专题03 直角三角形的六大几何模型专训专题（6大题型+15道拓展培优题）-2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 直角三角形的六大几何模型专训专题（6大题型+15道拓展培优题） 题型一 背对背型 题型二 拥抱型 题型三 母子型 题型四 直角梯子型 题型五 十字模型 题型六 特殊角组合模型 【经典例题一 背对背型】 1．（26-27九年级上·上海松江·课后作业）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度的长为，，求中柱的高．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出的长，在中，根据三角函数即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 在中，， ， ， 答：中柱的高约为． 2．（26-27九年级上·上海松江·课后作业）如图，在建筑物上，挂着长的宣传条幅．从另一建筑物的顶部处看条幅顶端，仰角为；看条幅底端，俯角为．求两建筑物间的距离．（结果精确到） 【答案】两建筑物间的距离约为 【分析】过点作于点，设，则，，在中，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，则， 设， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴，即 ， 解得． 答：两建筑物间的距离约为． 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可得，从而求出的正切值即求出了的值． 【详解】（1）解：是边上的高， 和是直角三角形， 在中，，， ， ． 又， ； （2）解：在中，为斜边的中点， ， ， ． 4．（26-27九年级上·上海松江·课后作业）如图，是等腰直角三角形，，D为外一点，连接，，过点D作，垂足为H，交于点E．已知． (1)若是等边三角形，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，结合，解答即可． （2）设，则，故，得，代入解答即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ，， ，，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ． （2）解：，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 设，则， 故， 解得， ， ， ． 5．（26-27九年级上·上海松江·课后作业）如图，两座建筑物和的水平距离为，从点A测得点D的俯角，测得点C的俯角．求这两座建筑物的高．（精确到） 【答案】两座建筑物和的高分别约为和． 【分析】过点A作，交的延长线于点E，利用矩形的判定和性质，得到，然后分别解直角三角形求解即可． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点E， 根据题意，得，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，． 答：两座建筑物和的高分别约为和． 【经典例题二 拥抱型】 6．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向前进了到达B处，此时观测气球的仰角为． (1)如果测角仪高度为，那么气球的高度是多少？． (2)如果测得，，，，那么气球的高度是多少？（精确到）（下列数据供参考：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中，利用角的正切值分别表示出和的长，即可得解； （2）将所给数值代入（1）所得式子计算求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 气球的高度是； （2）解：，，，， 则气球的高度是 7．（2026·四川宜宾·一模）周末，王明一家人去僰王山旅游，其中里面的A处的悬棺让他特别感兴趣，他打算用自己所学数学知识计算悬棺的高度，如图所示，滑梯立柱、均垂直于地面，点E在线段上，在C点测得点A的仰角为，点E的俯角也为，测得B、E间距离为10米，立柱高米．求立柱的高（结果保留根号） 【答案】米 【分析】过点C作于H，证明四边形为矩形，得到，，米，然后解直角三角形求出，然后求出，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：过点C作于H， ∵滑梯立柱、均垂直于地面， ∴四边形为矩形， ∴，，米， 由题意得，，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴（米）． 8．（2026·山东威海·模拟预测）如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点从点出发，沿运动，运动速度为，点到点停止，动点从点出发，沿运动，运动速度为，点到点停止，连接，．设的面积为，点的运动时间为． (1)求线段的长及线段与之间的距离； (2)在点运动过程中，求与之间的函数表达式． 【答案】(1)，线段与之间的距离为； (2) 【分析】（1）利用菱形的性质得到，，再利用勾股定理即可求出的长；过点作交于点，利用三角形面积公式，即可求出，再根据菱形的性质可得，进而得到线段与之间的距离； （2）过点作交于点，同理（1）求出，即可得到线段与之间的距离，分点在上，点在上，点运动到点三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线，相交于点，且，， ∴，， ∴， ∴； 过点作交于点， 则， ∴， ∵菱形中，， ∴线段与之间的距离为的长，即线段与之间的距离为； （2）解：∵菱形中，， 由（1）知， ∴， ∴根据题意，得点的运动时间为，点的运动时间为， ∴点运动到点时，点运动到点，此时，不能构成； 过点作交于点， 同理（1）得，， ∵菱形中，， ∴线段与之间的距离为， 当点在上时，即， ∵线段与之间的距离为，即到的距离为， ∴， 根据题意，得， ∴，即； 当点在上时，即，过点作交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 综上，． 9．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，重庆动物园内设置了、、、四个打卡点．已知点是园区入口服务中心，点是熊猫馆，虎山在熊猫馆的北偏西方向，同时在服务中心的北偏东方向．点是大象馆，在虎山的正东方向，且大象馆位于熊猫馆的东北方向，熊猫馆与大象馆相距米．（参考数据：，，） (1)求虎山与大象馆之间的距离．（结果保留整数） (2)甲、乙两名同学从不同打卡点出发游园：甲同学从熊猫馆出发前往入口服务中心，乙同学从虎山出发前往熊猫馆．两人同时出发，甲的步行速度是乙的倍．出发后，当他们相距米时，求此时甲同学距离入口服务中心还有多少米？ 【答案】(1)米 (2)甲同学距离还有米 【分析】（1）作构造直角三角形，根据直角三角形中角对应的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理计算即可． （2）确定甲乙位置，连结，作构造直角三角形，根据直角三角形中角对应的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）如图， 作， 根据题意大象馆位于熊猫馆的东北方向， ∴， ∴在中，，， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 设， ∴， 根据勾股定理， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴（米）． （2）解：如图 根据题意当甲乙之间距离是米时，甲在点，乙在点，， 连结，作， 设乙的路程为即，则甲的路程为，即， 在中，根据题意可知，，， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴， 在中，，，由（1）可知， ∴， 根据勾股定理， ∴， （舍去），（米）， （米）， 答：甲同学距离还有米． 10．（2026·河南平顶山·模拟预测）综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：    位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)最短距离约为海里 (2)渔船不能在浓雾到来前到达码头，理由如下： 如图，过点作于点． 在中，， 由（1）可知海里， ∴（海里）． ∴（海里）． ∵小时分钟，从经过分钟是， ∴渔船不能在之前到达． ∴若不改变航行速度，渔船不能在浓雾到来前到达码头． 【分析】（1）过点作构造直角三角形，先根据航行时长算出长度，设垂线段，利用的正切表示，结合列方程求解，即为渔船到灯塔的最短距离． （2）在中利用求出，算出总路程，结合船速求出行驶总时长，对比到的时间，判断能否抵达码头． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 由题意，得，，， ∴，． ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得． ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为海里． （2）解：略． 【经典例题三 母子型】 11．（25-26九年级上·上海松江·期中）综合与实践活动中，要用测角仪测量牌楼的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点，，依次在同一水平直线上，，，且．在处测得牌楼顶部的仰角为，在处测得牌楼顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算牌楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，． 【答案】 【分析】连接交于点，证明四边形为矩形，结合矩形性质进而证明四边形，为矩形，，进而利用矩形性质与解直角三角形的相关计算推出，，再根据建立方程求出，进而即可求出牌楼的高度． 【详解】解：连接交于点， ，， ，， ， 四边形为矩形， ， ，， ， 四边形，为矩形， ，， ， ， ， ， 即， 解得， ． 12．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 【答案】(1) (2)解：送货员按既定路线进行运送能按时送达，理由如下： 根据题意，得， ， ， 故需要时间为， 小于16分钟， 故送货员按既定路线进行运送能按时送达； 【分析】（1）根据，计算即可； （2）根据时间，计算比较解答即可，注意单位的统一； 【详解】（1）解：根据题意，得，，，，，四点共线，，垂足分别为点F，点E， ， 根据平行线间的距离处处相等，得， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）略 13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）为迎接校园开放日，小唯和小华计划制作“我们的教学楼”主题手抄报，需标注楼高数据，因教学楼底部草坪禁止踩踏，两人决定用所学知识间接测量．如图，小华在教学楼周围的平地E处放置测倾器，测得楼顶B的仰角为，测倾器高．小唯在小华正前方14米的点F处，利用自制直角三角形纸板辅助测量，其中，，，通过调整纸板使G，Q，B三点共线，小唯的眼睛与地面的距离，均垂直于地面，求教学楼的高度．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度为． 【分析】作于点H，延长交于点M，则，延长交于点N，则，证明，求出，利用锐角三角函数的定义得到，设，则，，在中，，求出x，即可得到答案． 【详解】解：作于点H，延长交于点M， 则，延长交于点N，则， 由题意可知，四边形、都是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∵， ∴ 解得， ∴， 答：教学楼的高度为． 14．（2026·贵州黔东南·模拟预测）凯里学院附中航模社小轩同学，在研究歼战机模型时，画出了如图1所示的俯视图与如图2所示的机翼（小鸭翼和主机翼）组件分解图．其中是一段弧线，B、C、E、F四点共线，于点E，于点F，，，，，，． (1)求的度数： (2)求的长．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据余弦值求角度即可； （2）由得到，过点A作于点H，则，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ∴， ． （2）解：在中，，， ， ， ， ， 如图，过点A作于点H， ， ， 在中，， ， ， 的长约为． 15．（2026·山西朔州·模拟预测）项目式学习 2025年是新中国成立76周年，也是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．为营造隆重热烈、喜庆祥和的氛围，天安门广场、长安街沿线以“奋进新征程，建功新时代”为主题进行花卉布置，天安门广场中心的“祝福祖国”花坛以喜庆的花篮为主景．花坛底部直径45米，为向日葵图案，寓意葵花朵朵向太阳，色彩以红色、橙色、黄色为主，热烈明快．花坛顶高18米，篮体高16米，篮盘直径12米．在篮体南侧书写“祝福祖国，”字样，北侧书写“欢度国庆，”字样．此外，花篮上还首次应用了灵动的“会发光”和平鸽造型，体现“和平发展、欣欣向荣”的美好寓意，表达对祖国繁荣富强的美好祝福，对世界和平发展的美好期盼．某数学兴趣小组的同学利用国庆假期开展了“测量巨型花篮的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量巨型花篮的高度 测量方案 如图，代表巨型花篮的高度，在地面C，D处用测角仪分别测得巨型花篮顶端A的仰角，，并测得之间的距离，均代表测角仪的高度． 说明：点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内，点B，C，D在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，之间的直线距离 _________ 测角仪的高度 参考数据 ，， 请补全上表并计算巨型花篮的高度（结果精确至）． 【答案】，巨型花篮的高度约为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．在 中，根据三角函数的定义得到，，进而由得到关于的方程，解方程求出，继而即可得到结论． 【详解】解：C，D之间的直线距离 如图，连接，交于点E 由题意得，， 四边形，四边形，四边形为矩形     ，     在中，，      在中，，      即：          答：巨型花篮的高度约为 【经典例题四 直角梯子型】 16．（2026·浙江丽水·二模）如图，一把人字梯立在地面上，，，梯子顶端离地面的高度是1.54米． (1)求的长； (2)移动梯子底端，当是等边三角形时，求顶点上升的高度（精确到0.1米）． （参考依据：，，， 【答案】(1) (2)顶点A上升的高度约为0.2米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）利用等边三角形的性质可得，然后在利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵米， （米， 的长约为2米； （2）解：当是等边三角形时，， ∵米， （米， 顶点上升的高度（米， 顶点上升的高度约为0.2米． 17．（2026·河北·模拟预测）如图，是木工室内装修用的可移动折叠梯，在图中，梯子的各个横梁是相互平行，设，在梯子安全时取值范围是，，，且如图所示时，，（   ）（注：，，，）．    (1)求该梯子的长度（即的值）； (2)当时，求梯子顶端离地面距离的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，然后利用相似三角形的性质求解即可； （2）如图，过点A作，垂足为F，然后分别求出和时，的长度，即可得出梯子顶端离地面距离的范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点A作，垂足为F，    ∵， ∴，F为的中点， ①当时，， ∵， ∴． ②当时，， ∵， ∴． 当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 18．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图1，工人师傅需站在人字梯上安装天花板中央的吸顶灯．已知人字梯的长度米，梯子打开后形成的（如图2）． (1)求人字梯打开后顶端距离地面的垂直高度； (2)如果吸顶灯距离地面米的高度．若工人师傅站在梯子的中点处，工人师傅伸直手臂安装吸顶灯时，手部到脚部的垂直距离为米，此时工人能否顺利安装吸顶灯（的延长线与交于的中点）？（结果保留小数点后两位，参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)能顺利安装吸顶灯 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质可得，根据，即可求解； （2）根据题意可得是的中位线，求得，进而得出的高度，和米比较，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∴ ∴（米） （2）解：∵，的延长线与交于的中点 ∴ ∴ 此时工人能顺利安装吸顶灯 19．（2025·江苏泰州·一模）工人师傅借助六步梯更换灯泡．如图，已知六步梯相邻踏脚点之间的距离为，即（踏板的厚度忽略不计），完全展开时梯子与地面的夹角为．当工人师傅站立在第二块踏板上时，刚好能摸到灯泡，此时人与梯子的夹角为．已知工人师傅的身体在一条直线上，且脚底到指尖的距离长为，垂直于地面，垂足为点，求灯泡到地面的高度．（参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】灯泡到地面的高度为． 【分析】本题主要考查了解三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为．在中，利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ∴四边形为矩形， 在中，， ． 四边形为矩形， ． ∵， ． ． 在中，， ． ． 答：灯泡到地面的高度为． 20．（2026·广东惠州·二模）综合与实践 【实验背景】 某中学数学小组开展“梯子安全使用”实验活动．通过查阅资料，结合学校地面与墙面的实际情况，经多次实验得出结论：要想安全使用梯子，梯子与地面所成的锐角一般满足（角度过小易滑倒，过大易倾倒）．下表是小组在研究活动中的一份测量记录表． 【实验记录】 测量次数 梯子长度 梯子底端到墙脚的水平距离 梯子顶端到墙脚的垂直高度 梯子与水平面的夹角 安全判定（是/否） 第1次 是 第2次 第3次 否 【实验探究】 (1)补全表格中第2次测量的信息． (2)在保证安全的情况下，求长度为的梯子底端到墙脚的距离的取值范围． (3)在一次使用中，初始放置时，长度为的梯子的底端距墙脚，根据使用需求，要将梯子顶端下移，此时它的底端向外移动多少米？并判断移动后是否仍符合安全使用要求？（精确到） 参考数据：，，，，，， 【答案】(1)；；是 (2) (3)向外移动，移动后符合安全使用要求 【分析】（1）使用勾股定理计算出，再根据三角函数求出，并判断是否符合安全判定； （2）分别计算和时，的值，从而得出安全范围； （3）梯子顶端下移后的位置为，则，利用勾股定理计算出，从而得到，再使用勾股定理求出，与对比即可计算出移动距离，再结合（1）的数据即可得到，并判断是否符合安全． 【详解】（1）解：由题意可知，第二次测量时，，， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴， ∵， ∴符合安全判定； （2）解：当时，， 当时，， ∴在保证安全的情况下，求长度为的梯子底端到墙脚的距离的取值范围为； （3）解：如图，梯子顶端下移后的位置为，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴向外移动， 由（1）可知，此时，符合安全使用要求． 【经典例题五 十字模型】 21．（2026·广东·二模）火钳为铁制夹取柴火的工具，多见于农村家庭．如图1为火钳实物图，图2为火钳打开最大时的示意图，线段，交于点O，，测得，，请求出两钳臂端点C，D的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到，根据求得的长度，即可得出的长度． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ， ， ， ， 答：两钳臂端点C，D的距离约为． 22．（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 【答案】(1)1.7米 (2)0.6米 【分析】（1）作于点，则，由题意得：，，求得，米，根据，即可求解； （2）由（1）知，，，可求得米，作于点，则，同理可得，，，根据，可求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，米， ∴米， 在中，， ，， ∴支点到小竹竿的距离（米）； （2）解：由（1）知，，， ∴米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴米， ∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米． 23．（25-26九年级下·四川成都·期中）为了在校园内测量校园外面一棵银杏树的高度，我校初三某数学兴趣小组在校内选择了一个与树底端B在同一水平高度的点C作为观测点，利用无人机进行测量．当无人机从点C向上垂直飞行4米到达点D时，测得树顶A的仰角为，当无人机从点D再次垂直上升16米到达点E时，测得树底端B的俯角为， (1)求B、C两点的距离； (2)根据测量数据计算银杏树的高度（结果精确到个位），（参考数据：，，，，） 【答案】(1)15米 (2)米 【分析】（1）根据题意可得，解直角三角形即可解答； （2）过点作于点，根据题意可得，解直角三角形求得，即可求得． 【详解】（1）解：根据题意可得， 米； （2）解：如图，过点作于点， 根据题意可得， 米， ∴米 24．（2026·广东广州·二模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点位于最高点时，． (1)求的长度； (2)求点位于最高点时到地面的距离； (3)当点从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶上升的高度． （参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】（1）设，则，根据线段的和差关系列出方程，求出的值，即可求解； （2）过点作的垂线，过作交于点，则，在中，利用正弦函数求解即可； （3）过点作的垂线，过作交于点，过作交于点，结合对顶角相等得出，，在中和在中，分别利用三角函数求出和的长即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵， 故， 解得， ∴（米）． （2）解：过点作的垂线，过作交于点，如图： 则， ∵当点位于最高点时，， ∴， 在中，（米）， 故点位于最高点时到地面的距离为（米）． （3）解：过点作的垂线，过作交于点，过作交于点，如图： 则， 由（2）可得，（米）， 故，（米）， ∴，， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 故此时水桶上升的高度为米． 25．（2026·四川成都·二模）为方便居家学习时保护视力、养成良好坐姿，某家庭使用一款可调节高度的升降书桌（如图1）．该升降书桌的升降机构可简化为交叉剪式（X型）连杆结构，其工作原理如图2所示，桌面边缘所在直线与底座边缘所在直线始终平行；交叉连杆的中点为，满足（即交叉杆等长，中点铰接）；当调节书桌高度时，点左右滑动，连杆与底座的夹角发生变化，桌面到底座的竖直高度随之改变．已知厘米，在正常调节范围内，的取值范围为．求该升降书桌桌面到底座的竖直高度的变化范围．（结果精确到0.1厘米，参考数据：） 【答案】 【分析】连接，先证明四边形是矩形，推出，，接着分别算出当以及当，的长度，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵厘米， ∴（厘米），即厘米， ∴四边形是矩形， ，即该升降书桌桌面到底座的竖直高度， ∴， 当，， ∴， ∴（厘米）， 当，， ∴， ∴（厘米）， ∴当时，该升降书桌桌面到底座的竖直高度的变化范围为． 【经典例题六 特殊角组合模型】 26．（2025·广东佛山·模拟预测）如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为2.6米，篮板顶端点到篮筐的距离米，篮板底部支架与支架所成的角，与篮板的夹角．求篮筐到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：，，，，） 【答案】篮框到地面的距离约为3.0米 【分析】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 先解，求出，延长交射线于点，过点作于点，证明四边形是矩形，在中，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意得：在中，， （米）， 如图，延长交射线于点，过点作于点， ，，， 四边形是矩形， （米）. ，则， . 在中，（米）， （米）， 篮框到地面的距离约为3.0米． 27．（2026·山东滨州·模拟预测）关于三角函数有如下的公式： ①cos(α+β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； ②sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ； ③； 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求，cos75°的值； (2)如图，直升机在一建筑物CD上方的点Α处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为30m求建筑物CD的高． 【答案】(1)； (2)建筑物CD的高为60米 【分析】(1)根据所给的公式进行运算，即可分别求得； (2) 过点D作DE⊥ΑB于点E，可求得BC＝ED＝30，再根据∠ΑDE＝α＝60°，∠ΑCB＝β＝75°，即可求得． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：如图，过点D作DE⊥ΑB于点E， 则∠ΑED＝∠BED＝90°， ∵∠EBC＝∠BED＝∠BCD＝90°， ∴四边形BCDE是矩形， ∴BC＝ED＝30， 由平行得∠ΑDE＝α＝60°，∠ΑCB＝β＝75°， 在Rt△ΑBC中，， ∴(米)， 在Rt△ΑED中，， ∴（米）， ∴CD＝BE＝ΑB﹣ΑE＝60（米）． 答：建筑物CD的高为60米． 【点睛】本题考查了三角函数公式的应用，解直角三角形的应用，灵活运用三角函数的定义和公式是解决本题的关键． 28．（2026·青海西宁·一模）【阅读理解】 在学习了《锐角三角函数》这一章内容后，我们知道了，，这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出的值．    如图1，在中，，，延长到点D，使，则有 在中，  ∴   在中   ∴． (1)【实际应用】冬奥会持续点燃了群众们的冰雪热情，在“大力发展寒地冰雪经济”的黄金发展时期，某市某滑雪场为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道，如图2所示，滑道的坡角，水平宽度．请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度AC是多少米？（结果取整数，参考数据）． (2)【类比探究】如果滑雪场准备再建一条坡角为22.5°的滑道，你能根据图3求出的值吗？ 类比上面提供的方法，请你将下列探究过程补充完整： 解：中，，，    【答案】(1)滑道的铅直高度是27米 (2) 【分析】（1）在中，根据，，即可求解； （2）延长到点，使，连接，构造，然后在中， ，得出，在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中 ∵， ∴ 答：滑道的铅直高度是米． （2）解：延长到点，使，连接 ∴（等边对等角） ∵ ∴ 在中，   ∵，   ∴   ∴   ∴ 在中， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 29．（2026·福建泉州·一模）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在任意的中，、、所对的边分别为a、b、c，则有：，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一． 【问题提出】 洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案． 【方案设计】 测量工具： 测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角； 测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：． 测量过程： 步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点）； 步骤二：分别站在A、B两处测得，； 步骤三：测得． 【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题： (1)求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：，，） (2)在江岸边另一空旷处取一点D，测得，，求． 【答案】(1)A、B两处古桥遗址间的实际距离约为米； (2) 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，再结合正弦定理求解即可； （2）过点作于点，利用直角三角形得出，，，则再结合正弦定理求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， 解得：（米）， 答：A、B两处古桥遗址间的实际距离约为米； （2）解：如图，过点作于点， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中， ． 30．（2026·浙江·模拟预测）数学实验 生活中，常常遇到需要测量物体长度、角度的情况，小聪同学思考：是否有既能测量长度，又能测量角度的多功能直尺？ 小聪想自己做这样一把尺子：如图1，小聪准备了两条宽度为3的矩形纸带，并在点C处用可以转动的纽扣固定．小聪借助直角三角板的特殊度数，比较容易的找到表示，，，角的刻度位置．那么另外的度数怎样标出呢？小聪开始思考原理：    (1)如图2，小聪将两条纸条叠合形成的四边形画出来，并分别作边，的延长线，．小聪发现：①四边形是菱形；②．请证明这两个结论． (2)小聪发现，在（1）的基础上，表示，，，角的刻度位置可以用三角形的边角关系表示出来，当时，，则有，因此表示角的位置就可以通过计算找到．请利用小聪的思路，算出表示角的位置与点C的距离（精确到0.01）．（参考数据：，，）． (3)在以上思路启发下，小聪发现，在（1），（2）的基础上，对于任意位置的刻度的表示，只要完成三步任务：第一步，测量出直角的直角边的长度m；第二步，计算出的值，这个值恰好是的正切值，即；第三步，利用计算器算出的值，并在尺子上标出刻度即可．做出的尺子如图3所示．请根据以上思路，计算出图2中CE的长度分别为，2，1时，表示的角的刻度是多少（精确到分）．（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1) 由题意可知四边形是平行四边形， 因为，两张纸条一样宽，所以两组对边间的距离不变， 所以，根据面积不变的原理可以得到， 所以，四边形是菱形． 因为（对顶角相等）， 又因为， 所以． (2)约为 (3)当CE的长度分别为，2，1时，表示的角的刻度分别是，，． 【分析】本题考查菱形的判定，解直角三角形的应用． （1）由题易得四边形是平行四边形，再根据面积相等证明，即可证明菱形，根据对顶角相等和菱形的对角线平分对角即可证明； （2）先根据中，，，求得，再由勾股定理求的长即可； （3）根据计算求出，再根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）已知，由，可得， 在中，，，， ∴， ∴． 所以表示角的位置与点的距离约为． （3）因为，， 当时，，， 当时，，，； 当时，，，． ∴当CE的长度分别为，2，1时，表示的角的刻度分别是，，． 1．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于C，求出长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，作于C， ∵大桥主塔是一个轴对称图形， ∴， ∴(米)， ∵， ∴（米) ． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，一根长的竹竿斜靠在墙上，竹竿与地面的倾斜角度为，当竹竿沿着墙向下滑到的位置时，此时竹竿与地面的倾斜角度为，则竹竿向外滑动的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，解直角三角形分别求得和的长，据此求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是10米，坡面的倾斜角，在距A点10米处有一建筑物．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下D处与建筑物之间需留下长的人行道，问人行道的长度是（   ）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：，） A．2.7 B．3.4 C．2.5 D．3.1 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角．根据题意可得，设米，则米，米，再根据特殊角的三角函数列式即可计算人行道的长． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， ∴， 根据题意，可知， 设米，则米， ∴米， 在中，， ∴， 即， 解得． 所以人行道的长度是米． 故选：A． 4．（2026·广西南宁·一模）如图是某商场设计的跨层手扶梯，已知扶梯的长度为，其中扶梯的仰角为，扶梯的仰角为，那么扶梯的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解求得，解，即可求得． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 在中，∵，， ∴， 则扶梯的高度为． 5．（26-27九年级上·北京·课堂例题）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 6．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 【答案】米 【分析】根据坡度定义求出水平宽度，再利用勾股定理计算斜边的长． 【详解】解：由题意可知，在中，，． 斜坡的坡度， ， 在中，由勾股定理得：， 故斜坡的长度是米． 7．（2026·内蒙古通辽·二模）某无人机巡检团队在甲写字楼楼顶处，用无人机测量对面乙写字楼的高度．甲、乙写字楼均垂直于地面（B，C为楼底，在同一地面），无人机在处测得乙楼楼顶的仰角为，测得乙楼楼底的俯角为．已知甲写字楼高20米，则乙写字楼高为_____________米．（，结果保留整数） 【答案】31 【分析】过点作于点，构造一个矩形和一个含角的直角三角形，可求出的长，再利用求出的长，即可求出的长． 【详解】解：过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 米， 米，米， 在中，， 米， 米． 8．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，一次校园活动中无人机进行测量工作，当无人机上升到达点时，地面处的测量仪测得长6米，仰角为，．无人机直线上升到达点处，地面处的测量仪测得仰角为，点，，在同一直线上，已知，两处相距米，则的距离为_____米． 【答案】4.4 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定. 先在中利用余弦的定义求出的长，结合的长求出的长，再在中利用等角对等边求出的长即可． 【详解】解：根据题意得， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 9．（2026·广西贵港·模拟预测）如图，物理实验兴趣小组记录了一个小球在摆动过程中的三个瞬间状态，其中点恰好在悬挂点处的正下方，在处测得，两处的俯角分别为和，若从点到点的过程中，小球竖直下降的高度为，则摆绳的长为_______． 【答案】 【分析】先理解题意，得出，再把数值代入，，得出，根据小球竖直下降的高度为，代入数值到计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 在中，， ∴ 在中， ∴ ∵小球竖直下降的高度为，且 ∴ 解得． 10．（2026·福建莆田·二模）图1是中国古代建筑中的举架结构，其中是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举图2是某举架结构截面的示意图，其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且，则k的值为______． 【答案】0.6 【分析】设，再根据比例关系表示，代入计算即可． 【详解】设， 则， ∴ ∴ ∴ 解得． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）双十一期间，某店铺推出的如图的雪球夹销售火爆，其形状可近似地看成图的图形，当雪球夹闭合时，测得，厘米，求这个雪球夹制作的雪球的直径的长度．（结果精确到厘米，参考数据：，，， ， ， ） 【答案】这个雪球夹制作的雪球的直径的长度约为厘米． 【分析】过点O作于点，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点， 厘米，， ，， 厘米 ， 厘米， 即这个雪球夹制作的雪球的直径的长度约为厘米． 12．（2026·贵州铜仁·一模）贵阳市电视塔是贵阳的标志性建筑之一，综合实践课上，数学小组开展了测量贵阳市电视塔高度的活动，测量方式如下：先将无人机垂直上升至距水平地面的点P处，测得塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点Q处，测得塔底端B的俯角为．请根据以上测量数据，求贵阳市电视塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】延长交的延长线于点C，则，由题意，得，．在中，有，则可求得．在中，利用正切定义求得，进而可求解． 【详解】解：如图所示，延长交的延长线于点C，则， 由题意，得，． 在中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：贵阳市电视塔的高度约为． 13．（2026·安徽阜阳·二模）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔架高度进行了测量，图2为测量示意图（点A，B，C，D，E均在同一平面内）．已知风力发电机的塔架垂直于地面，测角仪在两侧，米，点D与点E相距米（点D，F，E在同一条直线上），在B处测得塔架顶点A的仰角为，在C处测得塔架顶点A的仰角为．求风力发电机的塔架的高度．结果精确到米，参考数据：，， 【答案】100.5米 【分析】连接交于点G，设米，则米，米，由列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点G， 由题意得米，米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵， ∴， 解得， ∴米， 答：风力发电机的塔架的高度约为米． 14．（2026·江西宜春·模拟预测）综合与实践活动中，某小组要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度，其示意图如下图所示，点C，D，E依次在同一条水平直线上，，垂足为C．该小组在D处测得桥塔顶部B的仰角为，测得桥塔底部A的俯角为，又在E处测得桥塔顶部B的仰角为（结果取整数，参考数据：）． (1)求CD的长． (2)求桥塔AB的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决题的关键熟练掌握锐角三角函数的定义． （1）根据垂直定义可得：，然后设,则分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设． ． ． ， ． ， ， ，解得． 答：的长约为． （2）解：， ， ． 答：桥塔的高度约为． 15．（2026·湖南株洲·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 为保障“乡村振兴”战略中农田灌溉需求，某数学研究性学习小组计划测量山坡上一棵防护树的高度（该树可防止水土流失）．在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算一座山坡一棵防护树的高度 测量工具 无人机、卷尺、秒表、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 是山坡上的一棵防护树，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用无人机测得树底部B点到山脚C点的距离为米，山坡的坡角为． ②小马在山脚的平地F处测量这棵树的高度，点C到测角仪的水平距离米，从E处测得树顶部A的仰角为，树底部B的仰角为．（参考数值：，，） 请根据上面提供的信息，解决下列问题（结果精确到0.1米）： (1)求的长度． (2)求树的高度． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（1）根据三角函数求出米，即可得到的长度； （2）根据三角函数求出、的值，即可求出树的高度． 【详解】（1）解：由题意可知，，米， ∴米， ∴米； （2）解：由题意可知， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵， ∴米，米， ∴米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直角三角形的六大几何模型专训专题（6大题型+15道拓展培优题） 题型一 背对背型 题型二 拥抱型 题型三 母子型 题型四 直角梯子型 题型五 十字模型 题型六 特殊角组合模型 【经典例题一 背对背型】 1．（26-27九年级上·上海松江·课后作业）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度的长为，，求中柱的高．（结果精确到） 2．（26-27九年级上·上海松江·课后作业）如图，在建筑物上，挂着长的宣传条幅．从另一建筑物的顶部处看条幅顶端，仰角为；看条幅底端，俯角为．求两建筑物间的距离．（结果精确到） 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 4．（26-27九年级上·上海松江·课后作业）如图，是等腰直角三角形，，D为外一点，连接，，过点D作，垂足为H，交于点E．已知． (1)若是等边三角形，求的长． (2)若，求的长． 5．（26-27九年级上·上海松江·课后作业）如图，两座建筑物和的水平距离为，从点A测得点D的俯角，测得点C的俯角．求这两座建筑物的高．（精确到） 【经典例题二 拥抱型】 6．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向前进了到达B处，此时观测气球的仰角为． (1)如果测角仪高度为，那么气球的高度是多少？． (2)如果测得，，，，那么气球的高度是多少？（精确到）（下列数据供参考：，，） 7．（2026·四川宜宾·一模）周末，王明一家人去僰王山旅游，其中里面的A处的悬棺让他特别感兴趣，他打算用自己所学数学知识计算悬棺的高度，如图所示，滑梯立柱、均垂直于地面，点E在线段上，在C点测得点A的仰角为，点E的俯角也为，测得B、E间距离为10米，立柱高米．求立柱的高（结果保留根号） 8．（2026·山东威海·模拟预测）如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点从点出发，沿运动，运动速度为，点到点停止，动点从点出发，沿运动，运动速度为，点到点停止，连接，．设的面积为，点的运动时间为． (1)求线段的长及线段与之间的距离； (2)在点运动过程中，求与之间的函数表达式． 9．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，重庆动物园内设置了、、、四个打卡点．已知点是园区入口服务中心，点是熊猫馆，虎山在熊猫馆的北偏西方向，同时在服务中心的北偏东方向．点是大象馆，在虎山的正东方向，且大象馆位于熊猫馆的东北方向，熊猫馆与大象馆相距米．（参考数据：，，） (1)求虎山与大象馆之间的距离．（结果保留整数） (2)甲、乙两名同学从不同打卡点出发游园：甲同学从熊猫馆出发前往入口服务中心，乙同学从虎山出发前往熊猫馆．两人同时出发，甲的步行速度是乙的倍．出发后，当他们相距米时，求此时甲同学距离入口服务中心还有多少米？ 10．（2026·河南平顶山·模拟预测）综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：    位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 【经典例题三 母子型】 11．（25-26九年级上·上海松江·期中）综合与实践活动中，要用测角仪测量牌楼的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点，，依次在同一水平直线上，，，且．在处测得牌楼顶部的仰角为，在处测得牌楼顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算牌楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，． 12．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）为迎接校园开放日，小唯和小华计划制作“我们的教学楼”主题手抄报，需标注楼高数据，因教学楼底部草坪禁止踩踏，两人决定用所学知识间接测量．如图，小华在教学楼周围的平地E处放置测倾器，测得楼顶B的仰角为，测倾器高．小唯在小华正前方14米的点F处，利用自制直角三角形纸板辅助测量，其中，，，通过调整纸板使G，Q，B三点共线，小唯的眼睛与地面的距离，均垂直于地面，求教学楼的高度．（结果保留整数．参考数据：，，） 14．（2026·贵州黔东南·模拟预测）凯里学院附中航模社小轩同学，在研究歼战机模型时，画出了如图1所示的俯视图与如图2所示的机翼（小鸭翼和主机翼）组件分解图．其中是一段弧线，B、C、E、F四点共线，于点E，于点F，，，，，，． (1)求的度数： (2)求的长．（参考数据：，，，） 15．（2026·山西朔州·模拟预测）项目式学习 2025年是新中国成立76周年，也是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．为营造隆重热烈、喜庆祥和的氛围，天安门广场、长安街沿线以“奋进新征程，建功新时代”为主题进行花卉布置，天安门广场中心的“祝福祖国”花坛以喜庆的花篮为主景．花坛底部直径45米，为向日葵图案，寓意葵花朵朵向太阳，色彩以红色、橙色、黄色为主，热烈明快．花坛顶高18米，篮体高16米，篮盘直径12米．在篮体南侧书写“祝福祖国，”字样，北侧书写“欢度国庆，”字样．此外，花篮上还首次应用了灵动的“会发光”和平鸽造型，体现“和平发展、欣欣向荣”的美好寓意，表达对祖国繁荣富强的美好祝福，对世界和平发展的美好期盼．某数学兴趣小组的同学利用国庆假期开展了“测量巨型花篮的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量巨型花篮的高度 测量方案 如图，代表巨型花篮的高度，在地面C，D处用测角仪分别测得巨型花篮顶端A的仰角，，并测得之间的距离，均代表测角仪的高度． 说明：点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内，点B，C，D在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，之间的直线距离 _________ 测角仪的高度 参考数据 ，， 请补全上表并计算巨型花篮的高度（结果精确至）．            【经典例题四 直角梯子型】 16．（2026·浙江丽水·二模）如图，一把人字梯立在地面上，，，梯子顶端离地面的高度是1.54米． (1)求的长； (2)移动梯子底端，当是等边三角形时，求顶点上升的高度（精确到0.1米）． （参考依据：，，， 17．（2026·河北·模拟预测）如图，是木工室内装修用的可移动折叠梯，在图中，梯子的各个横梁是相互平行，设，在梯子安全时取值范围是，，，且如图所示时，，（   ）（注：，，，）．    (1)求该梯子的长度（即的值）； (2)当时，求梯子顶端离地面距离的范围． 18．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图1，工人师傅需站在人字梯上安装天花板中央的吸顶灯．已知人字梯的长度米，梯子打开后形成的（如图2）． (1)求人字梯打开后顶端距离地面的垂直高度； (2)如果吸顶灯距离地面米的高度．若工人师傅站在梯子的中点处，工人师傅伸直手臂安装吸顶灯时，手部到脚部的垂直距离为米，此时工人能否顺利安装吸顶灯（的延长线与交于的中点）？（结果保留小数点后两位，参考数据：，，） 19．（2025·江苏泰州·一模）工人师傅借助六步梯更换灯泡．如图，已知六步梯相邻踏脚点之间的距离为，即（踏板的厚度忽略不计），完全展开时梯子与地面的夹角为．当工人师傅站立在第二块踏板上时，刚好能摸到灯泡，此时人与梯子的夹角为．已知工人师傅的身体在一条直线上，且脚底到指尖的距离长为，垂直于地面，垂足为点，求灯泡到地面的高度．（参考数据：，，，，，，结果精确到） 20．（2026·广东惠州·二模）综合与实践 【实验背景】 某中学数学小组开展“梯子安全使用”实验活动．通过查阅资料，结合学校地面与墙面的实际情况，经多次实验得出结论：要想安全使用梯子，梯子与地面所成的锐角一般满足（角度过小易滑倒，过大易倾倒）．下表是小组在研究活动中的一份测量记录表． 【实验记录】 测量次数 梯子长度 梯子底端到墙脚的水平距离 梯子顶端到墙脚的垂直高度 梯子与水平面的夹角 安全判定（是/否） 第1次 是 第2次 第3次 否 【实验探究】 (1)补全表格中第2次测量的信息． (2)在保证安全的情况下，求长度为的梯子底端到墙脚的距离的取值范围． (3)在一次使用中，初始放置时，长度为的梯子的底端距墙脚，根据使用需求，要将梯子顶端下移，此时它的底端向外移动多少米？并判断移动后是否仍符合安全使用要求？（精确到） 参考数据：，，，，，， 【经典例题五 十字模型】 21．（2026·广东·二模）火钳为铁制夹取柴火的工具，多见于农村家庭．如图1为火钳实物图，图2为火钳打开最大时的示意图，线段，交于点O，，测得，，请求出两钳臂端点C，D的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 22．（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 23．（25-26九年级下·四川成都·期中）为了在校园内测量校园外面一棵银杏树的高度，我校初三某数学兴趣小组在校内选择了一个与树底端B在同一水平高度的点C作为观测点，利用无人机进行测量．当无人机从点C向上垂直飞行4米到达点D时，测得树顶A的仰角为，当无人机从点D再次垂直上升16米到达点E时，测得树底端B的俯角为， (1)求B、C两点的距离； (2)根据测量数据计算银杏树的高度（结果精确到个位），（参考数据：，，，，） 24．（2026·广东广州·二模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点位于最高点时，． (1)求的长度； (2)求点位于最高点时到地面的距离； (3)当点从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶上升的高度． （参考数据：，，） 25．（2026·四川成都·二模）为方便居家学习时保护视力、养成良好坐姿，某家庭使用一款可调节高度的升降书桌（如图1）．该升降书桌的升降机构可简化为交叉剪式（X型）连杆结构，其工作原理如图2所示，桌面边缘所在直线与底座边缘所在直线始终平行；交叉连杆的中点为，满足（即交叉杆等长，中点铰接）；当调节书桌高度时，点左右滑动，连杆与底座的夹角发生变化，桌面到底座的竖直高度随之改变．已知厘米，在正常调节范围内，的取值范围为．求该升降书桌桌面到底座的竖直高度的变化范围．（结果精确到0.1厘米，参考数据：） 【经典例题六 特殊角组合模型】 26．（2025·广东佛山·模拟预测）如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为2.6米，篮板顶端点到篮筐的距离米，篮板底部支架与支架所成的角，与篮板的夹角．求篮筐到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：，，，，） 27．（2026·山东滨州·模拟预测）关于三角函数有如下的公式： ①cos(α+β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； ②sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ； ③； 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求，cos75°的值； (2)如图，直升机在一建筑物CD上方的点Α处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为30m求建筑物CD的高． 28．（2026·青海西宁·一模）【阅读理解】 在学习了《锐角三角函数》这一章内容后，我们知道了，，这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出的值．    如图1，在中，，，延长到点D，使，则有 在中，  ∴   在中   ∴． (1)【实际应用】冬奥会持续点燃了群众们的冰雪热情，在“大力发展寒地冰雪经济”的黄金发展时期，某市某滑雪场为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道，如图2所示，滑道的坡角，水平宽度．请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度AC是多少米？（结果取整数，参考数据）． (2)【类比探究】如果滑雪场准备再建一条坡角为22.5°的滑道，你能根据图3求出的值吗？ 类比上面提供的方法，请你将下列探究过程补充完整： 解：中，，，    29．（2026·福建泉州·一模）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在任意的中，、、所对的边分别为a、b、c，则有：，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一． 【问题提出】 洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案． 【方案设计】 测量工具： 测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角； 测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：． 测量过程： 步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点）； 步骤二：分别站在A、B两处测得，； 步骤三：测得． 【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题： (1)求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：，，） (2)在江岸边另一空旷处取一点D，测得，，求． 30．（2026·浙江·模拟预测）数学实验 生活中，常常遇到需要测量物体长度、角度的情况，小聪同学思考：是否有既能测量长度，又能测量角度的多功能直尺？ 小聪想自己做这样一把尺子：如图1，小聪准备了两条宽度为3的矩形纸带，并在点C处用可以转动的纽扣固定．小聪借助直角三角板的特殊度数，比较容易的找到表示，，，角的刻度位置．那么另外的度数怎样标出呢？小聪开始思考原理：    (1)如图2，小聪将两条纸条叠合形成的四边形画出来，并分别作边，的延长线，．小聪发现：①四边形是菱形；②．请证明这两个结论． (2)小聪发现，在（1）的基础上，表示，，，角的刻度位置可以用三角形的边角关系表示出来，当时，，则有，因此表示角的位置就可以通过计算找到．请利用小聪的思路，算出表示角的位置与点C的距离（精确到0.01）．（参考数据：，，）． (3)在以上思路启发下，小聪发现，在（1），（2）的基础上，对于任意位置的刻度的表示，只要完成三步任务：第一步，测量出直角的直角边的长度m；第二步，计算出的值，这个值恰好是的正切值，即；第三步，利用计算器算出的值，并在尺子上标出刻度即可．做出的尺子如图3所示．请根据以上思路，计算出图2中CE的长度分别为，2，1时，表示的角的刻度是多少（精确到分）．（参考数据：，，，，，）． 1．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，一根长的竹竿斜靠在墙上，竹竿与地面的倾斜角度为，当竹竿沿着墙向下滑到的位置时，此时竹竿与地面的倾斜角度为，则竹竿向外滑动的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是10米，坡面的倾斜角，在距A点10米处有一建筑物．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下D处与建筑物之间需留下长的人行道，问人行道的长度是（   ）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：，） A．2.7 B．3.4 C．2.5 D．3.1 4．（2026·广西南宁·一模）如图是某商场设计的跨层手扶梯，已知扶梯的长度为，其中扶梯的仰角为，扶梯的仰角为，那么扶梯的高度为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·北京·课堂例题）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 6．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 7．（2026·内蒙古通辽·二模）某无人机巡检团队在甲写字楼楼顶处，用无人机测量对面乙写字楼的高度．甲、乙写字楼均垂直于地面（B，C为楼底，在同一地面），无人机在处测得乙楼楼顶的仰角为，测得乙楼楼底的俯角为．已知甲写字楼高20米，则乙写字楼高为_____________米．（，结果保留整数） 8．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，一次校园活动中无人机进行测量工作，当无人机上升到达点时，地面处的测量仪测得长6米，仰角为，．无人机直线上升到达点处，地面处的测量仪测得仰角为，点，，在同一直线上，已知，两处相距米，则的距离为_____米． 9．（2026·广西贵港·模拟预测）如图，物理实验兴趣小组记录了一个小球在摆动过程中的三个瞬间状态，其中点恰好在悬挂点处的正下方，在处测得，两处的俯角分别为和，若从点到点的过程中，小球竖直下降的高度为，则摆绳的长为_______． 10．（2026·福建莆田·二模）图1是中国古代建筑中的举架结构，其中是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举图2是某举架结构截面的示意图，其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且，则k的值为______． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）双十一期间，某店铺推出的如图的雪球夹销售火爆，其形状可近似地看成图的图形，当雪球夹闭合时，测得，厘米，求这个雪球夹制作的雪球的直径的长度．（结果精确到厘米，参考数据：，，， ， ， ） 12．（2026·贵州铜仁·一模）贵阳市电视塔是贵阳的标志性建筑之一，综合实践课上，数学小组开展了测量贵阳市电视塔高度的活动，测量方式如下：先将无人机垂直上升至距水平地面的点P处，测得塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点Q处，测得塔底端B的俯角为．请根据以上测量数据，求贵阳市电视塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 13．（2026·安徽阜阳·二模）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔架高度进行了测量，图2为测量示意图（点A，B，C，D，E均在同一平面内）．已知风力发电机的塔架垂直于地面，测角仪在两侧，米，点D与点E相距米（点D，F，E在同一条直线上），在B处测得塔架顶点A的仰角为，在C处测得塔架顶点A的仰角为．求风力发电机的塔架的高度．结果精确到米，参考数据：，， 14．（2026·江西宜春·模拟预测）综合与实践活动中，某小组要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度，其示意图如下图所示，点C，D，E依次在同一条水平直线上，，垂足为C．该小组在D处测得桥塔顶部B的仰角为，测得桥塔底部A的俯角为，又在E处测得桥塔顶部B的仰角为（结果取整数，参考数据：）． (1)求CD的长． (2)求桥塔AB的高度． 15．（2026·湖南株洲·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 为保障“乡村振兴”战略中农田灌溉需求，某数学研究性学习小组计划测量山坡上一棵防护树的高度（该树可防止水土流失）．在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算一座山坡一棵防护树的高度 测量工具 无人机、卷尺、秒表、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 是山坡上的一棵防护树，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用无人机测得树底部B点到山脚C点的距离为米，山坡的坡角为． ②小马在山脚的平地F处测量这棵树的高度，点C到测角仪的水平距离米，从E处测得树顶部A的仰角为，树底部B的仰角为．（参考数值：，，） 请根据上面提供的信息，解决下列问题（结果精确到0.1米）： (1)求的长度． (2)求树的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $