精品解析：广东省惠州大亚湾经济技术开发区第一中学2026-2027学年第一学期高三第二次月考数学试卷

大亚湾一中2026—2027学年度第一学期高三第二次月考 高三数学试卷 2026年10月 本试卷共1页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 2. 定义在上的函数，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2026 D. -2026 【答案】C 【解析】 【详解】 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系，三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解. 【详解】由，可得或， 当时，此时，即充分性不成立； 反之当时，，其中可为，此时，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 已知向量满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积及模长公式计算即可. 【详解】由题意可知， 所以， 故. 5. 关于 x 的不等式的解集为 ，则不等式的解集为（　　） A. 或 B. . C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知一元二次不等式的解集确定二次项系数符号及系数a、b、c的关系，代入目标不等式化简求解. 【详解】由不等式的解集为， 得，且方程的两个实根为，， 根据韦达定理得，， 解得，， 将、代入不等式，得 ， 因为，得 ，即 ， 因式分解得，所以， 故不等式的解集为. 6. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式与独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】设该同学在笔试中结果为优秀为事件,实验操作中结果为优秀为事件，则， 因“该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀”为“该同学在这次测试中两项测试结果均不是优秀”的对立事件， 故其概率为. 7. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 8. 已知函数，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由对数定义域得出的前提，代入特殊点得到必要条件，验证仅满足，再求导证明时函数最小值为0，恒成立． 【详解】，需，故， 代入，， 由得， 令，当时，， 单调递增，且， 因此时，仅当时等号成立，满足， 当时，函数为，求导得， 在上单调递增，且， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 故在处取得最小值，， 故在上恒成立，符合题意， 综上，满足条件的a只有0． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量，分别服从正态分布和二项分布，即，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性、二项分布的概率公式、期望和方差计算公式逐一判断选项即可. 【详解】对于选项A，正态分布的对称轴为，因此，故A正确； 对于选项B，，，所以，故B错误； 对于选项C，，，所以，故C正确； 对于选项D，，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确. 11. 生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，，为三条边长，则 D. 若，，为三条边长，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据糖水不等式逐项判断即可. 【详解】A.由糖水不等式得：，时，，故A错误. B.，故B正确. C.，故C正确. D.，，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，其中为虚数单位，则________． 【答案】 【解析】 【详解】， ∴. 13. 已知函数（且）是奇函数，则________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为， 又函数是奇函数，所以对任意均成立， 即对任意均成立， 所以对任意均成立， 所以，所以，所以，解得. 14. 如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于的点，光线从点出发，经反射后又回到点，若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，求出点关于直线、轴的对称点、的坐标，根据、、三点共线以及斜率关系可求出的值，即可得出的值. 【详解】在等腰直角三角形中，，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则，，，，设，则，其中， 点关于轴的对称点为， 直线的截距式方程为，即直线的方程为，该直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为， 由题意可知，且线段的中点在直线上， 所以，解得，即点， 由对称性可知、、三点共线，则，即， 整理可得，解得或，即或. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将所给的式子边化角，即可求解角. （2）利用余弦定理和基本不等式求解的取值范围，再利用三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得：， 即，即， ， 即，当且仅当时，等号成立，此时是等边三角形，符合要求， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以面积的最大值为. 16. 已知函数． （1）当时，求的单调区间与最值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；函数的最小值为，无最大值. （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）当时，求出解析式，求导，通过导数的正负即可求出的单调区间，根据单调性即可求解的最值. （2）对求导，后进行分类讨论，和两种情况，分别根据导数的正负，即可判断的单调性． 【小问1详解】 当时，， ， 令，解得， 所以当时，，单调递减区间为， 当时，，单调递增区间为， 所以当时，函数取得最小值， 无最大值. 【小问2详解】 ， ， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 17. 某公司组织抽奖活动，每人参与一次抽奖，规则如下: 在盒内放有标有数字为1，2，3的三个小球，参与者有放回地抽两次，三个小球都是等可能地被随机抽取，第一次取出小球上的数字记为 ， 第二次取出小球上的数字记为 ，若 ，则参与者中奖. （1）试列举出由样本点 组成的样本空间 ，并计算出参与者中奖的概率； （2）若甲、乙、丙、丁四人分别独立参与抽奖，求甲乙获奖总数大于丙丁获奖总数的概率. 【答案】（1），中奖的概率为 . （2）. 【解析】 【分析】（1）有放回地抽两次，按「先第一次、后第二次」的顺序把所有样本点列举出来，再用古典概型的概率公式求中奖概率. （2）把甲、乙看成一组、丙、丁看成另一组，用各自的获奖人数刻画两人的获奖总数，比较两个独立随机变量的大小，按大小关系分类求概率. 【小问1详解】 有放回地抽取两次，第一次与第二次的抽取结果互不影响，每次抽到 1，2，3 的可能性相同. 按先第一次、后第二次的顺序列出所有样本点：，共 9 个样本点. 中奖对应事件 ，所含样本点为 ，共 3 个. 9 个样本点出现的可能性相等，由古典概型的概率公式得中奖的概率 . 【小问2详解】 由（1）知每人中奖的概率为 ，不中奖的概率为 ，四人抽奖相互独立. 记甲、乙两人中获奖的人数为 ，则 的可能取值为 . ，，. 记丙、丁两人中获奖的人数为 ，同理有 ，，，且 与 相互独立. 所求事件即 ，按 与 两类整合：. 所以 . 18. 已知数列的前n项和为，且，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前n项和为，是否存在正整数m，，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由； （3）记，证明：． 【答案】（1） （2）存在，与 （3）由得， 对，，时取等号，两边平方得， 故， 则， 故，命题得证． 【解析】 【分析】（1）利用前项和与作差，得到相邻项比值关系，累乘求通项，验证首项后得出通项公式； （2）对裂项相消求出，根据等差数列性质列式，结合正整数范围枚举得到； （3）先化简，放缩不等式对通项进行放大，转化为等比数列求和，证明和小于4． 【小问1详解】 已知，当时，，两式相减得： ，整理得，即， 故， 时，符合此式， 故． 【小问2详解】 ， 则， 若，，成等差数列，则， 故，化简整理得， 由为正数，且，得，即，结合： 当时，，满足； 当时，，满足； 故存在两组解，与． 【小问3详解】 略 19. 如图，在正方体中，，点E为中点，动点分别在线段上移动且． （1）证明：上存在点R使得平面 （2）建立空间直角坐标系：以A为原点，分别为轴正方向，定义点集，令在上且平面. （i）求点集S与平面相交所得曲线Γ的方程，并说明Γ是何曲线． （ii）记点，曲线Γ上两点G、H（不同于点O），， ，满足，证明直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）证明： 由题意可知分别在线段上，但不与端点重合， 过作于点，连接，R在线段上且不与端点重合， 侧面，，则侧面， 又侧面，所以， 因为平面，则平面， 即上存在点R使得平面； （2）（i）曲线Γ的方程为，且，Γ是椭圆； （ii）证明：不妨设，（其中）， 则， 所以， 而可化为， 即， 整理得， 所以， 所以，故，， 显然时，直线方程成立，又，即此时， 即直线过定点. 【解析】 【分析】（1）利用正方体的特征结合线面垂直的判定与性质证明即可； （2）（i）设曲线上一点坐标，利用夹角关系及线面垂直建立方程得出曲线轨迹方程，结合椭圆的概念判定曲线即可；（ii）设直线方程借助齐次化变形及点在平面上计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）设曲线Γ上一点，即， 如图所示建立空间直角坐标系，易知， 则， 显然是平面的一个法向量，则，即， 又，则， 整理得， 消元可得，即曲线Γ的方程为，且，Γ是椭圆； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大亚湾一中2026—2027学年度第一学期高三第二次月考 高三数学试卷 2026年10月 本试卷共1页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 定义在上的函数，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2026 D. -2026 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量满足，则（　　） A. B. C. D. 5. 关于 x 的不等式的解集为 ，则不等式的解集为（　　） A. 或 B. . C. 或 D. 6. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量，分别服从正态分布和二项分布，即，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 11. 生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，，为三条边长，则 D. 若，，为三条边长，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，其中为虚数单位，则________． 13. 已知函数（且）是奇函数，则________． 14. 如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于的点，光线从点出发，经反射后又回到点，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 16. 已知函数． （1）当时，求的单调区间与最值； （2）讨论的单调性． 17. 某公司组织抽奖活动，每人参与一次抽奖，规则如下: 在盒内放有标有数字为1，2，3的三个小球，参与者有放回地抽两次，三个小球都是等可能地被随机抽取，第一次取出小球上的数字记为 ， 第二次取出小球上的数字记为 ，若 ，则参与者中奖. （1）试列举出由样本点 组成的样本空间 ，并计算出参与者中奖的概率； （2）若甲、乙、丙、丁四人分别独立参与抽奖，求甲乙获奖总数大于丙丁获奖总数的概率. 18. 已知数列的前n项和为，且，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前n项和为，是否存在正整数m，，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由； （3）记，证明：． 19. 如图，在正方体中，，点E为中点，动点分别在线段上移动且． （1）证明：上存在点R使得平面 （2）建立空间直角坐标系：以A为原点，分别为轴正方向，定义点集，令在上且平面. （i）求点集S与平面相交所得曲线Γ的方程，并说明Γ是何曲线． （ii）记点，曲线Γ上两点G、H（不同于点O），， ，满足，证明直线过定点，并求出该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $