专题18 抛物线的标准方程八类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题18 抛物线的标准方程 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由几何关系求抛物线的标准方程 题型二、定义法求抛物线的标准方程 题型三、直接法求抛物线的轨迹方程 题型四、求抛物线上的点到定点的距离最值 题型五、求抛物线上的点到焦点与定点的距离和差最值 题型六、求抛物线上的点到定点与定直线的距离最值 题型七、抛物线的焦半径公式 题型八、抛物线的焦点与准线的综合计算 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 抛物线问题以抛物线定义为底层根基，核心是抛物线上任意一点到焦点距离等于到准线距离，解题优先考虑定义转化距离，简化线段最值与焦半径计算。解题贯穿两条底线原则：一是先判断抛物线开口方向，确定标准方程形式，二是涉及焦点弦、焦半径计算优先使用坐标公式，所有结果注意分类讨论开口方向 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由几何关系求抛物线的标准方程 典例1 （24-25高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 题型模版 1.特征：题干给出焦点坐标、准线方程、焦距、顶点等几何条件，求抛物线标准方程 2.方法：先判断开口方向，设对应形式，利用条件求出参数，直接写出方程 3.补充结论：代表焦点到准线的距离，恒有 变式1-1（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则______． 变式1-2（2025·安徽蚌埠·三模）设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1-3（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 类型二、定义法求抛物线的标准方程 典例2 （26-27高二上·云南昆明·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：给出抛物线上一点到焦点或者到准线的距离条件，利用定义列式求方程 2.方法：利用抛物线定义，点到焦点距离=点到准线距离，建立等式求，写出标准方程 3.补充结论：看到距离条件优先定义转化，避免直接联立计算 变式2-1（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 变式2-2（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 变式2-3（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为_____________． 题型三、直接法求抛物线的轨迹方程 典例3 （24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：动点满足到定点与定直线距离相等（定点不在定直线上），求动点轨迹 2.方法：设动点坐标，根据距离相等列式，化简整理，检验定点是否在定直线上 3.补充结论：定点在定直线上时轨迹是直线，不是抛物线 变式3-1（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为__________． 变式3-2（24-25高二上·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． 变式3-3（2025高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，求的方程. 题型四、求抛物线上的点到定点的距离最值 典例4 （25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 题型模版 1.特征：已知抛物线和定点，在抛物线上找一点，求的最大值或最小值 2.方法：设抛物线上点参数坐标，写出距离平方表达式，转化为一元二次函数求最值，结合定义域判断顶点是否可取 3.补充结论：优先用抛物线参数式代换，减少根号运算 变式4-1（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 变式4-2（2025高二·湖南·专题练习）已知点满足，，则的最小值为__________ 变式4-3（2025·江苏·模拟预测）已知抛物线的焦点为是C上一点，对于x轴上一点，都有，则t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型五、求抛物线上的点到焦点与定点的距离和差最值 典例5 （2026·云南昆明·模拟预测）（多选）已知抛物线C：的焦点为，点P为抛物线上任一点，点，，则（   ） A．无最大值 B．有最小值 C．无最大值 D．有最大值 题型模版 1.特征：求或者最值，为抛物线焦点 2.方法：由定义（为到准线距离），把替换成到准线距离，转化为点到线、两点之间线段最短模型 3.补充结论：和的最小值一般是定点到准线垂线段长，差的最值用三角形三边关系 变式5-1（26-27高二上·河北邯郸·期中）已知点，为抛物线的焦点，若以点、为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________． 变式5-2（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，抛物线的焦点为，是抛物线上任意一点，则的最小值为________． 变式5-3（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型六、求抛物线上的点到定点与定直线的距离最值 典例6 （2026高三·全国·专题练习）已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 题型模版 1.特征：抛物线上动点，求到定点、到某定直线距离的组合最值 2.方法：能使用定义转化的优先转化，再用几何模型；无法转化则设点坐标，函数求最值 3.补充结论：注意定直线是否是准线，准线可以直接替换焦半径 变式6-1（2026·河南开封·模拟预测）已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______． 变式6-2（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 变式6-3（25-26高三上·河南商丘·期末）点是抛物线上的一点，记点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型七、抛物线的焦半径公式 典例7 （26-27高三上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 题型模版 1.特征：已知抛物线上点横坐标或者纵坐标，快速求该点到焦点距离 2.方法：开口向右，焦半径；开口向左；开口向上，；开口向下 3.补充结论：焦点弦，（右开口） 变式7-1（2026·海南·模拟预测）设椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且为抛物线（）的焦点．设抛物线与在第二象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 变式7-2（2026·陕西渭南·二模）若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．8 C．10 D． 变式7-3（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线的焦点为，直线与相交于两个不同点，且，则线段中点的纵坐标为___________． 题型八、抛物线的焦点与准线的综合计算 典例8 （26-27高三上·河南·开学考试）已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：焦点弦、焦点三角形、焦半径多个条件混合计算，求弦长、角度、参数 2.方法：联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，搭配焦半径、焦点弦公式计算，优先定义简化 3.补充结论：焦点弦常用二级结论： 变式8-1（25-26高二下·河北唐山·期末）已知抛物线：和：均经过点，则抛物线的焦点与原点组成三角形的面积=____. 变式8-2（2026·河北保定·三模）已知 O为坐标原点，抛物线 若 C₁与 C₂交于点 O与A，且C₁，C₂的准线交于点 则|OA|=________. 变式8-3（25-26高三上·天津·期末）已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则___________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高二上·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·一模）已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 3．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为拋物线的焦点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点．设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖北荆州·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知是抛物线的焦点，点在该抛物线上，，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（   ） A．的坐标为 B． C． D． 10．（25-26高二上·吉林延边·期末）已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为__________． 12．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则______，点的轨迹点的方程为______． 13．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 14．（25-26高二上·江西宜春·期末）设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 15．（23-24高二上·河南周口·期中）抛物线上有一动点，过作曲线的切线，其中一个切点为，则的最小值为______. 16．（25-26高二下·四川资阳·开学考试）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为__________ 17．（24-25高二上·福建福州·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任一点，过点作动直线的垂线，垂足为，则的最小值是_______． 四、解答题 18．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 抛物线的标准方程 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由几何关系求抛物线的标准方程 题型二、定义法求抛物线的标准方程 题型三、直接法求抛物线的轨迹方程 题型四、求抛物线上的点到定点的距离最值 题型五、求抛物线上的点到焦点与定点的距离和差最值 题型六、求抛物线上的点到定点与定直线的距离最值 题型七、抛物线的焦半径公式 题型八、抛物线的焦点与准线的综合计算 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 抛物线问题以抛物线定义为底层根基，核心是抛物线上任意一点到焦点距离等于到准线距离，解题优先考虑定义转化距离，简化线段最值与焦半径计算。解题贯穿两条底线原则：一是先判断抛物线开口方向，确定标准方程形式，二是涉及焦点弦、焦半径计算优先使用坐标公式，所有结果注意分类讨论开口方向 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由几何关系求抛物线的标准方程 典例1 （24-25高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【分析】设点在准线上的射影点为，连接，分析可知为等边三角形，求得，结合，可得出的值，即可得出的值，由此可得出抛物线的方程. 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 题型模版 1.特征：题干给出焦点坐标、准线方程、焦距、顶点等几何条件，求抛物线标准方程 2.方法：先判断开口方向，设对应形式，利用条件求出参数，直接写出方程 3.补充结论：代表焦点到准线的距离，恒有 变式1-1（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则______． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义结合已知条件可得的关系，再根据结合斜率的坐标表示可求解出的值. 【详解】如图所示，过作准线的垂线，垂足为，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 故答案为：. 变式1-2（2025·安徽蚌埠·三模）设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：C. 变式1-3（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 【答案】或． 【分析】设所求抛物线的标准方程，,结合抛物线的定义和距离公式求得，进而求出抛物线方程. 【详解】设所求抛物线的标准方程为， 设，由题意知． 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入方程得，，解得或． 所以所求抛物线的标准方程为或． 类型二、定义法求抛物线的标准方程 典例2 （26-27高二上·云南昆明·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点到点的距离与它到直线的距离相等， 符合抛物线定义，则点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线， 且，解得，则点的轨迹方程为. 题型模版 1.特征：给出抛物线上一点到焦点或者到准线的距离条件，利用定义列式求方程 2.方法：利用抛物线定义，点到焦点距离=点到准线距离，建立等式求，写出标准方程 3.补充结论：看到距离条件优先定义转化，避免直接联立计算 变式2-1（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 变式2-2（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 变式2-3（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为_____________． 【答案】 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 题型三、直接法求抛物线的轨迹方程 典例3 （24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【详解】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 题型模版 1.特征：动点满足到定点与定直线距离相等（定点不在定直线上），求动点轨迹 2.方法：设动点坐标，根据距离相等列式，化简整理，检验定点是否在定直线上 3.补充结论：定点在定直线上时轨迹是直线，不是抛物线 变式3-1（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，，则，再由，可得，进而可得答案． 【详解】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 变式3-2（24-25高二上·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． 【答案】． 【分析】设动圆圆心，半径为r，根据题意列方程化简可得曲线C的方程． 【详解】解：设动圆圆心，半径为r， 依题意，，， 消去r，得， 化简得， 所以曲线C的方程为． 变式3-3（2025高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，求的方程. 【答案】 【分析】设，根据题意列出方程，化简即可. 【详解】设，则，所以，化简得， 故的方程为. 题型四、求抛物线上的点到定点的距离最值 典例4 （25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 题型模版 1.特征：已知抛物线和定点，在抛物线上找一点，求的最大值或最小值 2.方法：设抛物线上点参数坐标，写出距离平方表达式，转化为一元二次函数求最值，结合定义域判断顶点是否可取 3.补充结论：优先用抛物线参数式代换，减少根号运算 变式4-1（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用两点间距离公式，再结合点在抛物线上来消元，即可利用二次函数求出最小值. 【详解】 设，则由题意得：， 因为点P为抛物线上一点，所以， 代入可得：， 所以当时，的最小值为， 故答案为： 变式4-2（2025高二·湖南·专题练习）已知点满足，，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故答案为： 变式4-3（2025·江苏·模拟预测）已知抛物线的焦点为是C上一点，对于x轴上一点，都有，则t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点坐标得到抛物线方程，利用恒成立求解的取值范围. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线. 设，则对，， 整理得， 所以因为，所以，所以， 又，所以的取值范围为， 故选：B. 题型五、求抛物线上的点到焦点与定点的距离和差最值 典例5 （2026·云南昆明·模拟预测）（多选）已知抛物线C：的焦点为，点P为抛物线上任一点，点，，则（   ） A．无最大值 B．有最小值 C．无最大值 D．有最大值 【答案】ABD 【详解】抛物线的焦点，准线，由焦半径公式． 设，当时，，故无最大值，A正确； 易知，当且仅当三点共线时取最小值，此时，B正确； 而，当且仅当三点共线时取最大值，并非无最大值，C错误； 显然，当且仅当三点共线时取最大值，此时，D正确. 题型模版 1.特征：求或者最值，为抛物线焦点 2.方法：由定义（为到准线距离），把替换成到准线距离，转化为点到线、两点之间线段最短模型 3.补充结论：和的最小值一般是定点到准线垂线段长，差的最值用三角形三边关系 变式5-1（26-27高二上·河北邯郸·期中）已知点，为抛物线的焦点，若以点、为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________． 【答案】 【分析】设以点、为焦点的椭圆的焦距为，长轴长为，求出的值，在抛物线上任取一点，则，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义得出，利用抛物线的定义结合图形求出的最小值，即可得出该椭圆离心率的最大值. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点， 设以点、为焦点的椭圆的焦距为，长轴长为， 则，， 所以该椭圆的离心率为， 要使得取最大值，则取最小值，如下图所示： 过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点， 由抛物线的定义可知，所以， 由图可知，当点、、共线时，即当时，取最小值， 且最小值为点到直线的距离，故， 因此该椭圆离心率的最大值为. 变式5-2（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，抛物线的焦点为，是抛物线上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，再根据垂线段最短的几何性质求解最小值. 【详解】 对于抛物线，其标准形式为，对比得，即，因此焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离， 设点到准线的垂线段为（为垂足），则，因此， 根据几何中垂线段最短的性质，当、、三点共线且垂直于准线时，取得最小值， 该最小值即为点到准线的距离, 已知，准线为，故点到准线的距离为，即的最小值为. 变式5-3（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 题型六、求抛物线上的点到定点与定直线的距离最值 典例6 （2026高三·全国·专题练习）已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 题型模版 1.特征：抛物线上动点，求到定点、到某定直线距离的组合最值 2.方法：能使用定义转化的优先转化，再用几何模型；无法转化则设点坐标，函数求最值 3.补充结论：注意定直线是否是准线，准线可以直接替换焦半径 变式6-1（2026·河南开封·模拟预测）已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______． 【答案】 【分析】利用抛物线定义将点到准线的距离转化为到焦点的距离，所求最小值即为焦点到给定直线的距离，通过点到直线距离公式计算即可。 【详解】 对于抛物线可得，因此焦点，准线的方程为。 过点作垂直于，垂足为，作垂直于直线，垂足为，如下图所示：    易知点到准线的距离等于点到焦点的距离，即为， 点到准线的距离和点到直线的距离之和为， 当三点共线时，距离之和最小， 即为点到直线的距离 ， 故所求最小值为. 变式6-2（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义将“点到准线的距离”转化为“点到焦点的距离”，再利用三点共线求最值的方法即可求解. 【详解】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则. 变式6-3（25-26高三上·河南商丘·期末）点是抛物线上的一点，记点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知，结合点到直线距离公式可求得结果. 【详解】设抛物线的焦点为，则， 作，，垂足分别为， 由抛物线定义知：， （当且仅当在线段上时取等号）， ，的最小值为. 故选：A. 题型七、抛物线的焦半径公式 典例7 （26-27高三上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据抛物线的定义性质，重心坐标公式，平行线间的距离公式逐项求解即可. 【详解】 抛物线的焦点， 设,由抛物线定义可知：,已知， 即， 又因为的重心为抛物线的焦点，即代入 得或，因为所以，故A对 抛物线. 因为的重心为抛物线的焦点，所以(三角形两边之和大于第三边)， 即的周长，故B对. 的三个顶点到轴的距离之和，故C对. 设与直线平行，与抛物线相切的直线方程为， 联立得，， 所以直线，两条平行线间的距离：， 即动点到直线的距离的最小值为，故D错. 题型模版 1.特征：已知抛物线上点横坐标或者纵坐标，快速求该点到焦点距离 2.方法：开口向右，焦半径；开口向左；开口向上，；开口向下 3.补充结论：焦点弦，（右开口） 变式7-1（2026·海南·模拟预测）设椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且为抛物线（）的焦点．设抛物线与在第二象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可. 【详解】椭圆，，， 抛物线的焦点为 ， 因为为抛物线（）的焦点，所以， 解得，则抛物线的方程为， 抛物线的准线方程为， 因为，又， 则， 因为为抛物线上的点，所以点到准线的距离， 即， 解得， 代入得到， 又在抛物线上，则，代入， 得到， 又在椭圆上，且， 两边平方得到， 把和代入， 得到， 展开化简得到，即， 解得，故选项A正确. 变式7-2（2026·陕西渭南·二模）若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．8 C．10 D． 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线的定义结合韦达定理即可求得结果. 【详解】由题意可知，抛物线的准线为，设， 则根据抛物线的定义可知. 因为直线与抛物线交于，两点， 所以联立方程可得，化简得. 根据韦达定理得，所以. 变式7-3（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线的焦点为，直线与相交于两个不同点，且，则线段中点的纵坐标为___________． 【答案】3 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】设点，. 易得抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线定义得， 所以，故， 即线段中点的纵坐标为3. 故答案为：3. 题型八、抛物线的焦点与准线的综合计算 典例8 （26-27高三上·河南·开学考试）已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线和的焦点分别为、， 由题意得，，即， 由基本不等式，可得， 所以，即的最大值为（当且仅当时取等号）. 故的最大值为. 题型模版 1.特征：焦点弦、焦点三角形、焦半径多个条件混合计算，求弦长、角度、参数 2.方法：联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，搭配焦半径、焦点弦公式计算，优先定义简化 3.补充结论：焦点弦常用二级结论： 变式8-1（25-26高二下·河北唐山·期末）已知抛物线：和：均经过点，则抛物线的焦点与原点组成三角形的面积=____. 【答案】 【详解】依题意，，解得， 则抛物线的焦点，抛物线的焦点， 所以的面积. 变式8-2（2026·河北保定·三模）已知 O为坐标原点，抛物线 若 C₁与 C₂交于点 O与A，且C₁，C₂的准线交于点 则|OA|=________. 【答案】 【分析】由准线交点得值，然后解方程组得交点坐标，再由距离公式求解. 【详解】由题意，，抛物线方程分别为，， 由，解得或， 所以，. 变式8-3（25-26高三上·天津·期末）已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则___________． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出，进而求出点坐标及直线的方程，再利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】由抛物线的准线方程为，得，解得， 抛物线方程为，设点，由，得，解得，， 点，而，直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得. 故答案为：3    压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高二上·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂线段的中点为，由题意得到点在抛物线上，将该点代入抛物线即可求解. 【详解】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 2．（2025·湖南·一模）已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 3．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为拋物线的焦点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义得，然后知道三点共线线段和最小，所以在圆上找到离直线距离最近的点即可得到最小值. 【详解】由抛物线，所以，准线方程为， 过点作准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以，所以， 当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径， 所以. 故选：B. 4．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点．设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“椭圆右焦点与抛物线焦点重合”，建立的等量关系，结合椭圆定义与题干给出的，联立方程组求出、关于的表达式，根据抛物线定义，把转化为点到抛物线准线的水平距离，求出交点的横坐标，由准线垂直轴，构造直角三角形，使用勾股定理建立含的等式，化简等式得到的倍数关系，代入离心率公式算出最终结果. 【详解】由题意得椭圆的右焦点为，则， 因为抛物线焦点坐标为，且为抛物线的焦点， 所以，解得，而抛物线准线方程， 这条准线恰好经过椭圆左焦点， 因为，所以， 两式相加得，解得， 两式相减得，解得， 因为抛物线上点到焦点距离等于它到准线的距离，所以， 因为准线，所以到准线的水平距离， 因此，解得，则， 因为在抛物线上，所以，即， 因为垂直准线，所以为直角三角形， 所以，即， 即， 解得，椭圆离心率，则选项D正确. 5．（25-26高二上·湖北荆州·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点P，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由题意得，解得曲线的方程为， ． 故选：C. 6．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知是抛物线的焦点，点在该抛物线上，，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义得到，将点代入抛物线的方程，通过解方程组得到的值，从而得到抛物线的准线方程. 【详解】是抛物线的焦点，点在该抛物线上， ①，， ，②， ①②联立方程组，解得或， ，，该抛物线的准线方程为. 故选：B. 7．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求点，根据点在直线上可得，根据点在直线上可得，最后根据轴得，化简即可. 【详解】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 8．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，直线方程为，则设点， 所以，则直线方程为， 当时，可得，即点， 所以点的轨迹为抛物线，即，可得抛物线的准线为，焦点为， 如图所示，延长，交抛物线准线于点， 由抛物线概念可知， 则的最小值，即的最小值，可知当三点共线时，取得最小值， 此时. 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（   ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】CD 【分析】选项A：根据抛物线方程得焦点坐标及其准线方程判断；选项BC：根据抛物线定义判断；选项D：根据两点间距离公式判断. 【详解】对于A：抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，故A错误； 对于BC：由抛物线定义可得 ， 所以 ，则，解得 ，故B错误，C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD. 10．（25-26高二上·吉林延边·期末）已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角形三边关系可以判断A、C，根据抛物线的定义可以判断B，根据可以判断D. 【详解】A：根据题意可知的坐标为，因为，，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立， 而的方程为：，联立，得出，此时，故A正确； B：设在准线上的射影为，因为，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立，此时，，故B正确； C：因，则，当且仅当共线且顺次排列时等号成立，故C错误； D：由，所以成立，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得. 【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 12．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则______，点的轨迹点的方程为______． 【答案】 或 【分析】利用抛物线轨迹方程的概念求解. 【详解】依题意，得，即①，则，两边平方得，则②，两边平方得，整理得，即，可得或．当时，②转化为，所以，此时①转化为，所以，所以点的轨迹的方程为或． 故答案为: 或． 13．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 【答案】/6.4 【分析】设，，利用代入数据可得的值，进而利用抛物线的定义可求解． 【详解】依题意，，准线l的方程为， 因为点Q是l上一点，所以设点，， 则，， 因为，所以， 所以，解得， 又P是C上一点，所以由抛物线的定义可得． 14．（25-26高二上·江西宜春·期末）设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 【答案】8 【分析】根据抛物线的定义求得曲线的轨迹方程为，再结合抛物线的定义求解最值即可. 【详解】因为曲线C上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1， 所以曲线C上任意一点到直线的距离等于它到点的距离， 所以，根据抛物线定义可知曲线的轨迹为抛物线，焦点为，准线方程为， 所以曲线的轨迹方程为， 过作于，则，所以， 当且仅当三点共线，且时，取得最小值， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 15．（23-24高二上·河南周口·期中）抛物线上有一动点，过作曲线的切线，其中一个切点为，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】首先将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，设，当最小时，即最小，求出的最小值，即可得解. 【详解】曲线即，表示圆心为，半径的圆， 设，当最小时，即最小， 其中，当且仅当时取等号, 即，所以， 所以. 故答案为： 16．（25-26高二下·四川资阳·开学考试）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为__________ 【答案】/ 【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，设到轴的距离为，过点作⊥准线于点，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，， 则，当且仅当、、三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故答案为： 17．（24-25高二上·福建福州·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任一点，过点作动直线的垂线，垂足为，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】确定动直线过定点，在以线段为直径的圆上，圆心为，半径为，，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，则， 于是有，由图知当三点共线且是线段与圆的交点时等号成立，由此可得最小值． 【详解】由题意抛物线的焦点为，准线为直线， 方程整理为， 由得， 所以动直线过定点， 过点作动直线的垂线，垂足为，则点在以为直径的圆上， 中点为 ，， 所以圆方程为， 过作抛物线的准线的垂线，垂足为，则，又， 所以 ， 当且仅当三点共线且是线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值是， 故答案为：. 四、解答题 18．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $