31.2.3相似三角形的性质（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形的性质，涵盖对应线段、周长的比等于相似比及面积比等于相似比平方的核心内容。通过复习相似三角形判定定理与定义，引出高、中线等几何量，搭建新旧知识联系的学习支架。 此资料以自主探究为特色，引导学生经历猜想、证明过程（如对应高、中线比的推导）发展推理能力，梯度例题与易错点辨析强化性质应用，对接中考真题提升应用意识。助力学生理解知识本质，规范解题，也为教师突破教学难点、提升课堂效率提供支持。

31.2.3相似三角形的性质 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 相似三角形对应线段的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；利用性质进行计算与证明。 2. 内容分析 本节课安排在相似三角形的定义与判定之后，是相似三角形知识体系的重要组成部分。学生由相似三角形的定义已知：对应角相等、对应边成比例。本节课将研究对象拓展到三角形的高、中线、角平分线、周长、面积等几何量。教学中要引导学生区分：对应线段的比、周长的比等于相似比，面积的比是相似比的平方，避免混淆。该内容既是对判定的巩固，也为后续几何综合题、实际问题求解奠定基础。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解相似三角形的性质定理。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 （2）会综合利用相似三角形的判定定理和性质定理进行证明或计算。 2. 目标解析 （1）学生能完整表述相似三角形的性质（对应边，对应角，对应线段，周长，面积），能区分线段比与面积比的不同，理解面积需要对相似比做平方运算。 （2）学生能够根据题意先判定三角形相似，再选取合适的性质完成计算与简单证明，读懂定理推导过程，独立完成基础性质的证明。 三、教学问题诊断分析 学情分析：学生已掌握三角形相似的定义及判定方法，知晓相似三角形的对应角相等、对应边成比例。常见易错点：①将面积比直接等同于相似比，忘记平方；②忽略“对应”二字，随意套用性质，列比例式出错；③解题时不会把判定定理和性质定理相结合，缺少“先证相似”这一步骤。 应对策略：让学生经历性质定理的完整探究过程，理解性质的由来，杜绝机械记忆；设置判断题、易错题，针对性辨析易错点；例题讲解固化解题流程：证明相似→确定相似比→应用性质计算，规范答题步骤。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：综合利用相似三角形的判定定理和性质定理进行证明或计算。 四、教学过程设计 （一）复习引入 问题1 我们学习了哪些三角形相似的判定定理？ 问题2 根据相似三角形的定义，相似三角形的对应角相等、对应边成比例.在三角形中，除了边的长度和角的度数，还有哪些常见的几何量？ 本节课，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系. 设计意图：复习三角形相似的判定方法，自然引出本节课的探究对象，建立新旧知识联系，明确课堂学习任务，激发探究兴趣。 （二）合作探究 探究1 两个相似三角形的相似比为k，它们对应的高、对应的中线、对应的角平分线的比各是多少？ 猜想：相似三角形对应高的比等于相似比. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，分别作它们的高AD和A′D'. 求证： = = k. （小组讨论，寻找证明方法.） 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠B=∠B′ . 又 ∠ADB=∠A'D′B′=90°， ∴ △ABD∽△A'B′D'. ∴ = = k. 猜想：相似三角形对应中线的比等于相似比. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，分别作它们的中线AD和A′D'. 求证： = = k. （请同学们独立完成证明.） 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠B=∠B′ ， = = k. 又 BD= BC， B′D′= B′C′， ∴ = = . ∴ △ABD∽△A'B′D'. ∴ = = k. 猜想：相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，分别作它们的角平分线AD和A′D'. 求证： = = k. （请同学们独立完成证明.） 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠BAC=∠B′A′C′，∠B=∠B′ . 又 ∠BAD= ∠BAC， ∠B′A′D′= ∠B′A′C′， ∴ ∠BAD=∠B′A′D′. ∴ △ABD∽△A'B′D'. ∴ = = k. 相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 总结 相似三角形对应线段的比等于相似比. 探究2 两个相似三角形的相似比为k，它们周长的比、面积的比各是多少？ 猜想：相似三角形周长的比等于相似比. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k. 求证： = k. （请同学们独立完成证明.） 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴ = = = k. ∴AB=kA'B'，BC=kB'C'，AC=kA'C'， ∴AB+BC+AC=k(A'B'+B'C'+A'C')， ∴ = k. 猜想：相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k. 求证： = k2. （请同学们独立完成证明.） 证明：分别作它们的高AD和A′D'. ∵△ABC∽△A'B'C′， ∴ = = k. ∴ = = · = k·k= k2. 相似三角形的性质定理 相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方. 设计意图：通过猜想、小组讨论、推理论证，让学生自主得到相似三角形对应线段的比等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方，落实学生主体地位，发展推理能力等核心素养。 （三）典例分析 例1 如图，在矩形中，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，则等于（ C  ） A． B． C． D． 例2 已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____12____． 解：，、是对应角平分线， 相似比， 又相似三角形周长之比等于相似比， ， 已知周长为16，代入得：， 解得：． 例3 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D. 若△ABC的边BC上的高为6，它的面积为12，求△DEF的边EF上的高和它的面积. 分析：两边成比例且夹角相等→△ABC∽△A'B'C′→对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 解：在△ABC和△DEF中 ， ∵ AB=2DE，AC=2DF， ∴ = = . 又 ∠D=∠A， ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 · ∵△ABC的边BC上的高为6，它的面积为12， ∴ △DEF的边EF上的高为 ×6=3，它的面积为( )2×12=3. 设计意图：通过三道梯度例题，巩固新知。例1训练面积比（相似比的平方）；例2训练对应角平分线与周长的关系；例3综合判定与性质，训练对应高、面积计算，强化解题步骤，突破教学难点。 （四）巩固练习 1.判断题. (1)一个三角形各边长分别扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ √ ） (2)一个三角形各边长分别扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍 .（ × ） 2．如图，，，则下列结论一定成立的是（  D  ） A． B． C． D． 3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，复印前后三角形的相似比是多少?这个三角形的面积发生了怎样的变化? 答：复印前后三角形的相似比是 ，面积变成了原来的9倍. 4.如图 ，△ABC∽△A'B'C′，AD，BE是△ABC的高，A'D'，B′E'是△A'B′C′的高 .求证： = . 解：设△ABC和△A'B'C′的相似比为k. ∴ =k， =k， ∴ = . 设计意图：设置判断、选择、解答等不同题型，由浅入深，及时反馈学生掌握情况，纠正易错点，夯实基础。 （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年黑龙江绥化）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（  B  ） A． B． C． D． 2．（2026年四川乐山）如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（  B   ） A． B． C． D． 3．（2026年辽宁）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 设计意图：对接中考真题，让学生感知中考考查方向，强化知识运用，提升应考意识。 （七）小结梳理 设计意图：构建完整知识框架，串联相似多边形、三角形相似的判定、性质等相关内容，帮助学生系统内化知识。 （八）布置作业 1.必做题：习题31.2 第8，11，12题. 2.探究性作业：习题31.2 第15，16题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $