3.3.1抛物线及其标准方程（分层作业，13大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 3.3.1 抛物线及其标准方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 抛物线的定义 题型02 根据抛物线方程求焦点或准线 题型03 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 题型04 根据定义求抛物线的标准方程 题型05 抛物线方程的四种形式与位置特征 题型06 根据抛物线上的点求标准方程 题型07 抛物线的轨迹方程 题型08 实际问题中的抛物线方程 B组 能力进阶 题型01 抛物线的焦半径公式 题型02 根据抛物线的方程求参数 题型03 抛物线上的点到定点的距离及最值 C组 思维拔高 题型01 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型02 新定义问题 抛物线的定义题型01 1．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高二上·辽宁辽阳·质检）抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C．1 D．2 3．已知抛物线的焦点为，是上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 4．若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为__________，此抛物线的顶点坐标为__________. 根据抛物线方程求焦点或准线题型02 1．抛物线的准线方程为 A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃定西·期末）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为（    ）． A． B． C． D． 4．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为 A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则   ） A．26 B．24 C．22 D．20 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程题型03 1．准线为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的焦点关于其准线对称的点为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．设双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点．以为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以为直径的圆与直线相切，若，若双曲线C与抛物线有共同的右焦点，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 根据定义求抛物线的标准方程题型04 1．平面上动点到点的距离等于到直线的距离，则动点满足的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 4．已知点到点的距离比点到直线的距离小1. (1)求点的轨迹方程； (2)求线段中点的轨迹方程. 5．（25-26高二上·安徽·月考）在平面直角坐标系中，抛物线，焦点为，点是抛物线上的一点，并且______. ①点的横坐标是3，它到焦点的距离是5； ②点到点的距离比它到直线的距离大1； ③抛物线的准线与圆相切. 从条件①②③中选择一个填在上面的横线上，解答下列问题. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为，求的最小值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 抛物线方程的四种形式与位置特征题型05 1．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 2．在同一坐标系中，方程与（）的曲线 大致是（ ） A．   B．   C．   D．   3．“某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 5．（24-25高二上·上海·期中）顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为______. 根据抛物线上的点求标准方程题型06 1．若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，其焦点为，若点在抛物线上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．经过点的抛物线的标准方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（    ）      A． B． C． D． 抛物线的轨迹方程题型07 1．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 4．在正方体中，点在底面所在的平面上运动.下列说法不正确的是（    ） A．若点满足，则动点的轨迹为一条直线 B．若，动点满足，则动点的轨迹是圆 C．若点到点与点的距离比为，则动点的轨迹是椭圆 D．若点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线 5．若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是______． 实际问题中的抛物线方程题型08 1．在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 2．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为__________m． 4．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为______ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位：cm)． 5．河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽6m． (1)试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程； (2)近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少? （精确到0.1m） 抛物线的焦半径公式题型01 1．（25-26高二上·湖南张家界·期末）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26高二上·吉林·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）设抛物线）的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为______. 4．点在抛物线上，F是抛物线的焦点，则_____________． 5．已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 根据抛物线的方程求参数题型02 1．（26-27高三上·河北沧州·联考）已知是抛物线的焦点，则     ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 3．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则______. 4．已知圆，抛物线.若对于上任意一点，使得对圆上的任意两点A，B，总有，则的取值范围是______. 5．（24-25高二上·湖南益阳·质检）已知抛物线的焦点为，点在上. (1)求焦点的坐标及的值； (2)设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程. 抛物线上的点到定点的距离及最值题型03 1．已知抛物线y2＝2pxp＞0）上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为（　　） A．（） B．（0，） C．（2） D．（0，2） 2．（25-26高二上·河北邢台·质检）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26高二上·辽宁·联考）已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．4 4．（25-26高三上·江苏·月考）已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 5．（25-26高二·上海·期末）已知抛物线与椭圆有一个公共焦点. (1)当椭圆经过两点和时，求椭圆和抛物线的方程. (2)若抛物线与椭圆在第一象限和第四象限内的交点分别为和为坐标原点，记由曲线与构成的曲线为. （i）已知是曲线上的动点，求的最小值； （ii）已知为的重心，在曲线上还存在异于的点、，使得的重心也为.证明：、中有且只有两点在抛物线上，且这两点在同一象限内. 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值题型01 1．已知抛物线的焦点为F，点，若M是抛物线上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 4．（25-26高二上·福建漳州·质检）如图，地在地北偏东方向，两地相距，地与南北走向的高铁线，已知公路（近似看成曲线）上任意一点到地的距离等于该点到高铁线的距离，现要在公路边建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计）分别向地和地送电，则架设电路所用电线总长度最短为（    ） A． B． C． D． 5．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是__________． 新定义问题题型02 1．在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（24-25高二上·吉林吉林·期末）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为______；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为______. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3.1 抛物线及其标准方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 抛物线的定义 题型02 根据抛物线方程求焦点或准线 题型03 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 题型04 根据定义求抛物线的标准方程 题型05 抛物线方程的四种形式与位置特征 题型06 根据抛物线上的点求标准方程 题型07 抛物线的轨迹方程 题型08 实际问题中的抛物线方程 B组 能力进阶 题型01 抛物线的焦半径公式 题型02 根据抛物线的方程求参数 题型03 抛物线上的点到定点的距离及最值 C组 思维拔高 题型01 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型02 新定义问题 抛物线的定义题型01 1．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由抛物线的定义转化即可求值. 【详解】因为抛物线， 所以 因为点在抛物线上， 故 故选：C 2．（25-26高二上·辽宁辽阳·质检）抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据抛物线的焦点到准线的距离为即可得解. 【详解】将化为， 对比抛物线的标准方程，可得，解得， 所以焦点到准线的距离是2. 故选：D 3．已知抛物线的焦点为，是上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】已知抛物线，焦点，，准线为， 根据抛物线的定义可得， 如下图所示，作到准线的垂线分别交抛物线，准线于，当三点共线时，取得最小值， ． 4．若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案. 【详解】等式左侧表示点与点间的距离， 等式右侧表示到直线的距离， 整个等式表示点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上， 所以点轨迹为抛物线. 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为__________，此抛物线的顶点坐标为__________. 【答案】 【分析】由已知变形得，由抛物线定义可求，进而可得焦点为，进而求得抛物线的对称轴与准线交点可求抛物线的顶点坐标. 【详解】由，可得， 所以，所以， 方程表示到点的距离与直线的距离之比为常数， 若方程表示的曲线是抛物线，则，解得， 为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线， 过与直线垂直的直线方程为， 由，解得，所以抛物线的准线与对称轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点是焦点与的中点， 所以抛物线的顶点坐标为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：关键是把方程变形为，利用抛物线的定义可求，考查抛物线的定义的应用，难度较大. 根据抛物线方程求焦点或准线题型02 1．抛物线的准线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线标准方程知p＝2，可得抛物线准线方程． 【详解】抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且2p=4,=1， ∴抛物线的准线方程是x＝﹣1． 故选C． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题． 2．（24-25高二上·甘肃定西·期末）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可求准线方程. 【详解】抛物线方程化成标准方程为：， 所以，且抛物线开口向上， 所以抛物线准线为：. 故选：B. 3．已知抛物线的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的准线经过点可求得，即可得出焦点坐标. 【详解】因为抛物线的准线经过点，则，即， 则该抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 4．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的直线方程，根据准线与圆相切列方程求. 【详解】抛物线的准线方程为 ， 因为准线与圆相切， 圆的圆心坐标为，半径为， 所以，又， 所以. 故选：C． 5．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】D 【分析】先由直线的方程求出焦点、准线方程，得及抛物线的方程，进而得点，从而求出，再由焦半径公式即可得解. 【详解】由，令，得，所以，所以，所以抛物线方程为，准线方程为：， 由，令，得，所以， 设，所以， 所以， 故选：D.    根据焦点或准线写出抛物线的标准方程题型03 1．准线为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的准线得到，进而写出抛物线方程. 【详解】由准线为，即抛物线焦点为，即， 所以抛物线方程为. 故选：D 2．（25-26高二·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出椭圆的右顶点，得抛物线的焦点坐标，从而得抛物线方程． 【详解】椭圆中心是原点，右顶点是， 它是抛物线的焦点，则，， 所以抛物线标准方程是． 故选：D． 3．抛物线的焦点关于其准线对称的点为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义以及方程求解. 【详解】由题可知，抛物线开口向上，设方程为， 设抛物线的焦点为，则准线为， 所以解得，所以方程为， 故选:B. 4．已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答. 【详解】将两圆、的方程相减得：， 显然圆的圆心到直线距离1小于其半径2， 圆的圆心到直线距离小于其半径， 因此直线是圆与圆的公共弦所在的直线，即抛物线的准线， 所以抛物线的标准方程为：. 故选：C 5．设双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点．以为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以为直径的圆与直线相切，若，若双曲线C与抛物线有共同的右焦点，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设以为直径的圆与直线相切于点N，圆心为M，则，因此，所以，由此可求出，而，再由勾股定理可得，而已知，从而可求出的值，即可得到结果. 【详解】 依题意知，设以为直径的圆与直线相切于点N，圆心为M，则，因此，所以． 设双曲线的焦距为，则，解得， 由勾股定理可得， 于是，， 又因为双曲线C与抛物线有共同的右焦点， 则，所以， 即抛物线方程为 故选:A 根据定义求抛物线的标准方程题型04 1．平面上动点到点的距离等于到直线的距离，则动点满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，动点的轨迹是抛物线，确定该抛物线的焦点和准线，可求出动点的轨迹方程. 【详解】因为平面上动点到点的距离等于到直线的距离， 所以，动点的轨迹为抛物线，且该抛物线的焦点为点，准线为直线， 设该抛物线的方程为，可得，解得， 因此，动点满足的方程是. 故选：B. 2．（24-25高二下·上海·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 3．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【分析】设点在准线上的射影点为，连接，分析可知为等边三角形，求得，结合，可得出的值，即可得出的值，由此可得出抛物线的方程. 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 4．已知点到点的距离比点到直线的距离小1. (1)求点的轨迹方程； (2)求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法1：根据已知条件，设点，列出方程，化简； 解法2：定义法求抛物线的方程. （2）轨迹法求点的轨迹方程. 【详解】（1）解法1：设M(x,y)，由题意知 当时，可化为， 整理得，（舍去） 当x< 3时，可化为 整理得， 故点M的轨迹方程为 解法2：由题可知，点M到点F（－2，0）的距离与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹是以F（－2，0）为焦点，为准线的抛物线， 点M的轨迹方程为； （2）设Q（x，y）， 则，  ∴ 又，故 即为所求. 5．（25-26高二上·安徽·月考）在平面直角坐标系中，抛物线，焦点为，点是抛物线上的一点，并且______. ①点的横坐标是3，它到焦点的距离是5； ②点到点的距离比它到直线的距离大1； ③抛物线的准线与圆相切. 从条件①②③中选择一个填在上面的横线上，解答下列问题. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为，求的最小值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）选择①，根据抛物线的定义得，求得，即可求得抛物线方程. 选择②，设动点，由题意得，等式两边平方化简得，即可得解. 选择③，求出抛物线的准线方程，然后利用直线与圆相切列式求得，即可求得抛物线方程. （2）先求出直线恒过点，设，的中点为，则点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（不包含，点）.过点作垂直直线，过点作垂直直线，进而利用抛物线的定义及三点共线求得的最小值. 【详解】（1）选择①.抛物线，其准线方程为， 由题意知，，抛物线方程为. 选择②.设动点，动点到点的距离比它到直线的距离大1， 即动点到点的距离等于它到直线的距离， ，等式两边平方，得， 化简可得. 选择③.抛物线的准线方程为， 圆的圆心为，半径为1，直线与圆相切，则， ，解得，抛物线的方程为. （2）抛物线的方程为，，抛物线的准线方程为. 方程可化为， 过定点. 设，的中点为，则. ，为垂足，， ，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（不包含，）. 过点作准线的垂线，垂足为（如图），则， ， 当且仅当，，三点共线且在，之间时，等号成立， 过点作准线的垂线，垂足为（如图）， 则，当且仅当，，三点共线时，等号成立， ， 当且仅当，，，四点共线且在，之间时，等号成立， 的最小值为. 抛物线方程的四种形式与位置特征题型05 1．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程. 【详解】依题意设抛物线方程为． 因为焦点到准线的距离为4， 所以，所以， 所以抛物线方程为或． 故选：C． 2．在同一坐标系中，方程与（）的曲线 大致是（ ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】将两个方程转化为标准形式：， ，由，即可确定答案. 【详解】将两个方程转化为标准形式：， ，因为，所以椭圆在 轴方向上的轴长较长，抛物线关于轴对称，开口向轴负方向． 故本题正确答案为D． 【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质,曲线与方程的问题.考查了学生对基础知识的掌握程度. 3．“某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】从抛物线的性质得到必要性成立，举出反例得到充分性不成立，从而得到答案. 【详解】从抛物线的某个点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线， 则该点为抛物线的顶点，故必要性成立， 但如果该抛物线经过旋转，如顺时针旋转后得到的抛物线，则从该抛物线的顶点分别作两条坐标轴的平行线， 则不能满足一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线，充分性不成立， 故“某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的必要非充分条件. 故选：B 4．如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】勾股得到，从而得到当最大时，最大，然后根据截面得到截面，根据勾股得到当最大时，最大，再结合截面得到的最大值，从而得到的最大值. 【详解】 过点作，交底面圆于两点，连接，，， 设，则， 所以当最大时，最大， 由圆锥的性质得底面， 因为底面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为分别是的中点，所以，则， 因为，平面，所以平面， 则平面为截面， 因为为中点，所以，所以平面， 因为平面，所以，所以， 则当最大时，最大， 如图为截面的平面图， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系， ，，，则抛物线方程为， 设，，则， 所以， 则此时，. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于找到截面，然后转化为平面几何求最值. 5．（24-25高二上·上海·期中）顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为______. 【答案】 【分析】设出抛物线方程，再代入点的坐标得解. 【详解】由题意，可设抛物线方程为， 又抛物线经过， 所以，解得， 所以所求抛物线方程为， 故答案为： 根据抛物线上的点求标准方程题型06 1．若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程，代入可得结果. 【详解】由题意可知，抛物线C的方程为， 将代入，可得，故抛物线C的方程为. 故选：A. 2．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点可得，即可得抛物线方程为，进而可得准线方程． 【详解】因为点在抛物线上，则， 可得抛物线， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为． 故选：D 3．已知抛物线，其焦点为，若点在抛物线上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为点在抛物线上，将其代入,可得， 则，故. 4．经过点的抛物线的标准方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设抛物线的标准方程，将点的坐标代入，求得参数的值，即得答案. 【详解】设抛物线的方程为或， 将点代入，可得或， 解得或， 故抛物线的标准方程为或， 故选：C 5．一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形知抛物线经过，设出抛物线方程，求出即可. 【详解】由题意，结合图形可知，，由于该抛物线开口向右，可设，即，解得，于是. 故选：B 抛物线的轨迹方程题型07 1．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线 2．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 3．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可. 【详解】解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离， 根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为， 设圆心C到直线距离为d，， 当时，， 故选：D． 4．在正方体中，点在底面所在的平面上运动.下列说法不正确的是（    ） A．若点满足，则动点的轨迹为一条直线 B．若，动点满足，则动点的轨迹是圆 C．若点到点与点的距离比为，则动点的轨迹是椭圆 D．若点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线 【答案】C 【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理、性质定理可判断A；利用勾股定理求出，由可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆可判断B；在平面内，设正方形对角线的交点为，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据可得动点的轨迹可判断C；点到直线的距离即点到点的距离，根据抛物线定义可判断D. 【详解】对于A，    连接，因为平面，平面， 所以，因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 当点在直线上时，此时平面，可得， 则动点的轨迹为直线，故A正确； 对于B，连接，若，，所以， 又因为，所以动点的轨迹在平面是在平面内， 以为圆心，为半径的圆，故B正确；    对于C，在平面内，设正方向对角线的交点为，以所在的直线为轴， 所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，则，设， 因为，所以，化简得， 则动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故C错误；    对于D，因为平面，平面，所以， 所以点到直线的距离即点到点的距离， 若点到直线的距离与到点的距离相等，根据抛物线定义， 则动点的轨迹为在平面的抛物线，故D正确. 故选：C. 【点睛】思路点睛：考查平面上点的轨迹，根据动点满足的关系式，在平面上建立平面直角坐标系，用解析法求轨迹是常用方法． 5．若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】结合抛物线定义即可解题. 【详解】由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 实际问题中的抛物线方程题型08 1．在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线的标准方程为，由题意可知，点在抛物线上，代入即可求得值，进而可求得抛物线的标准方程. 【详解】根据题意，设抛物线的标准方程为， 因为抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m， 所以点在抛物线上， 代入可得，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B 2．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解. 【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示， 由题意可得. 设抛物线的标准方程为，于是，解得. 所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为. 故选：B. 3．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为__________m． 【答案】## 【分析】先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度即可得到结论. 【详解】取隧道截面，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 设抛物线方程为，由图易知抛物线过点， 所以，得到，故抛物线方程为， 又行车道AB总宽度，将代入，得到， 所以限制高度为， 故答案为：. 4．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为______ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位：cm)． 【答案】 【分析】根据题意，，进而得，，故最小距离为；进而建立坐标系，得抛物线的方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，此时设玻璃球轴截面所在圆的方程为，进而只需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，再根据几何关系求解即可. 【详解】因为杯口放一个表面积为的玻璃球，所以球的半径为， 又因为杯口宽cm， 所以如图1所示，有， 所以，所以， 所以， 又因为杯深8cm，即 故最小距离为 如图1所示，建立直角坐标系，易知，设抛物线的方程为， 所以将代入得，故抛物线方程为， 当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2， 设玻璃球轴截面所在圆的方程为， 依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即， 则有恒成立，解得，可得. 所以玻璃球的半径的取值范围为. 故答案为：； 【点睛】本题考查抛物线的应用，考查数学建模能力，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于设出球触及酒杯底部的轴截面圆的方程，进而将问题转化为抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立求解. 5．河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽6m． (1)试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程； (2)近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少? （精确到0.1m） 【答案】(1)设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 拱桥所在的抛物线方程是 (2)0.6m 【分析】（1）根据图形建立直角坐标系，设出拱桥所在的抛物线方程，设拱桥与水面两交点分别为，，由坐标系可知A,B两点的坐标，将其中一个代入抛物线方程，即可得；（2）根据船顶宽6m，可知船顶距离拱桥最高点的极限高度h，再由，可知船身应降低高度。 【详解】（1），， 设拱桥所在的抛物线方程为， 因点在抛物线上，代入解得， 故拱桥所在的抛物线方程是． （2）因，故当时，， 故当水位暴涨1.54m后，船身至少应降低， 因精确到0.1m，故船身应降低0.6m． 答：船身应降低0.6m，才能安全通过桥洞． 【点睛】本题考查抛物线性质，是一道实际应用题，难度不大。 抛物线的焦半径公式题型01 1．（25-26高二上·湖南张家界·期末）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以由抛物线的定义可知抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为. 故选：A 2．（25-26高二上·吉林·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦半径公式求得的值，则抛物线方程可知. 【详解】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 3．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）设抛物线）的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为______. 【答案】4 【分析】根据抛物线的焦半径公式可求得结果. 【详解】因为为抛物线上一点，， 所以. 故答案为：4. 4．点在抛物线上，F是抛物线的焦点，则_____________． 【答案】2 【分析】先根据点在抛物线上求出，再根据定义求出焦半径即可. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，解得. 则. 5．已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 【答案】 【分析】设，根据焦半径公式得，进而求得，再计算斜率即可. 【详解】由已知得，设， 所以，根据焦半径公式得，解得， 代入得，解得， 所以直线的斜率为． 根据抛物线的方程求参数题型02 1．（26-27高三上·河北沧州·联考）已知是抛物线的焦点，则     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】抛物线的焦点坐标为，已知焦点， 故，解得． 2．已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】将点代入抛物线方程求得，即得到结果. 【详解】将点代入，可得， 故的焦点到其准线的距离为1． 故选：B. 3．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则______. 【答案】 【分析】由椭圆方程为，可得椭圆的右焦点坐标为，由抛物线方程为可得其焦点为 ，由题意有，再求解即可. 【详解】解：由椭圆方程为：，则， 则椭圆的右焦点坐标为， 又抛物线的焦点坐标为： ， 又抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合， 则，解得， 故答案为. 【点睛】本题考查了椭圆焦点坐标的求法及抛物线焦点坐标的求法，重点考查了运算能力，属基础题. 4．已知圆，抛物线.若对于上任意一点，使得对圆上的任意两点A，B，总有，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意得为圆的切线时最大，设直线分别与圆M切于点，设,满足，求解的最小值即可. 【详解】设直线分别与圆M切于点，设，因为对于上任意一点， 使得对圆上的任意两点A，B，总有，所以,即， 所以，即, 设，则， 又， 设，对称轴，， 当，即时，在时当时，此时满足题意， 当时，若时在时不合题意， 所，即，所以时， 在时当时， 即,化简得，解得， 所以， 综上：， 故答案为：.    【点睛】本题关键分析出为圆的切线时最大，设直线分别与圆M切于点，设,满足，转化为求的最值. 5．（24-25高二上·湖南益阳·质检）已知抛物线的焦点为，点在上. (1)求焦点的坐标及的值； (2)设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程. 【答案】(1)的坐标为， (2) 【分析】（1）根据焦点坐标即可求解，代入点到抛物线方程中即可求解， （2）设圆的一般式方程，代入三点坐标即可求解. 【详解】（1）由题意可得焦点的坐标为. 点在上，. 解得（舍去），. （2）由抛物线可得准线方程为，所以，.由（1）知. 设过三点的圆的方程为， 代入点得， 解得. 所以，过三点的圆的方程为（或者）. 抛物线上的点到定点的距离及最值题型03 1．已知抛物线y2＝2pxp＞0）上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为（　　） A．（） B．（0，） C．（2） D．（0，2） 【答案】A 【分析】抛物线上的点到准线的最小距离即为顶点到焦点的距离，进而列方程求解即可. 【详解】抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到准线的最小距离为， 就是顶点到焦点的距离是，即， 则抛物线的焦点坐标为（，0）． 故选A． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题． 2．（25-26高二上·河北邢台·质检）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 3．（25-26高二上·辽宁·联考）已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，则，再根据两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】设，由题意得，， 则 ． 当且点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为 故选：A． 4．（25-26高三上·江苏·月考）已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用两点间距离公式，再结合点在抛物线上来消元，即可利用二次函数求出最小值. 【详解】 设，则由题意得：， 因为点P为抛物线上一点，所以， 代入可得：， 所以当时，的最小值为， 故答案为： 5．（25-26高二·上海·期末）已知抛物线与椭圆有一个公共焦点. (1)当椭圆经过两点和时，求椭圆和抛物线的方程. (2)若抛物线与椭圆在第一象限和第四象限内的交点分别为和为坐标原点，记由曲线与构成的曲线为. （i）已知是曲线上的动点，求的最小值； （ii）已知为的重心，在曲线上还存在异于的点、，使得的重心也为.证明：、中有且只有两点在抛物线上，且这两点在同一象限内. 【答案】(1)， (2)（i）5； （ii）由题意， 设，则有， 且均不为3，故至多有一个大于， 故至少有两个点在抛物线上. 假设三个点均在抛物线上，则 则，则， 即， 同理 则方程的两根为， 则， 同理可得，则两两异号，矛盾， 则只有两个点在抛物线上. 若两点在抛物线、一点在椭圆： 设在抛物线上，在椭圆上， 由， 则， 又， 代入椭圆，得， 化简得， 设，， 由于开口向下，且， 则， 则，同号，且与异号， 故有且只有两点在抛物线上，且这两点在同一象限内. 【分析】（1）待定系数代入两点求解即可； （2）（i）结合抛物线定义，转化为共线时最小即可； （ii）分情况讨论，由抛物线、椭圆方程代入计算，反证法即可证明. 【详解】（1）设椭圆的方程, 代入和可得， 解得， 则椭圆的方程为， 其焦点，则，， 则抛物线的方程为. （2）（i）联立，解得，， 设抛物线的准线为， 过作于，则， 故当时， 有最小值. （ii）略 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值题型01 1．已知抛物线的焦点为F，点，若M是抛物线上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，由抛物线的定义可得，分析可知，当且仅当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【详解】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，如下图所示：        易知，抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线的定义可得，所以，， 当且仅当、、三点共线时， 即当时，取最小值，且最小值为. 故选：B 2．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】为抛物线的焦点，根据抛物线的定义知，点到抛物线准线距离等于，根据可得结果. 【详解】由可知，所以为抛物线的焦点， 根据抛物线的定义知，点到抛物线准线距离等于， 所以，当且仅当点三点共线，且在线段上时，等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据抛物线的定义将点到抛物线准线距离转化为是解题关键. 3．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义及点与圆的位置关系，通过数形结合计算最值即可. 【详解】如图，过点作垂直准线于点，连接交于点. 由题意可得的准线方程为. 因为，所以， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 4．（25-26高二上·福建漳州·质检）如图，地在地北偏东方向，两地相距，地与南北走向的高铁线，已知公路（近似看成曲线）上任意一点到地的距离等于该点到高铁线的距离，现要在公路边建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计）分别向地和地送电，则架设电路所用电线总长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出符合题意的图形，结合题意并利用抛物线的定理对合理转化，进而求出最值即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，以为原点建立平面直角坐标系， 连接，作，且找右侧任意一点， 因为公路上任意一点到地的距离等于该点到高铁线的距离， 所以是抛物线，而地与南北走向的高铁线相距，可得， 得到抛物线方程为，则，设， 因为两地相距，所以由两点间距离公式得， 因为地在地北偏东方向，所以，即倾斜角为， 由斜率公式可得，联立方程组， 解得（其它根舍去），则， 由题意得，则，故C正确. 故选：C 5．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是__________． 【答案】4 【分析】作准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得，故当P，A，M三点共线时取最大值. 【详解】根据抛物线方程，可得，准线方程为， 作准线l，M为垂足，又知， 由抛物线的定义可得， 故当P，A，M三点共线时，取最大值， 最大值为． 故答案为：4.    新定义问题题型02 1．在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】由抛物线的定义求解． 【详解】表示动点到直线的距离， 表示动点到定点的距离， 因为，所以动点的轨迹为抛物线， 故选：D． 2．（24-25高二上·吉林吉林·期末）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为______；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为______. 【答案】 【分析】设，利用关系列方程化简可得轨迹方程，由，抛物线定义可得，根据结论两点之间线段最短可求最小值. 【详解】设为所求轨迹上任意一点， ∵，，动点满足， ∴， ∴， ∴， 化简可得动点的轨迹方程为； ∵抛物线C：的焦点为，准线为， 所以， ∴ ， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， ∴的最小值为 故答案为：；    【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键在于结合条件及抛物线定义将问题转化为求的最小值. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $