上) 13.已知m是一元二次方程2x2+3x-1=0的根，则式子2m2+3m+2026的值为 14.在平面直角坐标系中，若反比例函数y= :(k为常数，k≠0)的图象的两支分别位于第二、第四象 限，则k的值为 (写出一个符合条件的k值即可) 15.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y -1 -2 -1 2 7 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=2的解是 16.如图，反比例函数y=二(x>0)的图象经过△ABO的顶点A,点B在y轴 上，∠1B0=135°，OA2-0B2=6,则k= 0 三、解答题（本题共9小题，共98分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本题满分16分)解下列方程. (1)x2-2x-4=0(配方法) (2)x2-5x=-3(公式法) (3)3x(x+4)=2(x+4) (4)（x+2)(x+3)=12 第2页，共4页 18.(本题满分8分)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的x与y的部分对应值如下表. -1 0 y 0 -3 ……2 (1)b= ，C= (2)二次函数图象的顶点坐标为 (3)请填写完整表格并在坐标系中画出该二次函数的图象。 (4)当y<0时，则x的取值范围是 19.(木题满分8分)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1,x2· (1)求的取值范围、 (2)当x+x=6xx2时，求m的值， 20.(本题满分10分)某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时， y与x成反比例) (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式。 (2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？ 个y(微克/毫升) 10x(小时) 21.(本题满分10分)某校将开展科技节活动，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长42米的绳子， 靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为α米.（捆扎处绳子长度忽略不计） (1)设AB边的长为x米，则BC边的长为 米，展览区（矩形ABCD)的面积为 平方米.（用含x的代数式表示） Q (2)当a=20时，所围成的展览区总面积为144平方米，求BC的长 (3)能否围成总面积为150平方米的展览区？请说明理由. 美术作品 科技作品 B 22.(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系x0中，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=的 图象相交于A(1,n),B(m,1)两点. (1)求反比例函数的表达式： ②)当-x+4<《时，直接写出x的取值范围； X (3)点P是x轴上一点，若△ABP的面积为6，求点P的坐标. 第3页，共4页 23。(本题满分12分)观察：有两个两位数，十位上的数字都是9，两个数的个位数字之和等于10，例如： 91×99,92×98,…,98×92,99×91.设其中一个数的个位数字为x,两个数的乘积为y· (1)则这两个两位数分别为 (请用含x的代数式表示) (2)写出y与x的函数关系式，并根据二次函数的性质，求当x取何值时，乘积y取得最大值？并求出最 大乘积. (3)拓展应用：有两个三位数，百位上的数字都是9，两个数后两位组成的数之和等于100，如901×999， 902×998,…,998×902,999×901,直接写出这两个数的乘积的最大值是 24.(本题满分12分)根据以下素材，探索完成任务 如何设计遵义通草堆画的销售方案 遵义通草堆画是贵州省省级非物质文化遗产，是黔北独有的民问手工艺术，2007 素材1 年列入贵州省第二批省级非遗名录，某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种迷 你小幅画，成本价为30元/幅. 据调查，这种迷你小幅画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅， 素材2 销售价每降低x元，平均每天就可以多售出10x幅，而受平台规则限制，降价幅 度x只能满足6≤x≤20. 素材3 这种迷你小幅画在实体店的销售价为60元/幅，据调查，该实体店的销售受网上销 售的影响，平均每天的销售量为(80一2x)幅. 问题解决 任务1 确定 求网上每天销售这种迷你小幅画的毛利润y(元)关于x(元)的函数表达 模型式：[毛利润=日销量×（销售单价一成本单价）] 任务2 若网上销售毛利润要达到2240元，求此时网上的销售单价 任务3 拟定 当这种迷你小幅画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这 最优 种迷你小幅画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最 方案 大总毛利润是多少？ 25.(本题满分12分)如图①，某校运动会上，小丽同学参加九年级女子组实心球比赛，她投掷第1次， 球的运动路径ABC可看作抛物线的一部分，以边界线上的O为原点，分别以水平直线OC,竖直线OA为 x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图②所示，球从与地面垂直距离为1.8m的A处出手，在距离地面垂直 高度2.7m,与出手点水平距离3m的B处到达最高点，最后在C处落到地面. (1)求此抛物线的函数表达式. (2)小丽第1次投掷的成绩是多少米？（结果精确到0.1米，√3≈1.73） (3)小丽计划在第2次投掷时将成绩提升，超过9m,且保持球的最高点位置与第1次相同，请问她需要 升高还是降低球的出手点？至少升高（降低）多少米？（不考虑其他因素的影响） y B 1.8m :2.7m 03m 图O 图2 第4页，共4页 遵义市第十二中学 2026—2027 学年度第一学期半期考试 九年级数学试题卷 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1．方程 x²−4=0 的解是（　　） A．x=2　　B．x₁=−2，x₂=2　　C．x₁=−4，x₂=4　　D．x=−2 【答案】B 【解析】由 x²−4=0 得 x²=4，直接开平方得 x=±2，即 x₁=−2，x₂=2。A、D 只取了一个根，C 把 ±2 错算为 ±4，均不完整或错误。 2．已知 x=2 是关于 x 的方程 x²−mx=6 的一个根，则 m 的值为（　　） A．5　　B．−5　　C．−1　　D．1 【答案】C 【解析】把 x=2 代入方程：2²−2m=6，即 4−2m=6，−2m=2，所以 m=−1。也可先移项为 x²−mx−6=0，由根与系数关系验证 x₁x₂=−6，另一个根为 −3。 3．抛物线 y=−3(x−1)²+2 的顶点坐标是（　　） A．(1,2)　　B．(−1,2)　　C．(−1,−2)　　D．(1,−2) 【答案】A 【解析】抛物线 y=a(x−h)²+k 的顶点为 (h,k)。此处 h=1，k=2，故顶点坐标为 (1,2)。注意括号内是 x−1，故横坐标为 1 而不是 −1。 4．如图，点 A 是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（　　） A．(−2,1)　　B．(1,−2)　　C．(−2，1/2)　　D．(−2，1/3) 【答案】C 【解析】由图可知 A 在第二象限，其横坐标为 −1、纵坐标为 1，即 A(−1，1)，所以 k=xy=−1×1=−1，函数为 y=−1/x。逐一检验：A 项 (−2)×1=−2≠−1；B 项 1×(−2)=−2≠−1；C 项 (−2)×1/2=−1，符合；D 项 (−2)×1/3=−2/3≠−1。故选 C。 5．甲、乙两地相距约 75 km，一辆汽车由甲地向乙地匀速行驶，所用时间 y(h) 与行驶速度 x(km/h) 之间的函数图象大致是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】由“时间＝路程÷速度”得 y=75/x（x>0），是 k>0 的反比例函数，其图象为第一象限内的一支双曲线，过点 (1,75)，随 x 增大 y 迅速减小。A 为过原点的正比例图象，C 为抛物线，D 为 k<0 的双曲线，均不符合。 6．将二次函数 y=2(x−1)²+1 的图象向左平移 5 个单位，再向下平移 4 个单位后，所得的新图象相应的函数解析式为（　　） A．y=2(x+4)²−3　　B．y=2(x−6)²−3　　C．y=2(x+4)²+5　　D．y=2(x−6)²+5 【答案】A 【解析】平移口诀“左加右减、上加下减”，且只改变 h、k。原式顶点为 (1,1)；向左 5 个单位横坐标变为 1−5=−4，向下 4 个单位纵坐标变为 1−4=−3，故新表达式为 y=2(x+4)²−3。也可直接对 x 作变换：把 x 换成 x+5 得 y=2(x+4)²+1，再整体减 4。 7．已知点 A(−3，y₁)、B(2，y₂) 均在抛物线 y=−2(x−1)²+3 上，则下列结论正确的是（　　） A．3<y₁<y₂　　B．3<y₂<y₁　　C．y₂<y₁<3　　D．y₁<y₂<3 【答案】D 【解析】抛物线开口向下，对称轴 x=1，函数最大值为 3，故离对称轴越远函数值越小。A(−3，y₁) 到对称轴距离为 4，B(2，y₂) 到对称轴距离为 1，所以 y₁<y₂<3。也可代入计算：y₁=−2×16+3=−29，y₂=−2×1+3=1。 8．我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文。如果每株椽的运费是 3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱。根据题意可列方程 3x(x−1)=6210，其中 x 表示（　　） A．剩余椽的数量　　B．这批椽的数量　　C．剩余椽的运费　　D．每株椽的价钱 【答案】B 【解析】设这批椽的数量为 x 株，则一株椽的价钱为 6210/x 文。少拿一株后剩下 x−1 株，其运费为 3(x−1) 文。由“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”得 3(x−1)=6210/x，两边乘 x 即 3x(x−1)=6210。可见 x 表示这批椽的数量。 9．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax²+c 的图象大致是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】两函数中 a、c 相同：直线 y=ax+c 的斜率是 a、在 y 轴上的截距是 c；抛物线 y=ax²+c 的开口方向由 a 决定、顶点为 (0,c)。二者必交于 y 轴上同一点 (0,c)。若 a>0，直线上升、抛物线开口向上（B、C 中的抛物线开口向上但 c 的符号与直线截距不符）；若 a<0，直线下降、抛物线开口向下且顶点在 y 轴正半轴，D 图符合。 10．如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽 AB 为 8 m，拱桥最高点到水面 AB 的距离为 4 m，当水位上升 1 m 时，水面 CD 的宽为（　　） A．4 m　　B．4√2 m　　C．6 m　　D．4√3 m 【答案】D 【解析】以 AB 所在直线为 x 轴、AB 中点为原点建立坐标系，则抛物线的顶点为 (0,4)，过点 A(−4,0)。设 y=ax²+4，代入得 16a+4=0，a=−1/4，即 y=−1/4 x²+4。水位上升 1 m，即 y=1，代入得 −1/4 x²+4=1，x²=12，x=±2√3，故 CD=4√3 m。 11．已知关于 x 的一元二次方程 mx²−nx=p（m≠0）的两个根为 x₁=3，x₂=5，则方程 m(2x+5)²−n(2x+5)−p=0 的根为（　　） A．x₁=3，x₂=5　　B．x₁=−1，x₂=0　　C．x₁=−2，x₂=0　　D．x₁=11，x₂=15 【答案】B 【解析】把原方程化为 mx²−nx−p=0，可见方程 m(2x+5)²−n(2x+5)−p=0 只是把 mx²−nx−p=0 中的 x 换成了 2x+5（整体代换）。于是 2x+5=3 或 2x+5=5，解得 x=−1 或 x=0。故选 B。 12．二次函数 y=ax²+bx+c（a、b、c 是常数，且 a≠0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： x … −1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当 x=−1/2 时，对应的函数值 y<0，有以下结论： ①abc<0； ②关于 x 的方程 ax²+bx+c=0 的正实数根在 1 和 3/2 之间； ③点 P₁(t−1，y₁) 和 P₂(t+1，y₂) 在该二次函数的图象上，则当实数 t>1/2 时，y₁>y₂。 其中正确的结论是（　　） A．①②　　B．②③　　C．①③　　D．①②③ 【答案】D 【解析】由表知 (0,2) 与 (1,2) 关于对称轴对称，故对称轴为直线 x=1/2。 判断开口方向：由 (0,2) 得 c=2；由对称轴 x=−b/(2a)=1/2 得 b=−a，于是 y=ax²−ax+2。若 a>0（开口向上），则 f(−1/2)=a/4+a/2+2=3a/4+2>0，与题设“x=−1/2 时 y<0”矛盾，故 a>0 不成立，抛物线只能开口向下，即 a<0，从而 b=−a>0。 ①a<0、b>0、c=2>0，所以 abc<0，①正确。 ②由对称性 f(3/2)=f(−1/2)<0，而 f(1)=2>0，故抛物线与 x 轴正半轴的交点在 1 与 3/2 之间，②正确。 ③开口向下，离对称轴越远函数值越小。P₁ 对应 x=t−1，到对称轴距离为 |t−3/2|；P₂ 对应 x=t+1，到对称轴距离为 |t+1/2|。当 t>1/2 时 |t+1/2|=t+1/2，而 |t−3/2| 与 t+1/2 相差恰为 2，故 |t−3/2|<t+1/2，即 P₂ 离对称轴更远，所以 y₂<y₁，即 y₁>y₂，③正确。 综上，①②③均正确，选 D。 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。答题请用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡上的相应位置上） 13．已知 m 是一元二次方程 2x²+3x−1=0 的根，则式子 2m²+3m+2026 的值为______。 【答案】2027 【解析】因为 m 是方程的根，代入得 2m²+3m−1=0，即 2m²+3m=1，所以 2m²+3m+2026=1+2026=2027。 14．在平面直角坐标系中，若反比例函数 y=k/x（k 为常数，k≠0）的图象的两支分别位于第二、第四象限，则 k 的值为______。（写出一个符合条件的 k 值即可） 【答案】−1（答案不唯一，只要 k<0 即可，如 −2、−1/2 等） 【解析】反比例函数 y=k/x 的图象：当 k>0 时两支在第一、三象限；当 k<0 时两支在第二、四象限。本题图象位于第二、四象限，故 k<0。 15．二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的 x 与 y 的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … −1 −2 −1 2 7 … 则关于 x 的一元二次方程 ax²+bx+c=2 的解是______。 【答案】x₁=−1，x₂=3 【解析】由表知 (0,−1) 与 (2,−1) 关于对称轴对称，对称轴为 x=1，顶点为 (1,−2)，设 y=a(x−1)²−2，代入 (0,−1) 得 a−2=−1，a=1，即 y=(x−1)²−2。令 y=2，得 (x−1)²=4，x−1=±2，故 x₁=−1，x₂=3（与表中 x=3 时 y=2 相合）。 16．如图，反比例函数 y=k/x（x>0）的图象经过 △ABO 的顶点 A，点 B 在 y 轴上，∠ABO=135°，OA²−OB²=6，则 k=______。 【答案】3 【解析】设 A(x₀,y₀)（x₀>0，y₀>0），B(0,b)，则 OA²=x₀²+y₀²，OB²=b²。∠ABO=135°，过 A 作 AC⊥y 轴于 C，则 AC=x₀，BC=y₀−b。因为 ∠ABO 为钝角，∠ABC=45°，故 △ACB 为等腰直角三角形，BC=AC=x₀，即 y₀−b=x₀。于是 OA²−OB²=x₀²+y₀²−b²=x₀²+(b+x₀)²−b²=2x₀²+2x₀b=2x₀(x₀+b)。又 x₀+b=y₀，故 OA²−OB²=2x₀y₀=2k=6，k=3。 三、解答题（本大题共 9 小题，共 98 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分 16 分）解下列方程： （1）x²−2x−4=0（配方法） 【答案】x₁=1+√5，x₂=1−√5 【解析】移项得 x²−2x=4；两边同加一次项系数一半的平方 1²：x²−2x+1=4+1，即 (x−1)²=5；开方得 x−1=±√5，所以 x₁=1+√5，x₂=1−√5。 （2）x²−5x=−3（公式法） 【答案】x₁=(5+√13)/2，x₂=(5−√13)/2 【解析】整理为一般式 x²−5x+3=0，a=1，b=−5，c=3。Δ=b²−4ac=25−12=13>0，方程有两个不相等的实数根。由求根公式 x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a)=(5±√13)/2。 （3）3x(x+4)=2(x+4) 【答案】x₁=−4，x₂=2/3 【解析】移项并提取公因式：3x(x+4)−2(x+4)=0，即 (x+4)(3x−2)=0。所以 x+4=0 或 3x−2=0，得 x₁=−4，x₂=2/3。注意不可直接两边同除以 (x+4)，否则会漏根 x=−4。 （4）(x+2)(x+3)=12 【答案】x₁=−6，x₂=1 【解析】展开得 x²+5x+6=12，整理为 x²+5x−6=0。因式分解：寻找积为 −6、和为 5 的两数 6 与 −1，得 (x+6)(x−1)=0，故 x₁=−6，x₂=1。 18．（本题满分 8 分）已知二次函数 y=x²+bx+c（b、c 为常数）的 x 与 y 的部分对应值如下表。 x … −1 0 … y … 0 −3 … （1）b=______，c=______。 【答案】b=−2，c=−3 【解析】把 (−1,0)、(0,−3) 分别代入 y=x²+bx+c：由 x=0 得 c=−3；由 x=−1 得 1−b+c=0，即 1−b−3=0，b=−2。故 y=x²−2x−3。 （2）二次函数图象的顶点坐标为______。 【答案】(1，−4) 【解析】y=x²−2x−3=(x−1)²−4，所以顶点坐标为 (1,−4)，对称轴为直线 x=1。 （3）在给出的表格中填完整，并在右侧的坐标系中画出该函数的图象。 【答案】表格补全：x=1 时 y=−4；x=2 时 y=−3；x=3 时 y=0。 【解析】由对称性：顶点 (1,−4) 为最小值点；与 (0,−3) 对称的点为 (2,−3)；与 (−1,0) 对称的点为 (3,0)。描点 (−1,0)、(0,−3)、(1,−4)、(2,−3)、(3,0) 并用平滑曲线顺次连接，即得开口向上、顶点为 (1,−4) 的抛物线（图象与 x 轴交于 (−1,0)、(3,0)）。 （4）当 y<0 时，x 的取值范围是______。 【答案】−1<x<3 【解析】由图象（或由 (x−1)²−4<0 得 (x−1)²<4，即 −2<x−1<2）可知，抛物线在 x 轴下方的部分对应 −1<x<3。 19．（本题满分 8 分）已知关于 x 的方程 x²−2x+m−1=0 有两个实数根 x₁、x₂。 （1）求 m 的取值范围； 【答案】m≤2 【解析】方程有两个实数根，需 Δ≥0，即 (−2)²−4×1×(m−1)≥0，4−4m+4≥0，8−4m≥0，解得 m≤2。 （2）当 x₁²+x₂²=6x₁x₂ 时，求 m 的值。 【答案】m=3/2 【解析】由根与系数的关系：x₁+x₂=2，x₁x₂=m−1。又 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=4−2(m−1)=6−2m。由 6−2m=6(m−1) 得 6−2m=6m−6，12=8m，m=3/2。检验：m=3/2 满足 m≤2，此时 Δ=8−4×3/2=2>0，两根确实存在，故 m=3/2。 20．（本题满分 10 分）某抗菌新药在成人服药后，血液中药物浓度 y（微克/毫升）与服药后的时间 x（小时）之间的函数关系如图所示（当 4≤x≤10 时，y 与 x 成反比例）。 （1）根据图象，分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数关系式； 【答案】上升阶段：y=2x（0≤x≤4）；下降阶段：y=32/x（4≤x≤10） 【解析】上升阶段图象是过原点的线段，设 y=k₁x。因过点 (4,8)，得 8=4k₁，k₁=2，故 y=2x（0≤x≤4）。 下降阶段 y 与 x 成反比例，设 y=k₂/x。因过点 (4,8)，得 k₂=4×8=32，故 y=32/x（4≤x≤10）。两段图象在 x=4 处相接，函数值均为 8。 （2）问血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升的持续时间多少小时？ 【答案】6 小时 【解析】“浓度不低于 4”即 y≥4。上升阶段：2x≥4 得 x≥2；下降阶段：32/x≥4 得 x≤8（x>0）。故 2≤x≤8，持续时间为 8−2=6（小时）。 21．（本题满分 10 分）某校将开展科技节活动，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长 42 米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为 a 米。（捆扎处绳子长度忽略不计） （1）设 AB 边的长为 x 米，则 BC 边的长为______米，展览区（矩形 ABCD）的面积为______平方米。（用含 x 的代数式表示） 【答案】BC=(42−3x) 米；面积 S=x(42−3x) 平方米 【解析】展览区靠墙（AD 边靠墙不需用绳），需用绳的边为 AB、BC、CD 以及中间的分隔栏，共 3 条长为 x 的竖边与一条横边 BC。由 AD 边（即 BC 边）平行于墙，绳长 42=3x+BC，故 BC=42−3x；矩形面积 S=AB·BC=x(42−3x)。 （2）当 a=20 时，所围成的展览区总面积为 144 平方米，求 BC 的长。 【答案】BC=18 米 【解析】由 x(42−3x)=144 得 3x²−42x+144=0，两边除以 3 得 x²−14x+48=0，因式分解 (x−6)(x−8)=0，x₁=6，x₂=8。 当 x=6 时 BC=42−18=24（米），超过墙长 a=20 米，不合题意，舍去；当 x=8 时 BC=42−24=18（米），18≤20，符合题意。故 BC=18 米。 （3）能否围成总面积为 150 平方米的展览区？请说明理由。 【答案】不能。 【解析】若面积为 150，则 x(42−3x)=150，整理得 3x²−42x+150=0，即 x²−14x+50=0。其判别式 Δ=(−14)²−4×1×50=196−200=−4<0，方程无实数根，说明无论怎样取 x，面积都取不到 150 平方米，所以不能围成（该函数的最大面积为 x=7 时的 147 平方米，也小于 150）。 22．（本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=−x+4 的图象与反比例函数 y=k/x 的图象相交于 A(1,n)、B(m,1) 两点。 （1）求反比例函数的表达式； 【答案】y=3/x 【解析】把 A(1,n) 代入 y=−x+4 得 n=−1+4=3，故 A(1,3)，k=xy=1×3=3，反比例函数为 y=3/x。检验：把 B(m,1) 代入 y=−x+4 得 1=−m+4，m=3，B(3,1)，且 3×1=3=k，符合。 （2）当 −x+4<k/x 时，直接写出 x 的取值范围； 【答案】0<x<1 或 x>3 【解析】在同一坐标系中比较两图象的高低：两图象交于 x=1、x=3。当 0<x<1 时，双曲线在直线上方；1<x<3 时直线在上方；x>3 时双曲线又在直线上方。又 x<0 时直线值为正、双曲线值为负，不合。故 0<x<1 或 x>3。 （3）点 P 是 x 轴上一点，若 △ABP 的面积为 6，求点 P 的坐标。 【答案】P(10,0) 或 P(−2,0) 【解析】设 P(p,0)，直线 AB：y=−x+4 与 x 轴交于点 C(4,0)，则 S△ABP=S△ACP+S△BCP（P 在两侧时取差，统一用坐标公式更稳妥）。用坐标公式：S=1/2|x_A(y_B−y_P)+x_B(y_P−y_A)+x_P(y_A−y_B)| = 1/2|1×(1−0)+3×(0−3)+p×(3−1)| = 1/2|1−9+2p| = |2p−8|/2 = |p−4|。由 |p−4|=6 得 p=10 或 p=−2，故 P(10,0) 或 P(−2,0)。 23．（本题满分 12 分）观察：有两个两位数，十位上的数字都是 9，两个数的个位数字之和等于 10，例如：91×99，92×98，…，98×92，99×91。设其中一个数的个位数字为 x，两个数的乘积为 y。 （1）则这两个两位数分别为______，______。（请用含 x 的代数式表示） 【答案】90+x，100−x 【解析】十位是 9、个位是 x 的两位数为 90+x；另一个数的个位为 10−x，故为 90+(10−x)=100−x。 （2）写出 y 与 x 的函数关系式，并根据二次函数的性质，求当 x 取何值时，乘积 y 取得最大值？并求出最大乘积。 【答案】y=(90+x)(100−x)=−x²+10x+9000；当 x=5 时 y 最大，最大乘积为 9025。 【解析】y=(90+x)(100−x)=9000+10x−x²=−x²+10x+9000。配方得 y=−(x²−10x)+9000=−(x−5)²+25+9000=−(x−5)²+9025。因为 a=−1<0，抛物线开口向下，当 x=5（在 0≤x≤9 的整数范围内）时 y 取得最大值 9025，即 95×95=9025。 （3）拓展应用：有两个三位数，百位上的数字都是 9，两个数后两位组成的数之和等于 100，如 901×999，902×998，…，998×902，999×901，直接写出这两个数的乘积的最大值是______。 【答案】902500 【解析】设一个数的后两位组成的数为 x（0≤x≤99），则该数为 900+x，另一个数为 900+(100−x)=1000−x。乘积 y=(900+x)(1000−x)=900000+100x−x²=−(x−50)²+902500，当 x=50 时取最大值 902500，即 950×950=902500。 24．（本题满分 12 分）根据以下素材，探索完成任务。 如何设计遵义通草堆画的销售方案 素材 1 遵义通草堆画是贵州省省级非物质文化遗产，是黔北独有的民间手工艺术，2007 年列入贵州省第二批省级非遗名录，某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种迷你小幅画，成本价为 30 元/幅。 素材 2 据调查，这种迷你小幅画的网上销售价为 50 元/幅时，平均每天销售量是 100 幅，销售价每降低 x 元，平均每天就可以多售出 10x 幅，而受平台规则限制，降价幅度 x 只能满足 6≤x≤20。 素材 3 这种迷你小幅画在实体店的销售价为 60 元/幅，据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为 (80−2x) 幅。 问题解决 任务 1 确定模型：求网上每天销售这种迷你小幅画的毛利润 y（元）关于 x（元）的函数表达式。[毛利润=日销量×（销售单价−成本单价）] 任务 2 若网上销售毛利润要达到 2240 元，求此时网上的销售单价。 任务 3 拟定最优方案：当这种迷你小幅画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种迷你小幅画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 任务 1　确定模型：求网上每天销售这种迷你小幅画的毛利润 y（元）关于 x（元）的函数表达式。 【答案】y=(100+10x)(50−x−30)=−10x²+100x+2000（6≤x≤20） 【解析】网上销售价为 (50−x) 元/幅，每幅毛利润为 (50−x)−30=(20−x) 元；日销量为 (100+10x) 幅。所以 y=(100+10x)(20−x)=2000+200x−100x−10x²=−10x²+100x+2000，其中 6≤x≤20。 任务 2　若网上销售毛利润要达到 2240 元，求此时网上的销售单价。 【答案】44 元/幅 【解析】由 −10x²+100x+2000=2240 得 10x²−100x+240=0，两边除以 10 得 x²−10x+24=0，因式分解 (x−4)(x−6)=0，x₁=4，x₂=6。因 6≤x≤20，只能取 x=6，此时网售单价为 50−6=44（元/幅）。 任务 3　拟定最优方案：当网上销售价为每幅多少元时，每天的总毛利润最大？最大总毛利润是多少？ 【答案】网售单价定为 44 元/幅时总毛利润最大，最大总毛利润为 4280 元。 【解析】实体店每幅毛利润为 60−30=30（元），日销量 (80−2x) 幅，实体店毛利为 30(80−2x)=2400−60x。 设总毛利润为 W，则 W=(−10x²+100x+2000)+(2400−60x)=−10x²+40x+4400=−10(x−2)²+4440。 因为 a=−10<0，抛物线开口向下，对称轴 x=2，而 x 的取值范围是 6≤x≤20，在该区间内 W 随 x 的增大而减小，所以当 x=6 时 W 取得最大值：W=−10×6²+40×6+4400=−360+240+4400=4280（元）。 此时网售单价为 50−6=44（元/幅）。即网售单价定为 44 元/幅时，每天总毛利润最大，最大总毛利润为 4280 元。 25．（本题满分 12 分）如图①，某校运动会上，小丽同学参加九年级女子组实心球比赛，她投掷第 1 次，球的运动路径 ABC 可看作抛物线的一部分，以边界线上的 O 为原点，分别以水平直线 OC、竖直线 OA 为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图②所示，球从与地面垂直距离为 1.8 m 的 A 处出手，在距离地面垂直高度 2.7 m、与出手点水平距离 3 m 的 B 处到达最高点，最后在 C 处落到地面。 （1）求此抛物线的函数表达式； 【答案】y=−1/10(x−3)²+2.7，即 y=−1/10 x²+3/5 x+9/5 【解析】由题意，顶点为 B(3,2.7)，故设 y=a(x−3)²+2.7。抛物线过 A(0,1.8)，代入得 9a+2.7=1.8，9a=−0.9，a=−0.1。所以 y=−0.1(x−3)²+2.7。展开得 y=−0.1x²+0.6x+1.8，即 y=−1/10 x²+3/5 x+9/5。 （2）小丽第 1 次投掷的成绩是多少米？（结果精确到 0.1 米，√3≈1.73） 【答案】约 8.2 米 【解析】成绩即 OC 的长度，令 y=0：−0.1x²+0.6x+1.8=0，两边乘以 −10 得 x²−6x−18=0。由求根公式 x=(6±√(36+72))/2=(6±6√3)/2=3±3√3。因 x>0，取 x=3+3√3≈3+3×1.73=8.19≈8.2（米）。所以第 1 次投掷成绩约为 8.2 米。 （3）小丽计划在第 2 次投掷时将成绩提升，超过 9 m，且保持球的最高点位置与第 1 次相同，请问她需要升高还是降低球的出手点？至少升高（降低）多少米？（不考虑其他因素的影响） 【答案】需要升高出手点，至少升高约 0.2 米（精确值 0.225 米）。 【解析】最高点位置与第 1 次相同，即顶点仍为 B(3,2.7)，设新抛物线为 y=a(x−3)²+2.7。 若成绩恰好为 9 米，则抛物线过 (9,0)：a(9−3)²+2.7=0，36a=−2.7，a=−0.075。 此时出手点高度为 x=0 时的函数值：y=36a+2.7 改为 9a+2.7=−0.075×9+2.7=2.025（米）。 要成绩超过 9 米，需 9a+2.7>2.025，即出手点要高于 2.025 米。与第 1 次的 1.8 米相比，至少需升高 2.025−1.8=0.225≈0.2（米）。 因为出手点越高，抛物线越“缓”，落地越远，故应升高出手点，至少升高约 0.2 米。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $