1.2 锐角三角函数的计算（分层作业·练题型）数学新教材浙教版九年级下册

分层作业 1.2 锐角三角函数的计算 目 录 A组 巩固过关 题型01 特殊角的三角函数值 题型02特殊角三角函数值的混合运算 题型03 由特殊角三角函数值判断三角形的形状 题型04 同角三角函数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 特殊角的三角函数值题型01 一、单选题 1．的相反数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的相反数为． 2．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 3．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A： ，故A错误； 选项B： ，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D：根据零指数幂运算法则，任何非零数的零次幂等于，，故D正确． 5．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算特殊角的三角函数值得到点的坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征求解，即可得到正确选项. 【详解】解：∵， ∴点的坐标为 ∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数 ∴点关于轴对称的点的坐标为. 6．如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据圆周角定理求出，然后根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】解：如图，连接， ∵，弦， ∴， 由圆周角定理得：， ∴. 7．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图痕迹，可知的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，特殊角的三角函数值． 根据作图得到，即可得到的值． 【详解】解：由题意知，，且根据作图可得平分， ， ． 二、填空题 8．________，________． 【答案】 【分析】直接写出特殊锐角的三角函数值即可． 【详解】解：根据特殊锐角三角函数值，可得，． 9．求值：________． 【答案】 【分析】先代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算减法． 【详解】解：． 10．用特殊角的三角函数填空： ______=______；______=______；1=______；______． 【答案】 【分析】只需熟记，，的三角函数值，对应匹配即可． 【详解】解：根据特殊锐角的三角函数值推导如下： ∵ ，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 11．的值等于__________． 【答案】 【分析】根据计算即可． 【详解】解：原式． 12．计算的值为_________． 【答案】 【分析】先确定特殊角的余弦值，代入后化简计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 13．若，则的值是________． 【答案】 【详解】解： ， ∴． 特殊角的三角函数值的混合运算题型02 一、解答题 1．计算：． 【答案】 【分析】先求出特殊角的三角函数值、绝对值、乘方并化简二次根式，再按运算顺序解答即可． 【详解】解： ． 2．计算： 【答案】 【分析】先计算题目计算式中的 ，，，，，再把它们的结果代入计算式进行加减运算即可得答案. 【详解】解： 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【分析】先通分计算括号内的减法，把除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简分式，再利用特殊角三角函数值算出，最后代入求值． 【详解】解： ； 当时， 原式． 5．计算：． 【答案】 【分析】先分别算出特殊角三角函数、二次根式、绝对值、零次幂、负整数指数幂，再合并化简． 【详解】解：原式 ． 6．计算 【答案】 【详解】解： 7．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 8．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】第（1）题适合直接开平方法，先把平方项单独放在等号一侧； 第（2）题不易因式分解，用公式法求根； 第（3）（4）题先代入特殊角函数值，再按分式与整式运算法则化简，最后分母有理化． 【详解】（1）解： , （2）解：，，． , （3）解：原式 （4）解：原式 9．按要求完成作答： (1)计算：． (2)计算：． (3)设，是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由得，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 此时，，符合题意， ∴常数的值为． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， ， 原式． 11．计算及化简 (1)计算： (2)化简：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先化简零指数幂、平方、三角函数值、二次根式，再运算即可； （2）先将括号内通分，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 12．用适当的方法解下列方程和计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) 【详解】（1）解：， 因式分解得 ， ∴或， 解得，； （2）解： ． 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状题型03 一、单选题 1．在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．根据和的值求出和的度数，再计算的度数，从而判断三角形类型． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：A． 2．在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零，求出和的度数，再计算，从而判断三角形形状，即可作答． 【详解】解：∵，且平方项与绝对值项均非负， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：B． 二、填空题 3．在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 4．在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出与的值，结合锐角条件确定的度数，再通过三角形内角和求出，最终判定为等边三角形。 【详解】解：∵， ∴根据绝对值和平方均非负， ∴，． ∵、为锐角， ∴，，则， ∴为等边三角形． 三、解答题 5．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 同角三角函数题型04 一、单选题 1．在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，利用正弦的定义，设，，则，再根据余弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 设，， 则， ∴， 故选：． 2．若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用互余两角三角函数关系，，结合锐角范围内余弦函数单调递减，由推出，进而求出两角之和． 【详解】解：若，为锐角，则． ， ． 都是锐角，也属于锐角范围，锐角范围内余弦函数一一对应， ， ． 3．在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系：若，那么或．利用互余两角三角函数的关系直接求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 4．设，则用a可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切函数的性质，熟练掌握两个互余角的正切值乘积为1是解题的关键．对于锐角，有，由题意即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 二、填空题 5．计算：__________． 【答案】 【分析】作，其中，，表示出，再结合勾股定理即可作答． 【详解】解：作，其中，， 如图， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 即． 6．已知是锐角，且，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系．利用同角三角函数的基本关系，由设 ，，再根据求出的值，最后计算 【详解】解：依题意，， 则， ∵，且为锐角， ∴设，，其中 ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ， 解得 因此，， ∴， 故答案为：． 7．同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的运算，由的值可得与的比值关系，代入求出，再计算目标表达式． 【详解】解：由，根据，得 代入， 得，即 整理得， 所以 则 因此 故答案为∶． 8．在中，，若，则的值为 ______ ． 【答案】 【分析】运用一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． 9．已知α为锐角，，则____． 【答案】 【分析】根据和已知条件求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵α为锐角， ∴． 10．若，且是锐角，则_____度． 【答案】62 【分析】此题考查了正弦和余弦的互余关系，利用正弦和余弦的互余关系求解． 【详解】解：∵，，且是锐角， ∴． 故答案为：62． 三、解答题 11．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 12．如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ (2)利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 【答案】(1)，，；，，； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及发现规律的能力，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据锐角三角函数的定义，即可得到锐角三角函数的正弦值和余弦值，从而发现规律； （2）根据（1）中的规律，即可求解． 【详解】（1）解：图①中，，，， 图②中，，，， 规律：对于任意锐角有； （2）解：∵为锐角， ∴，， 由，得 解得（负值已经舍去）． 一、单选题 1．在中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值求出、的度数，利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 二、填空题 2．锐角中，若，则_________． 【答案】 【分析】根据绝对值与平方的非负性，结合锐角三角函数的特殊值求出、的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：，，， ，， ，， 是锐角三角形，即，， 在该范围内，满足的角为，满足的角为，即，， 三角形内角和为， ． 三、解答题 3．计算： 【答案】 【分析】先计算题目计算式中的 ，，，，，再把它们的结果代入计算式进行加减运算即可得答案. 【详解】解： 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ． 5．计算或解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，结合负整数指数幂的运算法则计算即可； （2）确定一元二次方程的系数，计算判别式后，用公式法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 7．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 8．按要求完成各题 (1)计算：； (2)先化简，再求值：．其中 【答案】(1) (2)；当时，原式． 【分析】（1）分别算出二次根式，负指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则先化简，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 当时，原式． 9．在锐角中，，求的度数． 【答案】 【详解】解：， ，，即， ，， ． 10．按要求完成下列各题： (1)计算； (2)先化简，再求值：，其中x在，2，0中选一个你认为适当的数代入求值． 【答案】(1) (2)，0 【分析】（1）先运算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先化简分式，再考虑分式有意义的条件，选择合适的值，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 一、单选题 1．如图，在中，，，，与的角平分线分别交于点，，与相交于点，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由平行四边形性质及角平分线定义得出相关角度，进而由等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，确定，再结合含直角三角形性质得出，由等边对等角及外角性质求出，最后根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，，，则，， 平分， ， 在中，，则，， 在中，，则是等边三角形， ，则， 平分， ， 在中，，，则， 在中，，，则， ， ，则， 是的一个外角，且， ， ． 2．如图，已知是的直径，弦、相交于点，若．则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明，得到，再根据直径所对圆周角是得到，利用三角函数求解即可； 【详解】连接， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 3．在中，，若实数，是方程的两根，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形三角函数关系，一元二次方程根与系数的关系求解，先利用直角三角形两锐角互余得到，再结合同角三角函数平方关系，通过根与系数关系建立关于的方程，最后根据三角函数值的正负性筛选符合条件的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在中，， 则，， ∴， 又∵， ∴， ∵，是方程的两根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∵， 将代入得：， 整理得：， 两边同乘（）：， 整理得：， 解得， 即或， ∵，， ∴，得， ∴， 故选：． 二、解答题 4．先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，并化到最简，然后根据特殊角三角函数求出x，y，最后代入求值即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 5．按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）原式分别根据乘方、二次根式的运算法则、绝对值的代数意义、特殊角三角函数值化简各项后，再进行加减计算即可； （2）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 当时，原式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 锐角三角函数的计算 目 录 A组 巩固过关 题型01 特殊角的三角函数值 题型02特殊角三角函数值的混合运算 题型03 由特殊角三角函数值判断三角形的形状 题型04 同角三角函数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 特殊角的三角函数值题型01 一、单选题 1．的相反数为（     ） A． B． C． D． 2．的值等于（     ） A． B． C． D． 3．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的值等于（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图痕迹，可知的值为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 8．________，________． 9．求值：________． 10．用特殊角的三角函数填空： ______=______；______=______；1=______；______． 11．的值等于__________． 12．计算的值为_________． 13．若，则的值是________． 特殊角的三角函数值的混合运算题型02 一、解答题 1．计算：． 2．计算： 3．计算： (1)； (2) 4．先化简，再求代数式的值，其中． 5．计算：． 6．计算 7．计算：． 8．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．按要求完成作答： (1)计算：． (2)计算：． (3)设，是方程的两个根，且，求常数的值． 10．先化简，再求值：，其中． 11．计算及化简 (1)计算： (2)化简：． 12．用适当的方法解下列方程和计算下列各式： (1)； (2)． 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状题型03 一、单选题 1．在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 2．在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题 3．在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 4．在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 三、解答题 5．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 同角三角函数题型04 一、单选题 1．在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 3．在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 4．设，则用a可表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．计算：__________． 6．已知是锐角，且，那么的值为________． 7．同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 8．在中，，若，则的值为 ______ ． 9．已知α为锐角，，则____． 10．若，且是锐角，则_____度． 三、解答题 11．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 12．如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ (2)利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．在中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．锐角中，若，则_________． 三、解答题 3．计算： 4．计算： (1)； (2)． 5．计算或解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 6．计算： (1)； (2)． 7．计算： (1) (2) 8．按要求完成各题 (1)计算：； (2)先化简，再求值：．其中 9．在锐角中，，求的度数． 10．按要求完成下列各题： (1)计算； (2)先化简，再求值：，其中x在，2，0中选一个你认为适当的数代入求值． 一、单选题 1．如图，在中，，，，与的角平分线分别交于点，，与相交于点，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知是的直径，弦、相交于点，若．则 的值为（     ） A． B． C． D． 3．在中，，若实数，是方程的两根，则（   ） A．或 B． C． D．或 二、解答题 4．先化简，再求值，其中，． 5．按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $