3.3抛物线周末测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册第九周
一、单选题：本题共8小题，每小题6分，共48分.
1.抛物线
的焦点到准线的距离是( )
A.
B.
C.
D.3
2.已知AB是过抛物线
的焦点的弦，若
，则AB中点的横坐标为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.M为抛物线上一动点，F为抛物线焦点，定点
，则
的最小值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
4.若动圆M与圆
外切，又与直线
相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知抛物线
，过其焦点F的直线与该抛物线交于A，B两点，A在第一象限，且
，则直线AB的斜率为( )
A.1 B.
C.
D.无法确定
6.已知抛物线
的焦点为F，准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且
，则
( )
A.3 B.6
C.9 D.12
7.已知抛物线
的准线方程为
，过点
的直线l与抛物线C有且只有一个公共点，则满足这样条件的l的条数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
8.已知抛物线
的焦点为F，M为C上的动点，N为圆
上的动点，设点M到y轴的距离为d，则
的最小值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.已知直线
，抛物线
，则下列结论正确的是( )
A.直线l过定点
B.当
时，直线l与抛物线C相切
C.当
时，直线l与抛物线C有两个公共点
D.当直线l与抛物线C无公共点时，
或
10.已知抛物线
经过点
，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于
，
两点，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为
，则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知抛物线
的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是( )
A.C的准线方程为
B.直线
与C相切
C.若
，则
的最小值为
D.若
，则
的周长的最小值为11
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
12.已知抛物线
的准线为l，
，B是E上任意一点，过点B作
，垂足为C，则
的最小值为____________.
13.若直线
与抛物线交于A，B两点，且
（O为坐标原点），则
______.
14.某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为2.4，深度为0.4，则该抛物线的焦点到顶点的距离为____________.
四、解答题：本题共1小题，共16分.
15.已知抛物线
（
）的焦点F到准线的距离为2.
（1）斜率为
的直线l与C交于A，B两点.若
，求l的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足
，求直线OQ斜率的最大值.
解析：（1）抛物线
的焦点
，准线方程为
，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为
，
所以该抛物线的方程为，设直线l的方程为
，
与联立得
，则
，则
.
设
，
，则
，
由，可得
，解得
，符合，
所以l的方程为
.
（2）由（1）可知，
，设
，则
，所以
，
由P在抛物线上可得
，即
，
所以直线OQ的斜率为
，
当
时，
；当
时，
，
当
时，
，
此时当且仅当
，即
时，等号成立.
综上，直线OQ的斜率的最大值为
.