1.2　集合间的基本关系培优讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2　集合间的基本关系 1.理解两个集合间的包含关系. 2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系. 3.理解空集与子集、真子集之间的关系. 　　我们知道,两个实数之间有相等关系、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,那么,两个集合之间是否也有类似的关系呢?考察具体问题:一所学校中,所有同学组成的集合记为A,而高一年级同学组成的集合记为B,你觉得集合A和B之间有怎样的关系?你能从集合元素的角度分析它们的关系吗? 知识点一　子集 1.Venn图:在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集 记法与 读法 记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性:任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A; (2)传递性:对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C 3.一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B. (1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致,集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A⊆B,且B⊆A,则A=B”,反之亦成立. 4.真子集 定义 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 传递性:对于集合A,B,C,如果A⫋B,且B⫋C,那么A⫋C 5.空集 定义 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ⌀ 规定 空集是任何集合的子集,即⌀⊆A 特性 (1)空集只有一个子集,即它本身,⌀⊆⌀; (2)若A≠⌀,则⌀⫋A (教材例2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集,并说明理由: (1)A={1,2,3},B={x|x是8的约数}; (2)A={x|x是长方形},B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}. 解　(1)因为3不是8的约数,所以集合A不是集合B的子集. (2)因为若x是长方形,则x一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合A是集合B的子集. [例1]　(人教B版必修第一册例题改编)写出下列每对集合之间的关系: (1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5}; (2)C={x|x2=1},D={x||x|=1}; (3)E={x|x<3},F={x|-1<x≤2}; (4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形},H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形}. 因为集合之间的关系是通过元素来定义的,因此只要针对集合中的元素进行分析即可. 解　(1)因为B的每个元素都属于A,而4∈A且4∉B,所以B⫋A. (2)不难看出,C和D包含的元素都是1和-1,所以C=D. (3)在数轴上表示集合E与集合F,如图所示, 由图可知F⫋E. (4)如果x∈G,则x是对角线相等且互相平分的四边形,所以x是矩形,从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形,所以x∈H,因此G⊆H. 反之,如果x∈H,则x是有一个内角为直角的平行四边形,所以x是矩形,从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形,所以x∈G,因此H⊆G. 综上可知,G=H. 　判断集合间关系的三种方法 1.集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则 (　　) A.B∈A B.A⊆B C.B⊆A D.A=B 解析　C　集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则对任意x∈B,有x∈A,所以B⊆A. 2.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是(　　) 解析　B　解x2-x=0,得x=1或x=0,故N={0,1},易得N⫋M,其对应的Venn图如选项B所示. 知识点二　确定集合的子集、真子集 (教材例1)写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 解　集合{a,b}的所有子集为⌀,{a},{b},{a,b}.真子集为⌀,{a},{b}. [例2]　(北师大版必修第一册例题)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. 利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集,进而写出真子集. 解　由子集的定义知,集合{0,1,2}的子集的元素个数最少为0个,最多为3个.按照子集中元素的个数,由少到多依次写出集合{0,1,2}的所有子集,得 ⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}. 显然,上述8个子集除了集合{0,1,2}以外,其余7个集合都是它的真子集. 1.求给定集合的子集的两个注意点 (1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写. (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 2.若集合A中含有n个元素,则有:(1)A的子集有2n个;(2)A的非空子集有(2n-1)个;(3)A的真子集有(2n-1)个. 3.集合M={1,2,3}的真子集个数为 (　　) A.3 B.6 C.7 D.8 解析　C　集合M有3个元素,故集合M的真子集个数为23-1=7. 4.满足{1}⊆A⊆{1,2,3,4}的集合A的个数为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析　D　∵{1}⊆A⊆{1,2,3,4},∴A可能的集合为{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{1,2,3,4},共8个. 知识点三　根据集合间的关系确定参数的取值范围 [例3]　已知集合A={x|-2≤x≤5}. (1)若A⊆B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围; (2)若B⊆A,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围. (1)由题得解出即可. (2)分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论. 解　(1)∵A⊆B,∴ 解得3≤m≤4. 即实数m的取值范围为{m|3≤m≤4}. (2)当B=⌀时,m-6>2m-1,解得m<-5; 当B≠⌀时,满足此时无解. 综上,实数m的取值范围为{m|m<-5}. 本例的条件不变,是否存在实数m,使得A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1}?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. 解　要使A=B,则满足方程组无解,故不存在. 由集合间的关系求参数问题的解题策略 1.注意点:(1)不能忽视集合为⌀的情形;(2)当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论. 2.常用方法:对于用不等式给出的集合,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误. 5.已知集合A={x|-2<x<10},集合B={y|1-m≤y≤1+m},若B⊆A,则实数m的取值范围为 (　　) A.m<3 B.m≤3 C.0≤m≤3 D.0<m≤3 解析　A　当B=⌀时,则1-m>1+m,解得m<0,当B≠⌀时,则解得0≤m<3.综上所述,m的取值范围为m<3. 1.知识清单: (1)子集、真子集的概念与性质. (2)子集的个数. (3)由集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳:分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区:在解决问题时,容易遗忘空集,它在集合中有重要的地位;求含参的问题时,容易遗漏端点的取值,应注意讨论. 1.已知集合A={1,2,3},则下列集合中是集合A的真子集的是 (　　) A.{1,2,3} B.{2,3} C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4} 解析　B　对于A,两集合相等,故A选项不是集合A的真子集;对于B,由真子集定义知,{2,3}是集合A的真子集;C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素,故C,D错误. 2.下列说法正确的是 (　　) A.⌀∈{0} B.0⊆N C.∉Q D.{-1}⊆Z 解析　D　对于A,因为空集是集合,所以⌀⊆{0},所以A错误;对于B,因为0属于自然数,即0∈N,所以B错误;对于C,因为∈Q,所以C错误;对于D,因为{-1}⊆Z,所以D正确. 3.集合{-2,0,3}的真子集的个数为 (　　) A.4 B.6 C.7 D.8 解析　C　含有n(n∈N)个元素的集合的真子集个数为2n-1,即所求为23-1=7. 4.已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x≤2},若B⊆A,则实数a的取值范围为 (　　) A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2 解析　C　依题意,A={x|0<x<a},B={x|1<x≤2},且B⊆A,所以a>2. 1.下列集合符号运用不正确的是 (　　) A.{0,1}⊆N B.⌀⊆{x∈R|x2+1=0} C.∈Z D.∈Q 解析　C　A选项,集合{0,1}中的元素0和1都是自然数,所以集合{0,1}是自然数集的子集,即{0,1}⊆N,A选项集合符号运用正确;B选项,对于方程x2+1=0,在实数范围内,x2≥0,则x2+1≥1,方程x2+1=0无解,所以集合{x∈R|x2+1=0}是空集,⌀是集合{x∈R|x2+1=0}的子集,B选项集合符号运用正确;C选项,是一个无限不循环小数,是无理数,不是整数,所以不属于整数集,即∉Z,C选项集合符号运用不正确;D选项,分数属于有理数,所以属于有理数集,即∈Q,D选项集合符号运用正确. 2.(多选)已知集合P={x|(x-3)(x-2)=0},则下列关系式表示正确的有 (　　) A.{3}∈P B.-2∈P C.⌀⊆P D.P⊆{2,3} 解析　CD　P={x|(x-3)(x-2)=0}={2,3},对选项A:{3}⊆P,错误;对选项B:-2∉P,错误;对选项C:⌀⊆P,正确;对选项D:P⊆{2,3},正确.故选CD. 3.已知集合M={x||x|≤,x∈N*},则M的真子集个数为(　　) A.7 B.8 C.15 D.16 解析　A　因为M={x||x|≤,x∈N*}={x|-≤x≤,x∈N*}={1,2,3},即集合M的元素个数为3,故M的真子集个数为23-1=7. 4.集合A={x|-4<x<2}的一个真子集可以为 (　　) A.{3} B.{x|-1<x<3} C.{0} D.{x|-4<x<2} 解析　C　3∉A={x|-4<x<2},故A错误;2.5∉A={x|-4<x<2},故B错误;因为{x|-4<x<2}是集合A={x|-4<x<2}的子集,但不是真子集,故D错误;{0}是集合A={x|-4<x<2}的真子集,故C正确. 5.(多选)已知集合M={2,4},集合M⊆N⫋{1,2,3,4,5},则集合N可以是 (　　) A.{2,4} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5} 解析　ABC　∵M⊆N⫋{1,2,3,4,5},M={2,4},∴2∈N,4∈N,N≠{1,2,3,4,5},∴N可以是{2,4}、{2,3,4}和{1,2,3,4}. 6.集合M={x|1≤x≤3,x∈N},则集合M的子集有　　　　个.  答案　8 解析　集合M的子集为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},⌀,一共8个. 7.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集至多有两个,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　. 解析　由题意,集合至多只有一个元素. 当a=0时,A=,满足题意. 当a≠0时,由Δ=9-8a=0,得a=,A=,满足题意; 由Δ=9-8a<0,得a>,A=⌀,满足题意. 综上,a的取值范围是. 8.指出下列各组集合之间的关系: (1)A={x|-1<x<5},B={x|0<x<5}; (2)A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}; (3)A={x|x2-x=0},B=. 解　(1)在数轴上表示出集合A,B,如图所示,由图可知B⫋A. (2)∵集合A是偶数集,集合B是4的倍数集,∴B⫋A. (3)A={x|x2-x=0}={0,1}.在集合B中,当n为奇数时,x==0, 当n为偶数时,x==1, ∴B={0,1},∴A=B. 9.已知A={x|1<x<5},B={x|a-1<x<a},a∈R. (1)当x∈N时,写出集合A的所有子集,共有多少个? (2)若B⊆A,求实数a的取值范围. 解　(1)当x∈N时,A={2,3,4}, 所以集合A的子集有⌀,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{2,3,4}, 所以共有8个子集. (2)因为B⊆A,所以解得2≤a≤5, 所以实数a的取值范围为{a|2≤a≤5}. 10.已知集合M=,N=,P=, 则M,N,P的关系为 (　　) A.M=N⫋P B.M⫋N=P C.M⫋N⫋P D.N⫋P⫋M 解析　B　由M=, P=,而2m+1为奇数,p+1为整数,又N=,所以M⫋N=P. 11.已知集合{0,m3}⊆{0,m,1},则实数m的取值集合为　　　　.  答案　{-1} 解析　因为{0,m3}⊆{0,m,1}, 所以则m3=m⇒m=-1, 所以实数m的取值集合为{-1}. 12.已知集合M={x|x2+2x-a=0}. (1)若⌀⫋M,求实数a的取值范围; (2)若N={x|x2+x=0}且M⊆N,求实数a的取值范围. 解　(1)由题意得,方程x2+2x-a=0有实数解,所以Δ=22-4×(-a)≥0,解得a≥-1,所以实数a的取值范围是{a|a≥-1}. (2)因为N={x|x2+x=0}={0,-1},且M⊆N, 所以当M=⌀时,Δ=22-4×(-a)<0,解得a<-1;当M≠⌀时,若Δ=0,则a=-1, 此时M={-1},满足M⊆N,符合题意, 若Δ>0,则a>-1,M中有两个元素, 因为M⊆N,所以M=N,从而根据一元二次方程根与系数的关系有无解. 综上,实数a的取值范围为{a|a≤-1}. 13.已知A={1,2},B={1,2},若A*B={z|z=x2y,x∈A,y∈B},则集合A*B中的所有非空子集的元素之和为(　　) A.15 B.30 C.60 D.120 解析　D　由A={1,2},B={1,2},A*B={z|z=x2y,x∈A,y∈B},得A*B={1,2,4,8},含有数1的A*B的子集有{1},{1,2},{1,4},{1,8},{1,2,4},{1,2,8},{1,4,8},{1,2,4,8},共8个,同理含有数2,4,8的A*B的子集都各有8个,所以集合A*B中的所有非空子集的元素之和为8×(1+2+4+8)=120. 14.设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}的所有非空子集为A1,A2,A3,…,An,其中n∈N*.设Ak(k∈N*,k≤n)中所有元素之和为mk,则m1+m2+m3+…+mn=　　　　.  答案　4 608 解析　集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}中的每一个元素出现在非空子集中的次数为28-1=27, 所以m1+m2+m3+…+mn=27(1+2+3+…+8)=4 608. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　集合间的基本关系 1.理解两个集合间的包含关系. 2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系. 3.理解空集与子集、真子集之间的关系. 　　我们知道,两个实数之间有相等关系、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,那么,两个集合之间是否也有类似的关系呢?考察具体问题:一所学校中,所有同学组成的集合记为A,而高一年级同学组成的集合记为B,你觉得集合A和B之间有怎样的关系?你能从集合元素的角度分析它们的关系吗? 知识点一　子集 1.Venn图:在数学中,我们经常用平面上_______的内部代表集合,这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中_____一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的______ 记法与 读法 记作______(或B⊇A),读作“____________”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性:任何一个集合是它本身的子集,即______; (2)传递性:对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则______ 3.一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作______.也就是说,若______,且______,则A=B. (1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致,集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A⊆B,且B⊆A,则A=B”,反之亦成立. 4.真子集 定义 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且______,就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作______(或B⫌A),读作“____________”(或“B真包含A”) 图示 性质 传递性:对于集合A,B,C,如果A⫋B,且B⫋C,那么A⫋C 5.空集 定义 一般地,我们把____________的集合叫做空集 记法 ⌀ 规定 空集是任何集合的子集,即⌀⊆A 特性 (1)空集只有一个子集,即它本身,⌀⊆⌀; (2)若A≠⌀,则⌀⫋A [例1]　(人教B版必修第一册例题改编)写出下列每对集合之间的关系: (1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5}; (2)C={x|x2=1},D={x||x|=1}; (3)E={x|x<3},F={x|-1<x≤2}; (4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形},H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形}. 　判断集合间关系的三种方法 1.集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则 (　　) A.B∈A B.A⊆B C.B⊆A D.A=B 2.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是(　　) 知识点二　确定集合的子集、真子集 [例2]　(北师大版必修第一册例题)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. 1.求给定集合的子集的两个注意点 (1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写. (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 2.若集合A中含有n个元素,则有:(1)A的子集有2n个;(2)A的非空子集有(2n-1)个;(3)A的真子集有(2n-1)个. 3.集合M={1,2,3}的真子集个数为 (　　) A.3 B.6 C.7 D.8 4.满足{1}⊆A⊆{1,2,3,4}的集合A的个数为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 知识点三　根据集合间的关系确定参数的取值范围 [例3]　已知集合A={x|-2≤x≤5}. (1)若A⊆B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围; (2)若B⊆A,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围. 本例的条件不变,是否存在实数m,使得A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1}?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. 由集合间的关系求参数问题的解题策略 1.注意点:(1)不能忽视集合为⌀的情形;(2)当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论. 2.常用方法:对于用不等式给出的集合,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误. 5.已知集合A={x|-2<x<10},集合B={y|1-m≤y≤1+m},若B⊆A,则实数m的取值范围为 (　　) A.m<3 B.m≤3 C.0≤m≤3 D.0<m≤3 1.知识清单: (1)子集、真子集的概念与性质. (2)子集的个数. (3)由集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳:分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区:在解决问题时,容易遗忘空集,它在集合中有重要的地位;求含参的问题时,容易遗漏端点的取值,应注意讨论. 1.已知集合A={1,2,3},则下列集合中是集合A的真子集的是 (　　) A.{1,2,3} B.{2,3} C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4} 2.下列说法正确的是 (　　) A.⌀∈{0} B.0⊆N C.∉Q D.{-1}⊆Z 3.集合{-2,0,3}的真子集的个数为 (　　) A.4 B.6 C.7 D.8 4.已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x≤2},若B⊆A,则实数a的取值范围为 (　　) A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2 1.下列集合符号运用不正确的是 (　　) A.{0,1}⊆N B.⌀⊆{x∈R|x2+1=0} C.∈Z D.∈Q 2.(多选)已知集合P={x|(x-3)(x-2)=0},则下列关系式表示正确的有 (　　) A.{3}∈P B.-2∈P C.⌀⊆P D.P⊆{2,3} 3.已知集合M={x||x|≤,x∈N*},则M的真子集个数为(　　) A.7 B.8 C.15 D.16 4.集合A={x|-4<x<2}的一个真子集可以为 (　　) A.{3} B.{x|-1<x<3} C.{0} D.{x|-4<x<2} 5.(多选)已知集合M={2,4},集合M⊆N⫋{1,2,3,4,5},则集合N可以是 (　　) A.{2,4} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5} 6.集合M={x|1≤x≤3,x∈N},则集合M的子集有　　　　个.  7.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集至多有两个,则实数a的取值范围是　　　　.  8.指出下列各组集合之间的关系: (1)A={x|-1<x<5},B={x|0<x<5}; (2)A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}; (3)A={x|x2-x=0},B=. 9.已知A={x|1<x<5},B={x|a-1<x<a},a∈R. (1)当x∈N时,写出集合A的所有子集,共有多少个? (2)若B⊆A,求实数a的取值范围. 10.已知集合M=,N=,P=, 则M,N,P的关系为 (　　) A.M=N⫋P B.M⫋N=P C.M⫋N⫋P D.N⫋P⫋M 11.已知集合{0,m3}⊆{0,m,1},则实数m的取值集合为　　　　.  12.已知集合M={x|x2+2x-a=0}. (1)若⌀⫋M,求实数a的取值范围; (2)若N={x|x2+x=0}且M⊆N,求实数a的取值范围. 13.已知A={1,2},B={1,2},若A*B={z|z=x2y,x∈A,y∈B},则集合A*B中的所有非空子集的元素之和为(　　) A.15 B.30 C.60 D.120 14.设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}的所有非空子集为A1,A2,A3,…,An,其中n∈N*.设Ak(k∈N*,k≤n)中所有元素之和为mk,则m1+m2+m3+…+mn=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $