31.2.3 相似三角形的性质（讲义）数学新教材人教版九年级下册
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内容正文：
第三十一章 相似
31.2.3 相似三角形的性质
知识点一 相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.
③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.
【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错
即学即练
1．（26-27九年级上·上海普陀·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，那么下列线段的比中与不一定相等的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行四边形的对边平行得，得到，把换成与；再由平行四边形的对边相等把换成，逐一与各选项比对．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
而与上述各比不一定相等，
故选：D．
2．（26-27九年级上·上海虹口·期中）对于两个相似但不全等的三角形，下列四个量中，有一个量的值与其他三个量的值不同的是（ ）
A．面积比 B．对应角平分线之比 C．对应高之比 D．对应中线之比
【答案】A
【详解】解：设两个相似三角形的相似比为，
∵ 两个三角形不全等，
∴ ，
∴
∵ 相似三角形对应角平分线之比、对应高之比、对应中线之比均等于，相似三角形的面积比等于，
∴面积比与其他三个量的值不同．
3．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形中线性质得出为中位线，进而得到，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可判断选项A；证明可得，进而得到，再代入即可判断选项B；利用相似三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式可判断选项C；先说明，再利用面积的和差即可判断D选项．
【详解】解：∵是的中线，
∴D，E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，即，即选项A错误，符合题意；
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，故选项B正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∵，的，边上的高相等
∴，即，故选项C正确，不符合题意；
∵，公共边上的高相等，
∴，
∵，
∴，故选项D正确，不符合题意．
4．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由平行线判定三角形相似，利用周长比得出相似比，进而判断对应边比例及面积比．
【详解】 解：，
，
，故B正确；
，即周长比等于
相似比为，
，即，故A正确；
，即，
，
，故C正确；
相似三角形面积比等于相似比的平方，
，故D错误．
题型01 利用相似三角形的性质求线段长
典｜例｜精｜析
例1（26-27九年级上·海南海口·期中）如图，将沿着射线平移到，与交于点G．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平移性质得出，，进而证明，利用相似三角形的性质求出的长，最后由求解即可．
【详解】解：∵将沿着射线平移到，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
∴．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，，和分别是和的角平分线．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的对应边的比，对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比均等于相似比，由此即可求解．
【详解】解：∵，，，
又∵和分别是和对应角的角平分线，
∴，
即．
2．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）已知，若，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，由面积比求对应边的比．
【详解】解：∵．
∴．
∵．
∴．
∴，
即．
故选：．
3．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件说明，利用对应边成比例即可求解．
【详解】解：，，
，
，，
，
，
，
，
．
题型02 利用相似三角形的性质求角度
典｜例｜精｜析
例2（26-27九年级上·湖南永州·期中）若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质得到相等角，再由三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知，若、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴，， ，
∴ ，
∴ ．
2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在和中，，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质解决问题的关键是能证明两三角形相似．
根据题目条件可以利用“两组对应边成比例并且夹角相等的两个三角形相似”证明，进而得到对应角相等．
【详解】解：∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴．
3．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，关键是利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和求出对应角的度数．
【详解】解：在中，∵，，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
题型03 利用相似三角形的性质求周长
典｜例｜精｜析
例3（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形三边长为2，2，3，另一个等腰三角形一边长为6，则另一个等腰三角形周长为_________．
【答案】
14或21
【分析】已知一个等腰三角形三边长确定，另一个等腰三角形只给出一条边长为6，未说明该边是腰还是底，需分两种情况结合相似三角形的性质求解，同时验证三角形三边关系．
【详解】解：首先计算已知等腰三角形的周长为，
分两种情况讨论：
①当边长为6的边是另一个等腰三角形的腰时：
∵两个等腰三角形相似，该腰对应原三角形的腰长2，
∴相似比为，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴另一个三角形周长为，
此时三边长为6，6，9，满足三角形三边关系，符合要求；
②当边长为6的边是另一个等腰三角形的底时：
∵两个等腰三角形相似，该底对应原三角形的底边长3
∴相似比为，
∴另一个三角形周长为，
此时三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，符合要求，
综上所述，另一个等腰三角形的周长为14或21．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是_______．
【答案】或/或
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解“相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比”是解题关键．根据面积比，可得相似比为，周长比也为，然后分为较小三角形的周长和为较大三角形的周长两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】解：设相似比为，则面积比为，
解得（负值舍去），即周长比也为，
若为较小三角形的周长，
则另一个三角形的周长为，
若为较大三角形的周长，
则另一个三角形的周长为，
综上所述，另一个三角形的周长是或．
2．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为______．
【答案】/2
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．运用网格图中隐藏的条件证明四边形为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．
【详解】如图：由题意可知，，，
∴，
而，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（22-23九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，，．按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径作圆弧，两弧相交于点和点；作直线交于点；连结．根据作图可知的周长为______．
【答案】18
【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及相似三角形的判定和性质解决问题即可．
【详解】解：在中，，
∵，．
∴，
由作图过程可知：是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
题型04 利用相似三角形的性质求面积
典｜例｜精｜析
例4（25-26九年级上·广西百色·期末）已知，且，则它们的面积比__________．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据面积比等于相似比的平方即可求解.
【详解】解：∵，且，即相似比为，
∴．
故答案为：.
变｜式｜巩｜固
1．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图，P为平行四边形边上一点，E、F分别为的中点，若的面积分别为2，则平行四边形的面积为__________．
【答案】16
【分析】利用三角形中位线定理得出，，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而利用平行四边形的面积求法得出答案．此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，得出是解题关键．
【详解】解：，分别为，的中点，
∴是的中位线
，，
，
，
，
∵的面积分别为2，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：16．
2．（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，是菱形的对角线，点、是的三等分点，记和菱形的面积分别为、，则的值为______．
【答案】
【分析】根据菱形性质得，则，所以，又点，是的三等分点，故有，，则，可得，即为中点，再利用三角形面积公式及高之比求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∵点，是的三等分点，
∴，，
∴，
∴，即为中点，
设点到的距离为，
∵为中点，
∴点到的距离为，
∵，
∴，
∵，
∴．
3．（26-27九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点在轴正半轴上，且，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，在点右侧的轴上依次取点，，，在点右侧的直线上依次取点，，，使得，则的面积是_____．
【答案】
【分析】先求出，可得，得出，代入解析式得出，从而得是等腰直角三角形，，由得，，，，都是等腰直角三角形，设，可得，代入解析式求出，求出相似比，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：令，得，
解得，
，
．
，
将代入直线的解析式，得，
，
，
轴，
是等腰直角三角形，．
，
，，，，都是等腰直角三角形，
设，
，
，
将代入直线的解析式，得，
解得，
，
，
，
，
，
，
…，
．
题型05 利用相似三角形的性质求高/角平分线/中线
典｜例｜精｜析
例5（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末），、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应高和对应中线的比等于相似比解答即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应边上的高之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为，
∴相似比为，
∴对应边上的高之比为．
2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，和是对应中线，，，
∴两个三角形的相似比为，
∴对应角平分线的比为．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，是的中线，点E是的中点，连接并延长，交于点F，若．则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作平行线交延长线于点G，可得，通过比例式即可求出，即可解决问题．
【详解】解：过点A作平行线交延长线于点G，
∵，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在由单位长度为1的小正方形组成的网格中，已知为的角平分线，为的角平分线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用相似三角形性质：相似三角形对应角平分线的长度比等于相似比，解答即可；
【详解】解：观察网格可得，，点共线，
∴，
∴，
∵，，
∴两个三角形的相似比为，
∵、分别是两个相似三角形的对应角平分线，
∴．
题型06 利用相似三角形的性质求解
典｜例｜精｜析
例6（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，，分别是的边，上的点，且，连接，，交于点．若，则的周长与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，得出，证明，，得出，从而得出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·四川宜宾·期中）如图，在平行四边形中，点是边上一点，，连接、交于点．若，则等于（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】A
【分析】连接，根据已知的比例，结合平行四边形的性质求出，再证明，进而求出，根据高相等，面积之比等于底边之比可求出，问题随之得解．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，分别是边，的中点．下列结论不正确的是（）
A． B．
C．的周长＝的周长的一半 D．
【答案】D
【分析】根据中位线定理得到，，判定，利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方逐一判断．
【详解】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，故A正确；
∵，
∴，故B正确；
∵的周长的周长，
∴的周长的周长，故C正确；
∴，，
∴，
∴，故D错误．
3．（26-27九年级上·广东清远·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点是上一个动点，当的和最小时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点关于的对称点，连接，，当点在上时的和最小，再根据，得到，代入计算即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，，
∴，，
∴，
∴当点在上时的和最小，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得．
题型07 利用“三点定形法”证明比例式或等积式
“三点定形法”是证明线段等积式或比例式最常用且最有效的方法，他就是设法找出比例式中（或转化后）所蕴含的几个字母，是否存在可由“三点”定出来的两个相似三角形.
典｜例｜精｜析
例7（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，在平行四边形中，
求证：
(1)
(2)
【答案】(1)证明：如图所示：过作，交于，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
又，
．
(2)
证明：由（1）可知，是平行四边形，
，
，
，
即，
，
．
【分析】（1）过作，交于，则四边形是平行四边形，再通过，利用对应边成比例求成即可；
（2）根据平行得出，，．再通过桥梁和，把要求证的两个比连接了起来．
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】证明线段比例，借助平行线构造相似；多组比例证明相等，常用等量代换搭桥．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·上海金山·期中）已知：如图，在四边形中，，点是上一点，且．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
，
将代入得∶；
(2)证明∶∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴．
【分析】（1）由已知可证四边形是平行四边形，，则，将代入求证；
（2）由已知证明，则，代换，可得，则题目可证．
【详解】（1）略
（2）略
2．（26-27九年级上·上海松江·期中）已知：如图，、分别是的边、上的点，且，连接、相交于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
(2)证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
由（1）得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即．
【分析】（1）根据题意可得，则可证明，得到；
（2）证明，得到；由等边对等角和三角形外角的性质得到，则可证明，证明，即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
题型08 在网格中画与已知三角形相似的三角形
典｜例｜精｜析
例8（26-27九年级上·上海·阶段检测）定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先根据网格求出三边长度，分别以、、作为公共角，逐个寻找三个顶点都在格点上、满足两边对应成比例且夹角相等的三角形，统计得到一共4个符合条件的格点三角形．
【详解】解：由题意得，，，
如图，，，，，，，
故，
以为公共角与相似的格点三角形有，
以为公共角与相似的格点三角形有，，
以为公共角与相似的格点三角形有，
故与相似且有一个公共角的格点三角形有4个．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可．
【详解】解：与相似的是；理由如下：
连接，如图所示：
则，
、和均找不出的角，不可能与相似，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定．
【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下：
由勾股定理得：，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
(1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似；
(2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F）
【答案】(1)解：根据题意，画图如下：
则即为所求；
(2)解：根据题意，画图如下：
则点F，点即为所求．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，画图即可；
（2）根据三角形相似的判定，解答即可．
【详解】（1）解：略．
（2）解：略．
题型09 利用相似三角形性质与判定解决多结论问题
典｜例｜精｜析
例9（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点与延长线上的点重合．交于点，交延长线于点．交于点于点，则下列结论：①，②，③，④．正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断①正确； 根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可判断②正确； 由得 ，求出即可判断③正确；根据 即可判断④错误.
【详解】由折叠性质可知: ,
∵,
∴.
∴.
∴.故①正确;
∵,
∴.
∵,
∴.故②正确;
∵,
∴.
∵,
故③正确；
∵,
∴.
，
，
，
，
与 不相似.故④错误；
故选: ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键.
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：；；当是的中点时，；当时，．其中正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过证明，得，，即可判断；再证明，即可判断；证明，，求出相关线段长度，可知当是的中点时，，即可判断；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，故正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
设正方形的边长为，
∴
当是的中点时，，
由勾股定理得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确；
当E时，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是的角平分线，
∴点到边与边的距离相等，
∴中边的高与中边的高相等，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误，
综上：，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，掌握知识点的应用是解题的关键．
2．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，直角三角形中，，于D，于E，下列说法正确的选项是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】利用平行线性质、相似三角形判定与性质及射影定理逐一判断即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，故①正确；
，
∴，
∴，
，
，即，故②正确；
，
，
，
，
，故③错误；
∵，
∴，
∴，
由得，，
，故④正确
综上所述，正确的有①②④．
3．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在矩形中，是边的中点，于点，连接，分析下列四个结论：
①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】①利用矩形的性质即可证明∽，故正确；利用是边的中点，∽即可得出，故②正确；过作交于，得到四边形是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故正确；根据∽得到，求出，，，即可得到，故正确．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，，
∴，故正确；
∵是边的中点，
∴，
又，
∴，
∴，即故正确；
过作交于，交于点M，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
∴
，
于点，，
，
，故正确；
，
，
，，
，
又，
，故正确；
综上：正确的有①②③④．
4．（26-27九年级上·北京通州·期中）如图，在矩形中，连接，过点作，垂足为，交于点，如果，有下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①
【答案】C
【分析】利用矩形性质和平行线性质证明三角形相似，结合线段比例关系推导各结论依次判断即可．
【详解】解： 四边形是矩形，
，
，
，
∵，
，
，
，
，故①正确；
∵，
，
，即，故②错误；
，
，即，
，
在中，，
，
又，
，
，即，
，
，
，故③正确；
综上所述，正确的结论是①③．
题型10 相似三角形性质与判定综合
由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小.
典｜例｜精｜析
例10（26-27九年级上·四川广元·期中）如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点．若求的长．
【答案】
【分析】由勾股定理可先求得，利用条件可证得，则可求得的长，进一步可求得．
【详解】解：正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·上海长宁·期中）如图，在中，，，平分，．
(1)当时，求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，易得，再根据相似三角形的性质，计算即可；
（2）设，，则，根据相似三角形的性质，易得，从而，再根据角平分线的性质，易得，进而，列出等式，可得，代入计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
；
（2）解：设，，则，
，，
，即，
，
平分，
点到、的距离相等，
，
，
，
，
，
，
则的值为．
2．（26-27九年级上·上海黄浦·阶段检测）在平行四边形中，、分别是、上的点，是中点．
(1)若，求证：；
(2)若，连接交于，求的值．
【答案】(1)证明：如图，延长，交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)
【分析】（1）延长，交于，由平行四边形的性质证明，，进而证明，得到，等量代换得到，根据等边对等角结合等量代换即可得证；
（2）过点作，交于，交于，推出，得到，由平行线分线段成比例得到，，推出是的中位线，，设，则，，，得到，，设，，推出，即可得解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过点作，交于，交于．
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
即，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设，则，，，
∴，
∴，，
设，，
∴，，
∴，
∴ ．
3．（26-27九年级上·上海虹口·期中）在中，已知点在边上．，点在边上，连接、．
(1)当时，
①如图1，如果，求证：；
②如图2，如果平分，，求的值；
(2)如图3，如果，，，，求的长．
【答案】(1)①证明：，
．
又，
．
．
点在上，
．
点在上，
．
．
，
设，则，．，
∴，
，
∴
．
又，
，
，即．
又，
∴．
②
(2)
【分析】①由直接得到，配合公共角，可证，从而推出；再由已知边比算出夹边比例，即可解答．
②求的值分析：由得，设元算出各线段长；再由角平分线条件结合①中的等角关系，推出，最后作高用勾股定理求解即可；
（2）过点作，交于点，推导出，得到，求出，继而推导出，得到，代入化简，可得到，求出（负值已舍去），即可解答．
【详解】（1）①略
②解： ，
，
，
，即．
，
设，则，．
，
．
．
，
．
，即．
平分，
．
．
．
在中，，．
作于点，
则．
在中，．
作于点，如图
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
，
．
（2）解：过点作，交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
解得（负值已舍去）．
题型11 利用相似求坐标
利用相似三角形的性质求点的坐标时，需先确定已知三角形与目标三角形的相似关系.通过对应边的比例关系求解未知点坐标.思考过程中要注意坐标之间的相对关系及分类讨论.
典｜例｜精｜析
例11（26-27九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由矩形内角为推导角相等，证得；再由得到相似比，求出两条直角边长，最后转化为横、纵坐标．
【详解】解：如图所示：过点作于点，
∵点，点，
∴，，
，
，又，
．
又，
．
∵相似比，
∴．
代入、：
，
．
由图知在的右下方，
故横坐标为，纵坐标为．
．
变｜式｜巩｜固
1．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，．D为线段上任一点，作交线段于点E，当的长最大时，点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中点F，连接，以点F为圆心，长为半径作半圆F，再根据题意可知当半圆F与相切时，此时最短，即最大，然后说明可求出圆的半径，进而求出，接下来作，可根据求出，再根据勾股定理求出，最后求出，则此题可解．
【详解】解：如图，取的中点F，连接，以点F为圆心，长为半径作半圆F，
∵，
∴点D在半圆F上．
∵点D在上，
∴当半圆F与相切时，此时最短，即最大，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵点，
∴．
根据勾股定理，得，
设，则，
解得，
∴．
过点E作，垂足为C，
∴，
∴，
∴，
∴．
根据勾股定理，得，
∴，
∴点．
2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，点，分别在轴、轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，延长交轴于点，连结，则点坐标为___________，___________．
【答案】 9
【分析】作于M，于N，于H，连接．利用角平分线的性质得出，设，则，则，即可求得，利用勾股定理得到，通过证得，得到，即可求得．
【详解】解：作于M，于N，于H，连接．则四边形是矩形，
∵的两条外角平分线交于点P，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴；
设，则，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴，
∴或（负值舍去），
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的两条外角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积是9，
故答案为：，9．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，解题的关键是证得．
3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，在轴上，，为中点，在轴上，，连接，若为轴正半轴上的点，且与相似，则点的坐标为________．
【答案】或
【详解】解：由与相似，可得或，
当时，点即如图点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
此时有，即，
∴．
当时，即如图点，
由有，解得，
∴，
综上点E的坐标为或．
题型12 利用相似三角形解决折叠问题
典｜例｜精｜析
例12（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由折叠的性质得，由勾股定理求得，再证明，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：由折叠知，
在矩形，，
，
．
∵，
，，
．
又，
，
∴，
．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，平分等边的面积，将沿所在直线折叠后，得到，分别与，相交于，两点．若，，用含，的式子表示的长是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】 本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵折叠得到，
∴，
∴，，
∵平分的面积，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
故选A．
2．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，矩形中，，，E为的中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则的长是______．
【答案】
【分析】连接，由折叠得，证平分；推导，证明求出，再在中勾股计算．
【详解】解：连接．
四边形为矩形，
，，．
为中点，
．
由翻折知，，
，，．
，，．
平分，
．
，，
．
，
，
，
．
．
又，
．
．
在中，
．
，解得．
在中，
，
，
．
3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形纸片中， 点在边上，将纸片沿折叠， 点落在处，， 垂足为 若， 则____．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
由翻折，菱形的性质，得： ， ，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，过点E作，
设， 则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
题型13 利用相似三角形解决裁剪问题
典｜例｜精｜析
例13（2022·河北廊坊·二模）如图，将沿着剪成一个小三角形和一个四边形，若，四边形各边的长度如图所示，则剪出的小三角形应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可作出选择．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵BD= =12，CE= =18，DE= =8，BC=20，
∴，
解得：AD=8，AE=12，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
变｜式｜巩｜固
1．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）母亲节，小敏准备送礼物给妈妈，他用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长__________分米．
【答案】
【分析】设分米，判断出和为等腰直角三角形，证明，得到，可求出，即可得到正方体礼品盒的棱长．
【详解】解：如图，在正方形中，分米，
设分米，
由此裁剪可得：和为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
解得：分米，
∴分米，
∴正方体礼品盒的棱长为分米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形．
2．（26-27九年级上·广东清远·阶段检测）【主题】如何裁剪木板使面积最大．
素材1：利用配方法求解一元二次方程是常用的解题方法，这种方法可以用来求解代数式的最值．
素材2：求解代数式 的最大值．
解：原式
的最大值为4．
【问题解决】
(1)写出代数式的最大值为 ．
(2)如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边上，，分别与交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值．
【答案】(1)9
(2)
【分析】（1）仿照示例求解即可；
（2）根据三角形的面积公式求出的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长，证明四边形是矩形，得到；设，则，证明，求出，再用含x的式子表示出对应矩形的面积，利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴，
∴代数式的最大值为9；
（2）解：∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，
∴，即，
∴，
∴；
∵，即
∴，即，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
设，则，
∵，即
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为3，
答：矩形台面面积的最大值为．
3．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为，圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条．
(1)直接写出剪下的第一张矩形纸片长为______；
(2)从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由．
(3)圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为（，且为整数）的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出的一个可能的取值______．
【答案】(1)；
(2)从下往上剪第张纸片是正方形纸片；
(3)或或．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
（1）设第一张矩形纸片长为，得出等腰三角形彩纸的腰长为，由三角形相似即可列出方程，求解即可；
（2）设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，由三角形相似可得：，求解即可；
（3）设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，由三角形相似可得：，求解即可．
【详解】（1）解：设第一张矩形纸片长为，
等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为，
等腰三角形彩纸的腰长为，
由三角形相似可得：，
解得：，
故答案为：；
（2）解：设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，
由三角形相似可得：，
解得：，
从下往上剪第张纸片是正方形纸片；
（3）解：设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，
由三角形相似可得：，
解得：，
，
或或，
故答案为：或或．
题型14 利用相似三角形探究线段之间的关系
由相似三角形判定探究线段关系，需要根据相似的判定条件寻找出缺少的条件.
典｜例｜精｜析
例14（2022·辽宁大连·模拟预测）在中，在上，且．
(1)如图，若，，求的长度．
(2)如图，作于，过点作交于点，作于，探究与的关系，并证明你的结论．
(3)如图，作于，，，探究与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据题意证明即可得到，再结合题意即可解答；
（2）连接，根据平行线的性质即可得证；
（3）根据题意证明四边形是平行四边形，可得，过点作于点，连接，证明，可得，进而证明即可得到解答．
【详解】（1），，
，
，
，
，，
，
；
（2），
证明：连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）．
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
过点作于点，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和平行四边形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
变｜式｜巩｜固
1．（22-23九年级上·河南郑州·期末）（1）如图1．四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，判断线段与的数量是__________；位置关系是__________．
（2）如图2，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与又有怎样的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，点是从点运动到点，直接写出点的运动路径长度．
【答案】（1），；（2），，见解析；（3）4
【分析】（1）通过证明，得出，，延长、相交于点，根据三角形内角和定理得出，即可求解；
（2）通过证明，可得，，延长相交于点．因为矩形，所以，所以，所以，即可求解；
（3）作于，交的延长线于．首先证明点的运动轨迹是线段，当点是从点运动点时，点从点运动到点，即可求解．
【详解】解：（1）由题意可得四边形和四边形为正方形，
∴，，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
延长、相交于点，
在正方形中，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：，；
（2），
理由如下：延长、相交于点，如下图：
在矩形、矩形中，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴，
∴
在矩形中，
∴，，
∴
∴
（3）作于N，交的延长线于，如下图：
可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点的运动轨迹是直线，
当点是从点运动点时，
当点与点重合时，，由（2）得，即与点重合，
当点与点重合时，连接，，，
由（2）得，即与点重合，
点从点运动到点，
又∵
∴点G的运动路径长．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等，这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．
2．（2024·山东济南·三模）锐角中，以为边向外作等边，以为边向外作，其中，，F为的中点，分别连接．
(1)如图1，为等边三角形，
①与的数量关系是_________；与的位置关系是________；
②求的长度；
(2)如图2，时，与的关系是否改变？如果不变请证明；如果改变请写出新的关系并证明；
(3)如图3，为任意的锐角三角形，当时直接写出长度的取值范围．
【答案】(1)①，；②
(2)不变，
证明如下；
如图3，取的中点，的中点，连接，
AI ∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵等边，，，
∴，，，，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
设，，，
∴，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，
∴，，与的关系不变；
(3)
【分析】（1）①如图1，取的中点，的中点，连接，则，，四边形是平行四边形，则，，，由，，可得，证明，则，，，，设，，，则，由，可求，则；②如图2，作的延长线于，则，，，，，，由勾股定理得，，计算求解即可；
（2）证明过程同理（1）①；
（3）由（1）①，（2）可知，，由，，可得，当时，，如图4，作于，可得，此时；当时，由，可得，则，是等边三角形，此时，由是锐角三角形，可得．
【详解】（1）①解：如图1，取的中点，的中点，连接，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵等边，，，
∴，，，，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
设，，，
∴，
∵，
∴，整理得，，
解得，，
∴，
故答案为：，；
②解：如图2，作的延长线于，
∵为等边三角形，等边，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长度为；
（2）略
（3）解：由（1）①，（2）可知，，
∵，，
∴，
当时，，
如图4，作于，
∵，
∴，，此时；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，此时，
∵是锐角三角形，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，平行四边形的判定与性质，余弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，平行四边形的判定与性质，余弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
题型15 利用相似三角形解决尺规作图问题
典｜例｜精｜析
例15（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知和点．
(1)以点为顶点求作，使，；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)设D、E、F分别是三边、、的中点，、、分别是你所作的三边、、的中点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明：如图2，
∵D、E、F分别是三边的中点，
∴，
∵、、分别是三边、、的中点，且，，，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）分别作得即为所求；
（2）根据中位线定理易得，于是，故可证．
【详解】（1）解：如图1，
①作线段；
②分别以为圆心，以为半径作弧，两弧交于点；
③连接得．
即为所求．
证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）略．
变｜式｜巩｜固
1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，线段的端点、均在小正方形的顶点上，点也在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出等腰，点在小正方形顶点上；
(2)在（）的条件下，利用给定的网格使用无刻度直尺确定点，点在线段上，使得四边形的面积为，保留作图痕迹．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按照要求作出图形即可；
（2）按照要求作出图形，分割法求面积即可．
【详解】（1）解：等腰中点在小正方形顶点上，
符合条件的点如下图：
此时；
（2）解：，
要使四边形的面积为，
，
又点在线段上，
，
，
，
，
则连接并延长交于点，
，
，
，
则，
即此时点符合要求．
【点睛】本题考查的知识点是尺规作图、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，中，．
(1)尺规作图：求作菱形，使点E在边上，点F在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，分别与和交于点G和点M，求的值．
【答案】(1)
如图，四边形即为所求作的菱形．
(2)2
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定定理，相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）以B为圆心，的长为半径画弧交于E，以A为圆心，的长为半径画弧交于F，连接，可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是菱形；
（2）由平行四边形的性质可得，，证明，可得，，由菱形的性质得到，则可证明，得到，可推出，，则，，进一步可得，则．
【详解】（1）略
（2）解：四边形为平行四边形，
，，
∴
，，
由（1）可知，四边形是菱形，
，
，
，
∴，
∴，
，，
，，
，
，
．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出（点C在小正方形的顶点上），为等腰三角形且为；
(2)在图2中画出（点D在小正方形的顶点上），使为等腰三角形（为钝角）．且在上取一点E，使得（保留作图痕迹）．
【答案】(1)如图中，即为所求；
(2)如图，，点E即为所求．
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）作等腰直角即可；
（2）作一个腰为5的等腰三角形且是钝角，取格点P，Q，连接交于点E，点E即为所求．
【详解】（1）略
（2）略
题型16 相似三角形与动点问题
对于动态相似图形问题，一般是已知结论，求使结论成立的条件，可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分，再结合已有的条件和图形进行分析、探究，便可得到所需的条件.
典｜例｜精｜析
例16 （26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________．
【答案】或
【分析】利用勾股定理求出的长，用含的代数式表示和，分和 两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出方程求解
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得： ．
由题意得： ，，
．
，
分两种情况讨论：
当时，
即，
解得；
当 时，
即，
解得．
综上所述，当为或时，与相似．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形．
【答案】或或
【分析】设，则，与是相似三角形时，分，两种情况，根据对应边成比例列式计算即可．
【详解】解：设，则，
分两种情况：
当时，，
即，
解得；
当时，，
即，
解得或；
综上可知，当为或或时，与是相似三角形．
2．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段检测）如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（ ）
A． B．2 C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键.分两种情况讨论，可得或，据此解答即可．
【详解】解：∵，
①设经过后，，
根据已知条件，可得，，则，
∵，
∴，
∴，
解得；
②设经过后，，
∵，
∴，
∴，
解得．
故经过或后，与相似．
故选：D．
3．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，同时点由出发沿的方向向点匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为（单位：），解答下列问题：
(1)___________；___________；（用含的代数式表示）
(2)当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？
【答案】(1)；
(2)为或
【分析】（1）先根据勾股定理求得，结合题意用t表示出、即可解答；
（2）分两种情况：①当时，此时，得到，从而得到关于t的方程，解之即可；②当时，此时，得到，从而得到关于t的方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
根据题意可知，，
∴．
（2）解：①当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
②当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上，当t为或时，以为顶点的三角形与相似．
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第三十一章 相似
31.2.3 相似三角形的性质
知识点一 相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.
③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.
【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错
即学即练
1．（26-27九年级上·上海普陀·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，那么下列线段的比中与不一定相等的是( )
A． B． C． D．
2．（26-27九年级上·上海虹口·期中）对于两个相似但不全等的三角形，下列四个量中，有一个量的值与其他三个量的值不同的是（ ）
A．面积比 B．对应角平分线之比 C．对应高之比 D．对应中线之比
3．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型01 利用相似三角形的性质求线段长
典｜例｜精｜析
例1（26-27九年级上·海南海口·期中）如图，将沿着射线平移到，与交于点G．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，，和分别是和的角平分线．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）已知，若，则值为（ ）
A． B． C． D．
3．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
题型02 利用相似三角形的性质求角度
典｜例｜精｜析
例2（26-27九年级上·湖南永州·期中）若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知，若、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在和中，，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型03 利用相似三角形的性质求周长
典｜例｜精｜析
例3（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形三边长为2，2，3，另一个等腰三角形一边长为6，则另一个等腰三角形周长为_________．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是_______．
2．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为______．
3．（22-23九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，，．按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径作圆弧，两弧相交于点和点；作直线交于点；连结．根据作图可知的周长为______．
题型04 利用相似三角形的性质求面积
典｜例｜精｜析
例4（25-26九年级上·广西百色·期末）已知，且，则它们的面积比__________．
变｜式｜巩｜固
1．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图，P为平行四边形边上一点，E、F分别为的中点，若的面积分别为2，则平行四边形的面积为__________．
2．（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，是菱形的对角线，点、是的三等分点，记和菱形的面积分别为、，则的值为______．
3．（26-27九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点在轴正半轴上，且，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，在点右侧的轴上依次取点，，，在点右侧的直线上依次取点，，，使得，则的面积是_____．
题型05 利用相似三角形的性质求高/角平分线/中线
典｜例｜精｜析
例5（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末），、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应边上的高之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，是的中线，点E是的中点，连接并延长，交于点F，若．则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在由单位长度为1的小正方形组成的网格中，已知为的角平分线，为的角平分线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型06 利用相似三角形的性质求解
典｜例｜精｜析
例6（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，，分别是的边，上的点，且，连接，，交于点．若，则的周长与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·四川宜宾·期中）如图，在平行四边形中，点是边上一点，，连接、交于点．若，则等于（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
2．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，分别是边，的中点．下列结论不正确的是（）
A． B．
C．的周长＝的周长的一半 D．
3．（26-27九年级上·广东清远·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点是上一个动点，当的和最小时，的长为（ ）
A． B． C． D．
题型07 利用“三点定形法”证明比例式或等积式
“三点定形法”是证明线段等积式或比例式最常用且最有效的方法，他就是设法找出比例式中（或转化后）所蕴含的几个字母，是否存在可由“三点”定出来的两个相似三角形.
典｜例｜精｜析
例7（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，在平行四边形中，
求证：
(1)
(2)
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·上海金山·期中）已知：如图，在四边形中，，点是上一点，且．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
2．（26-27九年级上·上海松江·期中）已知：如图，、分别是的边、上的点，且，连接、相交于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
题型08 在网格中画与已知三角形相似的三角形
典｜例｜精｜析
例8（26-27九年级上·上海·阶段检测）定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______．
3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
(1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似；
(2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F）
题型09 利用相似三角形性质与判定解决多结论问题
典｜例｜精｜析
例9（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点与延长线上的点重合．交于点，交延长线于点．交于点于点，则下列结论：①，②，③，④．正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：；；当是的中点时，；当时，．其中正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，直角三角形中，，于D，于E，下列说法正确的选项是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①②④
3．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在矩形中，是边的中点，于点，连接，分析下列四个结论：
①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
4．（26-27九年级上·北京通州·期中）如图，在矩形中，连接，过点作，垂足为，交于点，如果，有下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①
题型10 相似三角形性质与判定综合
由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小.
典｜例｜精｜析
例10（26-27九年级上·四川广元·期中）如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点．若求的长．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·上海长宁·期中）如图，在中，，，平分，．
(1)当时，求的长；
(2)求的值．
2．（26-27九年级上·上海黄浦·阶段检测）在平行四边形中，、分别是、上的点，是中点．
(1)若，求证：；
(2)若，连接交于，求的值．
3．（26-27九年级上·上海虹口·期中）在中，已知点在边上．，点在边上，连接、．
(1)当时，
①如图1，如果，求证：；
②如图2，如果平分，，求的值；
(2)如图3，如果，，，，求的长．
题型11 利用相似求坐标
利用相似三角形的性质求点的坐标时，需先确定已知三角形与目标三角形的相似关系.通过对应边的比例关系求解未知点坐标.思考过程中要注意坐标之间的相对关系及分类讨论.
典｜例｜精｜析
例11（26-27九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，．D为线段上任一点，作交线段于点E，当的长最大时，点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，点，分别在轴、轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，延长交轴于点，连结，则点坐标为___________，___________．
3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，在轴上，，为中点，在轴上，，连接，若为轴正半轴上的点，且与相似，则点的坐标为________．
题型12 利用相似三角形解决折叠问题
典｜例｜精｜析
例12（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，平分等边的面积，将沿所在直线折叠后，得到，分别与，相交于，两点．若，，用含，的式子表示的长是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，矩形中，，，E为的中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则的长是______．
3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形纸片中， 点在边上，将纸片沿折叠， 点落在处，， 垂足为 若， 则____．
题型13 利用相似三角形解决裁剪问题
典｜例｜精｜析
例13（2022·河北廊坊·二模）如图，将沿着剪成一个小三角形和一个四边形，若，四边形各边的长度如图所示，则剪出的小三角形应是（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）母亲节，小敏准备送礼物给妈妈，他用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长__________分米．
2．（26-27九年级上·广东清远·阶段检测）【主题】如何裁剪木板使面积最大．
素材1：利用配方法求解一元二次方程是常用的解题方法，这种方法可以用来求解代数式的最值．
素材2：求解代数式 的最大值．
解：原式
的最大值为4．
【问题解决】(1)写出代数式的最大值为 ．
(2)如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边上，，分别与交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值．
3．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为，圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条．
(1)直接写出剪下的第一张矩形纸片长为______；
(2)从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由．
(3)圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为（，且为整数）的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出的一个可能的取值______．
题型14 利用相似三角形探究线段之间的关系
由相似三角形判定探究线段关系，需要根据相似的判定条件寻找出缺少的条件.
典｜例｜精｜析
例14（2022·辽宁大连·模拟预测）在中，在上，且．
(1)如图，若，，求的长度．
(2)如图，作于，过点作交于点，作于，探究与的关系，并证明你的结论．
(3)如图，作于，，，探究与的数量关系，并证明．
变｜式｜巩｜固
1．（22-23九年级上·河南郑州·期末）（1）如图1．四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，判断线段与的数量是__________；位置关系是__________．
（2）如图2，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与又有怎样的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，点是从点运动到点，直接写出点的运动路径长度．
2．（2024·山东济南·三模）锐角中，以为边向外作等边，以为边向外作，其中，，F为的中点，分别连接．
(1)如图1，为等边三角形，
①与的数量关系是_________；与的位置关系是________；
②求的长度；
(2)如图2，时，与的关系是否改变？如果不变请证明；如果改变请写出新的关系并证明；
(3)如图3，为任意的锐角三角形，当时直接写出长度的取值范围．
题型15 利用相似三角形解决尺规作图问题
典｜例｜精｜析
例15（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知和点．
(1)以点为顶点求作，使，；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)设D、E、F分别是三边、、的中点，、、分别是你所作的三边、、的中点，求证：．
变｜式｜巩｜固
1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，线段的端点、均在小正方形的顶点上，点也在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出等腰，点在小正方形顶点上；
(2)在（）的条件下，利用给定的网格使用无刻度直尺确定点，点在线段上，使得四边形的面积为，保留作图痕迹．
2．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，中，．
(1)尺规作图：求作菱形，使点E在边上，点F在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，分别与和交于点G和点M，求的值．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出（点C在小正方形的顶点上），为等腰三角形且为；
(2)在图2中画出（点D在小正方形的顶点上），使为等腰三角形（为钝角）．且在上取一点E，使得（保留作图痕迹）．
题型16 相似三角形与动点问题
对于动态相似图形问题，一般是已知结论，求使结论成立的条件，可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分，再结合已有的条件和图形进行分析、探究，便可得到所需的条件.
典｜例｜精｜析
例16 （26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形．
2．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段检测）如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（ ）
A． B．2 C． D．或
3．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，同时点由出发沿的方向向点匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为（单位：），解答下列问题：
(1)___________；___________；（用含的代数式表示）
(2)当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？
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