精品解析：贵州省贵阳市清镇市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

清镇市2025—2026第一学期半期质量监测样卷 九年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 有理数7的相反数是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数． 【详解】解：有理数7的相反数是， 故选B． 2. 如图，直线，交于点，若，则等于（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可得到． 【详解】解：∵直线，交于点， ∴， 故选D． 3. 2025年9月28日，世界第一高桥一一贵州花江峡谷大桥建成通车．它是贵州六枝至安龙高速公路的控制性工程，大桥梁段总重量达21000万吨．21000这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选C． 4. 如图，在菱形中，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据菱形的四条边都相等，即可解答． 【详解】解：在菱形中，， ∴． 故选A． 5. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想． 根据两个因式的积为零，那么这两个因式的值就都有可能为0，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 故选B ． 6. 一个不透明的袋中装有10个除颜色外完全相同的小球，搅匀后小星从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验．通过多次摸球试验后发现从袋中摸出1个红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数约为（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从袋中摸出一个红球的概率为0.3，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意，得 袋中红球的个数约为：个． 故选D． 7. 如图是小红自制的相框，她想检查相框是否为矩形，于是她用手中仅有的一根较长的绳子进行测量并比较，下列检查方法合理的是（ ） A. B. ， C. ，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练利用矩形的判定方法是解题的关键． 根据对边分别相等得出四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可解答． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形， 故检查方法合理的是测量，，， 故选：C． 8. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的定义是解答本题的关键． 将已知根代入方程，即可求出参数 k 的值． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴， 即， 化简得 ， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，四边形的对角线与相交于点，且，，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，正方形的判定的应用，主要考查学生的推理能力． 证明四边形是正方形，再计算面积即可． 【详解】解：， ，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， ，， ， ， 即， 四边形是正方形， 正方形的面积为， 故选：C． 10. 用配方法解一元二次方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和添加平方项将方程化为完全平方形式即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ （移项）， ∴ （添加一次项系数一半的平方）， ∴ （化简）， ∴ 变形后结果为 ， 故选B． 11. 如图，在中，，分别是，上的点，，，，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质列方程是解题的关键． 利用比例线段得到，然后根据比例性质求，即可解答． 【详解】解：，即， ， ． 经检验是原方程的解， 故选：A． 12. 五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，灵活运用连续整数的表示方法与方程求解思路是解题的关键．通过设第一个连续整数为，表示出其余四个数，再根据 “前三个数的平方和等于后两个数的平方和” 这一条件列出方程，结合表格分析方程的解，进而求出这五个连续整数的第一个数． 【详解】设五个连续整数为，，，，， 前三个数的平方和等于后两个数的平方和， ， 展开得： 左边：， 右边：， ， 移项得：， 与小星方程对比，得， ， ， ，， 由表格数据，当或时，，且验证两组数均满足题意， 第一个数为或． 故选：． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 14. 如图，中，，是的中点，，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该性质即可解题． 【详解】解：在中，，是的中点， 线段是斜边上的中线； 又， ． 故答案为：． 15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，正方形中，点为对角线上一点，交线段于点，交对角线于点．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理、全等三角形的判定与性质，根据、，可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理可证，连接交于点，可证，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的性质求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ，， ， 在四边形中，， ， 点、、、四点共圆， ， 是等腰直角三角形， ， 连接交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是正方形，， ， ， . 故答案为： ． 三、解答题 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）使用因式分解法解一元二次方程； （2）通过移项和提公因式解方程． 【小问1详解】 （1）解：， 因式分解得，， ∴  或 ， ∴ ，； 【小问2详解】 解：， 移项得，， 提公因式得，， ∴  或 ， ∴ ，． 18. 如图，已知每个小方格的边长均为1，图中各点均在格点上． （1）直接写出下列各条线段的长度： __________，__________，__________， __________，__________，__________； （2）计算与的周长比． 【答案】（1），，，，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练在格子中计算线段长度是解题的关键． （1）利用勾股定理即可解答； （2）利用（1）中计算的线段长度，计算周长比即可． 【小问1详解】 解：根据勾股定理可得， ， ， ， ， ， 故答案为：，，，，，； 【小问2详解】 解：与的周长比为． 19. 2025广大城贵阳．清镇半程马拉松赛于10月19日在清镇如期举行．该赛事全方位展示了城市风光与人文魅力，助力提升城市的知名度和影响力．赛事共设置“半程马拉松”、“欢乐跑”两个项目，组委会组建了“半程马拉松”、“欢乐跑”两个志愿服务队，规定每人只能参加其中一个，小星和小红报名参加了志愿服务工作，他们将被随机分配． （1）小星被分配到“欢乐跑”服务队的概率是__________； （2）请利用画树状图或列表的方法，求小星和小红都被分配到“欢乐跑”服务队的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的求法： （1）根据概率计算方法求解即可； （2）设“半程马拉松”为A，“欢乐跑”为B，画表求解即可． 【小问1详解】 解：由于是随机分配， ∴小星被分配到“欢乐跑”服务队的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设“半程马拉松”为A，“欢乐跑”为B，如下表： 小星 小红 A B A (A,A) (A,B) B (B,A) (B,B) 由表格可知，共有4种可能结果，其中小星和小红都被分配到“欢乐跑”服务队的有1种， 故小星和小红都被分配到“欢乐跑”服务队的概率为． 20. 已知，如图，在平行四边形中，是边的中点，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质平行线的性质，勾股定理 ，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，，再由，推导出，即可解答； （2）先证明，，推导出，求出，得到，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴． 21. 如图，四边形是一张平行四边形纸片（），要求利用所学知识作一个菱形．下面是小红和小星的做法： （1）请你选择一位同学的做法，补全图形并进行证明； （2）在（1）的图形中，若，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 小星：如图： 证明：由作图可知，， ∵四边形是一张平行四边形纸片， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 小红：如图： 证明：由作图可知，，， ∵四边形是一张平行四边形纸片， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定和性质，三角函数． （1）根据做法画出图形，进而证明即可； （2）过作交于点，根据三角函数求出，根据菱形的性质得到，进而求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作交于点， ∵，， ∴． ∵，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 22. 新华商场销售某种服装，将每件进价为130元的服装以174元售出，平均每天能售出20件．调查发现，在每件降价幅度不超过10元的情况下，这种服装的售价每降价1元，其销售量就将增加5件．根据题意，解答下列问题： （1）若这种服装的售价每件降价1元，则每件服装的利润是__________； （2）设这种服装每件降价元，则降价后平均每天可以销售这种服装__________件；（用含的代数式表示） （3）商场要想使这种服装的销售利润平均每天达到1600元，每件服装应降价多少元？ 【答案】（1）43元 （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键． （1）通过计算降价后的售价与进价的差得到利润； （2）根据降价与销售量增加的关系列出代数式； （3）通过建立一元二次方程求解，并结合降价幅度限制确定解． 【小问1详解】 ∵原售价174元， ∴降价1元后，售价为173元， ∴利润为元．  故答案为：43元； 【小问2详解】 原销售量20件，每降价1元销售量增加5件，故降价x元后销售量为件． 故答案为：； 【小问3详解】 设每件降价x元，则每件利润为元，销售量为件， 由题意得，， 整理得， 解得， ∵降价幅度不超过10元， ∴． 答：每件服装应降价4元． 23. 在学习了《利用三角形全等测距离》之后，某校学习小组利用所学知识进行了以下探究： 任务一：如图①，将两根木条，的中点钉在一起，制作成一个简易的测宽工具，利用该工具测出的长度为，则的长度也为，其原理是__________； A．三角形具有稳定性 B．三角形中线的性质 C．全等三角形的判定和性质 任务二：如图②，某公园中有一个池塘，在池塘两侧A，B处各立有一根安全警示杆，利用现有皮尺无法直接量出A，B之间的距离，请你设计一个方案，测出A，B之间的距离，画出图形，并说明理由． 【答案】任务一：C；任务二：先在平地取一个可沿直线到达的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为的距离． 【解析】 【分析】任务一：设交于点O，证明即可； 任务二：先在平地取一个可沿直线到达的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为的距离． 本题考查三角形的全等的判定与性质． 【详解】解：任务一： 如图，设交于点O， 在中， ， ∴， ∴， 故该工具的原理是三角形的判定和性质， 故选：C； 任务二： 方案如图，先在平地取一个可沿直线到达的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为的距离． 理由如下： 在和中， ， ， ． 24. 如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点A，B重合），过点分别作和的垂线，垂足为C，D． （1）的值为__________； （2）当点在线段上移动时，若矩形的面积为1，求点的坐标； （3）当点在线段上移动时，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）3 （2）点P的坐标为或． （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的解析式与性质，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）解：将代入，求出即可． （2）先求出一次函数的解析式为，设点P的坐标为，其中，得到，再由矩形的面积公式得到，求出或，即可求出点P的坐标为或． （3）连接，，直接利用矩形的性质可知，然后再利用勾股定理以及等面积法求的最小值即可． 【小问1详解】 解：将代入，得 ， 解得． 故答案为：3 【小问2详解】 将代入一次函数，得 一次函数的解析式为， ∵点在线段上移动时， ∴设点P的坐标为，其中， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 【小问3详解】 连接，如图 ∵过点分别作和的垂线，垂足为C，D， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当时，取到最小值，即取到最小值， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 25. 小红在学完《特殊平行四边形》一章的内容后，通过折叠矩形纸片进行了以下探究： 在矩形中，点在边上，连接．将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． 【问题解决】 （1）如图①，当点恰好落在边上时，若，，则的长为__________，的度数为__________； 【问题探究】 （2）如图②，当点是的中点时，若，则点落在矩形内部，连接并延长，交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）连接，，当为等腰三角形时，若，，求的长． 【答案】（1）4， （2）四边形是平行四边形，理由如下： ∵当点是的中点， ∴， 由翻折，得 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）的长为4或． 【解析】 【分析】本题考查翻折，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，，由翻折，得 ，推导出是等腰直角三角形，，则，即可解答； （2）先证明，，继而推导出，则，，则四边形是平行四边形，即可解答； （3）分类讨论：第一种情况：当点F在矩形的内部时，①当时，过点F作交于点P，连接，②当时，连接，③当时， 第二种情况：当点F在矩形的外面时，逐一分析求解即可． 【详解】解：（1）当点恰好落在边上时， ∵四边形为矩形，， ∴，， 由翻折，得 ， ∴是等腰直角三角形，， ∴ 故答案为：4，； （2）略 （3）第一种情况：当点F在矩形的内部时， ①当时，过点F作交于点P，连接，如图 ∵， ∴点F在的垂直平分线上， ∵四边形为矩形， ∴点F也在的垂直平分线上，， ∴， ∴， 设为x，则，， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； ②当时，连接，如图 ∵，， ∴， ∵， 即， 不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可知，此时点F为的中点，且四边形为矩形， ∴， ∴； 第二种情况：当点F在矩形的外面时，如图 ∴，当为等腰三角形时，， ∵， ∴， 即此时点F为的中点， ∴当点F在矩形的外面时，不能为等腰三角形． 综上所述，当的长为4或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清镇市2025—2026第一学期半期质量监测样卷 九年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 有理数7的相反数是（ ） A. 7 B. C. D. 2. 如图，直线，交于点，若，则等于（     ） A. B. C. D. 3. 2025年9月28日，世界第一高桥一一贵州花江峡谷大桥建成通车．它是贵州六枝至安龙高速公路的控制性工程，大桥梁段总重量达21000万吨．21000这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 一个不透明的袋中装有10个除颜色外完全相同的小球，搅匀后小星从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验．通过多次摸球试验后发现从袋中摸出1个红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数约为（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 7. 如图是小红自制的相框，她想检查相框是否为矩形，于是她用手中仅有的一根较长的绳子进行测量并比较，下列检查方法合理的是（ ） A. B. ， C. ，， D. 8. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 9. 如图，四边形的对角线与相交于点，且，，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 10. 用配方法解一元二次方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，分别是，上的点，，，，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 12. 五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为________． 14. 如图，中，，是的中点，，则______． 15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 16. 如图，正方形中，点为对角线上一点，交线段于点，交对角线于点．若，则的长为__________． 三、解答题 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知每个小方格的边长均为1，图中各点均在格点上． （1）直接写出下列各条线段的长度： __________，__________，__________， __________，__________，__________； （2）计算与的周长比． 19. 2025广大城贵阳．清镇半程马拉松赛于10月19日在清镇如期举行．该赛事全方位展示了城市风光与人文魅力，助力提升城市的知名度和影响力．赛事共设置“半程马拉松”、“欢乐跑”两个项目，组委会组建了“半程马拉松”、“欢乐跑”两个志愿服务队，规定每人只能参加其中一个，小星和小红报名参加了志愿服务工作，他们将被随机分配． （1）小星被分配到“欢乐跑”服务队的概率是__________； （2）请利用画树状图或列表的方法，求小星和小红都被分配到“欢乐跑”服务队的概率． 20. 已知，如图，在平行四边形中，是边的中点，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的周长． 21. 如图，四边形是一张平行四边形纸片（），要求利用所学知识作一个菱形．下面是小红和小星的做法： （1）请你选择一位同学的做法，补全图形并进行证明； （2）在（1）的图形中，若，，，求四边形的面积． 22. 新华商场销售某种服装，将每件进价为130元的服装以174元售出，平均每天能售出20件．调查发现，在每件降价幅度不超过10元的情况下，这种服装的售价每降价1元，其销售量就将增加5件．根据题意，解答下列问题： （1）若这种服装的售价每件降价1元，则每件服装的利润是__________； （2）设这种服装每件降价元，则降价后平均每天可以销售这种服装__________件；（用含的代数式表示） （3）商场要想使这种服装的销售利润平均每天达到1600元，每件服装应降价多少元？ 23. 在学习了《利用三角形全等测距离》之后，某校学习小组利用所学知识进行了以下探究： 任务一：如图①，将两根木条，的中点钉在一起，制作成一个简易的测宽工具，利用该工具测出的长度为，则的长度也为，其原理是__________； A．三角形具有稳定性 B．三角形中线的性质 C．全等三角形的判定和性质 任务二：如图②，某公园中有一个池塘，在池塘两侧A，B处各立有一根安全警示杆，利用现有皮尺无法直接量出A，B之间的距离，请你设计一个方案，测出A，B之间的距离，画出图形，并说明理由． 24. 如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点A，B重合），过点分别作和的垂线，垂足为C，D． （1）的值为__________； （2）当点在线段上移动时，若矩形的面积为1，求点的坐标； （3）当点在线段上移动时，连接，求线段的最小值． 25. 小红在学完《特殊平行四边形》一章的内容后，通过折叠矩形纸片进行了以下探究： 在矩形中，点在边上，连接．将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． 【问题解决】 （1）如图①，当点恰好落在边上时，若，，则的长为__________，的度数为__________； 【问题探究】 （2）如图②，当点是的中点时，若，则点落在矩形内部，连接并延长，交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）连接，，当为等腰三角形时，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $