1.2 集合间的基本关系 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

同步导学与精讲 · 第一章 集合与常用逻辑用语 解析版 1.2 集合间的基本关系 同步导学与精讲 学习目标：能依据元素判断包含、相等与真包含；能识别空集及参数边界；能解释并运用有限集合的子集计数。 范围约定：未另作说明的方程解集、数轴集合及参数均在实数范围内讨论。 知识准备 知识点1 子集、相等与真子集 关系 判定依据 如何验证 的每个元素都是 的元素。 检查 的所有元素；允许 。 两个集合由完全相同的元素组成。 验证 ，再验证 。 ，且 。 还要找到 中至少一个不在 中的元素。 若 且 ，则 。其中至少一个关系是真包含时，。任何集合都满足 。 知识点2 关系判断的反例与证明 否定 ，只需找到一个属于 却不属于 的元素。否定一个方向，不等于证明另一个方向。 概念例释 设 ，。1在 中而不在 中，3在 中而不在 中，所以两集合互不包含。 有限集可逐个检查；无限集不能靠列出几个元素证明包含，需要从任意一个符合前者条件的元素出发，说明它也符合后者条件。 知识准备与题型导航 概念例释 设 ，。若 ，取整数 ，得 ；反之取 。因此 且 ，故 。 知识点3 空集与特殊对象 空集 不含任何元素。它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 不是自身的真子集。 写法 元素个数 说明 0 没有元素。 1 元素是数0。 1 元素是集合 ；集合也能作为元素。 与 等价； 则是在问“集合 本身是不是 的一个元素”。 知识点4 有限集合的子集计数 已知 有 个不同元素 个数 所排除的对象 全部子集 不排除任何选择。 非空子集 排除空集。 真子集 排除 本身。 非空真子集（） 排除空集和 本身。 每个元素有“选入、不选入”两种选择。 时只有子集 ，没有真子集，也没有非空真子集。 知识准备与题型导航 知识点5 数轴集合的边界 比较包含关系，检查的是整个集合，不只是某一个数。非空区间的左端不得越过外集左端，右端不得越过外集右端；端点相同时，再根据该点是否属于内外两集确定能否取等号。 表示条件 集合形态 时为闭区间； 时为单元素集合； 时为空集。 时为开区间； 时为空集。 空集可被任何集合包含，但要成为真子集，外集必须非空。判断非空区间的真包含，要检查两集合是否完全相等；只要整体不相等即可，不要求两端都不相同。 知识点6 含参集合的分类检查 含参数的方程定义集合时，先检查分母、根式等原式限制，再判断方程是否因系数为0而降次。二次方程的实根个数由判别式确定：正、零、负分别对应两个、一个、零个不同实数元素。重根只计一个元素。 从子集个数反推元素个数，再反推参数条件。题目若只列出若干表达式，不能另加未给出的元素个数要求；明确说“二元集”“三元集”时，才必须按该个数排除元素重合。所有参数分支都要回代原题验证。 题型导航 题型 关键任务 题目定位 一 对象与集合关系 从数域、空集到数集与点集。 例1及变式1-1—1-3 二 有限集包含求参 匹配元素，检查互异、空集与降次。 例2及变式2-1—2-3 三 数轴包含与真包含 单端到双端，再检查空集和相等。 例3及变式3-1—3-3 四 子集与受限计数 从单集合到受限选择与包含链。 例4及变式4-1—4-3 独立课时训练 覆盖关系、求参和计数的迁移。 练习1—20 前置知识：初中实数、方程、简单不等式及一元二次方程判别式。本讲不使用交并补运算、逻辑量词或排列组合公式。 题型一 对象与集合关系 先辨认对象，再选择关系符号。 例1 先辨认对象，再判断关系 （2025·湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟·2025年秋季高一年级期中考试（2025年11月19日）·原卷第1题） 下列关系正确的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 自然数集 含0，故A正确； 是无理数，不属于有理数集 ，故B错误。 含一个元素0，空集不含元素，故C错误；有序实数对 与 不同，故D错误。 变式1-1 同时检查数域与空集关系 （2025·天津市第二中学2025—2026学年高一上学期第一次月考·原卷第1题） 下列关系：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，正确的个数为（ ）。 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D（2） 【解析】 ①正确： 是实数。②错误：。③错误： 是无理数，不属于 。④错误：。 ⑤正确：空集是任何集合的子集，包括单元素集合 。因此正确的是①⑤，共2个。 变式1-2 分清数、点和集合 （2025·河南省天立教育集团·高一秋季第一学月联考·原卷第1题，单选） 下列各式中，错误的个数是（ ）。 ① ；② ；③ ；④ 。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C（3） 【解析】 ① 右侧集合的元素是数0、1、2，不是集合 ，所以①错误。应区分 与 。 ② 左侧含两个数0和1；右侧含一个点 ，两集合的元素不同，所以②错误。 ③ 空集是任何集合的子集，所以③正确。④ 没有元素，而 有一个元素0，所以④错误。共3个错误的式子。 选项辨析：A、B均少判断了错误式；D把正确的空集包含关系也判错。注意“包含”并不要求集合中有元素。 变式1-3 从列举法迁移到描述法 （2026·华中师范大学第一附属中学·2026—2027学年高一上9月月考·原卷第10题） 下列集合中表示同一集合的是（ ）。（多选） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BD 【解析】 A中两个有序实数对不同，两集合不等。B中元素都是2和3，书写顺序不影响集合，故相等。 C中 是点集， 是数集；例如 ，却不是 中的实数，两集合不等。 D中两集合都是所有大于2的实数组成的集合，代表元素所用字母不同不改变元素范围，所以相等。 方法导航 先读大括号内每一项，确认元素是数、点还是集合。判断属于关系时，把左侧对象作为一个整体查找；判断包含时，逐个检查左侧集合的元素；判断相等时，验证双向包含。对无限集，从任意元素的表达式出发进行变形；要否定包含或相等，写出一个有效反例，而不是只比较表示形式。 题型二 有限集合包含中的参数 把集合关系转成每个元素必须满足的条件。 例2 从包含关系落实到元素 （2025·安徽鼎尖名校大联考·高一第一学期B卷·原卷第4题，单选） 已知集合 ，，若 ，则满足条件的实数 的个数为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C（3） 【解析】 的唯一元素为4，所以 等价于 。因此 或 ，得到 。 分别代回：、、，均含4，共3个不同的参数值。 错项定位：只看 会漏掉平方分支；解 时只取正根会漏掉 ；参数个数不等于集合元素总数。 变式2-1 包含之外还要满足元素个数 （2026·上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学·2026—2027学年高一上第一次学情调研·原卷第5题） 已知集合 ，，若 且 中含有两个元素，则 ________。 【答案】 【解析】 由 ，先得 。逐一检验： 时 ，不满足“两个元素”； 时 ； 时 ，但 。 因此仅有 。题目明确要求两个元素，故必须排除 的重合情形；不能只凭列举了两个表达式就另加互异条件。 变式2-2 由元素匹配转向解集分支 （2025·甘肃多校·高一上学期第一次月考·原卷第13题，填空） 集合 ，，若 ，则由实数 组成的集合为________。 【答案】 【解析】 当 时，方程成为 ，无解，，满足 。 当 时，。要使 ，须有 或 ，得 或 。 代回可得 分别为 、、，都符合要求。因此参数集合为 。 变式2-3 降次与空集同时出现 （2026·河南郑州外国语学校·高一上月考（1）·原卷第13题，填空） 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是________。 【答案】 或 【解析】 先把 读成 。当 时，方程为 ，，符合要求。 当 时，若 非空，其元素只能是0或1。但代入 ，左边为 ，不可能为0；代入 ，左边为 ，也不为0。因此此时 必须为空集。 对 的二次方程， 等价于判别式 ，即 。 边界检查： 时，原方程为 ，，不包含于 ，故不能取等号。综上， 或 。 方法导航 先标明谁包含于谁，再确定集合的可能形态。有限集从确定的元素或0、1等特殊元素出发，列全匹配分支；方程解集先检查参数是否使方程降次或无解，再处理其余情形。求出参数后，代回原式检查定义域、元素个数和包含方向，最后合并重复的参数值。 题型三 数轴上的包含与真包含 比较整个范围，同时检查端点能否取到。 例3 端点相同也可能允许包含 （2025·四川内江一中·10月月考·原卷第6题，单选） 集合 ，，若 ，则 的取值范围为（ ）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 当 时，任何 都满足 ，从而 ，所以 。 反之，若 ，取 ，它属于 却不属于 ；若 ，取 ，则 ，仍得到属于 而不属于 的元素。所以必须 。 变式3-1 （2025·湖南省长沙市长郡中学·高三上学期月考（四）·原卷第2题，单选） 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围为（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D（） 【解析】 恒成立，所以 始终为非空区间。要使 ，必须同时有 和 ，得到 。 充分性：若 ，对任意 有 ，因此 ，即 。 端点检验： 时 ； 时 ，都不含0、6，因而两个参数端点均可取。只比较右端点或把开端点直接变成严格参数条件都会出错。 变式3-2 先分空集，再排除相等 （2026·河南郑州外国语学校·高一上月考（1）·原卷第16题（2）节选，解答） 已知集合 ，。 （2）若 是 的真子集，求实数 的取值范围。 【答案】 【解析】 ① 当 ，即 时，。由于 ，有 ，这部分参数全部符合要求。 ② 当 时，。由 得 且 ，结合 ，得 。 在这一区间中，若 ，两端点必须分别相等，即 且 ，两个条件不能同时成立。因此这里全部为真包含。 合并两类，得 。检验： 时 ； 时 ； 时 ，均是 的真子集。 参数区间 集合 的形态 真包含判定 非空，右端点 超出 ，不成立。 一段闭区间 在 内，且缺少0。 单元素集合 不是空集，是真子集。 空集 是非空集合 的真子集。 变式3-3 真包含必须排除相等的参数 （2026·山东省济南市·2026年10月济南市高一年级学情检测·原卷第15题） 已知集合 ，，若 ，则 的取值范围为（ ）。 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由 ，得 ，为非空集合。 当 ，即 时，严格不等式 无解，，故 。注意 时也是空集。 当 时， 非空。由 得 且 ，只能有 。但此时 ，不是真子集。 综上 。A漏掉空集临界值 ；C只保留相等而漏掉空集；D未按真包含排除相等。 方法导航 先求出集合表示的范围，并判断是否为空；含参端点还须检查大小顺序和重合情形。非空时在同一数轴上画出范围，分别处理左端、右端及开闭。若内集能取到外集不能取到的端点，该边界参数应排除。真包含要先得到普通包含的范围，再单独检查能否相等；不要把两个端点条件一律改成严格不等式。 题型四 子集与受限计数 先确定自由选择的元素，再处理限制。 例4 非空子集的计数 （2025·福建厦门英才学校·9月月考·原卷第12题，填空） 设集合 ，则 的非空子集个数为________。 【答案】7 【解析】 有3个不同元素，共有 个子集。排除空集，非空子集共有 个。 按元素个数列举：单元素子集 、、；双元素子集 、、； 三元素子集 。共 个。 变式4-1 先数整数，再排除两类边界 （2026·华中师范大学第一附属中学·2026—2027学年高一上9月月考·原卷第12题） 集合 的非空真子集的个数是________。 【答案】14 【解析】 ，共有4个不同元素，因此子集总数为 。 “非空”排除 ，“真子集”排除 本身；两者是不同集合，故有 个。不能把严格端点1、6计入 。 变式4-2 必选元素与严格上界 （2026·海南师范大学附属中学·高一上第一次月考·原卷第3题，单选） 满足 的集合 的个数为（ ）。 A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C（7） 【解析】 由 ，元素0必须选入；元素1、2、3各有选入或不选入两种选择，先得到 个集合。 由 ，需排除三个自由元素全部选入得到的 。而 允许保留，所以有 个。 可列为 、、、、、、。每个集合都含0且至少缺少1、2、3中的一个。 错项定位：3只数含一个自由元素的情况；6同时误排除两个边界；8没有排除上界集合。这里减去的不是空集，因为空集起初就不满足必选0。 变式4-3 两重真包含的分类计数 （2026·江苏省常州市第一中学·2026—2027学年高一上10月月考·原卷第8题） 若集合 的三个子集 、、 满足 ，则称 为集合 的一组“亲密子集”。已知集合 ，则 的所有“亲密子集”的组数为（ ）。 A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】D（18） 【解析】 由于 ， 不能为空集，也不能是 ，故 只能含1个或2个元素。以中间集合 分类可避免重复。 ① 含1个元素： 有3种。 只能为 ； 必须在其余两个元素中至少选一个添加到 ，有3种。所以本类有 组。 ② 含2个元素： 有3种。 是 的真子集，有3种； 只能为 。所以本类有 组。 共 组。 可以为空， 可以等于 ；但 或 都不允许。 方法导航 先化简集合，确定不同元素的个数；再把元素分为必选、禁选和可自由选择三类，每个自由元素有选与不选两种选择。对非空、真子集、固定元素个数等限制，明确哪些集合不能计入，避免重复扣除。包含链可按中间集合分类；元素间还有关系时，先列举或化成参数，再检查不同取法是否得到同一个无序集合。 限制 必须处理的边界 两端均允许相等。 排除 。 排除 。 当 时，排除两个不同边界集合。 先确认 。若 ，非严格包含只有 一种；任一端要求真包含，就没有符合条件的集合。 独立课时训练 练习1 （2026·北京市第四十四中学·9月29日学情反馈·原卷第4题，单选） 下列集合表示空集的是（ ）。 A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 对任意实数 ，有 ，所以 ，方程没有实数解，选项A表示空集。 的唯一元素是空集， 的唯一元素是0，两者都不是空集；数字0也不是空集的记号。 练习2 （2025·江苏省天一中学·2025—2026学年高一上10月质量检测·原卷第1题） 已知集合 ， 下列式子错误的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解方程得 ，它的两个元素是数 与1，不是集合 ，所以B错误。 A显然正确；空集是任何集合的子集，C正确；D两侧实际表示同一集合，任何集合都是自身的子集，故D也正确。 练习3 （2026·华中师范大学第一附属中学·2026—2027学年高一上9月月考·原卷第9题） 已知集合 ，则下列说法正确的有（ ）。（多选） A. B. C. 中有5个元素 D. 集合 有16个子集 【答案】AD 【解析】 由 ，得 ，且 ，所以 。 ，A正确；，所以 不是 的子集，B错误。 有4个元素，C错误；子集有 个，D正确。 练习4 （2025·淮安市高中校协作体·2025—2026学年度第一学期高一年级期中联考·原卷第12题） 已知 ，，，，则所有满足上述条件的集合 为________。 【答案】，，， 【解析】 中的每个元素既要在 中，也要在 中。4、5不在 中，6、7不在 中， 因此 只能选取0、2。 按元素个数列举：不选任何元素得 ；选1个得 或 ；选2个得 。四个集合均满足两项包含条件。 练习5 （2026·山东省济南市·2026年10月济南市高一年级学情检测·原卷第1题） 已知集合 ，，则（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因 不含端点0，而 ，所以 、，A、B均错。 每个满足 的实数都满足 ，故 。反向包含不成立，例如 而 。 练习6 （2025·上海大学附属中学·2025—2026学年高一上学期诊断测试（9月月考）·原卷第7题） 已知集合 ，，则 ________。（请在横线上填写“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 任取 中的一个元素 ，其中 。由于 ，且 ，所以 ，于是 。 反过来，；但 要求 ，不是整数，所以 ，不能反向包含，也不相等。按原题给定符号填 。 练习7 （2026·山东省济南市·2026年10月济南市高一年级学情检测·原卷第19题） 若 ，则集合 可以是（ ）。（多选） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 必须含1、3、5，且所有元素都在上界集合内，还不能等于上界集合。 选项A允许与下界集合相等，且未填满上界，正确；B缺少必选元素5，错误；C含所有必选元素且缺少0，正确；D等于上界，违反真包含，错误。 练习8 （2025·西华师范大学附属中学·2025—2026学年高一上学期10月考试·原卷第12题） 已知集合 ，，若 ，则 ________。 【答案】5 【解析】 由于 ，而3不等于1或2，所以只能 。 同理由 ，且2不等于1或3，得 。 回代两集合均为 ，满足条件。因此 。无需按书写位置一一对应。 练习9 （2025·四川省成都市成华区某校·高一上阶段性考试（一）·原卷第15题（1）节选，解答） 已知集合 。 （1）若集合 ，且 ，求实数 的值。 【答案】 【解析】 集合相等要求元素完全相同，不能只按书写顺序配对。分两种匹配：① 且 ；② 且 。 第一种要求 且 ，不可能。第二种由 得 ，并满足 。 回代 得 ，所以 。 练习10 （2025·上海市浦东新区川沙中学·2025—2026学年高一上学期期中考试·原卷第18题（1）节选） 设集合 ，集合 。 （1）若 且 ，求集合 。 【答案】 或 【解析】 当 时，方程为 ，所以 。由 ，得到 ，即 或 。 ① 时，，于是 。此时取 ，原方程为 ，确实成立。 ② 时，，于是 。此时取 ，原方程为 ，确实成立。 因此所求集合为 或 。先从必有的元素0出发，再把两支均代回；没有额外假设列举表达式互不相同。 练习11 （2026·云南民族大学附属高级中学·高一上9月月考·原卷第3题，单选） 满足 的集合 的个数为（ ）。 A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D（8） 【解析】 1和2必须选入，3、4、5这三个元素各可选入或不选入，所以共有 个集合。 题目两端都允许相等，既保留 ，也保留 ，不能机械减1或减2。按新增元素个数分类也可得 。 错项定位：4少算一个自由元素；6误排除两端；7误加一个真包含限制。 练习12 （2025·魏县第一中学、衡水市第十三中学2025—2026学年高一上学期10月份质量检测·原卷第3题） 设集合 ，， 则满足 的集合 的个数是（ ）。 A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】C（4） 【解析】 由 ，得 ；方程 的解集为 。 1、2必须在 中，3、4可自由选，故有 个。可列为 、、、。两端均允许相等，不需再减1。 练习13 （2025·上海师范大学附属外国语中学·2025—2026学年高一上学期10月考试·原卷第6题） 设 ，若集合 ，则 ________。 【答案】0 【解析】 分式有意义，必须 。右侧含0，因此左侧也含0；1与 都不为0，故 ，即 。 代入得左侧为 ，右侧为 。左侧含1，右侧中0和 都不是1，所以 ，得 ，。 回代两集合均为 。由于2025为奇数，。 练习14 （2025·上海市金山中学·2025学年度第一学期高一期中考试·原卷第10题） 若集合 有且仅有两个子集，则实数 的取值集合为________。 【答案】 【解析】 恰有两个子集，说明原方程的合法解恰有一个。先保留分母限制 ，再整理为 ，即 。 候选根为0和 。其中0始终合法。若 ，两个候选根合为0；若 ，第二个候选根1不在定义域内。这两种情况的解集均为 。 其余 使0与 成为两个不同且合法的根，子集数为4，不符合要求。因此参数集合为 。 练习15 （2025·上海大学附属中学·2025—2026学年高一上学期诊断测试（9月月考）·原卷第19题（2）节选） 已知集合 ，集合 。 （2）若 ，求实数 的取值范围。 【答案】 【解析】 是以 与 为端点的闭区间；两个端点相同时， 为单元素集合。因此 始终非空，且两个端点都属于 。 若 ，两个端点都必须严格大于 ，所以 且 ，合并得 。 反验：当 时， 且 。 中任一数都在这两个端点之间，故必大于 ，所以 。 当 时两端点重合，，已经包含在上述范围中，不能误删。 练习16 （2026·江西省南昌市第二中学苏圃路校区·2026—2027学年高一上10月月考·原卷第15题） 已知集合 。 （1）若 中有两个元素，求实数 的取值范围； （2）若 中最多有两个子集，求实数 的取值范围。 【答案】（1） 且 ；（2） 或 【解析】 （1） 有两个元素，等价于原方程有两个不相等的实数根。必须 ，且判别式 。所以 且 。 （2）子集数为 ，其中 是 的元素个数。最多有两个子集，意味着 或 ，即原方程没有实数根或恰有一个实数根。 当 时，方程为 ，只有一个实数根，满足要求。 当 时，只有 才能至多有一个实数根，故 。其中等号对应重根，一个元素；严格小于对应空集。 合并得 或 。空集也有一个子集，不能把“最多两个子集”误读为“恰有一个元素”。 练习17 （2026·湖南雅礼中学·下学期第一次质量检测·原卷第3题，单选） 已知集合 ，则 的所有子集中的元素之和为（ ）。 A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 每个子集先计算其中元素的和，再把这些和相加；空集贡献0。 固定元素1，包含1的子集有 、、、，共4个。元素2和3也各出现在4个子集中，所以所求为 。 逐类复核：单元素子集贡献 ；双元素子集贡献 ；三元素子集贡献6，总和为24。 错项定位：6只把原集合求和一次；12只统计了双元素子集；18漏去单元素子集或原集合这一层。 练习18 （2026·北京市第四十四中学·9月29日学情反馈·原卷第12题，单选） 设集合 ，选择 的两个非空子集 和 ，要使 中最小的数大于 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）。 A. 50种 B. 49种 C. 48种 D. 47种 【答案】B（49种） 【解析】 以 中最大元素 分类。由于 非空且其元素都大于 ，只能有 。 必须含 ，小于 的数可自由选； 从大于 的数中选出一个非空子集。每一对集合只属于一个类别，不会重复。 的选择数 的选择数 本类组合数 1 1 15 2 2 14 3 4 12 4 8 8 合计 种。不能加入 ，否则没有非空的 ；也不能在每一类中允许 。 练习19 （2025·四川威远中学校·高一上期第一次月考·原卷第8题，单选） 设 是整数集 的一个非空子集，对于 ，如果 且 ，那么 是 的一个“孤立元”， 给定 ，由 的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个。 A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B（16个） 【解析】 先数所有三元素子集。按最小元素分类：最小元素为1时，另外两个从2、3、4、5、6中选，共 种；最小元素为2时有 种；为3时有 种；为4时有1种。共 个。 再找不含孤立元的集合。把三个元素按 排列。若 不孤立，必须 ；若 不孤立，必须 。所以三个元素必须连续。反之，连续三个整数均有相邻元素，确实没有孤立元。 因此应排除 、、、 这4个集合，得到 个。 检验：“含有孤立元”表示至少有一个，不要求三个元素全都孤立。一个集合即使有多个孤立元，也只能计数一次。 练习20 （2025·上海中学东校·2025学年度第一学期期中素质评估 高一数学（2025.11）·原卷第14题） 已知集合 ，集合 是集合 的三元子集，即 ， 中的元素 满足 ，，则符合要求的集合 有________个。 【答案】1012 【解析】 分母有意义，故 均非0；“三元子集”还明确要求它们两两不同。由 和 ，整理得 。 与三元子集矛盾，故 ，。此时 。只要 是非零整数，三个元素就互不相同。 由 ，得到 ，所以 。正、负整数参数各506个，共1012个候选。 还需排除同一集合被不同参数重复表示： 时有1负2正， 时有2负1正，两类不同；同号时，最大绝对值 唯一确定 ，也就确定 。因此不同参数对应不同集合，共1012个。 订正与复盘 把错题按“对象混淆、包含方向、空集漏解、边界遗漏、重复计数”归类。订正时写出导致错误的具体条件，再用一个元素或一个参数值回代检验。 人教A版 · 高一数学必修第一册 | 2026—2027学年 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $同步导学与精讲 · 第一章 集合与常用逻辑用语 学生版 1.2 集合间的基本关系 同步导学与精讲 学习目标：能依据元素判断包含、相等与真包含；能识别空集及参数边界；能解释并运用有限集合的子集计数。 范围约定：未另作说明的方程解集、数轴集合及参数均在实数范围内讨论。 知识准备 知识点1 子集、相等与真子集 关系 判定依据 如何验证 的每个元素都是 的元素。 检查 的所有元素；允许 。 两个集合由完全相同的元素组成。 验证 ，再验证 。 ，且 。 还要找到 中至少一个不在 中的元素。 若 且 ，则 。其中至少一个关系是真包含时，。任何集合都满足 。 知识点2 关系判断的反例与证明 否定 ，只需找到一个属于 却不属于 的元素。否定一个方向，不等于证明另一个方向。 概念例释 设 ，。1在 中而不在 中，3在 中而不在 中，所以两集合互不包含。 有限集可逐个检查；无限集不能靠列出几个元素证明包含，需要从任意一个符合前者条件的元素出发，说明它也符合后者条件。 知识准备与题型导航 概念例释 设 ，。若 ，取整数 ，得 ；反之取 。因此 且 ，故 。 知识点3 空集与特殊对象 空集 不含任何元素。它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 不是自身的真子集。 写法 元素个数 说明 0 没有元素。 1 元素是数0。 1 元素是集合 ；集合也能作为元素。 与 等价； 则是在问“集合 本身是不是 的一个元素”。 知识点4 有限集合的子集计数 已知 有 个不同元素 个数 所排除的对象 全部子集 不排除任何选择。 非空子集 排除空集。 真子集 排除 本身。 非空真子集（） 排除空集和 本身。 每个元素有“选入、不选入”两种选择。 时只有子集 ，没有真子集，也没有非空真子集。 知识准备与题型导航 知识点5 数轴集合的边界 比较包含关系，检查的是整个集合，不只是某一个数。非空区间的左端不得越过外集左端，右端不得越过外集右端；端点相同时，再根据该点是否属于内外两集确定能否取等号。 表示条件 集合形态 时为闭区间； 时为单元素集合； 时为空集。 时为开区间； 时为空集。 空集可被任何集合包含，但要成为真子集，外集必须非空。判断非空区间的真包含，要检查两集合是否完全相等；只要整体不相等即可，不要求两端都不相同。 知识点6 含参集合的分类检查 含参数的方程定义集合时，先检查分母、根式等原式限制，再判断方程是否因系数为0而降次。二次方程的实根个数由判别式确定：正、零、负分别对应两个、一个、零个不同实数元素。重根只计一个元素。 从子集个数反推元素个数，再反推参数条件。题目若只列出若干表达式，不能另加未给出的元素个数要求；明确说“二元集”“三元集”时，才必须按该个数排除元素重合。所有参数分支都要回代原题验证。 题型导航 题型 关键任务 题目定位 一 对象与集合关系 从数域、空集到数集与点集。 例1及变式1-1—1-3 二 有限集包含求参 匹配元素，检查互异、空集与降次。 例2及变式2-1—2-3 三 数轴包含与真包含 单端到双端，再检查空集和相等。 例3及变式3-1—3-3 四 子集与受限计数 从单集合到受限选择与包含链。 例4及变式4-1—4-3 独立课时训练 覆盖关系、求参和计数的迁移。 练习1—20 前置知识：初中实数、方程、简单不等式及一元二次方程判别式。本讲不使用交并补运算、逻辑量词或排列组合公式。 题型一 对象与集合关系 先辨认对象，再选择关系符号。 例1 先辨认对象，再判断关系 （2025·湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟·2025年秋季高一年级期中考试（2025年11月19日）·原卷第1题） 下列关系正确的是（ ）。 A. B. C. D. 变式1-1 同时检查数域与空集关系 （2025·天津市第二中学2025—2026学年高一上学期第一次月考·原卷第1题） 下列关系：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，正确的个数为（ ）。 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 变式1-2 分清数、点和集合 （2025·河南省天立教育集团·高一秋季第一学月联考·原卷第1题，单选） 下列各式中，错误的个数是（ ）。 ① ；② ；③ ；④ 。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式1-3 从列举法迁移到描述法 （2026·华中师范大学第一附属中学·2026—2027学年高一上9月月考·原卷第10题） 下列集合中表示同一集合的是（ ）。（多选） A. ， B. ， C. ， D. ， 方法导航 先读大括号内每一项，确认元素是数、点还是集合。判断属于关系时，把左侧对象作为一个整体查找；判断包含时，逐个检查左侧集合的元素；判断相等时，验证双向包含。对无限集，从任意元素的表达式出发进行变形；要否定包含或相等，写出一个有效反例，而不是只比较表示形式。 题型二 有限集合包含中的参数 把集合关系转成每个元素必须满足的条件。 例2 从包含关系落实到元素 （2025·安徽鼎尖名校大联考·高一第一学期B卷·原卷第4题，单选） 已知集合 ，，若 ，则满足条件的实数 的个数为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式2-1 包含之外还要满足元素个数 （2026·上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学·2026—2027学年高一上第一次学情调研·原卷第5题） 已知集合 ，，若 且 中含有两个元素，则 ________。 变式2-2 由元素匹配转向解集分支 （2025·甘肃多校·高一上学期第一次月考·原卷第13题，填空） 集合 ，，若 ，则由实数 组成的集合为________。 变式2-3 降次与空集同时出现 （2026·河南郑州外国语学校·高一上月考（1）·原卷第13题，填空） 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是________。 方法导航 先标明谁包含于谁，再确定集合的可能形态。有限集从确定的元素或0、1等特殊元素出发，列全匹配分支；方程解集先检查参数是否使方程降次或无解，再处理其余情形。求出参数后，代回原式检查定义域、元素个数和包含方向，最后合并重复的参数值。 题型三 数轴上的包含与真包含 比较整个范围，同时检查端点能否取到。 例3 端点相同也可能允许包含 （2025·四川内江一中·10月月考·原卷第6题，单选） 集合 ，，若 ，则 的取值范围为（ ）。 A. B. C. D. 变式3-1 （2025·湖南省长沙市长郡中学·高三上学期月考（四）·原卷第2题，单选） 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围为（ ）。 A. B. C. D. 变式3-2 先分空集，再排除相等 （2026·河南郑州外国语学校·高一上月考（1）·原卷第16题（2）节选，解答） 已知集合 ，。 （2）若 是 的真子集，求实数 的取值范围。 变式3-3 真包含必须排除相等的参数 （2026·山东省济南市·2026年10月济南市高一年级学情检测·原卷第15题） 已知集合 ，，若 ，则 的取值范围为（ ）。 A. B. C. D. 方法导航 先求出集合表示的范围，并判断是否为空；含参端点还须检查大小顺序和重合情形。非空时在同一数轴上画出范围，分别处理左端、右端及开闭。若内集能取到外集不能取到的端点，该边界参数应排除。真包含要先得到普通包含的范围，再单独检查能否相等；不要把两个端点条件一律改成严格不等式。 题型四 子集与受限计数 先确定自由选择的元素，再处理限制。 例4 非空子集的计数 （2025·福建厦门英才学校·9月月考·原卷第12题，填空） 设集合 ，则 的非空子集个数为________。 变式4-1 先数整数，再排除两类边界 （2026·华中师范大学第一附属中学·2026—2027学年高一上9月月考·原卷第12题） 集合 的非空真子集的个数是________。 变式4-2 必选元素与严格上界 （2026·海南师范大学附属中学·高一上第一次月考·原卷第3题，单选） 满足 的集合 的个数为（ ）。 A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 变式4-3 两重真包含的分类计数 （2026·江苏省常州市第一中学·2026—2027学年高一上10月月考·原卷第8题） 若集合 的三个子集 、、 满足 ，则称 为集合 的一组“亲密子集”。已知集合 ，则 的所有“亲密子集”的组数为（ ）。 A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 方法导航 先化简集合，确定不同元素的个数；再把元素分为必选、禁选和可自由选择三类，每个自由元素有选与不选两种选择。对非空、真子集、固定元素个数等限制，明确哪些集合不能计入，避免重复扣除。包含链可按中间集合分类；元素间还有关系时，先列举或化成参数，再检查不同取法是否得到同一个无序集合。 限制 必须处理的边界 两端均允许相等。 排除 。 排除 。 当 时，排除两个不同边界集合。 先确认 。若 ，非严格包含只有 一种；任一端要求真包含，就没有符合条件的集合。 独立课时训练 练习1 （2026·北京市第四十四中学·9月29日学情反馈·原卷第4题，单选） 下列集合表示空集的是（ ）。 A. B. C. D. 0 练习2 （2025·江苏省天一中学·2025—2026学年高一上10月质量检测·原卷第1题） 已知集合 ， 下列式子错误的是（ ）。 A. B. C. D. 练习3 （2026·华中师范大学第一附属中学·2026—2027学年高一上9月月考·原卷第9题） 已知集合 ，则下列说法正确的有（ ）。（多选） A. B. C. 中有5个元素 D. 集合 有16个子集 练习4 （2025·淮安市高中校协作体·2025—2026学年度第一学期高一年级期中联考·原卷第12题） 已知 ，，，，则所有满足上述条件的集合 为________。 练习5 （2026·山东省济南市·2026年10月济南市高一年级学情检测·原卷第1题） 已知集合 ，，则（ ）。 A. B. C. D. 练习6 （2025·上海大学附属中学·2025—2026学年高一上学期诊断测试（9月月考）·原卷第7题） 已知集合 ，，则 ________。（请在横线上填写“”、“”或“”） 练习7 （2026·山东省济南市·2026年10月济南市高一年级学情检测·原卷第19题） 若 ，则集合 可以是（ ）。（多选） A. B. C. D. 练习8 （2025·西华师范大学附属中学·2025—2026学年高一上学期10月考试·原卷第12题） 已知集合 ，，若 ，则 ________。 练习9 （2025·四川省成都市成华区某校·高一上阶段性考试（一）·原卷第15题（1）节选，解答） 已知集合 。 （1）若集合 ，且 ，求实数 的值。 练习10 （2025·上海市浦东新区川沙中学·2025—2026学年高一上学期期中考试·原卷第18题（1）节选） 设集合 ，集合 。 （1）若 且 ，求集合 。 练习11 （2026·云南民族大学附属高级中学·高一上9月月考·原卷第3题，单选） 满足 的集合 的个数为（ ）。 A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 练习12 （2025·魏县第一中学、衡水市第十三中学2025—2026学年高一上学期10月份质量检测·原卷第3题） 设集合 ，， 则满足 的集合 的个数是（ ）。 A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 练习13 （2025·上海师范大学附属外国语中学·2025—2026学年高一上学期10月考试·原卷第6题） 设 ，若集合 ，则 ________。 练习14 （2025·上海市金山中学·2025学年度第一学期高一期中考试·原卷第10题） 若集合 有且仅有两个子集，则实数 的取值集合为________。 练习15 （2025·上海大学附属中学·2025—2026学年高一上学期诊断测试（9月月考）·原卷第19题（2）节选） 已知集合 ，集合 。 （2）若 ，求实数 的取值范围。 练习16 （2026·江西省南昌市第二中学苏圃路校区·2026—2027学年高一上10月月考·原卷第15题） 已知集合 。 （1）若 中有两个元素，求实数 的取值范围； （2）若 中最多有两个子集，求实数 的取值范围。 练习17 （2026·湖南雅礼中学·下学期第一次质量检测·原卷第3题，单选） 已知集合 ，则 的所有子集中的元素之和为（ ）。 A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 练习18 （2026·北京市第四十四中学·9月29日学情反馈·原卷第12题，单选） 设集合 ，选择 的两个非空子集 和 ，要使 中最小的数大于 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）。 A. 50种 B. 49种 C. 48种 D. 47种 练习19 （2025·四川威远中学校·高一上期第一次月考·原卷第8题，单选） 设 是整数集 的一个非空子集，对于 ，如果 且 ，那么 是 的一个“孤立元”， 给定 ，由 的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个。 A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 练习20 （2025·上海中学东校·2025学年度第一学期期中素质评估 高一数学（2025.11）·原卷第14题） 已知集合 ，集合 是集合 的三元子集，即 ， 中的元素 满足 ，，则符合要求的集合 有________个。 订正与复盘 把错题按“对象混淆、包含方向、空集漏解、边界遗漏、重复计数”归类。订正时写出导致错误的具体条件，再用一个元素或一个参数值回代检验。 人教A版 · 高一数学必修第一册 | 2026—2027学年 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $