精品解析：广东深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

学府中学2026-2027学年第一学期九年级期中考试 数学学科试卷 说明： 1．全卷共6页，考试时间为90分钟，满分100分． 2．答题前，考生务必将姓名、班级、考号用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，答案须写在答题卡各题目指定区域相应位置上．不准使用涂改液．在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】解：卷纸的主视图应是： ， 故选：C． 2. 在一个不透明的口袋中，放置6个红球，2个白球和n个黄球．这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值可能是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式表示出，求解即可． 【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近 解得 故选：A． 【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式． 3. 如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若且，则四边形是正方形 C. 若，则四边形是菱形 D. 如果，则四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【详解】解：，，  四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； 若，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； 如果，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形是矩形，故D选项正确，不符合题意； 若且，根据等腰三角形三线合一性质可知平分， 平行四边形是菱形，但不能判定是正方形（除非），故B选项错误，符合题意． 4. 如图，，，以点为位似中心作的位似图形，使它与的相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据位似比，分两种情况进行讨论即可． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴当点在线段上时，点的坐标为， 即为； 当点在线段的反向延长线上时，点关于原点对称的点的坐标为， ∴点的坐标为， 即为； 故选：D． 5. 在一天中的四个不同时刻，小红观察了一个物体在阳光照射下投射在地面上的影子，其位置如图所示．按照时间先后顺序排列，正确的是（ ） A. ①②③④ B. ④①③② C. ④③①② D. ②①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行投影的特点和规律：在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变．注意图上方向与实际方向的联系． 不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向改变的规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 【详解】解：根据平行投影的特点和规律可知，④，③是上午，①，②是下午， 根据影子的长度可知先后为④③①②， 故选：C． 6. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．则PE+PF的值为（ ） A. B. C. D. 不是定值 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于，利用勾股定理列式求出，再利用三角形的面积求出，然后根据的面积求出即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于， ，， 由勾股定理可得，， 即， 解得：， 在矩形中，， ， ． 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握各性质并利用面积法是解题的关键． 7. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大， 点关于直线的对称点为， ， ． 故选：A． 8. 如图，在中，分别是边上的动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作，且使得，连接，设交于点G，证明，得到，则当B、E、F三点共线时，有最小值，最小值为线段的长；证明，得到，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作，且使得，连接，设交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当B、E、F三点共线时，有最小值，最小值为线段的长； ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的最小值为． 第Ⅱ卷（非选择题共76分） 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值是_______． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用设k法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴x=2k，y=3k，z=4k， ∴， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 10. 若是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程解的定义得到满足的等式，结合根与系数的关系得到两根之和，通过整体代入计算所求代数式的值． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根 ∴将代入方程可得，即 由根与系数的关系，得 ∴． 11. 如果四边形的两条互相垂直的对角线的长分别为，则顺次连接该四边形四边中点的四边形的面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出相应图形，然后利用三角形中位线的性质及矩形的判定得出四边形为矩形，然后求解即可． 【详解】解：如图所示，四边形，且，分别是的中点， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查中点四边形的性质及矩形的判定和性质，根据题意作出相应图形是解题关键． 12. 如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、梯形的面积，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．先根据正方形的性质得到阴影部分是直角梯形，再证明，，利用相似三角形的性质求得，，进而求得，，然后利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，，，， ，， ∴阴影部分是直角梯形， 又∵， ∴，， ∴，， 即，， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，为上一点，为的中点，连接，，则___________． 【答案】12 【解析】 【分析】过点D作于点F，证明推出，设，证明是等腰直角三角形，得到，求出，；则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于点F， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ∵E为的中点，且， ∴， ∴； 设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， 解得（已检验）或（舍去）， ∴． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项，得：， 配方，得： ， 即：， 开平方，得：​， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， 因式分解，得：， ∴或， 解得：，． 15. 天府新区某学校计划开展兴趣课程，包括(艺术素养课程)，(科学探索课程)，(体育运动课程)，(社会实践课程)，(传统文化课程)．为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进行投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如下图： 根据图中信息，请回答下列问题： （1）参加投票的学生共___________人； （2）估计全校人中参加(社会实践课程)的学生有多少人？ （3）现小欢、小乐从最受欢迎的三类课程中任选一类课程参加，用树状图或列表法求两人恰好参加同一类课程的概率． 【答案】（1）； （2）人； （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合分析、用样本估计总体以及列表法求概率，关键是从双统计图中精准提取数据，建立数量关系并正确列举随机事件的所有等可能结果． （1）结合扇形统计图中类课程的占比和条形统计图中类的具体人数，利用部分量除以对应百分比求出投票总人数； （2）先通过类课程的扇形圆心角度数计算出其在样本中的占比，再用该占比乘以全校总人数，以此估计总体中选择类课程的学生数量；第 （3）用列表法列出两人选课的所有等可能结果，数出两人选同一类课程的结果数，最后根据概率公式计算出对应概率． 【小问1详解】 解：∵类课程人数为人，占总人数的， ∴参加投票的学生总数为(人)， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵类课程对应的扇形圆心角为， ∴类课程人数占总人数的比例为， ∴估计全校人中参加(社会实践课程)的学生有(人)， 答：估计全校人中参加(社会实践课程)的学生有人． 【小问3详解】 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好参加同一类课程的结果有3种， ∴两人恰好参加同一类课程的概率为． 16. 如图，在中，，平分，按如下步骤作图： 第一步，分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 第二步，作直线分别交于点E，O，F； 第三步，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由作图可得：垂直平分，利用垂直平分线的性质得出，，再由角平分线及全等三角形的判定和性质得出，根据菱形的判定方法证明即可； （2）根据菱形的性质得出，利用平行线分线段成比例求解即可． 【小问1详解】 解：由作图可得：垂直平分， ∴，， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ∵，，， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质及作法，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 17. 如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． （1）请画出此刻路灯在阳光下的影子； （2）测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 【答案】（1）解：由题意作图如下： （2） 【解析】 【分析】（1）根据太阳光是平行光，连接，过作的平行线即可； （2）根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，得到，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设直线交于点J． 由题意，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y =x2 + c且过顶点C（0,5）．（长度单位：m） （1）直接写出c = _________； （2）该隧道为双车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道?请说明理由； （3）为了车辆安全快速通过隧道对该隧道加固维修，维修时需搭建的“脚手架”为矩形EFGH．使H、G点在抛物线上，E、F点在地面AB上，施工队最多需要筹备多少材料．（即求出“脚手架”三根木杆HE、HG、GF的长度之和的最大值） 【答案】（1）5；（2）能安全通过，理由见解析；（3）施工队最多需要筹备15米材料 【解析】 【分析】（1）直接利用顶点C（0，5），进而求出c的值； （2）利用x=3时，求出y的值，进而得出答案； （3）利用HE=FG=x2+5，GH=EF=2x，即可得出HE+FG+GH与x的函数关系，进而求出最值即可． 【详解】（1）∵顶点，∴，故答案为：5． （2）把代入得，故能安全通过． （3）设，则，∴，，∴，∴时有最大值为15． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据数形结合得出函数关系式是解题关键． 19. 如图，在中，点在边上，且，已知，． （1）的度数为___________； （2）我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比． ①写出图中所有的黄金三角形___________ ②求的长； ③在直线或上是否存在点（点除外），使是黄金三角形？若存在，在图中用尺规画出点；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②； ③存在，有三个符合条件的点． i）以为底边的黄金三角形：作的垂直平分线分别交直线得到点． ii）以为腰的黄金三角形：以点为圆心，为半径作弧与的交点为点． 【解析】 【分析】（1）证明．设，则．，列方程并解方程即可； （2）①根据定义进行解答即可；②求出，即可求出答案；③分以为底边的黄金三角形和以为腰的黄金三角形进行作图即可． 【小问1详解】 解：． 则． 设，则． 又， ． ． ； 【小问2详解】 ①有三个：． ， 是黄金三角形， 或． 是黄金三角形． 或， ． 又， ． ． 是黄金三角形． ②是黄金三角形， ∵， ． ， ； ③略 20. “关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多．如图，已知是的角平分线，可得：，小华的证明思路如下：过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． （1）请参照上面小华的证明思路，利用图（a）证明：； （2）如图（b），平行四边形中，平分交于点，则的长度为___________； （3）如图（c），矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，求的长； （4）如图（d），正方形中，为上一点，连接，将沿过的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点，与的延长线交于点．若，则的长度为___________． 【答案】（1）证明：， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， （2）4 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）证明，，即可得到结论； （2）由（1）结论可知，即可求出答案； （3）证明，在直角三角形中，由勾股定理得：，代入数值计算即可； （4）四边形为正方形，连接，在直角三角形中，，由勾股定理得：，则求出，代入即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平行四边形中，， 由（1）结论可知， ， 【小问3详解】 解：将沿所在直线折叠， ， ， 四边形为矩形，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ； 【小问4详解】 解：如图，四边形为正方形，连接， ， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 将沿过点的直线折叠， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学府中学2026-2027学年第一学期九年级期中考试 数学学科试卷 说明： 1．全卷共6页，考试时间为90分钟，满分100分． 2．答题前，考生务必将姓名、班级、考号用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，答案须写在答题卡各题目指定区域相应位置上．不准使用涂改液．在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 在一个不透明的口袋中，放置6个红球，2个白球和n个黄球．这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值可能是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 16 3. 如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若且，则四边形是正方形 C. 若，则四边形是菱形 D. 如果，则四边形是矩形 4. 如图，，，以点为位似中心作的位似图形，使它与的相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 在一天中的四个不同时刻，小红观察了一个物体在阳光照射下投射在地面上的影子，其位置如图所示．按照时间先后顺序排列，正确的是（ ） A. ①②③④ B. ④①③② C. ④③①② D. ②①③④ 6. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．则PE+PF的值为（ ） A. B. C. D. 不是定值 7. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别是边上的动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 第Ⅱ卷（非选择题共76分） 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值是_______． 10. 若是方程的两个实数根，则的值为___________． 11. 如果四边形的两条互相垂直的对角线的长分别为，则顺次连接该四边形四边中点的四边形的面积为_________ 12. 如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为____________． 13. 如图，在中，为上一点，为的中点，连接，，则___________． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程： （1） （2） 15. 天府新区某学校计划开展兴趣课程，包括(艺术素养课程)，(科学探索课程)，(体育运动课程)，(社会实践课程)，(传统文化课程)．为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进行投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如下图： 根据图中信息，请回答下列问题： （1）参加投票的学生共___________人； （2）估计全校人中参加(社会实践课程)的学生有多少人？ （3）现小欢、小乐从最受欢迎的三类课程中任选一类课程参加，用树状图或列表法求两人恰好参加同一类课程的概率． 16. 如图，在中，，平分，按如下步骤作图： 第一步，分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 第二步，作直线分别交于点E，O，F； 第三步，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 17. 如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． （1）请画出此刻路灯在阳光下的影子； （2）测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 18. 某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y =x2 + c且过顶点C（0,5）．（长度单位：m） （1）直接写出c = _________； （2）该隧道为双车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道?请说明理由； （3）为了车辆安全快速通过隧道对该隧道加固维修，维修时需搭建的“脚手架”为矩形EFGH．使H、G点在抛物线上，E、F点在地面AB上，施工队最多需要筹备多少材料．（即求出“脚手架”三根木杆HE、HG、GF的长度之和的最大值） 19. 如图，在中，点在边上，且，已知，． （1）的度数为___________； （2）我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比． ①写出图中所有的黄金三角形___________ ②求的长； ③在直线或上是否存在点（点除外），使是黄金三角形？若存在，在图中用尺规画出点；若不存在，说明理由． 20. “关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多．如图，已知是的角平分线，可得：，小华的证明思路如下：过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． （1）请参照上面小华的证明思路，利用图（a）证明：； （2）如图（b），平行四边形中，平分交于点，则的长度为___________； （3）如图（c），矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，求的长； （4）如图（d），正方形中，为上一点，连接，将沿过的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点，与的延长线交于点．若，则的长度为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $