广东深圳市聚龙科学中学2026-2027学年高三第一学期第二次质量检测（11月）数学试卷

深圳市聚龙科学中学2026-2027学年度第一学期11月第二次质量检测 高三数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B B A A A ABD BD 题号 11 答案 ACD 13. 72 6 14.v-32 4 15.(1)(方法一)由V3sinC=c1+cosA)及正弦定理， 得√3sin4 Asinc=sinC(1+cos4, 又sinC≠0，得√3in4-cos4=1, 即m4引 因为A∈(0，m,所以A= 3 (方法二)由V3 asinC=c1+cosA)及正弦定理， 得√3 sinAsinc=sinC(1+cos4). 又sinC≠0，得V3sinA=1+cos4, 即2V5sin4cos=2cos2 2 2， 因4c0,所以子号o引改w子0， /g) 2 A 所以tam 2=V5,故1=二，即A=π 2 26 cOS- 3 2 2白)得A号 由a=2,△ABC的周长为6，得b+c=4. 由cos4=B+c2-d21 2bc 所以b2+c2-4=bc,即(b+c)-4=3bc, 故bc=4, 高三数学试卷答案第1页共4页 所以Sc=bcinA=x4x5-V5 2 22 16.(1)因为PA=PD,点O为AD的中点，所以PO⊥AD, 在直角梯形ABCD中，连接CO,因为AD/BC,AB⊥AD.所以ABCO是矩形， 所以COL AD,在Rt△ODC中，CD=22,OD=2,所以OC=2. 在△POC和△POD中，PC=PD,PO=PO,OC=OD,所以△POC=△POD, 所以∠POC=∠POD=90°，即PO⊥OC, ZA 又OC∩AD=O,OC,ADC平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD: (2)以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， D 设P0=a,则O(0,0,0),P(0,0,a,D(0,2,0),C(2,0,0). O 设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),CD=(-2,2,0)，CP=(←2,0，). CD.i=-2x+2y=0 c乎m=-2x+心=0，取=a,得m=aa,2》 由 易知平面CAD的一个法向量为n=(0,0,1), 设二面角P-CD-A的大小为0，侧则eos-kosm川+t+4了， 2-3 解得a=2. 17.(1)设事件A表示第一次取出时为可充电电池，事件A表示第一次取出时为一次性电池，事件B表示第二次 取出时为一次性电池， 则P叫=PA0P8A)+P)P8)君名号品 1 2由D:40)名所以P4-0-号多 P(B)99 20 (3)由题意，X的可能取值为1,2,3， 只需考虑第3、4次取得一次性电池的块数， 则Px=1了=)-号名（第3.4次均为充电电池） 32,2327 P(X=2刘Y=D=亏×亏+亏x50（第3、4次充电电池和一次性电池各一次) T=了-=号行品第4次均为一次桂电泡) 所以8(X1y)-18230+30测 10-50 高三数学试卷答案第2页共4页 18.(1)由题意知，c2=a2-b2=1, 将点)代入箱测方裙得宁+品=1，解得公4b=3 31 所以桶圆c的方程为+”=1. 43 (2)(i)(i)易知直线PQ不与x轴重合，设直线PQ的方程为x=w+1,设点P(:,)、2(x,), 联立 3x+4y=12得(3m+4)2+6mw-9=0, x=0y+1 -61 则△'=362+36(3m2+4)=144(2+1)>0,由韦达定理得 y+y=3m㎡+4 -9 y2=3m+4 设过点P的切线为y=k(x-x)+, 联立 F,相4)-8w-x40--42-0 令上式中△=642(3-)2-4(42+34(y--12=0, 即4k2+3-(k2-2y+)=0,即(4-)R+2k4+3-=0, 即4+2，+3S=0,即162+24n+9听=0，即(4k+35}=0, 3 4 解得k-3 4,故切线PT的方程可化为+Y=1, 43 同理可得过Q点的切线Qr的方程为+'=1， 43 3xx+44y=12 3(%+1)y2x+44y2y=12y2 联立 (3x+45y=12'化简得 3(%+1)4x+44y2y=12y1 两式相减得3(y2-)x=12(乃-片)，即x=4,所以点T在定直线x=4上. (i将x=4代入直线四的方程，得y-3-35.3-3+).-n,所以T4-3训， y -6m 4-3 再由y+为=3n+4:及x=w+1得，P0中点M 3m2+4'3m2+4 因为kr=kow= 3弧，所以O,M,T三点共线. x4=l6+9m2 m+43+4 3m2+4’ 因为m≥0，所以3+4(o,1小，所以M-orle(341. 高三数学试卷答案第3页共4页 9.)证明：由a2,得f)=nx2,定义域为0+)， 所以f9=12c+1)-2c-D-14=+1-4.c-1 xx+1D2x（x+12x(x+1）2x+0P20, 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，又fI)=0, 所以对x>1,f(x)>f(1)=0,即f(x)>0. (2)f(x)=Inx-a(x-D x+1 因为(x)在(0，+o)上单调递增，所以f'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立， 所以-1ar+0ar-D_-12aC+220x+1≥0在0，+0上恒成立， (x+1)2 x(x+1)2x(x+1)2 即x2+(2-2x+1≥0在(0，+0)上恒成立. 因为x>0,不等式可化为2a-25x+上在re0,+)上恒成立， 1 设)=t+子>0，则g()22r2,当且仅当x=1时取等号，8=2， 所以2a-2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是(-∞，2]. (3)证明：m>n>0,要证，L-n<m+n -1业+1 22，只需证儿w么】 In 2 n 2m-1 2-1 即证h心 n 只需证n业.n>0, nn -+1 nn +1 n ,由1)知()在0+)上单调递增， 设x)=mx-2(r-) 又因为>>0，即">1，所以四 >h1)=0, n n 2-1 即h"”>0成立，所以 m-n m+n on m+l n-hn、2 高三数学试卷答案第4页共4页深圳市聚龙科学中学2026-2027学年度第一学期11月第二次质量检测 高三数学 命题人：赵俊华 审核人：黄东平 时间：2026.11.8 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.在复平面内，(1-2i)(1+3)对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 则A∩B=() {{ C. 3.已知直线，b与平面x,By,能使αLB的充分条件是() A.a⊥y,B⊥Y B.unB=a,b⊥a,bcB c.a∥B,a∥a D.a∥a,a⊥B 4.函数∫(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为() A.f(x)=e B.J(xt)=c-e- c.f资 D.f(r) 5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100L血液中酒精含量 达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.某天，驾驶员张某在家喝了一定量 的酒后，其血液中的酒精含量达到了0.5gmL,如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时40%的 速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：( )lg2≈0.301，lg3≈0.477) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知函数()-{反，x≥0， x+2,x<0, 对于正实数a,定义集合M。={xf(x+a)=f(x)},若满足M。≠o,则a的 取值范围为( B.4 c.+ D.(4,14) 又。n数循国：若+号1a>80,双道线：是若=1a>0,0板椭国M的两个共点分别 为耳，乃，椭圆M的离心率为e,双曲线N的离心率为e2,记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点 为若P%LP明且3上卡21，则的值为《) A.3-1 B.√5-1 2 C.2 D.5+1 8。数列a的前m项和为1-子，}的前n项和为，中neN,则数列a-}（） A.有最大项也有最小项 B.无最大项也无最小项 C.有最小项但无最大项 D.有最大项但无最小项 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9已知西数国如(o+p到40a>0号<g号 的部分图象如图所示，则() A.f(x)的最小正周期为π YA B. 5元 12 C.将函数f(x)的图象向右平移正个单位长度可得函数 12 g(x)=-sin2x 的图象 D.将函数∫(9的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 5 ,0 对称 10.某中学在2026年秋季运动会中，设置了“欢乐跑趣味接力拔河比赛“花式跳绳”四个教师项目.甲、 乙、丙3名教师每人至少从中选择一个活动参加，每个活动都恰有1人参加，记事件A=“甲参加欢乐跑”， A=“甲参加花式跳绳”，A=“乙参加趣味接力”，则（) A.A与A,对立 B.P4号 C.A与A相互独立 D.44)8 高三数学试卷第2页（共4页） 11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)为偶函数，且当0<x≤1时，f(x)=4-1,则 A.函数f()的图象关于点(2,0)中心对称() R侣() C.函数f(x)的单调递减区间为(4k+1,4k+3),k∈Z D.已知数列{a}满足4=1，且a1=f(an),则ao26=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12:点在轴上的精圆音产=1a~0的虎心率。 ，则a的取值范围是 13.己知数列{an}为等差数列，42022+402s=12,则G+a048的最小值为 此时02027=一 14.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个 球围成的几何体如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为√5，若勒洛四面体 ABCD内有一球，则该球的最大半径为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√3 asinC=c(1+cos4 (1)求A: (2)若a=2,△ABC的周长为6，求△ABC的面积. 16.(15分)在四棱锥P-ABCD中，PA=PC=PD,底面ABCD是直角梯形，ADIIBC,AB⊥AD.己知 AD=4,BC=2,CD=2√2.点O为AD的中点， (I)求证：PO⊥平面ABCD: (②诺二面角P-CD-A的余弦值为y5,求P0的长. 3 高三数学试卷第3页（共4页） 17.(15分)2026年8月“世界机器人大会”在北京闭幕.现抽屉中备有某款机器人所需的6块规格相同的电 池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的 是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉. (1)求第2次取出一次性电池的概率； (2)在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率； (3)设X,Y是离散型随机变量，X在给定事件Y=y条件下的期望定义为： BI功PW=7= P(X=x,Y=y)」 P(Y=y) 其中{5,5，，x}为X的所有可能取值的集合， P(X=x,Y=y)表示事件“X=x”与“Y=y”均发生的概率.设X表示电动机器人前4次使用中取出一次性 电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求E(XY=). 18（1n分)已如指圆c若+若=ab>0的右焦点为严L0,且经过点〔引 (1)求椭圆C的方程. (2)过F的直线1（不与x轴重合）交C于P、Q两点，分别过P、Q作C的切线，两切线交于点T,记PQ的 中点为M,O为坐标原点. (i)证明：点r在定直线上. (ii)求OMOT的取值范围. 19.(17分)已知函数f()=hx-ax-》,a∈R x+1 (1)若a=2,求证：对x>1,f(x)>0: (2)若函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围； m-n<m+业 3)设，n为正实数，且M>,求证：nm-nn<2 高三数学试卷第4页（共4页）