专题02 解三角形（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题02解三角形 内容概览 目常考题型精准突破 考点一解三角形 题型1解非直角三角形 题型2仰角俯角 题型3方位角 题型4坡度坡比 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ●考点一解三角形● ◆题型1解非直角三角形 【答案】4 【分析】过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D.再根据勾股定理， 【详解】解：如图①，过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D D 图① ∠BAC=120° .∠DAC=180°-120°=60°， .∠ACD=30°， ∴.AD=ACsin.∠ACD=3,CD=ACcos∠ACD=3V5 在RtABCD中，根据勾股定理，得 BD=VBC2-CD2=V(2W19)2-(33)2=7, 1/31 上好每一堂课 三角函数给出相应的解答即可. 可学科网·上好课 www.zxxk.com .AB=BD-AD=7-3=4 一题多解法如图②，过点B作BE⊥AC,交CA的延长线于点E. 、、A 图② :∠BAC=120° .∠BAE=180°-120°=60°，.∠ABE=30」 设AB=2x,则AE=ABsin.∠ABE=2xsin30°=x, BE=AB cos∠ABE=2xcos30°=V3x, ∴.CE=AC+AE=6+x, 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得 BC2 BE2+CE2, 即(219)2=(3x)2+(6+x)}2, 解得x=2 (负值已舍去)，.AB=2x=4. 2. 【答案】BC=15 【分析】过C作CD⊥AB于D,构造两个直角三角形：在Rt△ACD中用 在RLBCD中由cosB=设BD=4,BC=S,用勾股定理建立CD 【详解】解：过C作CD⊥AB于D D B 在R1△ACD中，∠A=30°， :D)4C=9(直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半)， 在RiABCD中，cosB=BD-4 BC 5 .设BD=4k,BC=5k(k>0), 2/31 上好每一堂课 30°角性质求出CD: 求解 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理，CD=VBC2-BD2=3k, 3k=9,k=3, BC=5k=15. 3. 【答案】(1)3+V3 ②30+3v10 20 【分析】()过点c作CH⊥AB,垂足为H由anB=3,设CH=x'BH=3x:利用勾股定理求出 CH=1'BH=3'由tan∠A=tan300= 3,求出AH=5,最后由AB=AH+BH即可求出HAB的长： (2②）过点B作BG⊥4C垂足为G,由sin∠A=sin30 2,求出BG=3+3 3,再由 s血(s0-4CB)=m∠GCB8C即可求出结果 【详解】(I)解：如图所示，过点C作CH⊥AB,垂足为H, C H B'tan B=CH 1 ΓBH3BC=V1O 设CH=x,BH=3x, +(3x=(0,解得：x=1(负值舍去)， CH=1,BH=3, :tan∠A=tan30°=CH-V3 AH 3' .AH=3. ∴.AB=AH+BH=3+V3」 (2)解：如图所示，过点B作BG1AC,垂足为G, 3/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -- C. sin∠A=sin30°= BG BG 1 B AB3+3 2 .BG=+3 2, :∠GCB=180°-∠ACB, 3+3 sin(180°-∠ACB)=sin∠GCB= G 2 √30+3V10 BC= V10 20 4. 【答案】(1) 射线BM为所求。 (2)3V2+6 【分折】（山根据如∠MBC=可得∠MBC-30,结合三角形内角和可得MB平分∠BC,故作∠ABC 的角平分线BM交AC边于点M,即可解题： (2)过点M作MH⊥BC,垂足为H,根据解三角形很容易求出BH=BM·cos∠MBC=3V2, CH=MH=V6,进而求出BC边长. 本题主要考查了解三角形，利用又si血∠MBC= 2,得∠MBC=30是解题关键. 【详解】(1)解：，在△ABC中，∠A=75°，∠C=45°. :.∠ABC=1802-∠A-∠C=60°， 又sin∠MBC=) :.∠MBC=30°， .MB平分∠ABC, 4/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，作∠ABC的角平分线BM交AC边于点M; (2)过点M作MH⊥BC,垂足为H, ∠MBC=30°，BM=2√6. :MH=BMm∠M8C=26x6, BH=BM-cos∠MBC=2W6x =32, 2 .CH=MH √6 =V6, tan∠Ctan45° .BC=BH+CH=3+ 5. 【答案】(1)见解析：(2)()见解析；(i) 48+12v6 5 【分析】(I)过点A作AD⊥BC于点D,从而在RtAACD中，CD=bcosC, AD=AC2-CD2=b-(bcosC}),进而BD=a-bcosC,因此在RtaABD中，根据勾股定理即可证明： (2)(i)由1)得到在△ABC中，a2+b2-dP=2 ab cos∠BAC,在△ACD中， 2+c2-e-ccos∠CAD .b2+c2-e2c cC2+6-e=2hcos∠C4D,因此a2+-d中-acos∠BAC,结合+R-d-a得到 cos∠CAD=cos∠BAC,从而∠CAD=∠BAC,再由∠B=∠ACD即可证得△ABCn△ACD,根据相似三角 形的对应边成比例即可求解； (i)解方程x2+2x-15=0得x=3,五=-5.过点A作AE⊥BC于点E,则AE=3,根据勾股定理求出 BB=4CB=6:得到BC=BB+B=4+6,从而求得S=号BC,4B=6+子6，根据 2 AB Λ2 5 △ABC∽AAC 得到S 、AC -3S-18+96,进而根据 ,从而求得S4m亏S, =510 S边形BCD=S,ABC+S,4CD即可解答. 【详解】解：(I)如图，过点A作AD⊥BC于点D, 5/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com B4 D 则∠ADC=∠ADB=90°， ∴，在RtAACD中，CD=AC·CosC=bcosC, AD2=AC2-CD2=b2-(bcosC)', .'.BD=BC-CD=a-bcosC, ∴在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2=b2-(bcosC})+(a-bcosC}=a 即c2=a2+b2-2 abcosC. (2)(i)在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos.∠BAC, 即dP=a2+b2-2 ab cos.∠BAC, .a2+b2-d2 2abcos ZBAC, 在△ACD中，CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos∠CAD, 即e2=c2+b2-2 be cos.∠CAD, .'c2+b2-e2=2bccos LCAD. b2+c2-e22 bccos.∠CAD_ccos∠CAD ·d+b-d-2 abcos ZBAC acos∠BAC b2+c2-e2 atb-d-a .coS∠CAD=cOS∠BAC, :<CAD=ZBAC, :∠B=∠ACD ,△ABC∽△ACD. AB AC a b ∴AC=AD,即6=c, b2=ac=-5×3=15, b=5或b=-15(不合题意，舍去). (i)解方程x2+2x-15=0得x=3,，为2=-5」 过点A作AE⊥BC于点E, 6/31 上好每一堂课 +b2-2abcosC. 函学科网·上好课 www.zxxk.com A ,点A到BC的距离是方程x2+2x-15=0的解， AE=3, .AB=a=5,AC=b=15, ∴在Rt△ABE中，BE=VAB2-AE2=V52-32=4, 在RtACE中，CE=VAC2-AE=Vi-32=6, .BC=BE+CE=4+6. Sc-=号Bc4E=x4+6jx3=6+36, .·△ABCP△ACD (-8-() SACD 30 .S.4CD= 5 5+10 C8D8+Sm=6+V6+号+0V6=48+26 5 【点睛】本题考查勾股定理，利用锐角三角函数解三角形，相似 掌握勾股定理与相似三角形的判定及性质是解题的关键， ◆题型2仰角俯角 1. 【答案】A 【分析】在直角三角形中，利用正弦函数的定义表示出对边即可. 【详解】解：在RIAALR中，∠ALR=90°，AR=a,∠ARL=0 .'sin0=AL AR ∴.AL=AR.sin0=asin0 7131 上好每一堂课 角形的判定及性质，解一元二次方程， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】气象站离地面3千米 【详解】解：由题意和图可知，∠CBA=∠CBD=90°， .∠CDB=30°是△ACD的外角，∠CAD=15°， .∠ACD=∠CDB-∠CAD=30°-15°=15°， ∴.∠ACD=∠CAD. ∴.AD=CD=6 在RIACBD中，∠CDB=30°， CB=2CD=2×6=3. 2 答：气象站离地面3千米. 3. 【答案】(1)AC=12m (2)4v3-5m 【分析】(1)利用坡比概念可设BC=xm,则AC=2.4m,利用勾股定理列方程求得x值即可解答： (2)利用正切定义和特殊角的三角函数值求得CD=4V3m即可解答. 【详解】(1)解：BC⊥AC ∴∠C=90°，则△ABC是直角三角形， 斜坡AB的坡比i=1:2.4,AB=13m, ∴.设BC=xm,则AC=2.4m, :BC2+AC2=AB2,即x2+(2.4x=132, x=5, .AC=2.4×5=12(m) (2)解：BD1AC,∠CAD=30°， tan∠CAD=CD AC' ..tan300 CD3 123 CD=4v5(m), ∴.BD=CD-BC=(45-5)m :.护栏BD的高度(43-S)m 8/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)26m (2)楼AB与CD之间的距离AC的长约为68m 【分析】(1)由三角形外角的性质求出∠EOF=30°=∠FE0,然后利用等角对等边得到EF=OF=26m, (2)延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H,证明四边形ACHG是矩形，得到GH=AC,然后解 直角三角形求出OG,FH,进而求解即可. 【详解】(1)解：根据题意得，∠FOE=30°，∠MFE=60°，OF=26m, ∴.∠FE0=∠EFM-∠EOF=60°-30°=30°， .∴∠EOF=∠FEO ..EF =OF =26m; (2)解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H,如图， G F H.M 709 30° 60° A ∴.∠AG0=∠EHO=90° 又，∠GAC=90° ∴，四边形ACHG是矩形， :.GH=AC. 由题意得：AG=80m,OF=26m,∠AOG=70°，∠EFH=60°， :tan∠AoG=4G OG ∴.OG= AG 80x80≈29.1(m), tan∠10G tan70°2.75 ,∠EHF=90°， cos∠EFH=FH EF ..FI-EF-cosZEFH-26xcs-26x-13(m), ∴.AC=GH=G0+OF+FH=29.1+26+13=68.1≈68(m) 9131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为68m. 5. 【答案】(1)100W3米 (2)河道的宽度CD约为355米 【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用矩形转移等高线段，再结合三角函数求边长，最后用线段的等 量关系列等式求河宽.关键易错点是无人机从A到B是朝D的方向（向左）水平飞行，因此线段关系为 CD+CG=BH+AB 【详解】(1)解：如图所示：过点A作AG⊥DE于G. F B 246 A GE 在RIAAGC中，AC=200m,∠ACG=60° 4G=AC:sim∠4CG=200x3=1003(画） 答：无人机从C飞到A时垂直上升的距离为100V3米 (2)解：如图所示：过点D作DH⊥AB,交AB的延长线于H,则四边形AHDG为矩形， H B 54 D C G E DH=AG=1003m,DG=AH 在RIAAGC中： CG-AC-0s4CG-200x(m) 在Rt△BHD中，∠DBH=24°，DH=100V3m: BH=DH ”_1005=2505≈250×1.7=425(m) tan∠DBH0.4 DG=AH,DG=CD+CG,AH=BH+AB, ..CD+CG=BH+AB ..CD=BH+AB-CG =425+30-100 10131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =455-100 =355(m, 答：该段河道的宽度CD约为355米. ◆题型3方位角 1. 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥BC于D,根据题意可求出∠ABC=30°，∠C=45°，解RtAABD求出AD的长， 再解Rt△ADC求出AC的长即可得到答案. 【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D, 北 →东 D 60 B N 由题意得，∠ABC=90°-60°=30°，∠BAC=15°+90°=105°，AB=300米， .∠C=180°-∠CAB-∠ABC=45°， 在RtAABD中，AD=AB.sin∠ABD=300·sin30°=150（米）， 在RAM0C中，4CC=S502C米) 2. 【答案】480 【分析】过点O作OM⊥BC于点M,ON⊥AC于点N,构造ONCM矩形，设OM=x,根据矩形性质 得NC=x,则AN=AC-NC=840-x,在RtAANO中，根据∠OAW=45°得到ON=AW=840-x,在 Rt△BOM中，根据锐角三角函数得到BM=,OM≈Z, =an73.7元24”，利用线段和差关系列方程，求出点0到BC 的距离。 【详解】解：如图，过点O作OM⊥BC于点M,ON⊥AC于点N 11/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 个 →东 -1M CAC⊥BCOM⊥BCON⊥AC :.∠ONC=∠C=∠OMC=90°， ∴.四边形ONCM为矩形， ∴.ON=MC,OM=NC 设OM=x,则NC=x,AW=AC-NC=840-x. 在Rt△ANO中，∠OAW=45°， .:.ON=AN=840-x, ∴.MC=ON=840-x. 在R△BOM中，tan73.7P=OM BM' .BM= OM 7 tan73.7°≈24x. BC=BM+MC=500m. 24x=500. 7 .840-x 解得x=480 即点0到BC的距离约为480m 3 【答案】(1)200W6km (2):∠ABC=60°，∠BAD=30° ∴.∠BDA=∠ABC-∠BAD=30°， ∴.∠BDA=∠BAD, .AB=BD, 由（知：贴=号4，E-20m 2 .BD=AB=400 ,在Rt△AED中，∠BDA=30°. 12/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=二AD 2 .AD=2AE=2√3BE=400N5, ∴.甲货车选择路线①，所需时间 200、6+20+200W514.8h, 70 乙货车选择路线②，所需时间 400N5+400≈13.65h, 80 .13.65<14.8. ∴乙货车先到达B市 【分析】(1)过点A作AE⊥CD于点E,由题意得∠C=45°，∠CAB=75°，∠BAD=30°，∠ABC=60° 冠B:30e>避面海BB号B.B正站BB文电C4EEC=450得E=C tan30° AC=2AB,得到CE=V5BE,即得到BC=CE+BE=(N5+)BE,再根据方程求出BE即可求解： (2)求出BDAD,再分别求出两条路线所需时间，比较即可求解 【详解】(I)解：过点A作AE⊥CD于点E,如图， 由题意得∠C=45°，∠CAB=90°-15°=75°，∠BAD=15°+15°=30°，∠ABC=45°+150=60°， ∠AEB=90°， ∴.∠EAB=30°， .BE-1AB,4E-.BE =3BE tan30° .AE⊥CD,∠C=45° .∠CAE=∠C=45°， AE=CE,AC=2AE, .CE=3BE ∴BC=CE+BE=(V5+IBE, 13/31 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :B、C两市之间的距离为(200+200W3)km (N5+1BE=200+200V3 .BE=200 .AC=V2AE=√2×V3×200=200W6(km), 答：A、C两市之间的距离为200W6km: (2)略 4. sinB 【答案】02 absinC;②6. (2)①△ADC的面积为50N3(平方海里)：②乙船航行的速度为20V3海里时. 【分析】(1)由材料的推导过程，轮换三个顶点的字母直接补全①：把等式 S。ABC= besin12 acsinBabsinc的两边同时除以)abc补全② 2先求4D=302x0-105,又DC-10N5且∠ADC=6得。4DC为等边三角形，用材料结论求 60 其面积：再由方位角求出∠BAC=45o、∠ABC=60,在。ABC中用正弦定理求BC,除以航行时间3小时 得乙船速度. 【详解1（山解：①洞啡（轮换顶点人BC),可行mC.妆①处填snC, 1 sinA sinB sinC sinB 2将等式，besinA-acsinB=absinC的两边同时除以)abc,箱 2 2 a b ，故②处填b (2解：甲船行驶20分钟的路程D=30、2×20-=10反（海里）， 60 ,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，且此时两船相距10W2海里，即DC=10W2海里， ∴.∠ADC=60°，AD=DC=10N2, :△ADC是等边三角形， .AC=AD=10N2海里，∠DAC=60° ①S-)4D-DC-sinADC=x10n2x102x=505(平方海里). 2 0 ②：AD沿正北方向，∠DAC=60°，“射线AC的方向是北偏西60°： ,射线AB的方向是南偏西75°，∴.∠BAD=180°-75°=105°， 14/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAC=∠BAD-∠DAC=105°-60°=45°； :由A处看B为南偏西75°，得B处看A为北偏东75°，又乙船沿北偏东15°方向航行， .∠ABC=75°-15°=60° ∴.∠ACB=180°-45°-60°=75° BC AC 由学习笔记的结论（各边和它所对角的正弦的比值相等），得sin∠BAC sinLABC, BC=AC·sin∠BAC 10W2x 220W3 sin∠ABC 3 (海里). 2 乙船航行20分钟即3小时， :乙航行的速度为205+兮205（海里时）， ◆题型4坡度坡比 1. 【答案】B 【分析】先由坡度求出水平边BC的长度，再在Rt△ABC中用勾股定理求斜边长。 【详解】解：由题意得∠C=90°，AC=200米， 览度方 2001 BC3 解得BC=200V3米. 在Rt△ABC中， AB=√AC2+BC2=√2002+(200W3)2=√40000+120000=400米. 2. 【答案】 13 【分析】过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G,过点E作EH⊥AB于点H,构造矩形AHEG和直角 三角形，利用坡度求出EG和CG的长，设AB=x,利用∠BCA=45°表示出AC,进而表示出HE和BH, 最后在RIABHE中利用tan37°建立方程求解， 15/31 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 【详解】解：过点E作EG L AC交AC的延长线于点G,过点E作EH⊥ B 建 H 物 A C G D ~斜坡CF的坡度i=l:3, EG 1 :在RtACEG中，CG3 设EG=k,则CG=3k CE=10 k2+(3k)2=(10)2, 解得k=1(负值舍去)， .EG=1,CG=3 :AB⊥AC,EG⊥AC,EH⊥AB .四边形AHEG是矩形， .AH=EG=1,HE=AG=AC+CG 设AB=x, 在R1aABC中，∠BCA=45°」 .AC=AB=x, .HE=x+3, BH AB-AH, .BH=x-1, 在RtABHE中，∠BEH=37°， .∴tan∠BEH= BH HE x-13 x+341 解得x=13, .建筑物AB的高度约是13米. 3. 16/31 上好每一堂课 AB于点H, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 【答案】（四45°3 (2)10-5V2 【分析】(1)根据勾股定理结合已知条件得出AC=BC,AC2+AC2=AB2,进一步得出AC=5m, CD=V3AC=5V3m;利用等边对等角以及三角形的内角和定理得出，∠ABC=∠BAC=45°，根据正切的 定义得出tanD=4C=V5 CD 3 (2)由(1)可知，CD=5√3m,AC=BC=5m,再利用勾股定理得出AD的长度，即可解答. 【详解】(1)解：由题意可知，∠C=90° 在Rt△ACB中，AC:BC=1:L,AC2+BC2=AB2, ...AC=BC,AC2+AC2=AB2, .2AC2=(5V2)2=50, 解得AC=5m(负值舍去)， ∴.AC=BC=5m, ∠ABC=∠BAC-180°，90°=450 2 在RtaACD中，AC:CD=l:V3, CD-4C=5/5m tanD=4C= CD5=3· (2)解：由(1)可知，CD=53m,4C=BC=5m, :.在RtaACD中，AD=VAC2+CD2=V5+(5V3=10(m), .AD-AB=(10-5v2)m 答：改善后的滑梯会加长(10-5V2)米. 4. 【答案】(1)AC=12m (2(43-5)m 【分析】(1)利用坡比概念可设BC=m,则AC=2.4m,利用勾股定理列方程求得x值即可解答： (2)利用正切定义和特殊角的三角函数值求得CD=4V3m即可解答. 【详解】(1)解：~BC⊥AC 17/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠C=90°，则△ABC是直角三角形， 斜坡AB的坡比i=1:2.4,AB=13m, .设BC=m,则AC=2.4xm, BC2+AC2=AB2,即x2+(2.4x2=132 x=5 .AC=2.4×5=12(m); (2)解：BD⊥AC,∠CAD=30°， an∠CAD=CD AC' ian30°=-CD-V5 3 :.CD=4v3(m) :.BD=CD-BC=(43-5)m, 护栏BD的高度(4V3-S)m 5. 【答案】塔高AB约为19米 【分析】过点E作EF⊥BD,垂足为F,过点E作EG⊥AB,垂足为G,则四边形BGEF是矩形，根据 山坡DE的坡度为5：12，设EF=5x,则DF=12x,利用勾股定理求得DE,结合已知求得EF的长，设 BC=a,解RtABC,RtAAGE,根据AB-AG=BG建立方程，解方程，即可求解. 【详解】解：过点E作EF⊥BD,垂足为F,过点E作EG⊥AB,垂足为G, E✉45 60° D B 由题意得∠ABC=90°， :四边形BGEF是矩形， ..EF=BG,EG=BF, 山坡DE的坡度为512， 18/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com EF 5 DF-12' 设EF=5x,则DF=12x, DE=EF2+DF2 =13x, :DE=13, .13x=13, 解得x=1, ∴EF=BG=5,DF=12, CD=15 ∴.CF=CD-DF=15-12=3, 设BC=a,则EG=BF=CF+BC=3+a, 在Rt△ABC中，∠ACB=60°， ∴.AB=CB.tan60°=V3a, 在Rt△AGE中，∠AEG=45°， .AG=EG-tan45°=3+a, .AB-AG=BG. .V3a-(3+a=5. 8 .∴.a= 5-1 AB=V5a=8x1:73≈19. 0.73 ∴塔高AB约为19米」 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1. 【答案】A 【分析】过点C作AB的垂线交AB于D,CD是直角三角形ACD和直角 19/31 上好每一堂课 三角形CBD的公共直角边，先求 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 出CD,再求AD、BD,进而得出AB的长. 【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于D, 0 359 北 点在点的正东方向， ,东：B A .∠ACD=45°.∠DCB=35°」 在RIABCD中，BC=IO0米， .DB=BCsin35°=100·sin35°（米），CD=BCcos35°=100cos35°（米）， 在RtAACD中，AD=CD, .AB=AD+DB=100(cos35+sin35）米. 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直 角三角形中是解题的关键， 2. 【答案】C 【分析】根据已知条件以及三角形外角的性质可得∠EDF=∠F,再利用等角对等边可得EF=ED=40米。 最后在Rt△CDE中解直角三角形即可 【详解】解：由题意得：∠F=28,∠DEC=56°， ∠DEC=∠F+∠EDF, ∴.∠EDF=∠DEC-∠F=56°-28°=28°=∠F, ..EF =ED=40(m) 在Ri△CDE中，sin∠DEC=sin56°-CD 40 .'CD=40sin56m 3. 【答案】A 【详解】解：根据题意，在RtAABC中，∠B=90°，∠C=18°，AC=500米， sinC=AB AC' AB=AC.sinC=500sinl8°（米） 4. 20131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【详解】解：在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=23°， .CD=AC·sin∠CAD=asin23°米 二、解答题 5. 【答案】(1)2√6： (②)证明：过点C作CD⊥AB于D,过点B作BE⊥AC于E, B D Eb 图2 在RIACD中，cosA= AC,sin A=CD AC ..AD=bcosA,CD=bsin A; 在RI△BCD中，BD=AB-AD=C-bcosA,BC2=CD2+BD2, ..a2=(bsin A)+(c-bcos A)' =b2.sin2A+c2-2bc.cos A+b2.cos2A =b2 (sin2 A+cos2)+c2-2bc.cos4. HB,si咖A= 在RaBE中，csA=4E. AB’AB2=BE2+AE2 '.sin'A+cos=BEBE+ AB2+ AB2 AB2 =1, ∴a2=b2+c2-2 be.cosA: (3)V2+V11 【分析】(1)直接代入材料中的正弦定理解答即可： (2)过点C作CD⊥AB于D,过点B作BE⊥AC于E,根据正弦和余弦的定义得到AD=bcosA, CD=bsinA,BD=c-bcosA,然后在Rt△ABE中表示出∠A的正弦和余弦，结合勾股定理可求得 sin2A+cos2A=l,最后在RIABCD中利用勾股定理即可证得结论： (3)先在△ABC中，运用正弦定理求得bC=3;然后延长AM到点F,使得MF=AM,过点F作 FH⊥AC交AC的延长线于点H,易证△MMB≌aFMC(SMS),推导出CF=AB=c,∠HCF=60°：接着 21/31 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△AHF中，运用勾股定理得到b2+c2=5,从而可在△ABC中运用余弦定理求得a的值和利用完全平方公 式求得b+C的值，即可求得周长。 6 b 【详解】(1)解：根据正弦定理可得：sin60sin45o, √2 6× :b= 6sin45° sin60° =26 V3 2 (2)略 v5 (3)解：在AMBC中，∠BMC=60,△4BC的面积为 4 3√5 49 .bc=3: 如图，延长AM到点F,使得MF=AM,过点F作FH⊥AC交AC的延长线于点H, 人 图3 :M为BC的中点， .CM=BM, :∠AMB=∠FMC, .△AMB≌aFMC(SAS). ∠F=∠MAB,CF=AB=c, ..AB II CF, .∠HCF=∠BAC=60°， ,∠H=90°， .∠CFH=30°， ..CH=CF= 2 2c, FH-CR-CH_ 2c, 22/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 在直角a4Hr中，AF=2AM=2N2,MH=4C+CH=b+2C r分j,经-可。 b2+c2+bc=8, b2+c2=5, 六在a4BC中，=B+C2-2 becos∠BAC=5-2x3x)=2. ∴a=V2(舍去负值)， .(b+c=b2+c2+2bc=5+2×3=11, b+c=1(舍去负值)， ∴.△ABC的周长=a+b+c=√2+√1】 6 【答案】这块土地的面积为2400W3m2 【分析】解法一：延长CA,DB交于点P,先求出∠C=60°，∠PBA=60°，再根据三角函数求出 PD=I50m,PA=90m,最后根据S网边形Ds=S△cP-SAPAR即可求解：解法二：过点A作AE⊥DB,交 DB的延长线于点E,作AF⊥CD于点F,先求出∠ABE=60°，∠ACD=6O°，再根据三角函数求出 AE=45m,BE=15V3m,结合题意可得四边形AEDF为矩形，则FD=AE=45m,进而得到 CF=(50V5-45)m,根据三角函数求出AF=(150-45V3)m,最后根据S边形DB=S边形4e-SAMs即可 求解。 【详解】解：解法一： 如图①，延长CA,DB交于点P, B 图① ∠ABD=120°AB LAC BD⊥CD 23/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com .∠C=360°-∠ABD-∠BAC-∠BDC=60°，∠PBA=180°-∠ABD=60° 在Rt△CDp中，tanC=PD CD' .PD=CD.tanC=50/3x3=150(m) 在Ri△PHB中，tan∠PBA=PA AB' .PA=4B.tan.∠PBA=30W3×V3=90(m) ÷Sem=Sam-5w-×503x150-2×305x90=240N5(m2）, 2 故这块土地的面积为2400W3m2」 解法二： 如图②，过点A作AE⊥DB,交DB的延长线于点E,作AF⊥CD于点F -E B D 图② .∠ABD=120° .∠ABE=180°-∠ABD=60°， :AB=30N3m, 4E=AB-sin∠1BE=30V5×5 =45(m).BE=AB.cOS/ABE=30x ·∠E=∠D=∠AFD=90°， .四边形AEDF为矩形， ∴.FD=AE=45m, .CF CD-FD=(503-45)m :AB⊥AC,BD⊥CD,∠ABD=120° ∴.∠ACD=360°-∠BAC-∠ABD-∠D=60°， AF=CF.tan∠ACD=(505-45)xV3=150-453)m, :Sw=SneE-8m-X45+503)x(50-453)-x15y5x45 故这块土地的面积为2400W3m2」 24131 上好每一堂课 153(m). 24005(m2） 可学科网·上好课 www.zxxk.com 7 【答案】(1)98 (2)0.65m 【分析】(1)根据仰俯角，平角为180°即可求解： (2)过点C作MN∥BF,分别交AB、EF于点M、N,则四边形BDCM、BFI BD=CM=x米，则CW=(2-)米，在Rt△AMC中，由函数的计算tan∠ACM M=CM:an4CM=x:n35o,在R△CEN中，am∠BCN= CN,得到 EN=CW.tan∠ECN=(2-xtan47°，由EF-AB=EW-AM=1,即可求解。 【详解】(1)解：在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为35°和47°， .∠ACE=180°-35°-47°=98°， (2)解：如图，过点C作MN∥BF,分别交AB,EF于点M,N. M B D F:AB⊥BFCD⊥BFEF⊥BF AB∥CD∥EF, ∴四边形BDCM,BFNM,DFNC都是矩形， .BD=CM,MN=BF,DF=CN,BM=NF 设BD=CM=xm,则CN=(2-x)m」 在Ri△AMC中，tan∠ACM=AM CM .AM=CM tan∠ACM=xtan35° 在RtACEN中，tan∠ECN=E CN ∴.EN=CN tan∠ECN=(2-x)tan47 EF-AB=EN-AM=1, ∴.(2-x)tan47°-xtan35°=1 25/31 上好每一堂课 M、DFNC都是矩形，设 AM CM，得到 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2tan47°-1 解得x= tan47°+tan35o ≈0.65(m)」 故桩AB与桩CD的距离BD的长约为0.65m 8. 【答案】(1)BC=V37km (2)3.4km/h 【分析】(1)过点B作BD⊥AC构造直角三角形，由南偏西60°得到∠ABD=30°，利用含30°直角三角形 的性质求出AD,再用勾股定理算出垂线段BD,接着算出CD=AC-AD,最后在Rt△BDC中再次使用勾 股定理求出BC: (2)以基站B为圆心、6km为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：BA全程在范 围内，BC上截取BF=6km,在AC上利用勾股算出交点E到A的距离AE,把三段有效路程相加，再根 据“速度=总路程÷时间”计算速度. 【详解】(I)解：如图，过点B作BD⊥AC,垂足为D, 北 东 ∴.∠ABD=90°-60°=309 24B=2km, ..AD= .BD=AB2-AD2=23km,CD=AC-AD =5km, .BC=BD2+CD2=37km (2)解：如图，设BE=BF=6km, 60 →东 :.DE=√BE2-BD2=26km :.AE=AD+DE=(2+26)km, 26131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 该智能巡检机器人的行驶速度为 B+FB+B42+26+6+4_12+26kmh≈3,4kmh 5 5 9. 【答案】(1)D点到地面的距离为6米 (2)摩天轮的高度MN为95米 【分析】(I)过点D作DE⊥AB于点E,根据坡度的定义可求得∠DCE=30°，即可根据直角三角形中30 度所对直角边等于斜边的一半求解； (2)延长MN交AB于点F,则MF⊥AB,根据俯角的定义和平行线的性质可知∠A=30°， ∠MBC=45,可设MF=BF=x米，则AF=(k+74)米，然后根据amA=M =F,即可求解出x的值，从而 求得MN 【详解】(I)解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, M E C B 斜坡坡度i=1:√3， ∴.tan∠DCE= 1V3 万3 .∠DCE=30°， :在RIADCE中，CD=12米， DE=2CD=2X12=6(米) 1 答：D点到地面的距离为6米。 (2)解：如图，延长MN交AB于点F,则MF⊥AB, M N D E C B A 由题可得：∠A=30°，∠MBC=45°，NF=DE=6米，AB=74米， ∴.MF=BF, 27/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设MF=BF=x米，则AF=AB+BF=(x+74)米， 在RaA中，anA= AF .tan30°=t +74,即 3 x 3x+74 解得x=37+37V3≈37+37×1.73≈101， 即MF=BF=101米， ∴MN=MF-NF=101-6=95(米)， 答：摩天轮的高度MN为95米 10. 【答案】(1)17.3米 (2) 当α=45°时，两只小猫都能晒到太阳.理由如下： 假设没有台阶，当C=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F,与MC的交点为点H, B 入 E CF D:∠BFA=45 AB ∴.tan45°= AF =1 此时的影长AF=AB=17.3米， .CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1米， ∴.CH=CF=0.1米， ∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上， ∴两只小猫都能晒到太阳 【分折】（山在AABE中，由如60=B0 =AE10,，即可求出AB=10-tan60°=17.3米： (2)如图所示，假设没有台阶，当a=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F,与MC的交 点为点H,由∠BFA=45,可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF-AC=0.1米，CH=CF=0.1米，大楼 的影子落在台阶MC这个侧面上，两只小猫都能晒到太阳. 【详解】(1)解：当a=60°时，在R1△ABE中， 281/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :tan60°= ABAB AE10· AB=10-tan60°=10V3≈10×1.73=17.3（米）， 即楼房的高度约为17.3米： (2)略 11. 【答案】(1)125.4cm (2)①BF=DE;②61.7° 【分析】(1)过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G,交DE的延长线于点H,利用含30°角的直角三 角形，即可求解： (2)①由平行四边形的判定与性质，即可判断； ②由勾股定理可求出BD的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出∠I与∠2的度数，从而可求出x的 度数. 【详解】(I)解：如图①，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G,交DE的延长线于点H, G H E 160cm C120cmD∠C=∠D=90° ∴四边形GCDH为矩形， .GH=CD=120cm,DH=CG,∠H=90°， 在RtAABG中，∠ABG=a=30°，AB=30cm, ∴.AG=15cm,∠BAG=90°-∠ABG=60°， .BG-ABcos3030x-15/5(cm). .4AH=120-15=105(cm), AE⊥AB, ∴.∠BAE=90°、 .∴∠EAH=90°-∠BAG=30° :∠H=90°， 29131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EH=AHan30°=105xV5 =35V3(cm). :DE=DH-HE=CG-HE=BC+BG-HE=160+153-353125.4(cm). (2)解：①如图，由平移的性质可知，AB=F,AB∥AF, A B E 160cm 四边形 为平行四边形， A F C 120cm D.. ABFA∥ :.BF AA', 同理可得，四边形AEDA'为平行四边形， ∴DE=AA', .BF=DE. ②如图，连接BD.在RtABCD中，BD=VBC2+CD=200Cm, aA B 160cm 120cmDE)sin∠1 120-0.6 C 200 ∠1≈36.9°， 在RtABAD中，AB=30cm, .sin∠2= AB 30 BD-200 =0.15 ∠2≈8.6° ∠3≈90°-8.6°=81.4°， a=180°-∠1-∠3≈180°-36.9°-81.4°=61.7°. 12. 【答案】河宽AB为32.6米 【分析】由锐角的正切定义求出AC和BC的长，即可得到AB的长. 30131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，DC⊥AC, .∠ACD=90°， :tan∠ADC= AC CD' .AC=CD.tan∠ADC=CD.tan70°≈15×2.75=41.25（米）. ,tan∠BDC= BC CD' :C=CD-tam∠BDC=CD-tm30°=15x5=5V5≈865（米）. AB=AC-BC=41.25-8.65=32.6(米). 答：河宽AB为32.6米. 31/31的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02解三角形 内容概览 目常考题型·精准突破 考点一解三角形 题型1解非直角三角形 题型2仰角俯角 题型3方位角 题型4坡度坡比 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一解三角形● ◆题型1解非直角三角形 1.一题多解法如下图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=6,BC=2W19.求AB的长. B 题多解法如图②，过点B作BE⊥AC,交CA的延长线于点E, E 、A 图② :∠BAC=120° ∴.∠BAE=180°-120°=60°，.∠ABE=30°」 设AB=2x,则AE=ABsin∠ABE=2xsin30°=x, BE=ABcos∠ABE=2xcOs30°=V3x, ..CE=AC+AE=6+x, 在RtABCE中，根据勾股定理，得 1/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC2 BE2+CE2, 即(219)2=(W3x2+(6+x)2, 解得x=2 (负值已舍去)，AB-2x=4 4 2.如图，在AABC中，∠A=30°，cosB=5,AC=18求BC的长. C B 3在aM6c中，∠A=30,amB号 =3,BC=V10 C A B (I)求边AB的长： (2)求sin(180°-∠C)的值. 4.在△ABC中，∠A=75°，∠C=45° (①D求作射线BM,交AC边于点M,使sin∠MBC= ,(要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹) (②)在(1)的条件下，若线段BM长为2V6,求BC边长. 5.(1)已知在△ABC内，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,求证：c2=a+b2-2 abcosC (2)已知在锐角△ABC、△ADC中，记AB=a,AC=b,AD=c,BC=d,CD=e有a=5,c=3, 48-6m片-答 2/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (i)求证：b=5: (i)若点A到BC的距离是方程x2+2x-15=0的解，求四边形ABCD的面积. ◆题型2仰角俯角 1.2026年8月25日11时21分，“八一04星哈尔滨号”卫星搭载长征六号丙遥一运载火箭成功发射.当 火箭上升到A处时，位于地平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为8，则火箭距地平面 的高度AL为()千米 R a a A.asin B.sin C.acos0 D. cos0 2.如图，小明在汽车上A处看见前面山上有个气象站，仰角为l5°，当汽车又笔直地向山的方向行驶6m 后到达点D,小明看气象站的仰角为30°，你能算出这个气象站离地面的高度吗？ 气象站C 30° B 小明 3.零陵古城是湖南第五届旅发大会核心展示地之一，大西门历史文化街区是零陵古城重要板块，保留清 代“两纵七横十八巷”古街巷格局，有两千多年建城史.为迎接湖南省第五届旅游发展大会，永州零陵古 城对大西门历史街区的青石台阶步道进行保护性修缮.如图，步道斜坡AB的坡比i=1:2.4,斜坡AB的坡 面长度AB=13m,BC⊥AC, 3/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求这段斜坡的水平宽度AC; (②)景区计划在斜坡顶端B处修建观景护栏BD,BD⊥AC,在坡底A点观测护栏顶端D的仰角为30°，求 护栏BD的高度， 4.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合 与实践”活动小组的同学要测量AB，,CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人 机在AB,CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为80m,此时观测到楼AB底部点A处的俯 角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点0飞行26m到达点F,测得点E处俯角为60°， 其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求： ..M 709 30° 609 A C (1)EF的距离： (2)楼AB与CD之间的距离AC的长.（结果精确到1m.参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， tan70°≈2.75,3≈1.73) 5.某数学兴趣小组借助无人机测量某段河道的宽度，如图，在河岸边的点C处，兴趣小组控制一架无人 机沿倾斜角60°的方向飞行200m到达点A处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行30m至点B处， 此时测得河对岸D处的倾斜角为24°，图中点A,B,D,C在同一平面内.（参考数据） 计算器按键顺序 结果 sin 2 4 0.4 cos 24 0.9 tan 2 4 0.4 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.7 243 A D C (I)求无人机从点C飞到点A时垂直上升的距离（结果保留根号）： (2)求该段河道的宽度CD(结果保留整数)， ◆题型3方位角 1.一段东西方向的海岸线MN上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西15°方向，向东走300米到达点B处， 测得灯塔C位于北偏西60°方向，点A到灯塔C的距离AC为() 北 东 60° M B N A.100W3米 B.100W6米 C.150W2米 D.200米 2.某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路.若甲勘测员在A处测 得点0位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点0位于南偏西73.7°，测得AC=840m,BC=500m,则点 O到BC的距离约为. nC据，sin73.7°≈25，cos73.725,如3.7°心24 7). 北 →东 73.7° C 3.如图，甲、乙两辆货车要从A市运输货物到B市.经查询，道路AB因塌方不能通行，现有两条路线可 供选择：①A→C→B；②A→D→B,己知B市位于A市南偏西15°方向，C市位于A市的正西方向， 同时位于B市的西北方向，B、C两市之间的距离为(200+200W⑤)km,D市位于4市的南偏东15°方向， 且恰好与B市、C市在同一直线上， 5/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 水 B磷 D (1)求A、C两市之间的距离（结果保留根号）； (2)甲货车选择路线①，平均速度为70km/h,乙货车选择路线②，平均速度为80km/h.请通过计算说明 哪辆货车先到达B市？（参考数据：V3≈1.73，V6≈2.45） 4.通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面 积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记.请仔细阅读下列材料并完成相应的任务. 在△ABC(图1)中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a、b、C,△ABC的面积为 SABC 过点A作AD⊥BC,垂足为D,则在Rt△ABD中， sin B=AD AB .AD=AB·sinB」 Smc=BC.AD=BC.AB-sin B=acsin B 同理可得，S.c=2 esin A,Sac=①. besin A-acsin B=basinC 1 1 2 2 2 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半。 又：abc≠0. 1 1 将等式2 in A=-acsin B=basin C两边同除以)abc,箱 2 n4-②-血C a a b sin A sin B sin C 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等， (1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记： 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)请使用学习笔记的结论解答以下问题： 如图2，甲船以30W2海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方 向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲 船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距10√2海里. 北 D 60 B 75 D 图1 图2 ①求：△ADC的面积. ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）. ◆题型4坡度坡比 1.如图，小华沿着坡度为i=1:V3的斜坡AB练习滑雪，若小华从A滑到B,竖直下降的高度AC为200米， 则斜坡AB的长为() A. 200√5米 B.400米 C.400√5米 D.(200+200W5)米 2.为了测建筑物高度AB的长，某同学在点C处测得建筑物顶部B的仰角为45°，再从点C出发沿斜坡 C℉走V10米到达斜坡上E点，在点E处测得建筑物顶部B的仰角为37°，若点A,C,D在同一水平线上， 斜坡C℉的坡度为=1：3（仰角指水平线上方的视线与水平线的夹角，坡度指斜坡上升的垂直距离与水平 3 距离之比)，则建筑物AB的高度约是 米.（参考数据tan37°≈4） 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 筑 F 物 E A C D 3.如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯AB改建为AD,其坡度由1：1改为1：V3,己知原 滑梯AB的长为5V2m,点D、B、C在同一水平面上. D B (I)∠ABC= o,tanD= (2)改善后的滑梯会加长多少米？（结果保留根号） 4.零陵古城是湖南第五届旅发大会核心展示地之一，大西门历史文化街区是零陵古城重要板块，保留清 代“两纵七横十八巷”古街巷格局，有两千多年建城史.为迎接湖南省第五届旅游发展大会，永州零陵古 城对大西门历史街区的青石台阶步道进行保护性修缮.如图，步道斜坡AB的坡比i=1:2.4,斜坡AB的坡 面长度AB=13m,BC⊥AC. (1)求这段斜坡的水平宽度AC； (2)景区计划在斜坡顶端B处修建观景护栏BD,BD⊥AC,在坡底A点观测护栏顶端D的仰角为30°，求 护栏BD的高度. 5.实践小组测量塔AB的高度，在塔的正西方向选择点C,在C处测得A的仰角为60°，从C处沿BC方 向前进15米到达D处(B,C,D三点在同一条直线上).再从D点出发，沿坡度为512的山坡走了13 米到达坡顶E的观测站，在E处测得A的仰角为5°，求塔AB的高度（结果精确到1m,参考数据： √3≈1.73). 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E45 X60° 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A,北偏东35的方向上有一棵大树B,已知凉亭A在大树 B的正西方向，若BC=100米，则A、B两点相距()米 45o35g A.100(cos35+sin35） B.100(cos35°-sin35） 7100 100 100 100 c 十 （sin35 c0s35 D sin35°cos35 2.如图，有一信号塔CD,小红站在点F处，测得信号塔顶D的仰角为28°，小红向前走了40m,到达点 E处，测得信号塔顶D的仰角为56°，则信号塔CD的高度为(). D 号塔 56 28 E A. 40sin28°m B.40tan28°m C.40sin56°m D.40tan56°m 3.2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱.如图，是一条坡角为18°的滑雪道， 滑雪道AC长为500米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为() 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 500 A. 500sin18o米 B sin18o米 500 C. 500cos18米 D.cos18米 4.如图①，天窗打开后，天窗边缘AC与窗框AB夹角为23°，它的示意图如图②所示.若AC长为a米， 则窗角C到窗框AB的距离CD的长度为() C A123° D B 图① 图② a A.tan23o米 B.sin23o米 、Q C.c0s230米 D.asin23o米 二、解答题 5.【材料阅读】如图1，在△ABC中，设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,过点A作AD⊥BC, 垂足为n:会有smC=伦.则sum=BCxADCx4CnC-hsmC,即sx}0 ab.sinC 2 a b 同理SAABC= be.sin A,Sa=,ac:sinB,由以上三式可得：正弦定理：sin A sin B sin 图1 图2 图3 用以上的公式和定理解决问题： (1)【简单应用】在锐角△ABC中，设∠A,∠B的对边分别为a,b,已知∠A=60°，a=6,∠B=45°， 求b的长： (2)【探究证明】如图2，在锐角△ABC中，设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,C,请仿照材料中“作 高”的方法，证明余弦定理a=b2+c2-2 bc.cosA; (3)【灵活应用】如图3，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知∠BAC=60°， 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3V3 AMBC的面积为4，设M为BC的中点，且AM=V2,求。ABC的周长. 6.一题多解法如图，一块四边形土地ACDB,其中∠ABD=120°，AB L AC,BD⊥CD,AB=30V3m」 CD=50W3m.求这块土地的面积（结果保留根号）， 7.舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典 活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）.在舞狮表演中，梅花桩AB,CD,EF垂直于 地面，且B,D,F在同一直线上（如图②所示）·如果在桩顶C处测得桩项A和桩顶E的仰角分别为 35°和47°，且AB桩与EF桩的高度差为lm,两桩的距离BF为2m. E B D 图① 图② (I)舞狮人从A跳跃至C,随后再跳跃至E,所成的角∠ACE=」 (2)求桩AB与桩CD的距离BD的长（结果精确到0.01m,参考数据：tan35°=0.7002，tan47°≈1.0724）. 8.如图是某景区的平面示意图，景点C位于景点A的正南方向7km处，景点B位于景点A的南偏西60°方 向，且与景点A的距离AB=4km 60 东 (1)求BC的长度（结果保留根号）： (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效 通信半径是6km.智能巡检机器人从景点A出发，沿道路A→C→B→A的方向匀速行驶一周进行巡检， 巡检过程中能与设置在景点B的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度，（结 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 果保留小数点后一位，参考数据：√2≈1.41，V3≈1.73，√5≈2.24，√6≈2.45) 9.如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱8个，一次最多可承载 288人，是川南最大的摩天轮.图②是它的平面示意图，MW是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度 i=1:V3的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D,登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的 俯角为30°，测得地面上点B的俯角为45°，已知A、B两点的距离为74米，DNI‖AC,MW1DN( A,B,C在同一条直线上)·（参考数据：V2≈1.41，V3≈1.73） M C B 图① 图② (I)求D点到地面的距离： (②)求摩天轮的高度MN(结果保留整数). 10.如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD,台阶每层高0.2米，宽0.6米，且AC=17.2米.设太阳光 线与地面的夹角为Q,当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米.现有两只小猫分别睡在台阶的 第一层和第二层上晒太阳.（√3取1.73） C0入 E C D (1)求楼房的高度约为多少米？ (2)当α=45°时，问两只小猫是否都能晒到太阳？请说明理由. 11.图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点B(可以上下调整高度)离地面CD的初始距离 BC=l60cm.设花洒臂与墙面的夹角为a,可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB=30cm.假设水柱 AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面l20cm处淋浴. 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A iaA 160cm 160cm C 120cm D C 120cm D(E) 图① 图② (1)当α=30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE. (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱AE,使点E与点D重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，把活动调节点B向下移动.移动的距离BF与小华的身高DE之间有什么数量关系？请直 接写出你的结论： ②活动调节点B不动，只要调整“的大小，如图②.试求α的度数.（结果保留一位小数，参考数据： V3≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75) 12.某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测.如图， 在河岸两边分别标记A,B两点，使得AB与河岸垂直，且点A,B与台底C在同一条直线上，己知台高 CD=15米，∠ADC=70°，∠BDC=30°，求河宽AB(结果保留小数点后一位)· (参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，V3≈1.73) B 777777 13/13 专题02 解三角形 常考题型·精准突破 考点一 解三角形 题型1 解非直角三角形 题型2 仰角俯角 题型3 方位角 题型4 坡度坡比 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解三角形 ◆题型1解非直角三角形 1．一题多解法  如下图，在中，，，．求的长． 【答案】4 【分析】过点作，交的延长线于点．再根据勾股定理，三角函数给出相应的解答即可． 【详解】解：如图①，过点作，交的延长线于点． ， ， ， ，． 在中，根据勾股定理，得 ， ． 一题多解法如图②，过点作，交的延长线于点． ， ，． 设，则， ， ． 在中，根据勾股定理，得 ， 即， 解得 （负值已舍去），． 2．如图，在中，，，，求BC的长． 【答案】 【分析】过 作 于 ，构造两个直角三角形：在 Rt 中用 角性质求出 ；在 Rt 中由 设 、，用勾股定理建立 求解． 【详解】解：过 作 于 ． 在 中，， ∴ （直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半）， 在 中，， ∴ 设 ，（）， 由勾股定理，， ∴ ，， ∴ ． 3．在中，，，． (1)求边的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，由，设，，利用勾股定理求出，，由，求出，最后由即可求出的长； （2）过点作，垂足为，由，求出，再由即可求出结果． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为， ，， 设，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴，， ， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点作，垂足为， ， ∴， ， ∴． 4．在中，，． (1)求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 【答案】(1) 射线为所求． (2) 【分析】（1）根据可得，结合三角形内角和可得平分，故作的角平分线交边于点M，即可解题； （2）过点M作，垂足为H，根据解三角形很容易求出，，进而求出边长． 本题主要考查了解三角形，利用又，得是解题关键． 【详解】（1）解：∵在中，，． ∴， 又∵， ∴， ∴平分， 如图，作的角平分线交边于点M； （2）过点M作，垂足为H， ∵，， ∴， ， ∴， ∴ 5．（1）已知在内，、、所对的边分别为a、b、c，求证： （2）已知在锐角、中，记，，，，有，，，且满足． （i）求证：； （ii）若点A到的距离是方程的解，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii） 【分析】（1）过点A作于点D，从而在中，，，进而，因此在中，根据勾股定理即可证明； （2）（i）由（1）得到在中，，在中，，因此，结合得到，从而，再由即可证得，根据相似三角形的对应边成比例即可求解； （ii）解方程得，．过点A作于点E，则，根据勾股定理求出，，得到，从而求得，根据得到，从而求得，进而根据即可解答． 【详解】解：（1）如图，过点A作于点D， 则， ∴在中，， ， ∴， ∴在中，， 即． （2）（i）在中，， 即， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或（不合题意，舍去）． （ii）解方程得，． 过点A作于点E， ∵点A到的距离是方程的解， ∴， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，利用锐角三角函数解三角形，相似三角形的判定及性质，解一元二次方程，掌握勾股定理与相似三角形的判定及性质是解题的关键． ◆题型2 仰角俯角 1．2026年8月25日11时21分，“八一04星哈尔滨号”卫星搭载长征六号丙遥一运载火箭成功发射．当火箭上升到处时，位于地平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则火箭距地平面的高度为（     ）千米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在直角三角形中，利用正弦函数的定义表示出对边即可． 【详解】解：在中，，，， ， ． 2．如图，小明在汽车上A处看见前面山上有个气象站，仰角为，当汽车又笔直地向山的方向行驶后到达点D，小明看气象站的仰角为，你能算出这个气象站离地面的高度吗？ 【答案】气象站离地面3千米 【详解】解：由题意和图可知，， ∵是的外角，， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 答：气象站离地面3千米． 3．零陵古城是湖南第五届旅发大会核心展示地之一，大西门历史文化街区是零陵古城重要板块，保留清代“两纵七横十八巷”古街巷格局，有两千多年建城史．为迎接湖南省第五届旅游发展大会，永州零陵古城对大西门历史街区的青石台阶步道进行保护性修缮．如图，步道斜坡的坡比，斜坡的坡面长度，． (1)求这段斜坡的水平宽度； (2)景区计划在斜坡顶端处修建观景护栏，，在坡底点观测护栏顶端的仰角为，求护栏的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用坡比概念可设，则，利用勾股定理列方程求得x值即可解答； （2）利用正切定义和特殊角的三角函数值求得即可解答． 【详解】（1）解： ，则是直角三角形， 斜坡的坡比，， 设，则， ，即， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 护栏的高度． 4．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求： (1)的距离； (2)楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)楼与之间的距离的长约为 【分析】（1）由三角形外角的性质求出，然后利用等角对等边得到； （2）延长和分别与直线交于点和点，证明四边形是矩形，得到，然后解直角三角形求出，，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， ， ， ； （2）解：延长和分别与直线交于点和点，如图， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ， 由题意得：，，，， ∵， ， ∵， ∴， ， ． 答：楼与之间的距离的长约为． 5．某数学兴趣小组借助无人机测量某段河道的宽度，如图，在河岸边的点处，兴趣小组控制一架无人机沿倾斜角的方向飞行到达点处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行至点处，此时测得河对岸处的倾斜角为，图中点，，，在同一平面内．（参考数据） 计算器按键顺序 结果 (1)求无人机从点飞到点时垂直上升的距离（结果保留根号）； (2)求该段河道的宽度（结果保留整数）． 【答案】(1)米 (2)河道的宽度约为米 【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用矩形转移等高线段，再结合三角函数求边长，最后用线段的等量关系列等式求河宽．关键易错点是无人机从到是朝的方向（向左）水平飞行，因此线段关系为． 【详解】（1）解：如图所示：过点作于． 在中，，， 答：无人机从飞到时垂直上升的距离为米． （2）解：如图所示：过点作，交的延长线于，则四边形为矩形， 在中： 在中，，： ，而，， ∴ ∴ ， 答：该段河道的宽度约为米． ◆题型3 方位角 1．一段东西方向的海岸线上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西方向，向东走300米到达点B处，测得灯塔C位于北偏西方向，点A到灯塔C的距离AC为（     ） A．米 B．米 C．米 D．200米 【答案】C 【分析】过点A作于D，根据题意可求出，，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 由题意得，，，米， ∴， 在中，（米）， 在中，（米）． 2．某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．若甲勘测员在处测得点位于北偏东45°，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，则点到的距离约为________m（参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，构造矩形，设， 根据矩形性质得，则，在中，根据得到，在中，根据锐角三角函数得到，利用线段和差关系列方程，求出点到的距离． 【详解】解：如图，过点作于点，于点． ，，， ∴， 四边形为矩形， ，． 设，则，． 在中，， ， ． 在中，， ∴． ， ， 解得， 即点到的距离约为． 3．如图，甲、乙两辆货车要从市运输货物到市．经查询，道路因塌方不能通行，现有两条路线可供选择：①；②．已知市位于市南偏西方向，市位于市的正西方向，同时位于市的西北方向，、两市之间的距离为，市位于市的南偏东方向，且恰好与市、市在同一直线上． (1)求、两市之间的距离（结果保留根号）； (2)甲货车选择路线①，平均速度为；乙货车选择路线②，平均速度为．请通过计算说明哪辆货车先到达市？（参考数据：，） 【答案】(1) (2)，，  ， ， ， 由（）知：，， ， ∵在中，， ， ， ∴甲货车选择路线①，所需时间为， 乙货车选择路线②，所需时间为， ， ∴乙货车先到达市． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，，即得，进而得到，，又由得，，得到，即得到，再根据方程求出即可求解； （2）求出，再分别求出两条路线所需时间，比较即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 由题意得，，，， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， 、两市之间的距离为， ， ， ， 答：、两市之间的距离为； （2）略 4．通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 在（图1）中，，，的对边分别为、、，的面积为， 过点作，垂足为，则在中， ， ． ． 同理可得，， ① ． 即 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又， 将等式两边同除以，得，② ． ∴ 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． (1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记； (2)请使用学习笔记的结论解答以下问题： 如图2，甲船以海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． ①求：的面积． ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）． 【答案】(1)①；②． (2)①的面积为（平方海里）；②乙船航行的速度为海里/时． 【分析】（1）由材料的推导过程，轮换三个顶点的字母直接补全①；把等式的两边同时除以补全②； （2）先求，又且，得为等边三角形，用材料结论求其面积；再由方位角求出、，在中用正弦定理求，除以航行时间小时得乙船速度． 【详解】（1）解：①同理（轮换顶点、、），可得，故①处填； ②将等式的两边同时除以，得，故②处填． （2）解：甲船行驶分钟的路程（海里）， ∵乙船航行到甲船的南偏西方向的处，且此时两船相距海里，即海里， ∴，， ∴是等边三角形， ∴海里，． ①（平方海里）． ②∵沿正北方向，，∴射线的方向是北偏西； ∵射线的方向是南偏西，∴， ∴； ∵由处看为南偏西，得处看为北偏东，又乙船沿北偏东方向航行， ∴， ∴． 由学习笔记的结论（各边和它所对角的正弦的比值相等），得， ∴（海里）． 乙船航行分钟即小时， ∴乙船航行的速度为（海里/时）． ◆题型4坡度坡比 1．如图，小华沿着坡度为的斜坡练习滑雪，若小华从A滑到B，竖直下降的高度为200米，则斜坡的长为（     ） A．米 B．400米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】先由坡度求出水平边的长度，再在中用勾股定理求斜边长． 【详解】解：由题意得，米， 坡度， ， 解得米． 在中， 米． 2．为了测建筑物高度的长，某同学在点处测得建筑物顶部的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得建筑物顶部的仰角为，若点，，在同一水平线上，斜坡的坡度为（仰角指水平线上方的视线与水平线的夹角，坡度指斜坡上升的垂直距离与水平距离之比），则建筑物的高度约是____________米．（参考数据） 【答案】 13 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，构造矩形和直角三角形，利用坡度求出和的长，设，利用 表示出，进而表示出和，最后在中利用建立方程求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作于点， 斜坡的坡度， 在 中，， 设，则， ， ， 解得（负值舍去）， ， ， 四边形是矩形， ， 设 ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， 建筑物的高度约是米． 3．如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上． (1)________，_________． (2)改善后的滑梯会加长多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理结合已知条件得出，，进一步得出，；利用等边对等角以及三角形的内角和定理得出，，根据正切的定义得出； （2）由（1）可知，，，再利用勾股定理得出的长度，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在中，，， ，， ， 解得（负值舍去）， ， ． 在中，， ，． （2）解：由（1）可知，，， 在中，， ． 答：改善后的滑梯会加长米． 4．零陵古城是湖南第五届旅发大会核心展示地之一，大西门历史文化街区是零陵古城重要板块，保留清代“两纵七横十八巷”古街巷格局，有两千多年建城史．为迎接湖南省第五届旅游发展大会，永州零陵古城对大西门历史街区的青石台阶步道进行保护性修缮．如图，步道斜坡的坡比，斜坡的坡面长度，． (1)求这段斜坡的水平宽度； (2)景区计划在斜坡顶端处修建观景护栏，，在坡底点观测护栏顶端的仰角为，求护栏的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用坡比概念可设，则，利用勾股定理列方程求得x值即可解答； （2）利用正切定义和特殊角的三角函数值求得即可解答． 【详解】（1）解： ，则是直角三角形， 斜坡的坡比，， 设，则， ，即， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 护栏的高度． 5．实践小组测量塔的高度，在塔的正西方向选择点，在处测得的仰角为，从处沿方向前进15米到达处（，，三点在同一条直线上）．再从点出发，沿坡度为的山坡走了13米到达坡顶的观测站，在处测得的仰角为，求塔的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】塔高约为19米 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，根据山坡的坡度为，设，则，利用勾股定理求得，结合已知求得的长，设，解，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得， ∴四边形是矩形， ，， ∵山坡的坡度为， ， 设，则， ， ， ， 解得， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ∴塔高约为米． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和直角三角形的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长． 【详解】解：过点作的垂线交于， 点在点的正东方向， ，， 在中，米， （米），（米）， 在中，， 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键． 2．如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件以及三角形外角的性质可得，再利用等角对等边可得米，最后在中解直角三角形即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴ 在中，， ∴． 3．2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为500米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：根据题意，在中，，，米， ∵， ∴（米）． 4．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：在中，， ∴米． 二、解答题 5．【材料阅读】如图1，在中，设，，的对边分别为，，，过点作，垂足为，会有，则，即，同理，．由以上三式可得：正弦定理：． 用以上的公式和定理解决问题： (1)【简单应用】在锐角中，设，的对边分别为，，已知，，，求的长； (2)【探究证明】如图2，在锐角中，设，，的对边分别为，，，请仿照材料中“作高”的方法，证明余弦定理； (3)【灵活应用】如图3，在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长． 【答案】(1)； (2)证明：过点作于，过点作于， 在中，，， ∴，； 在中，，， ∴ ， 在中，，，， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）直接代入材料中的正弦定理解答即可； （2）过点作于，过点作于，根据正弦和余弦的定义得到，，，然后在中表示出的正弦和余弦，结合勾股定理可求得，最后在中利用勾股定理即可证得结论； （3）先在中，运用正弦定理求得；然后延长到点，使得，过点作交的延长线于点，易证，推导出，；接着在中，运用勾股定理得到，从而可在中运用余弦定理求得a的值和利用完全平方公式求得的值，即可求得周长． 【详解】（1）解：根据正弦定理可得：， ∴； （2）略 （3）解：∵在中，，的面积为， ∴， ∴； 如图，延长到点，使得，过点作交的延长线于点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在直角中，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴（舍去负值）， ∵， ∴（舍去负值）， ∴的周长． 6．一题多解法 如图，一块四边形土地，其中，，，，．求这块土地的面积（结果保留根号）． 【答案】这块土地的面积为 【分析】解法一：延长，交于点，先求出，，再根据三角函数求出，，最后根据即可求解；解法二：过点作，交的延长线于点，作于点，先求出，，再根据三角函数求出，，结合题意可得四边形为矩形，则，进而得到，根据三角函数求出，最后根据即可求解． 【详解】解：解法一： 如图①，延长，交于点， ，，， ，， 在中，， ． 在中，， ， ； 故这块土地的面积为． 解法二： 如图②，过点作，交的延长线于点，作于点， ， ， ， ，． ， 四边形为矩形， ， ． ，，， ， ， 故这块土地的面积为． 7．舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， （2）解：如图，过点作，分别交，于点，． ，，， ， 四边形，，都是矩形， ，，，． 设，则． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 故桩与桩的距离的长约为． 8．如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作构造直角三角形，由南偏西得到，利用含直角三角形的性质求出，再用勾股定理算出垂线段，接着算出，最后在中再次使用勾股定理求出； （2）以基站B为圆心、为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：全程在范围内，上截取，在上利用勾股算出交点E到A的距离，把三段有效路程相加，再根据“速度总路程时间”计算速度． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ， ， ，， ； （2）解：如图，设， ， ， 该智能巡检机器人的行驶速度为． 9．如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【答案】(1)D点到地面的距离为6米 (2)摩天轮的高度为95米 【分析】（1）过点D作于点E，根据坡度的定义可求得，即可根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求解； （2）延长 交于点F，则，根据俯角的定义和平行线的性质可知，，可设米，则米，然后根据，即可求解出x的值，从而求得． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵斜坡坡度， ∴， ∴， ∵在中，米， ∴（米） 答：D点到地面的距离为6米． （2）解：如图，延长 交于点F，则， 由题可得：，，米，米， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴，即， 解得， 即米， ∴（米）， 答： 摩天轮的高度为95米． 10．如图所示，一幢楼房背后有一台阶，台阶每层高米，宽米，且米．设太阳光线与地面的夹角为，当时，测得楼房在地面上的影长米．现有两只小猫分别睡在台阶的第一层和第二层上晒太阳．（取） (1)求楼房的高度约为多少米？ (2)当时，问两只小猫是否都能晒到太阳？请说明理由． 【答案】(1)米 (2) 当时，两只小猫都能晒到太阳．理由如下： 假设没有台阶，当时，从点射下的光线与地面的交点为点，与的交点为点， ， ， 此时的影长米， 米， ∴米， ∴大楼的影子落在台阶这个侧面上， ∴两只小猫都能晒到太阳． 【分析】（1）在中，由，即可求出米； （2）如图所示，假设没有台阶，当时，从点射下的光线与地面的交点为点，与的交点为点，由，可得米，那么米，米，大楼的影子落在台阶这个侧面上，两只小猫都能晒到太阳． 【详解】（1）解：当时，在中， ， （米）， 即楼房的高度约为米； （2）略 11．图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点（可以上下调整高度）离地面的初始距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴． (1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高． (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，把活动调节点向下移动．移动的距离与小华的身高之间有什么数量关系？请直接写出你的结论； ②活动调节点不动，只要调整的大小，如图②．试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点作交的延长线于点，交的延长线于点，利用含角的直角三角形，即可求解； （2）①由平行四边形的判定与性质，即可判断； ②由勾股定理可求出的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的度数，从而可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作交的延长线于点，交的延长线于点， ， 四边形为矩形， ，，， 在中，，， ，， ∴， ， ， ∴， ， ， ， ． （2）解：①如图，由平移的性质可知，，， 四边形为平行四边形， ， 同理可得，四边形为平行四边形， ， ． ②如图，连接．在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 12．某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记，两点，使得与河岸垂直，且点，与台底在同一条直线上，已知台高米，，，求河宽（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 【答案】河宽为32.6米． 【分析】由锐角的正切定义求出和的长，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴（米）． ∵， ∴（米）． ∴（米）． 答：河宽为32.6米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $